精品解析：重庆市巴蜀中学校2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

巴蜀中学2027届高二期末考试 数学试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚. 2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 3. 考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. 某中学的兴趣小组获得了海拔高度(单位：千米)、气压(单位：千帕)的若干个数据，并绘制成如图所示的散点图，下列经验回归方程中，有一个是利用最小二乘法得到的气压 关于海拔高度的经验回归方程，则该方程是（ ） A. B. C. D. 5. 若一批产品共有200件，其中，每件产品是次品的概率为0.1，每件合格品的利润为50元，每件次品亏损60元，则该批产品的利润的均值为（ ） A. 2200元 B. 7800元 C. 10000元 D. 10200元 6. 已知函数 ，则 是 在 单调递增的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知是抛物线上两点，且，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 5 C. 的最小值为 D. 的最小值为 5 8. 若一个三位数的百位数字是，十位数字是，个位数字是,，且 三个数中最大值和最小值的和等于，则这样的三位数的个数是（ ） A. B. C. D. 二、选择题： 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题 目要求.全部选对的得 6 分， 有选错的得 0 分， 部分选对的得部分分. 9. 若等差数列的公差 ，且 的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，则（ ） A. 的递增区间是 B. 的递减区间是 C. 的值域是 D. 的值域是 11. 若满足，则（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最大值是 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 为了解学生是否对篮球感兴趣与性别的关系， 现从某年级的学生中随机抽取了男、女同学各50名， 整理得到下列列联表： 性别 兴趣爱好 感兴趣 不感兴趣 总计 男 40 10 50 女 30 20 50 总计 70 30 100 则基于小概率值0.01的独立性检验，可以认为男、女同学对篮球是否感兴趣_____差异. 参考公式： ，其中 . 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 13. 某物理量 的测量结果服从正态分布 ，则 _____. (若 ，则 .) 14. 若直线 是曲线的切线，也是曲线 的切线，则_____ 四、解答题：本题共 5 小题， 共 77 分.解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形， ,是的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 16. 已知数列的前项和为，且 ，数列满足. （1）求和的通项公式； （2）若满足，求的前项和. 17. 已知点，点满足直线和直线的斜率之积为.点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）设是坐标原点，是上位于第一象限内的一点，点，射线交于点，射线交于点，若和的面积之差为，求直线的方程. 18. 甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛(每人各投一次为一轮)，在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，若恰有1人命中，则命中者得1分，未命中者得分；若两人都命中或都未命中，则两人均得0分；当一方累计得分为5分时，比赛结束，该方获胜. 设甲每次投球命中的概率为，乙每次投球命中的概率为，且各次投球是否命中相互独立. （1）经过1轮投球，记甲的得分为，求的分布列和数学期望； （2）用表示甲的累计得分为时，最终甲获胜的概率. （i）写出并证明数列是公比为2的等比数列； （ii）求比赛甲获胜的概率并解释这种比赛方案的合理性. 19. 已知函数 . （1）若，求的极值； （2）若，且的最小值是0，是曲线上的点. （i）求的值，并证明是的定义在上的增函数； （ii）设点，函数，若存在点使得，且，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巴蜀中学2027届高二期末考试 数学试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚. 2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 3. 考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义即可求解． 【详解】由题可知，， 所以． 2. 已知，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于ABD，不妨设，满足， A选项，，故，A错误； B选项，，故，B错误； D选项，，故，D错误； 对于C，，则，，C正确. 3. 离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设为长半轴长，为短半轴长，为半焦距，因为离心率为，可得， 因为长轴长为 6，可得，所以，，所以，， 因为焦点在轴，所以椭圆的标准方程为. 4. 某中学的兴趣小组获得了海拔高度(单位：千米)、气压(单位：千帕)的若干个数据，并绘制成如图所示的散点图，下列经验回归方程中，有一个是利用最小二乘法得到的气压 关于海拔高度的经验回归方程，则该方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据散点图判断变量的相关性确定斜率的符号，再结合特殊点的坐标验证截距和斜率的具体数值即可. 【详解】由散点图可知，随着海拔高度的增加，气压逐渐降低，即与呈负相关关系， 所以经验回归方程中，斜率，故排除选项A、B； 当时，对应的值为，即样本点在回归直线附近. 对于C，当 时，，与相差较大，故排除C； 对于D，当 时，，与图象吻合，故选择D. 5. 若一批产品共有200件，其中，每件产品是次品的概率为0.1，每件合格品的利润为50元，每件次品亏损60元，则该批产品的利润的均值为（ ） A. 2200元 B. 7800元 C. 10000元 D. 10200元 【答案】B 【解析】 【详解】设每件产品的利润为，则分布列为 50 0.9 0.1 则， 设这批产品的利润为，则， 故这批产品的利润的均值为元. 6. 已知函数 ，则 是 在 单调递增的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先利用导数求出函数在单调递增的充要条件，再结合充分必要条件的定义判断即可. 【详解】函数的定义域为，， 若 在 单调递增，则对恒成立， 即：对恒成立.  令，则， 令，得，所以函数在单调递增，在单调递减， 所以，所以 在 单调递增的充要条件为. 所以 是 在 单调递增的充分不必要条件. 7. 已知是抛物线上两点，且，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 5 C. 的最小值为 D. 的最小值为 5 【答案】A 【解析】 【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，由得出与的等式，再由基本不等式即可求解的最小值． 【详解】由题可知，直线的斜率不为0，设直线方程为， 代入抛物线方程整理得，，， ， 则， 所以，则， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 而没有固定的最小值，因为当直线的斜率变化时， 可以取到不同的值，不存在固定的最小值. 8. 若一个三位数的百位数字是，十位数字是，个位数字是,，且 三个数中最大值和最小值的和等于，则这样的三位数的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，分，和三种情况讨论，即可求解. 【详解】因为三个数中最大值和最小值的和等于，且， 若，则，或，或，或，或 若，则，，或，，或 ，或，或， 若，则，可以是，或，可以是， 所以符合条件的三位数的个数是. 二、选择题： 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题 目要求.全部选对的得 6 分， 有选错的得 0 分， 部分选对的得部分分. 9. 若等差数列的公差 ，且 的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用通项公式将已知等式转化为关于公差的方程并求解，随后结合的条件，代入通项公式与求和公式对各个选项进行逐一验证. 【详解】由题意得，即， 即，由于，则，故A正确， ，因为， 则，故B正确， ， 因为，故无法确定的正负，故C错误， ，因，则，故D正确. 10. 设函数，则（ ） A. 的递增区间是 B. 的递减区间是 C. 的值域是 D. 的值域是 【答案】AC 【解析】 【分析】先确定函数定义域为，分和两段求导分析单调性，再结合单调性求值域，逐项判断即可. 【详解】由题意得的定义域为. 当时，，求导得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以在处取得最小值， 所以当时，. 当时，，求导得， 所以在上单调递减. 当时，，，则， 当时，，，则， 所以当时，， 综上，可得的递增区间为，A正确； 的递减区间是和，B错误； 的值域为，C正确，D错误. 11. 若满足，则（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最大值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A、B：由，利用基本不等式可得，故；对C、D：借助三角换元，令，，可得，再利用正弦函数的值域即可得解. 【详解】对A、B：， 则， 当且仅当，时，等号成立，故， 即的最小值是，最大值是，故A错误，B正确； 对C、D：， 可设，， 则 ， 由，故， 的最小值是，最大值是，故C、D正确. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 为了解学生是否对篮球感兴趣与性别的关系， 现从某年级的学生中随机抽取了男、女同学各50名， 整理得到下列列联表： 性别 兴趣爱好 感兴趣 不感兴趣 总计 男 40 10 50 女 30 20 50 总计 70 30 100 则基于小概率值0.01的独立性检验，可以认为男、女同学对篮球是否感兴趣_____差异. 参考公式： ，其中 . 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】不存在 【解析】 【分析】代入列联表数据计算卡方统计量，与对应的临界值比较，判断是否拒绝“男女生对篮球兴趣无差异”的零假设. 【详解】提出零假设：男、女同学对篮球是否感兴趣没有差异. 由列联表可得：，，，，样本容量. 所以：  已知小概率值的独立性检验没有充分证据拒绝，所以基于小概率值0.01的独立性检验，可以认为男、女同学对篮球是否感兴趣不存在差异. 13. 某物理量 的测量结果服从正态分布 ，则 _____. (若 ，则 .) 【答案】0.8186 【解析】 【分析】由正态分布的对称性与原则即可求解. 【详解】由题意得，， 则， ， 则 . 14. 若直线 是曲线的切线，也是曲线 的切线，则_____ 【答案】## 【解析】 【分析】分别设出直线与曲线和曲线的切点，然后求导，利用导数的几何意义，由斜率相等可得答案. 【详解】设直线与曲线切于点， 与曲线切于点， 则有， 从而得到，，，． 所以切线方程，所以． 四、解答题：本题共 5 小题， 共 77 分.解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形， ,是的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明：取中点，连接， 因为是中点，则，且，又，且， 所以，且，则四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面，故平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，利用几何关系得，再由线面平行的判定定理，即可求解； （2）根据条件，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，再由面面角的向量法，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，底面是直角梯形， 故可以点为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 由题意，可得， 所以， 设平面的一个法向量为， 由，故可取， 设平面的一个法向量为， 由，故可取， 则， 所以二面角的正弦值为. 16. 已知数列的前项和为，且 ，数列满足. （1）求和的通项公式； （2）若满足，求的前项和. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系可求数列的通项公式，代入可得数列的通项公式； （2）由（1）可得，根据等差数列、等比数列前项和公式计算求解即可. 【小问1详解】 已知数列的前项和， 当时，，解得， 当时，，即，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以数列奇数项是以为首项，为公差的等差数列， 偶数项是以为首项，为公比的等比数列， 数列的前项，包含个奇数项，和个偶数项， 所以. 17. 已知点，点满足直线和直线的斜率之积为.点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）设是坐标原点，是上位于第一象限内的一点，点，射线交于点，射线交于点，若和的面积之差为，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，利用斜率公式计算即可得； （2）由题意可设，，联立直线与双曲线方程，可得与交点纵坐标有关的韦达定理，再利用面积公式表示出和的面积之差，计算即可得的值，即可得解. 【小问1详解】 设，则，整理得， 即的方程为； 【小问2详解】 由题意可得直线斜率存在且小于， 可设，，则， 联立，消去得， 则，， 由，， 故， 由，故， 整理得，故， 由，故，即直线的方程为. 18. 甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛(每人各投一次为一轮)，在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，若恰有1人命中，则命中者得1分，未命中者得分；若两人都命中或都未命中，则两人均得0分；当一方累计得分为5分时，比赛结束，该方获胜. 设甲每次投球命中的概率为，乙每次投球命中的概率为，且各次投球是否命中相互独立. （1）经过1轮投球，记甲的得分为，求的分布列和数学期望； （2）用表示甲的累计得分为时，最终甲获胜的概率. （i）写出并证明数列是公比为2的等比数列； （ii）求比赛甲获胜的概率并解释这种比赛方案的合理性. 【答案】（1）的分布列为： 数学期望 （2）（i），， 设当前甲的累计得分为()，进行下一轮后甲得分可能变为，对应的概率分别为， 根据全概率公式，有，移项化简得， 所以，整理得， 令，则上式可写为（其中 ）， 这说明数列是公比为的等比数列； （ii）甲获胜的概率为，合理性解释如下： 由（1）知，甲在一轮投篮中的期望得分， 这意味着平均而言，每进行一轮，甲的累计得分呈下降趋势，乙在比赛中占据优势， 因此，甲最终获胜的概率应小于，而确实远小于，符合概率规律， 说明该比赛方案是合理的（即水平更高、期望得分更高的乙获胜概率更大）. 【解析】 【分析】（1）根据已知有取值为，利用独立事件乘法公式、互斥事件概率求法求对应概率，写出分布列，进而求期望； （2）（i）根据已知写出对应概率，设当前甲的累计得分为()，进行下一轮后甲得分可能变为，应用全概率公式得，整理得，最后由等比数列的定义证明结论；（ii）由等比数列的前n项和公式及累加法得，进而得到，再由即可得，结合（1）分析合理性. 【小问1详解】 设甲命中为事件，乙命中为事件， 由题意知，，且与相互独立， 在一轮投篮中： 甲得1分的情况：甲命中且乙未命中，概率， 甲得分的情况：甲未命中且乙命中，概率， 甲得0分的情况：两人都命中或都未命中，概率， 所以的分布列为： 数学期望； 【小问2详解】 （i）由题意，当甲的累计得分为时，甲已经输掉比赛，故获胜概率， 当甲的累计得分为时，甲已经赢得比赛，故获胜概率，（证明略）； （ii）由（i）知，是首项为，公比为的等比数列。 将从到的式子累加，可得， 代入，得，所以， 要求比赛甲获胜的概率，即求初始得分为时的概率，对应下标为，即求： ， ， 所以甲获胜的概率为，（合理性解释略）. 19. 已知函数 . （1）若，求的极值； （2）若，且的最小值是0，是曲线上的点. （i）求的值，并证明是的定义在上的增函数； （ii）设点，函数，若存在点使得，且，求的最大值. 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2）（i），此时，则， 因为，所以，即是的增函数， 因此其反函数是的定义在上的增函数，得证； （ii）的最大值为  【解析】 【分析】（1）对函数求导，根据导数的区间符号确定区间单调性，进而求极值； （2）（i）对函数求导得，结合已知及，应用分类讨论及反证思想确定参数值，再应用导数研究的单调性，利用反函数的性质即可证；（ii）由已知将问题化为存在点使且，结合进一步化为，分析判断的最大值. 【小问1详解】 当时，函数， 求导得，且，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以在处取得极小值，为，无极大值； 【小问2详解】 （i）函数， 求导得， 由题意，的最小值为，且， 若，则，不符合题意， 若，则，且，此时在处取得最小值，符合题意， 若，令，得（则），此时为极小值， 由且，代入得，即， 此方程在时有解，对应，这与题设矛盾， 综上所述，，（证明略）； （ii）由题意，， 已知，即，所以， 由于条件意味着，而， 代入，得， 由（i）易知，要使，必须取，即， 将代入，得， 要使该条件成立，对于，必须有，且时，， 由连续性知，此时必须满足， 令，，则且满足， 设，则，于是，条件变为， 因为在时单调递减，所以，要使最大，应尽可能小， 由约束条件知最优情况在边界上取得， 观察可知， 当时，左边，右边，等式成立，此时，且， 当时，，即且， 验证可知， 对于任意，，有， 对于任意，，有，条件满足， 因此的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $