精品解析：四川省仁寿第一中学校南校区2025-2026学年高一下学期6月期末测试数学试题

仁寿一中南校区2028届高一下学期期末测试 数学试卷 2026-6-29 一、单选题 1. 设复数，则z的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由复数得，则其虚部为4. 2. 已知某弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是（ ） A. 振幅是2，初相是 B. 振幅是，初相是 C. 振幅是，初相是 D. 振幅是2，初相是 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式及正弦型函数的标准形式判断即可. 【详解】由题意，， 所以振幅是2，初相是. 3. 关于向量，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，只说明向量模长相等，但向量的方向不一定相同，所以不一定等于，A错误； 对于B，若，零向量和任意向量平行，此时、，但与不一定平行，B错误； 对于C，说明与方向相反，方向相反的两个向量是平行向量，即，C正确； 对于D，向量既有大小又有方向，向量不能直接比较大小，只有模长可以比较，D错误． 4. 已知一组数据：4，6，，10，12，14的平均数为9，则这组数据的第60百分位数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数求得，结合百分位数的定义得到结果． 【详解】由题知，解得， 所以这组数据为，，，，，. 又因为，所以这组数据的第百分位数为第四个数. 5. 如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，且，则的边（   ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用斜二测画法可还原到原直角坐标系，再计算边长即可. 【详解】由题意可得还原后如下： 中，， 所以， 所以， ，，， 则. 6. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】根据平面向量平行性质，，，，解得， 所以“”是“”的充分不必要条件. 7. 已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算出圆锥的母线长，从而计算出圆锥的表面积. 【详解】圆心角是，对应为，设扇形的半径为，也即扇形围成的圆锥母线长为， 由解得：， 所以圆锥的表面积为. 8. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 原式= . 二、多选题 9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. 若， B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，根据复数除法运算法则即可求得；B选项，设，，根据共轭复数及复数的运算法则求解；C，D选项通过举反例可判断. 【详解】对于，因为当时，，选项A正确； 对于B，设，， ， 则 ， ，所以，选项B正确； 对于C，当，，则，但， ，，选项C错误． 对于D，，时，，但，选项D错误． 故选：AB. 10. 在棱长为1的正方体中，为底面的中心，是棱上动点，为线段的中点，下列命题正确的是（ ） A. 过、、三点的平面截正方体所得截面是梯形 B. 四点共面 C. 直线与所成角余弦值 D. 三棱锥的体积是定值 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，结合题意判断即可；对于B，结合点、线、平面的位置关系判断即可；对于C，根据异面直线夹角的计算方法求解即可；对于D，结合等体积法求解即可. 【详解】对于A，当与重合时，截面为矩形；当与重合时，截面为三角形，A错误； 对于B，为底面的中心，所以， 因为，所以与确定平面， 又为线段的中点，所以、、、四点共面于平面，B正确； 对于C，正方体中，，则直线与所成角即为直线与所成的角. 当与重合或与重合时，余弦值最大，为， 当为中点时，，此时余弦值最小为0， 故直线与所成角余弦值，C正确； 对于D，正方体中，平面平面， 又是棱上动点，为线段的中点，所以点到平面的距离恒为， 所以（定值），D正确. 11. 某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的统计图表如下（条形图为月累计值，折线图为与上年同月累计值的环比增长率）：下列说法正确的是（ ） A. 该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B. 2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 C. 2025年8月该地区的地方一般公共预算收入超过22亿元 D. 2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数高于20亿元 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，由图表可知，3月的地方一般公共预算收入为（亿元）， 4月的地方一般公共预算收入为（亿元），故A错误； 对于B，由图表可知，2025年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元）， 而2025年9月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 2025年8月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长， 所以2024年8月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），比2025年9月少，故B正确； 对于C，8月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），故C错误； 对于D，由B选项可知，2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 所以2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数为（亿元），故D正确. 三、填空题 12. 某汽车4店欲通过分层随机抽样了解、、三个小区居民对新能源汽车的购买意愿．已知这三个小区的人口分别为1200人、800人、500人，若总样本量为100人，则应从小区抽取_________人． 【答案】20 【解析】 【分析】根据分层抽样计算求解. 【详解】4店欲通过分层随机抽样了解、、三个小区居民对新能源汽车的购买意愿． 这三个小区的人口分别为1200人、800人、500人， 若总样本量为100人，则应从小区抽取人． 故答案为：. 13. 已知三个数值的方差是1，对任意的最小值是_____ . 【答案】3 【解析】 【分析】利用方差的定义转化已知条件为，目标多项式利用二次函数的性质求最小值. 【详解】设三个数的平均值为， 则方差，则有， ， 由二次函数的性质可知，当，即时取最小值， 最小值为. 14. 已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据球的体积得出球的半径，由正三棱锥的对称性得出球心的位置，然后由勾股定理，列方程组求解. 【详解】由球的体积公式，，解得， 设的外心为，连接， 由题意知为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心在上， 不妨设在线段上，连接， 设的边长为，由正弦定理可得，， 再设，由题知，， 解得（负值表示球心在线段的延长线上，实际情况如右图）， 所以， 由三角形面积公式，. 四、解答题 15. 已知向量， （1）求； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)先求出的坐标再计算其模长； (2)先表示出向量的坐标，再根据向量垂直则其数量积为零去计算即可. 【小问1详解】 ，； 【小问2详解】 ， ，因为， 所以， 即. 16. 为了提高市民的环保意识，某市举行了环保知识竞赛，为了解全市参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取了100人的成绩（均为整数）作为样本，将其整理后分为6组，并作出了如图所示的频率分布直方图（最低40分，最高100分）． （1）求a的值； （2）从频率分布直方图中，估计本次竞赛成绩的众数和平均数； （3）认定成绩位于前百分之六十的考生为良好，请你估计良好认定的分数线是多少．（保留整数） 【答案】（1） （2）众数为65分，平均数为71.8分 （3）68分 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中，所有直方图面积之和为1，可求出的值； （2）根据众数和平均数的定义求解即可； （3）根据频率分布直方图计算出第40百分位数，即可得出结果. 【小问1详解】 在频率分布直方图中，所有直方图面积之和为1， 可得，解得， 【小问2详解】 估计本次竞赛成绩的众数为分， 估计本次竞赛成绩的平均数为 分. 【小问3详解】 由题意，成绩位于前百分之六十的考生为良好，则良好认定的分数线是第40百分位数， 前两个矩形面积之和为， 前三个矩形面积之和为， 设第40百分位数为，则， 则，解得， 因此，估计良好认定的分数线为68分. 17. 如图，已知等腰梯形ABCD中，，，E是BC的中点，，将沿着AE翻折成，使平面 （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求CP的长；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明：因为在等腰梯形ABCD中， ，，E是BC的中点， 所以四边形ABED为菱形，所以， 又，所以，， 又，平面， 所以平面； （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）根据等腰梯形的特征利用线面垂直的判定定理即可得出证明； （2）利用线面垂直的性质定理可得即为二面角的平面角，可得其大小为； （3）假设条件成立，然后根据线面平行的性质以及已知条件，求出点P的具体位置，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面AECD，平面AECD，可得； 易知，，所以； 又，，平面， 所以平面，又平面， 所以，又， 所以即为二面角的平面角， 在直角三角形中，， 所以， 所以； 【小问3详解】 假设线段上是否存在点P，使得平面， 过点P作交于Q，连接MP，AQ，如下图所示： 所以，即可得A，M，P，Q四点共面， 又因为平面，平面平面， 平面，所以， 所以四边形AMPQ为平行四边形，所以，点P为的中点； 故在线段上存在点P，使得平面，且， 易知为正三角形，且，所以， 由勾股定理可得， 所以， 所以 18. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足，点D在上，平分内角A． （1）求的值； （2）若，，求的面积； （3）若，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2）6 （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换可得，可求的值； （2）由内角平分线性质可求得，进而在，中，利用余弦定理可求得，进而可求的面积； （3）设，由，可求得，进而可求实数k的取值范围. 【小问1详解】 由，结合正弦定理可得， 所以，所以， 所以，由正弦定理可得，所以； 【小问2详解】 因为平分内角A，所以， 又，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以， 在中，由余弦定理可得， 所以， 又， 所以，所以，所以，， 又， 所以是直角三角形，且， 所以，又， 所以； 【小问3详解】 设， 因为， 所以， 若，则， 又，即 所以， 又，所以， 所以. 所以实数k的取值范围为． 19. 已知函数（，，）的部分图象如图所示． （1）将的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向上平移两个单位长度得到函数．求函数的解析式与对称中心． （2）已知（），求的值． （3）已知，高2024级数学节利用函数进行了一个棋盘游戏：有一个的正方形棋盘，开始时将一颗棋子置于左下角（棋盘最左边的边界线与最下边的边界线的交点），每走一步移动1格，且在第n（，）步时，若，则将棋子向上前进一步，否则将棋子向右前进一步，棋子走到棋盘最右边的边界线或最上边的边界线时停止，若棋子停在棋盘最上边的边界线，求实数λ的取值范围． 【答案】（1）；对称中心： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据函数图象求出，得到，利用函数图象的平移伸缩变换，可得，利用正弦函数的对称中心即可求得答案； （2）由条件可得，借助于，可推得，求出，利用二倍角公式和降幂公式化简所求式，得到，再利用差角的正弦公式，即可计算得到； （3）先求出，推理得到，即得棋子的移动周期为4，计算比较得到依题意需使中至少有3个大于或等于，或者中只有2个大于或等于，棋子落在右上角也符合题意，从而求得的范围. 【小问1详解】 由图可得，函数的周期满足，即，， 又函数的图象经过点，则有， 即， 解得，因，则，故. 依题意，将的图象向右平移个单位长度，可得， 再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，即得， 再向上平移两个单位长度得到函数. 由，即，故函数的对称中心为. 【小问2详解】 由，可得， 因，则，则， 又，故，则， 则. 则 ， 因， 则有. 【小问3详解】 ， 则，即，即棋子的移动周期为4， 因， 由正弦函数的单调性，可得. 若中至少有3个大于或等于， 符合题意，此时由可得； 若中只有2个大于或等于，则棋子落在右上角也符合题意， 故，解得. 综上，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁寿一中南校区2028届高一下学期期末测试 数学试卷 2026-6-29 一、单选题 1. 设复数，则z的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知某弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是（ ） A. 振幅是2，初相是 B. 振幅是，初相是 C. 振幅是，初相是 D. 振幅是2，初相是 3. 关于向量，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知一组数据：4，6，，10，12，14的平均数为9，则这组数据的第60百分位数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 5. 如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，且，则的边（   ） A. 1 B. C. D. 3 6. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥表面积为（ ） A. B. C. D. 8. （ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. 若， B. C. 若，则 D. 若，则 10. 在棱长为1的正方体中，为底面的中心，是棱上动点，为线段的中点，下列命题正确的是（ ） A. 过、、三点的平面截正方体所得截面是梯形 B. 四点共面 C. 直线与所成角余弦值 D. 三棱锥的体积是定值 11. 某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的统计图表如下（条形图为月累计值，折线图为与上年同月累计值的环比增长率）：下列说法正确的是（ ） A. 该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B. 2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 C. 2025年8月该地区的地方一般公共预算收入超过22亿元 D. 2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数高于20亿元 三、填空题 12. 某汽车4店欲通过分层随机抽样了解、、三个小区居民对新能源汽车的购买意愿．已知这三个小区的人口分别为1200人、800人、500人，若总样本量为100人，则应从小区抽取_________人． 13. 已知三个数值的方差是1，对任意的最小值是_____ . 14. 已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________． 四、解答题 15. 已知向量， （1）求； （2）若，求实数的值． 16. 为了提高市民的环保意识，某市举行了环保知识竞赛，为了解全市参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取了100人的成绩（均为整数）作为样本，将其整理后分为6组，并作出了如图所示的频率分布直方图（最低40分，最高100分）． （1）求a的值； （2）从频率分布直方图中，估计本次竞赛成绩的众数和平均数； （3）认定成绩位于前百分之六十的考生为良好，请你估计良好认定的分数线是多少．（保留整数） 17. 如图，已知等腰梯形ABCD中，，，E是BC的中点，，将沿着AE翻折成，使平面 （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求CP的长；若不存在，说明理由. 18. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足，点D在上，平分内角A． （1）求的值； （2）若，，求的面积； （3）若，求实数k的取值范围． 19. 已知函数（，，）的部分图象如图所示． （1）将的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向上平移两个单位长度得到函数．求函数的解析式与对称中心． （2）已知（），求的值． （3）已知，高2024级数学节利用函数进行了一个棋盘游戏：有一个的正方形棋盘，开始时将一颗棋子置于左下角（棋盘最左边的边界线与最下边的边界线的交点），每走一步移动1格，且在第n（，）步时，若，则将棋子向上前进一步，否则将棋子向右前进一步，棋子走到棋盘最右边的边界线或最上边的边界线时停止，若棋子停在棋盘最上边的边界线，求实数λ的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $