第19讲 正多边形与圆（暑假预习）2026-2027学年人教版九年级数学上册

第19讲 正多边形与圆 （8大考点4大题型） 学习目标 1.掌握正多边形定义，正多边形的外接圆与内切圆以及相关角度、边的计算。 2.掌握正六边形、正方形、正三角形的内切圆、外接圆图形，及相应边长关系，能用勾股定理求解。(重点） 3.能识别正多边行的对称性. 考点整理 一、基础概念考点 1. 定义 · 正多边形：各边相等、各内角相等的多边形。 易错点：仅四边相等≠正方形（菱形内角不等）；仅四角相等≠正方形（矩形边长不等）。 · 正多边形的外接圆：经过正多边形所有顶点的圆，圆心叫中心，半径叫外接半径 R。 · 内切圆：与正多边形各边都相切的圆，半径叫边心距 r（中心到一边的垂直距离）。 2. 5 个关键元素 · 中心：外接圆圆心 · 半径 R：中心→顶点 · 边心距 r：中心→边（内切圆半径） · 中心角：相邻两条半径的夹角 · 边长 a：正多边形一条边 二、必考角度计算公式 设边数为 n(n≥3，整数) （1） 中心角 （2） 正多边形内角： （3） 外角：（正多边形外角 = 中心角） （4） 内角 + 外角 =180 三、核心直角三角形模型（计算重中之重） 过中心作一条边的垂线，连接两个相邻顶点，分割出全等直角三角形： 斜边 = 外接半径 R 一条直角边 = 边心距 r 另一条直角边 = （边长一半） 锐角 = 中心角 = 勾股定理恒成立： 常用特殊正多边形数值（直接背） · 正六边形（n=6） 中心角 = 60°，由 6 个等边三角形组成，， · 正方形（n=4） 中心角 = 90°，， · 正三角形（n=3） 中心角 = 120°，， 四、周长与面积公式 (1) 周长： (2) 面积：正多边形可拆成 n 个全等等腰三角形 文字记忆：面积 =二分之一× 周长 × 边心距 五、正多边形与圆的作图考点 (1) 等分圆周作正多边形 · 正六边形：圆规截取半径六等分圆周 · 正三角形：隔一个等分点连接正六边形顶点 · 正方形：作互相垂直两条直径，顺次连接端点 (2) 作图原理：相等圆心角对等弦，等分弧→等分弦→正多边形 六、对称性高频考点 · 轴对称：正n边形有n条对称轴，每条过中心和一个顶点 / 一条边中点 · 中心对称：仅当n为偶数时，是中心对称图形，对称中心为外接圆圆心 例：正五边形无中心对称；正六、正方形有中心对称 七、易混易错点总结 (1) 任意多边形都有外接圆 （×，这句话错误）；只有正多边形一定同时有外接圆、内切圆，且同心圆 (2) 各边相等多边形不一定是正多边形（菱形）；各角相等也不一定（矩形） (3) 中心角 = 外角，不等于内角 (4) 边心距是内切圆半径，永远小于外接半径 (5) 奇数边正多边形无中心对称 八、中考常用二级结论 · 同圆内，边数越多：边长越小、边心距越大、面积越接近圆面积 · 正六边形内接于圆，边长等于圆半径 · 同一个正多边形，外接圆半径 R > 边心距 r 题型归纳 【题型1 求正多边形的中心角】 1．如图，用单位长度为的数轴测量正十二边形的对角线的长时，顶点，恰好分别与数轴上的和2对齐，则对角线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴可得，取正十二边形的外接圆圆心O，连接，根据正十二边形的性质证明是等边三角形，，，再解直角三角形即可求解． 【详解】解：∵顶点，恰好分别与数轴上的和2对齐， ∴， 取正十二边形的外接圆圆心O，连接， 正十二边形的外接圆中，每个边对应的中心角为， ∴， ∴，即点共线， ∵， ∴，，是等边三角形， ∴，， ∴． 2．下列图形是由圆及其内接正多边形组成的，将其绕圆心旋转后，能与原图形完全重合的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正多边形的旋转对称性，正边形绕中心旋转的整数倍能与自身重合，分别计算各选项图形的最小旋转角进行判断即可． 【详解】解：A． 正三角形，，最小旋转角为，不是的整数倍，不能重合； B． 正方形，，最小旋转角为，是的整数倍，能重合； C． 正五边形，，最小旋转角为，不是的整数倍，不能重合； D． 正六边形，，最小旋转角为，不是的整数倍，不能重合． 3．如图1为传统建筑中的一种窗格，图2为窗框的示意图，多边形为正六边形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正六边形的中心为，连接，由正多边形的性质，得到，，则，再根据三角形外角的性质求解即可. 【详解】解：设正六边形的中心为，连接， 则，， ∴， ∴. 4．正方形的中心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形中心角的计算． 利用正n边形中心角的计算方法，代入正方形边数即可求出结果． 【详解】解：∵正边形所有中心角的和为，每个中心角的度数为， 又∵正方形是边数的正多边形， ∴正方形中心角的度数为． 【题型2 已知正多边形的中心角求边数】 5．如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 【答案】B 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴ ∵弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形的边数为， 即该正多边形为正六边形 6．如图，点为一个正多边形的部分顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】如图：连接，根据题意求得，根据周角为，即可求得正多边形的边数． 【详解】解：如图：连接， ∵点为正多边形的中心，， ∴， ∴， ∴这个正多边形的边数为9，即选项B符合题意． 7．如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，求出中心角的度数是解题的关键．连接，，由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得解． 【详解】解：如图，连接，， ， ， 是的内接正边形的一边，   ． 故选：C． 8．若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的边数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用正多边形中心角与边长的关系，当正多边形的边长与外接圆半径相等时，中心角对应的三角形为等边三角形，中心角为，从而边数为，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设正多边形中心为，相邻顶点，（外接圆半径），（边长），且， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴正多边形的边数， 故选：． 【题型3 正多边形与圆的综合】 9．如图，一个正多边形中心点为正多边形的中心，，若，则这个正多边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于，根据正多边形的性质得出，根据圆周角定理得出，根据含角的直角三角形的性质得出，根据正多边形所有中心角和为，得出该正多边形为正十二边形，根据正十二边形的面积为即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过点作于， ∵是正多边形的中心， 、都是正多边形外接圆的半径，、是正多边形的相邻顶点，在外接圆上， ， ，和是外接圆的圆心角和圆周角， ， ∴， 正多边形所有中心角和为， 正多边形的边数为，即该正多边形为正十二边形， ， 正十二边形的面积为． 10．如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 11．如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正六边形的性质得出正六边形可以分成面积相等的6个等边三边形，过点O作，则，根据勾股定理求出，求出，进而可得出正六边形的面积，最后根据正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果． 【详解】解：正六边形如下图： ，又， ∴是等边三角形， 同理可知：正六边形可以分成面积相等的6个等边三角形， 过点O作， 则， ∴， ∴， 正六边形的面积为：， 六个小半圆的面积为：，中间大圆的面积为：， 所以阴影部分的面积为：． 12．如图，在边长为6的正六边形中，以点为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【分析】先求出正六边形的一个内角的度数，进而求出扇形的圆心角的度数，过点作，求出的长，再利用圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可． 【详解】解：∵正六边形， ∴，， ∴，， ∴， 过点作于点，则：， 设圆锥的底面圆的半径为，则：， ∴． 【题型4 尺规作图---正多边形】 13．按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，正方形的判定与性质，三角形的外角性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．由作图可推出四边形是正方形，，得到，，再根据三角形的外角性质可得，最后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：由作图可得，，，， 四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， 故选：A． 14．在下列图中，请仅用圆规和无刻度的直尺分别按要求画出圆的内接正多边形（保留画图痕迹，不写画法）． (1)正三角形 (2)正方形 (3)正六边形 (4)正八边形 【答案】（1）作图见解析;（2）作图见解析;（3）作图见解析;（4）作图见解析 【分析】本题要求使用圆规和无刻度的直尺画出圆的内接正多边形，包括正三角形、正方形、正六边形和正八边 形．作图的思路是：把圆分成等份，顺次连接各顶点，就得到正边形． 【详解】（1）解：选择圆上任意一点作为正三角形的一个顶点，以这个顶点为圆心，以圆的半径为半径画弧，与圆交于 两点，这两点即为正三角形的另外两个顶点，连接这三个点即可得到正三角形．如图所示，（画法不唯一）正三角形为所求． （2）解：画出圆的两条互相垂直的直径，它们的交点即为圆心，这两条直径将圆周分成四等份，连接这四个点 即可得到正方形． 如图所示，正方形为所求． （3）解：选择圆上任意一点作为正六边形的一个顶点，以这个顶点为圆心，以圆的半径为半径画弧，与圆交于 一点，重复这个过程，直到找到六个顶点，连接这 六个点即可得到正六边形．如图所示，正六边形为所求． （4）解：画出圆的两条互相垂直的直径，它们的交点即为圆心，以圆心为圆心，以圆的半径为半径画圆，与这两条直径交于四点，以这四点为圆心，以圆的半径 为半径画弧，与圆交于另外四点，连接这八个点即可得到正八边形． 如图所示，正八边形为所求． 【点睛】本题考查了作圆内接正多边形，解题的关键在于理解正多边形顶点在圆周上均匀分布的特性，并利用圆规和直尺进行作图． 15．用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径． 步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D． 步骤二：以为半径，在上依次截取． 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形． 动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹． 【答案】如图所示，七边形即为所求． 【详解】略 16．阅读与思考 尺规作图 一把直尺，一副圆规，就能开启奇妙的几何之旅．五种基本尺规作图，是构建万千图形的“钥匙”．不仅能完成严谨的几何证明与图形绘制，还能设计出对称精美的几何图案． 正方形内嵌正八边形，就是其中极具代表性的经典图案．如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．你能用尺规作出图1或图2中正方形的内嵌正八边形吗？ 初步分析：从整体特征与元素特征两个角度回顾正八边形的性质． （1）整体特征：具有轴对称性和旋转对称性． （2）元素特征：各边相等，各角相等且都等于． 深入分析：以图2正方形内嵌正八边形为例，如图3，连接，，，，发现的结论如下： （1），，，分别是正方形各边的中点； （2）是顶角为，底角为的等腰三角形； （3）中，； （4）___________________________． 动手作图：利用作垂直平分线和角平分线的方法作图 （1）如图4，作边，的垂直平分线，分别交，，，于点，，，； （2）分别作和的角平分线，交于点；利用旋转对称性作出点，，； （3）顺次连接这八个点． ∴八边形为正方形的内嵌正八边形． 任务： (1)请根据“深入分析”中的条件，写出一条你发现的结论______________． (2)类比研究图2正方形内嵌正八边形的方法，如图5，连接，，交于点．线段是否与线段相等，请说明理由． (3)请根据你发现的几何结论，换一种尺规作图方式，在正方形中作出其内嵌正八边形（不写作图步骤，保留作图痕迹）． 【答案】(1)（答案不唯一，合理即可） (2)． 理由如下： ∵正八边形的内角和是， ∴， ∴，， ∴． ∵四边形是正方形， ∴． ∵八边形是正八边形， ∴． 在与中， ∴， ∴． 设． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴，． 在中，， ∴， ∴． ∴． (3)如图，八边形即为所作．（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）根据点，由旋转对称性作图得到，得出，即可求解． （2）根据多边形内角和定理求得，进而可得，根据四边形是正方形，得出，根据正八边形得出，证明得出，设，解直角三角形得出，则在中，根据，得出，即可证明． （3）根据正方形的性质和正八边形的定义进行作图即可． 【详解】（1）解：（答案不唯一，合理即可） ∵，且点，由旋转对称性作图得到， ∴对角线经过正方形内嵌正八边形的顶点和， ∴． （2）略 （3）略 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲 正多边形与圆 （8大考点4大题型） 学习目标 1.掌握正多边形定义，正多边形的外接圆与内切圆以及相关角度、边的计算。 2.掌握正六边形、正方形、正三角形的内切圆、外接圆图形，及相应边长关系，能用勾股定理求解。(重点） 3.能识别正多边行的对称性. 考点整理 一、基础概念考点 1. 定义 · 正多边形：各边相等、各内角相等的多边形。 易错点：仅四边相等≠正方形（菱形内角不等）；仅四角相等≠正方形（矩形边长不等）。 · 正多边形的外接圆：经过正多边形所有顶点的圆，圆心叫中心，半径叫外接半径 R。 · 内切圆：与正多边形各边都相切的圆，半径叫边心距 r（中心到一边的垂直距离）。 2. 5 个关键元素 · 中心：外接圆圆心 · 半径 R：中心→顶点 · 边心距 r：中心→边（内切圆半径） · 中心角：相邻两条半径的夹角 · 边长 a：正多边形一条边 二、必考角度计算公式 设边数为 n(n≥3，整数) （1） 中心角 （2） 正多边形内角： （3） 外角：（正多边形外角 = 中心角） （4） 内角 + 外角 =180 三、核心直角三角形模型（计算重中之重） 过中心作一条边的垂线，连接两个相邻顶点，分割出全等直角三角形： 斜边 = 外接半径 R 一条直角边 = 边心距 r 另一条直角边 = （边长一半） 锐角 = 中心角 = 勾股定理恒成立： 常用特殊正多边形数值（直接背） · 正六边形（n=6） 中心角 = 60°，由 6 个等边三角形组成，， · 正方形（n=4） 中心角 = 90°，， · 正三角形（n=3） 中心角 = 120°，， 四、周长与面积公式 (1) 周长： (2) 面积：正多边形可拆成 n 个全等等腰三角形 文字记忆：面积 =二分之一× 周长 × 边心距 五、正多边形与圆的作图考点 (1) 等分圆周作正多边形 · 正六边形：圆规截取半径六等分圆周 · 正三角形：隔一个等分点连接正六边形顶点 · 正方形：作互相垂直两条直径，顺次连接端点 (2) 作图原理：相等圆心角对等弦，等分弧→等分弦→正多边形 六、对称性高频考点 · 轴对称：正n边形有n条对称轴，每条过中心和一个顶点 / 一条边中点 · 中心对称：仅当n为偶数时，是中心对称图形，对称中心为外接圆圆心 例：正五边形无中心对称；正六、正方形有中心对称 七、易混易错点总结 (1) 任意多边形都有外接圆 （×，这句话错误）；只有正多边形一定同时有外接圆、内切圆，且同心圆 (2) 各边相等多边形不一定是正多边形（菱形）；各角相等也不一定（矩形） (3) 中心角 = 外角，不等于内角 (4) 边心距是内切圆半径，永远小于外接半径 (5) 奇数边正多边形无中心对称 八、中考常用二级结论 · 同圆内，边数越多：边长越小、边心距越大、面积越接近圆面积 · 正六边形内接于圆，边长等于圆半径 · 同一个正多边形，外接圆半径 R > 边心距 r 题型归纳 【题型1 求正多边形的中心角】 1．如图，用单位长度为的数轴测量正十二边形的对角线的长时，顶点，恰好分别与数轴上的和2对齐，则对角线的长为（    ） A． B． C． D． 2．下列图形是由圆及其内接正多边形组成的，将其绕圆心旋转后，能与原图形完全重合的是（     ） A．B． C． D． 3．如图1为传统建筑中的一种窗格，图2为窗框的示意图，多边形为正六边形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．正方形的中心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型2 已知正多边形的中心角求边数】 5．如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 6．如图，点为一个正多边形的部分顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．6 B．9 C．10 D．12 7．如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的边数为（   ） A． B． C． D． 【题型3 正多边形与圆的综合】 9．如图，一个正多边形中心点为正多边形的中心，，若，则这个正多边形的面积为（     ） A． B． C． D． 10．如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（     ） A． B． C． D． 12．如图，在边长为6的正六边形中，以点为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（    ） A．1 B． C． D．3 【题型4 尺规作图---正多边形】 13．按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 14．在下列图中，请仅用圆规和无刻度的直尺分别按要求画出圆的内接正多边形（保留画图痕迹，不写画法）． (1)正三角形 (2)正方形 (3)正六边形 (4)正八边形 15．用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径． 步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D． 步骤二：以为半径，在上依次截取． 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形． 动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹． 16．阅读与思考 尺规作图 一把直尺，一副圆规，就能开启奇妙的几何之旅．五种基本尺规作图，是构建万千图形的“钥匙”．不仅能完成严谨的几何证明与图形绘制，还能设计出对称精美的几何图案． 正方形内嵌正八边形，就是其中极具代表性的经典图案．如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．你能用尺规作出图1或图2中正方形的内嵌正八边形吗？ 初步分析：从整体特征与元素特征两个角度回顾正八边形的性质． （1）整体特征：具有轴对称性和旋转对称性． （2）元素特征：各边相等，各角相等且都等于． 深入分析：以图2正方形内嵌正八边形为例，如图3，连接，，，，发现的结论如下： （1），，，分别是正方形各边的中点； （2）是顶角为，底角为的等腰三角形； （3）中，； （4）___________________________． 动手作图：利用作垂直平分线和角平分线的方法作图 （1）如图4，作边，的垂直平分线，分别交，，，于点，，，； （2）分别作和的角平分线，交于点；利用旋转对称性作出点，，； （3）顺次连接这八个点． ∴八边形为正方形的内嵌正八边形． 任务： (1)请根据“深入分析”中的条件，写出一条你发现的结论______________． (2)类比研究图2正方形内嵌正八边形的方法，如图5，连接，，交于点．线段是否与线段相等，请说明理由． (3)请根据你发现的几何结论，换一种尺规作图方式，在正方形中作出其内嵌正八边形（不写作图步骤，保留作图痕迹）． 学科网（北京）股份有限公司 $