湖北武汉市重点中学5G联合体2025-2026学年下学期期末考试高二数学试卷

高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的， 山已知函数/（网在x=1处可导，且四0+00。子，则r=() Ar △x A月 B.-1 C.1 D.7 2.已知等比数列{an}的各项均为正数，aa,=1,aa,=4，则aa0=() A月 B.4 C.3 D.2 3.若C=C(xeN),则A5=() A.20 B.120 C.60 D.135 4.学校测试A虹智能阅卷，启用了标注为甲，乙，丙的三款评卷系统.平台将随机调用 甲，乙，丙的概率依次为0.4,0.4,0.2.若甲，乙，丙批改一道数学题的正确率分别为 90%,80%,70%.现随机抽取一道题目，则该题目被正确批改的概率为() A.0.81 B.0.82 C.0.83 D.0.84 5.将标有5,5,2,3,4,6的六张数字卡片分成甲，乙，丙三组，要求每组都有奇 数数字卡片与偶数数字卡片，则不同的分法总数为() A.12 B.36 C.24 D.18 6.若f(x)是定义在区间(3,2)上的函数，其图象如图所示，设f(x)的导函数为f'(x), 则f(x-1)f'(x-1)>0的解集为() A.(-2,-1)U(1,2) B.(-1,0)U(1,2) C.（-3,-2)U(0,1) D.(-1,0)U(0,1) 7.设随机变量5服从正态分布N(2,σ2)，若P(5>4)=0.1,则函数 f()=写式-25+5x有极值点的概率为（) A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5 8.已知定义在R上的增函数f(x)满足对x∈R,有f(-x)+f(4+x)=f(2),设 g(x)=f(x+1)+4x+4+e1-e,若对x∈(0，+oo),都有g(e“+ax+lnx≤8恒成立， 则实数a的取值范围为(） 高二数学第1页共4页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列命题正确的是() A,已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数r越接近于1 B.残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好 C.线性回归直线必然过样本中心点(，) D.已知P(x2≥3.841)=0.05，根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到 x2=4.1,依据=0.05的独立性检验，变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不 超过0.05 10.已知函数f(x)=(4x2-6x)c,则下列结论正确的是() A.函数f(x)有2个极值点 B.函数f(x)无最小值 C.若函数f(y在（上单调递减，则实数a的取值范围是 D.函数y=3[f(x)]+2f(x)1有5个零点 11.杨辉为我国古代数学史上著述丰富的数学家，其传世著作包括《详解九章算法》， 《日用算法》及《杨辉算法》.公元1261年，他于《详解九章算法》中刊载了图1所 示数表，后世称之为杨辉三角，图2为该数表的数字呈现形式.杨辉三角的发现较欧洲 相关研究成果早约五百年，充分体现了我国古代数学所取得的卓越成就，亦足以令中华 民族引以为傲.据此材料，下列说法正确的是() 轰有 本积白 商除G白 平方Q 立方Q加自加白 第0行 第1行 1 1 三乘Q四四白 第2行 121 四乘Gd中白 第3行 1331 第4行 146 五乘©)))白 第5行 41 15101051 以 中 第6行 1615201561 实而除 者皆廉 《乃隅算 乃积数 第n-1行1CC2CC…CC1 方 第n行1CC…C…C2C 1 图1 图2 A.第8行所有数字的和等于256 B.第8行所有数字的平方和等于C。 C.记每一行的第k(k∈N)个数组成的数列称为第k斜列，该三角形数阵前2026行 中第k斜列各项之和为C2, D.若第n行的第i个数记为a,则∑(4a)=4×5” 高二数学第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 的展开式的常数项为 13.已知曲线y=xsinx在点（经，）处的切线与二次函数y=a2+(2a-x+1的图象只有 一个公共点，则实数a的值为 14.甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布”的游戏.游戏规则为：剪刀赢布，布赢石头， 石头赢剪刀.每一局游戏甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，且相互独 立.在一局游戏中某人赢1个人得2分，赢2个人得5分，其他情况得0分.设一局游 戏后3人总得分为5，则随机变量5的数学期望E(5)的值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 15.(本小题13分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bcos 4+√3 bsin A-c-a=0. (1)求角B; (2)若b=3,△MBC的面积为95，求a,c的值 4 16.（本小题15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形， (1)若N为PC的中点，求证：AP∥平面BND; (2)若PD=AD=3,求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值. 高二数学第3页共4页 17.(本小题15分) 己知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=3S2,a3=7. (1)求数列{an}的通项公式： (2)若bn=2+1,令cn=a,bn,求数列{cn}的前n项和T. 18.(本小题17分) 2026年马年春晚《武B0T》节目中，宇树科技的人形机器人与塔沟武校的少年武者进 行了一场人机武术对抗赛。假设每局比赛中，机器人获胜的概率为，少年武者获胜的 概率为二，且每局胜负相互独立.比赛采用2k+1局k+1胜制（即先赢得k+1局者获胜）. (1)当k=1时，记结束比赛时的局数为X,求X的分布列和数学期望E(X); (2)设在该赛制下机器人获胜的概率为P(k)· ①求P(1)和P(2)的值，并比较它们的大小，据此说明k=1和k=2哪种赛制对机器人更 有利； ②随着k的增大，机器人获胜的可能性如何变化？证明你的结论. 19.(本小题17分) 已知函数f(x)=2xlnx, (1)求不等式0≤f(x)≤2e的解集； (2)己知实数a<0,求g(x)=f(x)-4x+2a的零点个数： 若0<<5，(，5)且）-f)-飞，求证：%> 2xX2 X2一X1 1+X2 高二数学第4页共4页高二（下）期末考试参考答案 一. 选择题 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 A D W D W C B BCD AD ABD 二.填空题 12.135 13.1 14. 三.解答题 15.解：(1)由bcos A+√3 bsin A-c-a=0及正弦定理得 sin B cos A+3 sin Bsin A-sin C-sinA=0 …1分 sinC=sin(-A-B)=sin(4+B)=sinAcos B+cos AsinB, 所以√3 sin BsinA-sinAcos B-sinA=0. …3分 由于SinA≠0，.√5sinB-cosB-1=0…4分 所以sinB）=1 5分 62 又0<B<T,故B= 3 …6分 (2)由恩得△MBC的面积S=acsiB= 9V5 故ac=9① 。。。。。。 8分 而b2=ad2+c2-2 ac cos B, …9分 且b=2,故2+C2=18②，…11分 由①②得a=C=3.… …13分 16.(1)连接CA交BD于点M,连接MN 因为ABCD为正方形，M为AC中点， .…2分 又因为N为PC的中点， 所以N为△CPA中位线，NWAP.… …4分 又因为MNc平面BND,APt平面BND 所以AP∥平面BND. 6分 (2)(方法一)因为PDL平面ABCD,AD,DCC平面ABCD,所以PD⊥DA,PD⊥DC, 在正方形ABCD中，DA⊥DC, 所以以{DA,DC,DP为正交基底建立空间直角坐标系O-灯，…7分 因为PD=AD=3, 所以C(0,3,0),B(3,3,0),P(0,0,3), 所以PB=(3,3,-3),PC=(0,3,-3).… …8分 设平面PBC的一个法向量为而=(x,y,=), iPB=0,「3x+3y-3z=0, 所以 即 …9分 元.PC=0,3y-3z=0, 解得x=0,取y=1,得z=1,所以m=(0,1,1), 11分 又平面PAD的一个法向量为i=(0,1,0),. …13分 m元1√2 所以coS<i,i> 园22， 所以平面PAD与平面P8C夹角的余弦值为 …15分 2 (方法二)因为PD⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,CDC平面ABCD, 所以PDL AD,PD⊥CD…8分 因为底面ABCD为正方形，所以CD⊥AD 又因为DCc平面PCD,PCc平面PCD,DCPC=C, 所以AD⊥平面PCD.… 10分 在平面PAD过P作II‖AD,有I⊥平面PCD, PDc平面PCD,PCC平面PCD,所以PD⊥I,PC⊥I,∠DPC为平面PAD与平面PBC夹角 或其补角，…12分 因为底面ABCD为正方形，所以AD=CD=3,又PD=3,PD⊥CD,故∠DPC即为所求 又∠DPC-r . …14分 4 平面PAD与平面P8C夹角的余弦值为2 …15分 17.(1)设等差数列{an}的首项为4，公差为d,则前n项和为Sn=a+ -d. 2 「a4+2d=7 所以 2 4+2d=7 即 4a+6d=6a+3d' …3分 解得☑=3，d=2, …4分 所以4，=3+(n-1)×2=2n+1. 因此数列{}的通项公式为☑=2n十1…6分 (2)cn=a,b.=(2n+1）-2+ …7分 Tn=3×22+5×2+7×24+.+(2n+1)×2*1, 2Tn=3×23+5×24+7×2+…+(2n+1)×2m*+2 …9分 所以Tn-27n=12+2×23+2×24++2×2+1-(2+1)×2”…11分 =12+2°-2×2 --(2n+1)×2+2=(1-2n）2+2-4,…13分 1-2 即-Tn=(1-2n）2+2-4…14分 所以Tn=(2n-1)2+2+4 15分 18.(1)当k=1时，赛制为三局两胜制，故X的可能取值为2,3， x-- 12_4 P(X=3)=C×5× 2分 339 所以X的分布列为： X 3 5/9 4/9 )-2写+3g是 ·4分 99 (2)①因为每局比赛中，机器人获胜的概率为p= 3 由题可知P(1)为3局2胜制时，机器人获胜的概率，机器人获胜的情形有两种：2：0或2：1， 所以0=p+Cp-p)=pB-2n列=学-)9 …6分 P(2)为5局3胜制时，机器人获胜的概率，机器人获胜的情形有三种：3：0或3：1或3：2， P(2)=p+Cp(1-p)+Cp(1-p}=p(6p2-15p+10) cc周号 …8分 所以P(2)>P(1), 所以k=2时，5局3胜制对机器人更有利… …9分 ②随着k的增大，机器人获胜的可能性越来越大 证明如下： 由O可知，P(=觉G1-p(用全场打满的方法算) …10分 i-kd 下面讨论2k+3局与前2k+1局的递推关系：（用先打2k+1局，再打2局的方法) ()若前2k+1局中机器人恰好赢了k局，则后两场机器人都要赢才能获胜， 其概率为CHp'(1-p)p2,即C5HD+(1-p) 11分 (若前2k+1局中机器人恰好赢了k+1局，则后两场机器人至少要赢一场才能获胜， 其获胜概率为Cp0-p)1-(1-p),即Cp+(1-p)产(2-p) …12分 ()若前2k+1局中机器人至少赢了k+2局，则后两场机器人无论输赢都获胜， 获茅为pB分 Pk+-cnn0-mc产up2)+宫cnru-p 2k+1 Pk+1)-P)=C吃p+2(1-p)H+Cp+21-p)广(2-p)-Cp(I-p) =C5p+1(1-p)(2p-1),… …15分 pf2x号-10.cG0-pf产(ep->0,即k40>217分 19.解(1)已知f()=2xl血x,对其求导可得f()=20血x+),令f(m)=0,解得x=君 当x变化时，'(x),∫(x)的变化情况如下表： 1 f'(x) 0 f(x) 单调递减 极小值 单调递增 …3分 当xefk0,又四=0，回=2e, 则不等式0≤f(x)≤2e的解集为{l≤x≤e} .5分 (2)由题意g(x)=2xnx-4x+2a的定义域为(0，+∞)，且g'(x)=2nx-1) 当x∈(0，e)时，g'(x)<0:当x∈(e,+o)时，g'(x)>0. 故g(x)在区间(0，)上单调递减，在(e,+o)上单调递增…7分 a<0,g(x)mm=g(e)=-2e+2a<0… 8分 当x∈(0，e2时，xlnx-2x≤0，a<0,故g(x)<0; 当x>c2时，g(e2)=2(2-a)e2-a-4e2a+2a=-2a(e2-a-1)>0 g(x)在(e2,+o)上单调递增，.当a<0时，g(x)有且仅有一个零点.…l0分 (其他方法请老师们酌情给分) (3》由f,)/飞=6），得5n5=n+1, X2-X1 x2-为 则n=5h光-h1,……7 为3-x 要证2<，可证h25<h飞，即证n2<n6--1. x1+X2 龙+x x1+x2x2- 令1=(t>1),即证n2盗年血+血血五1， X t+1 t-1)x 即证n2ttnt-1…… …13分 t+1t-1 下证(t-1)lh 2兰-tnt+t-1<0(t>1),先证hx<x-1(x>), t+1 设p()=-1-hx,x>1,p'(x)=1-1=X-1, xx 当x>1,p'(x)>0,p(x)在(1，+o)上单调递增， 则p(x)>p(1)=0,即x-1>nX…15分 令国么恤行1，则只需证明P倒0，又≤-1. 则r-h眼4)-： 品1品宁品10， 上单调递减， 则0到<0-=-h21kn11-1-0,2点<5…17分 1+1 x+x