2027届高三数学一轮复习-第九讲 函数的单调性导学案

该高中数学高考复习学案系统梳理函数单调性核心考点，涵盖定义、导数应用、复合函数及常用结论，按“定义-方法-应用”架构组织，通过问题链引导学生自主构建知识网络，体现系统性与层次性。 特色在于题型诊断与方法指导结合，6类必考题型覆盖基础到综合，如复合函数“同增异减”法则指导，培养数学思维与表达素养。每个题型配解题策略，学生可自主诊断薄弱点，教师通过学情精准指导，提升备考实效。

2027届高三数学一轮复习 第九讲 函数的单调性 【学习目标】1. 能准确叙述函数单调性的定义，并会求函数的单调区间； 2. 会利用函数的单调性比较大小、求解不等式. 【学习重点】求函数的单调区间. 【学习难点】函数单调性的应用. 必掌握知识点 一 作差法研究函数的单调性 1.单调函数的定义 一般地，设函数的定义域为，区间： 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． ①属于定义域内某个区间上； ②任意两个自变量，且； ③都有或； ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． 2.单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． 3.复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数. 二 用导数研究函数的单调性 1、函数的单调性 函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 2、已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 三.记住几条常用的结论： ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； ④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 必考题型全归纳 题型一 基本初等函数单调性与参数范围 1．已知函数与在区间上都是减函数，那么（    ） A． B． C． D． 题型二 解抽象不等式 核心：定义域优先 + 单调性去掉外层函数符号，转化自变量不等式组 2．已知函数是定义在的单调递增函数，若，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 3．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数为上的偶函数，且对于任意的满足，则下列不等式成立的是（    ） A．B． C． D． 题型三 复合函数函数单调性 判断函数在哪些区间单调递增，多选筛选符合条件区间 对应题目：多选 6 5．已知函数，在单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6（多选）．下列区间中，满足函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 题型四 分段函数与分段数列单调性综合 分段函数与分段数列单调性的主要区别是在临界处自变量取值不同。分段函数生成数列，数列单调递增，分段临界点、左右两段单调性双重限制求参数 7（多选）．已知是上的增函数，那么实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，数列满足，若数列单调递增，则实数a的取值范围是______． 题型五 取大（小）函数综合题型 9（多选）．已知函数，．，用表示，中的较大者，记为，则（   ） A．的解集为 B．当时，的值域为 C．若在上单调递增，则 D．当时，不等式有4个整数解 题型六 函数新定义 ——“和谐区间” 10．若函数的自变量的取值范围为时，函数值的取值范围恰为，就称区间为的一个“和谐区间” . (1)先判断“函数没有“和谐区间”是否正确，再写出函数的“和谐区间”； (2)若是定义在上的奇函数，当时，.    （i）求的“和谐区间”； （ii）若函数的图象是在定义域内所有“和谐区间”上的图象，是否存在实数，使集合恰含有个元素，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第九讲 函数的单调性 【学习目标】1. 能准确叙述函数单调性的定义，并会求函数的单调区间； 2. 会利用函数的单调性比较大小、求解不等式. 【学习重点】求函数的单调区间. 【学习难点】函数单调性的应用. 必掌握知识点 一 作差法研究函数的单调性 1.单调函数的定义 一般地，设函数的定义域为，区间： 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． ①属于定义域内某个区间上； ②任意两个自变量，且； ③都有或； ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． 2.单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． 3.复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数. 二 用导数研究函数的单调性 1、函数的单调性 函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 2、已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 三.记住几条常用的结论： ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； ④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 必考题型全归纳 题型一 基本初等函数单调性与参数范围 1．已知函数与在区间上都是减函数，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次函数在区间单减，则区间在二次函数的减区间范围内，从而求得的范围；反比例函数在区间单调递减，得，取交集即可 【详解】根据二次函数的表达式可知，的对称轴为，开口向下，若在区间上是减函数，则，是反比例函数，若在区间是减函数，则，所以 故选：C 题型二 解抽象不等式 核心：定义域优先 + 单调性去掉外层函数符号，转化自变量不等式组 2．已知函数是定义在的单调递增函数，若，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据函数的定义域以及单调性可得，解不等式组即可． 【详解】因为函数是定义在的单调递增函数，且， 所以，解得或．故选：C． 3．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设，分析函数的奇偶性以及单调性，据此可转化为不等式组，求解可得的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，函数，设，则有，解可得， 即函数的定义域为，关于原点对称，又由，即函数为奇函数，设，则，，在上为增函数，而在上为增函数， 故在区间上为增函数， 解可得：，即不等式的解集为．故选：C 4．已知函数为上的偶函数，且对于任意的满足，则下列不等式成立的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】令，依题意知为偶函数，且在区间上是减函数，再由，结合条件分别判断四个选项即可． 【详解】解：偶函数对于任意的满足， 令，则，即为偶函数． 又，故在区间上是减函数， 所以，即，故B正确；，故A错误； ，故C错误； ，故D错误；故选：B． 【点睛】关键点睛：根据导函数不等式构成函数，利用函数的单调性进行判断是解题的关键. 题型三 复合函数函数单调性 判断函数在哪些区间单调递增，多选筛选符合条件区间 对应题目：多选 6 5．已知函数，在单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，，分析出内层函数和外层函数的单调性，以及对数真数在所给的区间上恒为正数可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围. 【详解】令，易知在其定义域上单调递减， 要使在上单调递减，则在单调递增， 且，即，所以，即.因此，实数的取值范围是.故选：D. 6（多选）．下列区间中，满足函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论. 【详解】对于函数，令， 得，可得函数的单调递增的区间是，， 由于，是，的一个子集.故选：AD. 题型四 分段函数与分段数列单调性综合 分段函数与分段数列单调性的主要区别是在临界处自变量取值不同。分段函数生成数列，数列单调递增，分段临界点、左右两段单调性双重限制求参数 7(多选)．已知是上的增函数，那么实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】分段函数在上单调递增，需满足在每一段上单调递增，且分段处左端点函数值小于等于右端点函数值,从而得到不等式，求出，得到答案. 【详解】要在上单调递增，需满足， 解得，故实数的值可以为，；故选：AC 8．已知函数，数列满足，若数列单调递增，则实数a的取值范围是______． 【答案】． 【分析】分段函数型数列是递增数列，需要每段是递增函数，且分段端点满足后一项大于前一项，联立不等式解出实数即可. 【详解】数列是递增数列，又，， 且，，解得或，故实数的取值范围是． 故答案为：． 题型五 取大（小）函数综合题型 9（多选）．已知函数，．，用表示，中的较大者，记为，则（   ） A．的解集为 B．当时，的值域为 C．若在上单调递增，则 D．当时，不等式有4个整数解 【答案】ABD 【分析】对于A：直接解不等式即可；对于B：结合图像分析判断；对于C：分和，两种情况，整理可得，结合二次函数可知，运算求解即可；对于D：整理可得，结合，解不等式即可. 【详解】对于选项A：因为，解得， 所以的解集为，故A正确； 对于选项B：当时，则， 分别作出，的图像，可得的函数图像（实线部分），如图所示：    由图像可知：的值域为，故B正确； 对于选项C：若，则，可知在上单调递增，符合题意； 若，令，即，整理可得， 构建，且， 可知函数与x轴有2个交点，不妨设， 由题意可知：，则， 整理可得，解得；综上所述：，故C错误； 对于选项D：对于不等式，即， 可得， 令，解得或， 若，则，，， 由，解得， 可知其中包含整数，所以不等式有4个整数解，故D正确；故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：对于C：将不等式问题函数化，分析可知函数与x轴有2个交点，且，运算求解即可. 题型六 函数新定义 ——“和谐区间” 10．若函数的自变量的取值范围为时，函数值的取值范围恰为，就称区间为的一个“和谐区间” . (1)先判断“函数没有“和谐区间”是否正确，再写出函数的“和谐区间”； (2)若是定义在上的奇函数，当时，.    （i）求的“和谐区间”； （ii）若函数的图象是在定义域内所有“和谐区间”上的图象，是否存在实数，使集合恰含有个元素，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)正确，； (2)（i）和，（ii）存在符合题意，理由见解析. 【分析】（1）根据和谐区间的定义判断两个函数即可； （2）（i）根据是奇函数求出的解析式，再利用“和谐区间”的定义求出的“和谐区间”，（ii）由（i）可得的解析式，由与都是奇函数，问题转化为与的图象在第一象限内有一个交点，由单调性求出的端点坐标，代入可得临界值即可求解. 【详解】（1）函数定义域为，且为奇函数， 当时，单调递减，任意的，则， 所以时，没有“和谐区间”，同理时，没有“和谐区间”， 所以“函数没有“和谐区间”是正确的， 在上单调递减，所以在上单调递减， 所以值域为，即，所以， 所以，是方程的两根,因为，解得， 所以函数的“和谐区间”为. （2）（i）因为当时， 所以当时，，所以 因为是定义在上的奇函数，所以， 所以当时，，可得，   设，因为在上单调递减， 所以，，所以，， 所以，是方程的两个不相等的正数根，即，是方程的两个不相等的正数根，且，所以，，   所以在区间上的“和谐区间”是，   同理可得，在区间上的“和谐区间”是. 所以的“和谐区间”是和，         （ii）存在，理由如下：因为函数的图象是以在定义域内所有“和谐区间”上的图象， 所以 若集合恰含有个元素，等价于函数与函数的图象有两个交点，且一个交点在第一象限，一个交点在第三象限.   因为与都是奇函数，所以只需考虑与的图象在第一象限内有一个交点.  因为在区间上单调递减， 所以曲线的两个端点为，. 因为，所以的零点是，，或所以当的图象过点时，，； 当的图象过点时，， ， 所以当时，与的图象在第一象限内有一个交点.   所以与的图象有两个交点.  所以的取值范围是. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $