四川省仁寿第一中学校南校区2025-2026学年高一下学期数学期末质量检测模拟三

**基本信息** 覆盖统计、复数、立体几何等高一核心模块，通过蓝洞测量情境、折叠体外接球等问题设计，考查空间观念与数据意识，适配期末综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|中位数、共轭复数、异面直线|第7题蓝洞测量结合解三角形，体现应用意识| |填空题|3题15分|直观图面积、70%分位数、折叠体外接球|第14题折叠问题综合空间想象与运算能力| |解答题|5题77分|四点共面证明、向量夹角、四棱锥线面角|第19题正方形动态问题，考查推理能力与模型意识|

仁寿一中南校区2025级高一期末质量检测模拟三（数学） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知一组数据12，10，8，15，6，8，这组数据的中位数是（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 2. 设i是虚数单位，在复平面内复数的共轭复数对应的点位于第（ ）象限． A.一 B. 二 C. 三 D.四 3.某中学高中部有高一、高二、高三三个年级，其中高一与高二年级学生共有2800人，从所有高中学生中按照年级人数比例用分层随机抽样法抽取45人，其中高三年级抽取10人，则该中学高三年级学生人数为（ ） A. 1600 B. 1400 C. 1200 D. 800 4.已知a，b为异面直线， ， 为两个不同的平面，且，，则下列说法正确的是（     ） A．对于任意一点O，都存在过点O的平面与a，b都平行 B．对于任意一点O，不存在过点O的直线与a，b都垂直 C．若，，则 D．若，则 5.已知向量，满足，，，则在上的投影向量为 A． B． C． D． 6.数据的平均数为，方差，现在增加两个数据 和，则这组新数据的标准差为（ ） A. B. C. D. 7.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象．若要测量如图所示的蓝洞的口径，即两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，，，，则两点间的距离为（ ） A. 80 B. C. 160 D. 8.如图，为圆锥底面直径，点是底面圆上异于的动点，已知，圆锥侧面展开图是圆心角为的扇形，当与所成角为时，与所成角为（ ） A. B. C. D. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 设方程的两根在复平面内对应的点分别是，则（ ） A. 的实部为1 B. 关于轴对称 C. D. 10.（源于必修一）下列正确的是（ ） A. B. ，，则 C. 在中，，则的值为. D. ＝2 11.定义两个非零平面向量的一种新运算，，其中，表示，的夹角，则对于两个非零平面向量，，下列结论一定成立的有　　 A．在方向上的投影为， B． C． D．若，则与平行 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 如图，是水平放置的 用斜二测画法画出的直观图，其中，则 的面积是 13.将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：7，8，13，15，17，18，18，，25，27，若该组数据的70%分位数是19，则__________. 14.在边长为4的正方形ABCD中，如图1所示，E，F，M分别为BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把和折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥，如图2所示，则三棱锥外接球的表面积是_________；过点M的平面截三棱锥外接球所得截面的面积的取值范围是_________． 4. 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分）已知，且, (Ⅰ)求的值； （Ⅱ）求. 16.（本小题满分15分）如图，在正方体中，，， 分别为棱，，的中点. （1）求证：四点共面. （2）设平面平面，求证：. 17.（本小题满分15分）已知向量，满足 ， ，且，的夹角为. （1）求； （2）若，求实数 的值； （3）若向量与向量的夹角为锐角求实数的取值范围. 18．（本小题满分17分）如图，四棱锥 中， 平面，，，E为 的中点，点F在棱 上，直线和直线相交. （1）求证： ； （2）若， ，. （i）证明：平面 ； （ii）求直线 与平面所成的角. 19（本小题满分17分）.如图，正方形的边长为分别为边上的点. (1)当时，求的值； (2)当的周长为2时， （i）求的大小： （ii）设为的面积，求的最小值. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁寿一中南校区2025级高一期末质量检测模拟三（数学） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知一组数据12，10，8，15，6，8，这组数据的中位数是（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【知识点】计算几个数的中位数 【详解】将这组数据从小到大排列为6，8，8，10，12，15，中间的两个数为8和10， 则中位数为. 2. 设i是虚数单位，在复平面内复数的共轭复数对应的点位于第（ ）象限． A.一 B. 二 C. 三 D.四 【答案】D 【解析】由， 其共轭复数为，在复平面内对应的点为，位于第四象限． 3.某中学高中部有高一、高二、高三三个年级，其中高一与高二年级学生共有2800人，从所有高中学生中按照年级人数比例用分层随机抽样法抽取45人，其中高三年级抽取10人，则该中学高三年级学生人数为（ ） A. 1600 B. 1400 C. 1200 D. 800 【答案】D 【解析】从所有高中学生中抽取45人，其中高三年级抽取10人，则高一、高二年级共抽取35人，设高三年级学生人数为x，则，解得. 故选：D. 4.已知a，b为异面直线， ， 为两个不同的平面，且，，则下列说法正确的是（     ） A．对于任意一点O，都存在过点O的平面与a，b都平行 B．对于任意一点O，不存在过点O的直线与a，b都垂直 C．若，，则 D．若，则 【答案】C 【解析】A选项，若，，则或，与矛盾，所以A选项错误. B选项，如图所示，过上一点，作，则确定一个平面，设这个平面为， 对任意一点，都可以作平面的一条垂线，设垂线为，则, 所以，所以B选项不正确.    C选项，假设平面，由，得；由，得， 推得，与为异面直线矛盾，故无交线，即，C正确. D选项，构造反例：取平面，在内作直线，内作直线，令，此时两平面平行不垂直，故D错误. 5.已知向量，满足，，，则在上的投影向量为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在上的投影向量为. 6.数据的平均数为，方差，现在增加两个数据 和，则这组新数据的标准差为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】数据的平均数为，方差即， 则数据， ，的平均数为方差 标准差为． 故选B． 7.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象．若要测量如图所示的蓝洞的口径，即两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，，，，则两点间的距离为（ ） A. 80 B. C. 160 D. 【答案】D 【解析】因为，， 所以，，所以， 又因为，所以， 在中，由正弦定理得，所以， 在中，由余弦定理得 ， 所以. 故选：D. 8.如图，为圆锥底面直径，点是底面圆上异于的动点，已知，圆锥侧面展开图是圆心角为的扇形，当与所成角为时，与所成角为（ ） A. B. C. D. 【解析】 设圆锥母线长为，则，解得， ，与所成角， ， 中，作与圆交于点， 连接，四边形为平行四边形，， 连接，则为与所成角， 中，可得， ，故选：C. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 设方程的两根在复平面内对应的点分别是，则（ ） A. 的实部为1 B. 关于轴对称 C. D. 【答案】BCD 【解析】由实系数一元二次方程求根公式知： 方程的两根为， 则，所以的实部为0，故A错误； 在复平面内对应的点分别是， 他们关于轴对称，故B正确； 由得， 即，故C正确； 由得 ，故D正确. 故选：BCD 10.（源于必修一）下列正确的是（ ） A. B. ，，则 C. 在中，，则的值为. D. ＝2 【解析】A：. 故A正确； B：因为，， 所以，， 上述两式相加得 即解得故B错误； C：且A,B为的内角， . 当时，， ，不合题意，舍去，， . D：＝．故D正确．故选AD. 11.定义两个非零平面向量的一种新运算，，其中，表示，的夹角，则对于两个非零平面向量，，下列结论一定成立的有　　 A．在方向上的投影为， B． C． D．若，则与平行 【解析】①对于，在方向上的投影为，，故选项错误， ②对于，，，，故正确， ③对于选项，，，，， 当时，不成立，故选项错误， ④由，所以，，所以，，即与平行，故选项正确，综合①②③④得：故选：． 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 如图，是水平放置的 用斜二测画法画出的直观图，其中，则 的面积是 【答案】4 【解析】由题可知原图 中，，， ， 所以 的面积为． 13.将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：7，8，13，15，17，18，18，，25，27，若该组数据的70%分位数是19，则__________. 【答案】20 【解析】由，得的70%分位数为，所以. 14.在边长为4的正方形ABCD中，如图1所示，E，F，M分别为BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把和折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥，如图2所示，则三棱锥外接球的表面积是_________；过点M的平面截三棱锥外接球所得截面的面积的取值范围是_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】由题意，将三棱锥补形为边长为2，2，4长方体，如图所示： 三棱锥外接球即为补形后长方体的外接球，所以外接球的直径， 所以三棱锥外接球的表面积为， 过点的平面截三棱锥的外接球所得截面为圆，其中最大截面为过球心的大圆，此时截面圆的面积为， 最小截面为过点垂直于球心与连线的圆，此时截面圆半径（其中MN长度为长方体前后面对角线长度），故截面圆的面积为，所以过点的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的取值范围为．故答案为：; 4. 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分）已知，且, (Ⅰ)求的值； （Ⅱ）求. 【解析】（Ⅰ）由，得 ∴，于是 （Ⅱ）由，得 又∵，∴ 由得： 所以． 16.（本小题满分15分）如图，在正方体中，，， 分别为棱，，的中点. （1）求证：四点共面. （2）设平面平面，求证：. 【解析】（1）因为分别是​的中点，所以是​的中位线，得​. 在正方体中，且，所以四边形是平行四边形，得， 因此由平行公理得，两条平行直线确定唯一平面， 所以共面，故四点共面. （2）由（1）分析知​，平面，平面​， 所以平面. 又平面，平面平面， 根据线面平行的性质定理，得，结合（1）中，得. 17.（本小题满分15分）已知向量，满足 ， ，且，的夹角为. （1）求； （2）若，求实数 的值； （3）若向量与向量的夹角为锐角求实数的取值范围. 【答案】（1）2 （2） （3）或 【解析】（1）， 则； （2）， ，解得； （3）向量与向量的夹角为锐角， ，解得或， 又无解，即向量与向量不共线， 故实数的取值范围为或． 18．（本小题满分17分）如图，四棱锥 中， 平面，，，E为 的中点，点F在棱 上，直线和直线相交. （1）求证： ； （2）若， ，. （i）证明：平面 ； （ii）求直线 与平面所成的角. 【解析】（1）直线和直线相交，故四点共面， 四棱锥 中， ，平面， 平面，故平面， 因为平面平面，平面，故 . （2）（i）， ，故， 故，所以，故， 因为 平面，平面， 故，且，平面 ，故平面 . （ii）因为 ，E为 的中点，故F为 的中点，且， 故，因为平面 ，平面 ， 故，且，平面， 故平面，故是直线 与平面所成的角， 因为，，所以 所以即， 故直线 与平面所成的角为. 19（本小题满分17分）.如图，正方形的边长为分别为边上的点. (1)当时，求的值； (2)当的周长为2时， （i）求的大小： （ii）设为的面积，求的最小值. 【解析】（1）因为正方形的边长为，，则， 所以，， ，则， 所以，则. （2）（i）设线段、的长度分别为、，， 因为正方形的边长为，则，，因为的周长为，所以， 则由勾股定理得，即， 又因为，，则 因为，所以，所以. （ii）由（i）知，设，， 则，，， ， 因为，所以，则，则，则， 所以，所以的面积的最小值为. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $