2027届 高三数学一轮复习 第十四讲 幂函数 导学案

该高中数学高考复习学案系统梳理了幂函数专题，涵盖定义、特征、图象性质及应用等核心考点，按“定义-特征-图象性质-应用”逻辑构建知识网络，通过问题链设计和题型任务驱动，引导学生自主推导性质规律，形成系统性知识框架。 亮点在于诊断性题型设计和进阶式学习路径，如开篇设置定义判定题组帮助学生自主诊断基础掌握情况，题型从单一性质到综合应用逐步提升，培养数学思维与应用意识。每个题型配有方法总结和详解，学生可自主归因提升，教师能通过题型错误数据精准指导，助力因材施教。

2027届高三数学一轮复习 第十四讲 幂函数 【学习目标】会画幂函数的图象，并能利用幂函数的性质解决相关问题. 【学习重点】幂函数的图象与性质. 【学习难点】幂函数性质的应用． 必掌握知识点 1、幂函数的定义 一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数. 2、幂函数的特征：同时满足下列三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数. 3.幂函数的图象和性质 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 4.解题方法总结 （1）、幂函数在第一象限内图象的画法如下： ①当时，其图象可类似画出； ②当时，其图象可类似画出； ③当时，其图象可类似画出． (2)幂函数的性质： ①幂函数在__________上都有定义，都不过第_____象限，且除原点外与坐标轴都不相交； ②当时，幂函数的图象都过点______和______，且在_______上单调递增； ③当时，幂函数的图象都过点_________，不过点______,且在________上单调递减. ④定义域为或的幂函数都具有奇偶性，定义域为的 幂函数都不具有奇偶性； ⑤任意两个幂函数的图象至少有一个公共点__________，至多有_____个公共点． 必考题型全归纳 题型一 幂函数定义判定 1．已知点在幂函数的图像上，则（   ） A． B． C． D． 2．若幂函数的图象不过原点且关于原点对称，则（    ） A． B． C．或 D． 3．已知幂函数在上单调递减，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D． 4．已知函数，其中，若函数为幂函数且其在上是单调递增的，并且在其定义域上是偶函数，则 A．2 B．3 C．4 D．5 5.（多选）．已知幂函数，则（    ） A． B．的定义域为 C．为非奇非偶函数 D．不等式的解集为 题型二 幂函数图像与第一象限单调性规律 6．如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（    ） A． B． C． D． 题型三 幂函数奇偶性、对称性综合 7．已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 8.(多选)．已知幂函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象都经过点 B．函数的图象不经过第四象限 C．若，则函数在上单调递增 D．若，则对任意实数，有 题型四 幂函数单调性比较大小 9．已知幂函数满足，若，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 10．已知幂函数在上单调递减，设，，，则（   ） A． B． C． D． 题型五 幂函数单调性解不等式 11．已知幂函数的图象关于轴对称. (1)求实数的值； (2)若关于不等式成立，求实数的取值范围； (3)设满足对都有，试比较与的大小. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第十四讲 幂函数 【学习目标】会画幂函数的图象，并能利用幂函数的性质解决相关问题. 【学习重点】幂函数的图象与性质. 【学习难点】幂函数性质的应用． 必掌握知识点 1、幂函数的定义 一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数. 2、幂函数的特征：同时满足下列三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数. 3.幂函数的图象和性质 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 4.解题方法总结 （1）、幂函数在第一象限内图象的画法如下： ①当时，其图象可类似画出； ②当时，其图象可类似画出； ③当时，其图象可类似画出． (2)幂函数的性质： ①幂函数在__________上都有定义，都不过第_____象限，且除原点外与坐标轴都不相交； 答案：,四 ②当时，幂函数的图象都过点______和______，且在_______上单调递增； 答案：,, ③当时，幂函数的图象都过点_________，不过点______,且在________上单调递减. 答案：,,, ④定义域为或的幂函数都具有奇偶性，定义域为的 幂函数都不具有奇偶性； ⑤任意两个幂函数的图象至少有一个公共点__________，至多有_____个公共点． 答案：1,3 必考题型全归纳 题型一 幂函数定义判定 1．已知点在幂函数的图像上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据幂函数的系数为可求得的值，再将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，进而可求得的值. 【详解】由于函数为幂函数，则，解得，则， 由已知条件可得，得，因此，.故选：A. 2．若幂函数的图象不过原点且关于原点对称，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解析】根据幂函数的概念，可得，进而可求出或，然后分两种情况，分别讨论函数的奇偶性，即可选出答案. 【详解】根据幂函数的概念，得，解得或， ①若，则，令，其定义域为，且，显然幂函数为偶函数，不是奇函数，图象不关于原点对称，不符合题意，舍去； ②若，则，令，其定义域为，且，即幂函数为奇函数，图象关于原点对称，符合题意.所以.故选：A. 【点睛】关键点睛：利用幂函数的概念，先求出，再根据幂函数的性质，进分类讨论，属于基础题 3．已知幂函数在上单调递减，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D． 【答案】A 【分析】根据幂函数得的定义，求得或，结合幂函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，幂函数，可得，解得或， 当时，可得，可得在上单调递减，符合题意； 当时，可得，可得在上无单调性，不符合题意，综上可得，实数的值为.故选：A. 4．已知函数，其中，若函数为幂函数且其在上是单调递增的，并且在其定义域上是偶函数，则 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据幂函数的概念和性质列式可解得. 【详解】因为函数为幂函数,所以,所以, 又因为函数在上是单调递增函数,所以,所以, 因为,所以.当 时,函数 为奇函数,不合题意,舍去. 当 时.为偶函数,符合题意.所以.故选 . 【点睛】本题考查了幂函数的概念和性质.属基础题. 5（多选）已知幂函数，则（    ） A． B．的定义域为 C．为非奇非偶函数 D．不等式的解集为 【答案】AB 【分析】根据幂函数得，进而确定其定义域、奇偶性、区间单调性，并应用单调性解不等式判断各项正误. 【详解】对于A：由题意，解得，正确； 对于B：的定义域为，正确； 对于C：，所以函数为偶函数，错误； 对于D：为偶函数且在单调递增， 由得，解得或，错误；故选：AB 题型二 幂函数图像与第一象限单调性规律 6．如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的图象和性质之间的关系进行判断即可. 【详解】当时，幂函数在第一象限内单调递减， 当时，幂函数在第一象限内单调递增，所以， 当时，幂函数在第一象限内单调递增，所以， 所以相应曲线的依次为.故选：A 题型三 幂函数奇偶性、对称性综合 7．已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的图象与性质，求出的值，根据的定义域与单调性，再把不等式化为等价的不等式组，求出它的解集即可. 【详解】幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数， 所以，解得，因为，所以或， 当时，，图象关于轴对称，不满足题意； 当时，，图象关于原点对称，满足题意，不等式化为， ，因为函数在上递减，所以， 解这个不等式，得，即实数的取值范围是，故选B . 【点睛】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题,也考查了不等式的解法与应用问题,意在考查对基础知识掌握的熟练程度，是基础题目. 8(多选)．已知幂函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象都经过点 B．函数的图象不经过第四象限 C．若，则函数在上单调递增 D．若，则对任意实数，有 【答案】BCD 【分析】A选项，举出反例；B选项，时，，B正确；C选项，根据幂函数性质得到C正确；D选项，作差法比较出大小. 【详解】A选项，当时，，不经过原点，A错误； B选项，当时，，故图象不经过第四象限，B正确； C选项，若，则函数在上单调递增，C正确； D选项，，，， 故 ，当且仅当时，等号成立，故，D正确.故选：BCD 题型四 幂函数单调性比较大小 9．已知幂函数满足，若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可求得，得出单调递增，根据单调性即可得出大小. 【详解】由可得，∴，∴，即.由此可知函数在上单调递增.而由换底公式可得，，，∵，∴，于是，又∵，∴，故，，的大小关系是.故选：C. 【点睛】本题考查利用函数单调性判断大小，解题的关键是判断出函数的单调性以及自变量的大小. 10．已知幂函数在上单调递减，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的概念以及幂函数的单调性求出，在根据指数函数与对数函数的单调性得到，根据幂函数的单调性得到，再结合偶函数可得答案. 【详解】根据幂函数的定义可得，解得或， 当时，，此时满足在上单调递增，不合题意， 当时，，此时在上单调递减， 所以.因为，又，所以， 因为在上单调递减，所以， 又因为为偶函数，所以，所以.故选：C 题型五 幂函数单调性解不等式 利用奇偶转化绝对值，结合定义域、单调性列不等式组求解 对应题目：单选 8、多选 10D、解答 13 11．已知幂函数的图象关于轴对称. (1)求实数的值； (2)若关于不等式成立，求实数的取值范围； (3)设满足对都有，试比较与的大小. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）利用幂函数的定义可得出关于的等式，解出的值，再结合函数奇偶性的定义检验即可； （2）令，分析该函数的单调性与奇偶性，由所求不等式得，即，可得出关于的不等式，解之即可； （3）分析可知的图象关于直线对称，可得，可得出，分析函数的单调性，对的取值进行分类讨论，比较、的单调性，即可得出与的大小关系. 【详解】（1）因为函数为幂函数，所以，解得或， 当时，函数为奇函数，不符合题意， 当时，函数为偶函数，符合题意.故. （2）令，则该函数的定义域为，且该函数在上单调递增， 对任意的，，即函数为偶函数， 由可得，即，故，两边平方并化简得，解得，故原不等式的解集为. （3）因，对都有， 所以函数的图象关于直线对称，所以，可得，即， 所以，故函数的图象开口向上， 所以函数的减区间为，增区间为， 当时，，，且，故，此时；当时，，此时； 当时，，，且，故，此时. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $