6.3 诱导公式导学案——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理了三角函数诱导公式专题，以公式一至六为核心，通过表格形式呈现角的变换、三角函数值及记忆口诀，构建完整知识体系，借助类型应用中的问题链引导学生自主推导公式联系，形成层次分明的知识网络。 亮点在于自主诊断与分层训练设计，如类型应用分直接应用、综合应用及数学情境三大模块，配套变式训练覆盖不同难度，素养提升题融入高考真题，培养学生数学思维与应用意识。每个模块设自测题与解题反思，帮助学生自主诊断薄弱点，教师可依据学情精准指导，助力个性化复习与因材施教。

高考一轮总复习导学案 专题六 三角函数与解三角形03诱导公式 1、 考情分析 高考卷中该专题为高频内容，考察的时候保持“重基础，强综合”的基调，注重公式的变形能力及跨模块融合，一般会考察三角函数化简求值或特殊值求三家函数值，且考察较为灵活，需加强复习备考，熟练运用公式 二、知识梳理 三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 奇变偶不变，符号看象限 三、类型应用 类型一 诱导公式直接应用 例1：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】特殊角的三角函数值、诱导公式二、三、四 【分析】根据题意，利用三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】根据三角函数的诱导公式，可得. 变式训练1-1：（25-26高三·全国·一轮复习）的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式 【详解】． 变式训练1-2：（25-26高三·全国·一轮复习）的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】特殊角的三角函数值、诱导公式一、诱导公式二、三、四 【分析】根据诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得答案. 【详解】sin 600°＋tan 240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 120°＋tan 60° ＝－＋＝． 故选：C. 例2：（2026·云南昭通·模拟预测）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】诱导公式二、三、四 【详解】． 变式训练2-1：（2025·上海·模拟预测）已知，则________． 【答案】 3 【知识点】诱导公式二、三、四 【详解】由，则 变式训练2-2：已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式五、六 【分析】根据诱导公式，即可求得答案. 【详解】因为，所以，则. 变式训练2-3：（2026·上海·三模）已知角的终边经过点，则______． 【答案】/ 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式五、六 【详解】因角的终边经过点，则该点到原点的距离， 于是得，所以． 变式训练2-4：（2026·福建莆田·模拟预测）已知角为第一象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式二、三、四 【分析】根据同角三角函数基本关系求出，再根据诱导公式求解. 【详解】且为第一象限角， ， . 变式训练2-5：已知，且是第四象限的角，则=（    ） A． B．– C．± D．± 【答案】A 【知识点】正切函数的诱导公式、已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦） 【分析】先根据同角的三角函数平方关系求出，再根据同角三角函数商数关系求出，再用诱导公式求出. 【详解】因为是第四象限的角，所以 因为，所以，故 由诱导公式， 故选：A 例3：（2026·河北沧州·模拟预测）已知角的终边过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式五、六、二倍角的正弦公式 【分析】利用三角函数的定义以及诱导公式、正弦二倍角公式求解即可. 【详解】因为角的终边过点，所以， 所以. 变式训练3：（2026·山西·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【详解】由题设. 类型二 综合应用 例4：（2026·河南信阳·三模）已知，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】由诱导公式、同角三角函数商的关系即可求解. 【详解】 变式训练4-1：已知角的终边经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】由三角函数的定义结合诱导公式即可求解. 【详解】角的终边经过点， 点到原点距离， ，， 所以.​ 变式训练4-2：（2026·陕西商洛·二模）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【详解】因为，可得．又， 所以，所以． 所以． 例5：（25-26高三·全国·一轮复习）化简：______. 【答案】 【知识点】诱导公式一、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用三角函数的诱导公式化简即可. 【详解】原式 . 故答案为：. 变式训练5-1：（2026高三·全国·专题练习）______． 【答案】 【知识点】诱导公式一、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——诱导公式 【详解】． 变式训练5-2：已知，且是第四象限角. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、三角函数的化简、求值——诱导公式 【详解】（1）因为，且是第四象限角， 由同角三角函数关系式得. （2）根据诱导公式及同角三角函数关系式得： 原式. 变式训练5-3：已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据角α终边上点的坐标，结合任意角三角函数定义求出、，代入目标式计算即可； （2）利用三角函数诱导公式化简原式为，再结合终边上点的坐标求的值. 【详解】（1）点到坐标原点的距离， 根据任意角三角函数的定义： ，， 代入得； （2）利用诱导公式化简原式： 分子部分：，， ，， 因此分子， 分母部分：，，， 因此分母， 约分化简得原式， 根据定义. 变式训练5-4：已知关于的方程的两个不等实根分别是和. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据韦达定理得到根与系数的关系，再利用三角恒等变换计算得到答案. （2）化简得到原式，再根据题意计算得到答案. 【详解】（1）因为关于的方程的两个不等实根分别是和 所以，即， ，， ， 从而， 则； （2） . 因为  ； 因为且，所以， 所以. 所以. 类型三 数学情境 1.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，将筒车抽象为一个半径为的圆，如图2建立平面直角坐标系，已知筒车按顺时针方向旋转，每旋转一周用时180秒，当时，某盛水筒位于点，经过秒后运动到点，则当筒车旋转120秒时，此盛水筒对应的点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用定义求某角的三角函数值、诱导公式二、三、四 【分析】由点坐标求出和，再由旋转时间求出旋转角度，再由三角函数的定义即可求出答案.. 【详解】因为，则，所以， 又， 每旋转一周用时秒，则筒车旋转秒时共旋转， 则此时点所在角的终边为， 则点的横坐标为. 故选：C. 2.人们把最能引起美感的比例称为黄金分割.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为称为黄金分割比.人们称底与腰之比为黄金分割比的三角形为最美三角形，它是一个顶角为的等腰三角形，由此我们可得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】诱导公式五、六 【分析】根据黄金分割定义可得，再由诱导公式计算可得结果. 【详解】如图，为最美三角形，，， 易知，取的中点为，如下图所示： 则在中，易知， 所以. 故选：A 4、 素养提升 1.（25-26高三·全国·一轮复习）已知，则下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式五、六 【详解】，故A不成立； ，故B不成立； ，故C成立； ，故D成立． 2.若，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的余弦公式 【详解】. 则. 3．（2026·全国一卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算、三角函数的化简、求值——诱导公式 【详解】因为，，， 即集合，且集合，所以. 4（2024·上海虹口·一模）已知，则“”是“”的（   ）条件． A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【答案】C 【知识点】判断命题的必要不充分条件、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】集合角的范围和诱导公式计算出角的取值，再根据充分性和必要的用定义法进行判断. 【详解】充分性： 根据诱导公式，因为，所以或， 当时，；当时，； 所以由不能必然推出，充分性不成立； 必要性： 因为，所以，此时， 所以由可以推出，必要性成立； 综上，是的必要非充分条件； 故选：C. 5.（2026·天津·二模）已知，，则“”是“，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、诱导公式一、诱导公式二、三、四 【详解】当，时，； 反之，当时，或，， 因此“”是“，”的必要不充分条件. 6.（2026·河北·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则____________． 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、特殊角的三角函数值、诱导公式一、诱导公式二、三、四 【分析】利用奇函数的性质转化，然后代入解析式，根据诱导公式化简求值. 【详解】因为是奇函数，， ， . 7.（25-26高三·全国·一轮复习）已知，若，则的值为______． 【答案】/ 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】应用诱导公式化简得，再应用齐次式法求值即可. 【详解】由题设， 由 . 故答案为：. 8.已知角的终边在直线上，则________． 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、正、余弦齐次式的计算、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六 【详解】因为角的终边在直线上， 所以可取角终边上的点，所以. 所以． 9.若，则___________ 【答案】 【知识点】利用平方关系求参数、三角函数的化简、求值——诱导公式 【详解】， . 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考一轮总复习导学案 专题六 三角函数与解三角形03诱导公式 1、 考情分析 高考卷中该专题为高频内容，考察的时候保持“重基础，强综合”的基调，注重公式的变形能力及跨模块融合，一般会考察三角函数化简求值或特殊值求三家函数值，且考察较为灵活，需加强复习备考，熟练运用公式 二、知识梳理 三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 余弦 正切 口诀 三、类型应用 类型一 诱导公式直接应用 例1：（    ） A． B． C． D． 变式训练1-1：（25-26高三·全国·一轮复习）的值为（   ） A． B． C． D． 变式训练1-2：（25-26高三·全国·一轮复习）的值为（   ） A． B． C． D． 例2：（2026·云南昭通·模拟预测）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式训练2-1：（2025·上海·模拟预测）已知，则________． 变式训练2-2：已知，则（ ） A． B． C． D． 变式训练2-3：（2026·上海·三模）已知角的终边经过点，则______． 变式训练2-4：（2026·福建莆田·模拟预测）已知角为第一象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 变式训练2-5：已知，且是第四象限的角，则=（    ） A． B．– C．± D．± 例3：（2026·河北沧州·模拟预测）已知角的终边过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式训练3：（2026·山西·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． . 类型二 综合应用 例4：（2026·河南信阳·三模）已知，则（    ） A． B． C．1 D． 变式训练4-1：已知角的终边经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式训练4-2：（2026·陕西商洛·二模）已知，则（     ） A． B． C． D． 例5：（25-26高三·全国·一轮复习）化简：______. 变式训练5-1：（2026高三·全国·专题练习）______． 变式训练5-2：已知，且是第四象限角. (1)求的值； (2)求的值. 变式训练5-3：已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. (1)求的值； (2)求的值. 变式训练5-4：已知关于的方程的两个不等实根分别是和. (1)求的值； (2)若，求的值. 类型三 数学情境 1.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，将筒车抽象为一个半径为的圆，如图2建立平面直角坐标系，已知筒车按顺时针方向旋转，每旋转一周用时180秒，当时，某盛水筒位于点，经过秒后运动到点，则当筒车旋转120秒时，此盛水筒对应的点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 2.人们把最能引起美感的比例称为黄金分割.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为称为黄金分割比.人们称底与腰之比为黄金分割比的三角形为最美三角形，它是一个顶角为的等腰三角形，由此我们可得（    ） A． B． C． D． 4、 素养提升 1.（25-26高三·全国·一轮复习）已知，则下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 2.若，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·全国一卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 4（2024·上海虹口·一模）已知，则“”是“”的（   ）条件． A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 5.（2026·天津·二模）已知，，则“”是“，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6.（2026·河北·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则____________． 7.（25-26高三·全国·一轮复习）已知，若，则的值为______． 8.已知角的终边在直线上，则________． 9.若，则___________ 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $