第03讲 实际问题与一元二次方程 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第03讲 实际问题与一元二次方程 目录 知识点1 一元二次方程解应用题通用步骤（必考） 2 知识点2 应用题核心取舍规则 2 知识点3 常见通用模型公式 2 题型1 传播问题 2 题型2 增长率问题 3 题型3 与图形有关的问题 5 题型4 数字问题 7 题型5 营销问题 8 题型6 动态几何问题 9 题型7 工程问题 11 题型8 行程问题 12 题型9 握手、循环赛问题 13 题型10 其他问题 14 1. 知识目标：掌握利用一元二次方程解决实际问题的通用步骤；熟记传播、增长率、图形、数字、营销、工程、行程等十大常见应用题模型及固定公式。 2. 能力目标：能精准提取题干等量关系，熟练建模列一元二次方程求解；会根据实际场景检验、取舍方程的根，排除不符合题意的增根。 3. 素养目标：建立数学建模思想，提升文字信息转化为数学方程的能力，培养结合实际情境分析、取舍结果的严谨思维。 知识点1 一元二次方程解应用题通用步骤（必考） 1. 审：读懂题意，梳理已知量、未知量、核心等量关系； 2. 设：合理设未知数（直接设、间接设），优先设变化基准量； 3. 列：根据等量关系列出一元二次方程； 4. 解：选择合适解法解方程，求出两个根； 5. 验：双重检验，检验计算正确性、检验根是否符合实际意义； 6. 答：规范作答，舍去负数、超范围、不符合场景的根。 知识点2 应用题核心取舍规则 一元二次方程求解通常有两个根，实际问题中必须取舍：长度、人数、天数、价格、增长率不能为负；数量取值需贴合题干限制条件，不合理根直接舍去。 知识点3 常见通用模型公式 1. 传播裂变模型：初始数量为a，每轮传播x个，n轮后总数： 2. 增长率模型：初始量a，增长率x，增长n次后：；降低率： 3. 循环握手模型：总次数；单循环比赛同理 4. 营销利润模型：总利润=单件利润×销售数量 5. 图形面积模型：利用割补、平移、去空白，列面积等量关系 题型1 传播问题 解题技巧：固定裂变公式，分层分析传播规律。1. 找准初始传染源人数、每轮每人传播人数、传播轮数；2. 套用标准模型：；3. 区分“新增人数”和“总人数”，题干问总数用完整公式，问新增需做差值计算；4. 结果必须为正整数，非整数根直接舍去。 易错点：忽略原有传染源，只计算新增传播人数，导致列式错误。 【典例1】．秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．某人患有甲型流感，经过两轮传染后共有36个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染个人，则根据题意可列方程_____． 【变式2】．某学校机房有150台学生电脑和1台教师电脑，现在教师电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染． (1)每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？ 【变式3】．冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有2人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有128人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ (2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 题型2 增长率问题 解题技巧：三段式建模，精准套用增长/降低公式。1. 找准基准量（期初量）、变化次数、最终量；2. 连续增长：，连续下降：；3. 两年增长题型为考试高频，n=2，直接展开列式；4. 解出增长率后，百分率保留常规小数，负增长率直接舍去。 核心口诀：增长加、降低减，底数基准，指数次数。 【典例2】．某市计划从今年第二季度开始到本年底对全市共285个社区全部实现垃圾分类．已知该市第二季度已有60个社区率先实现垃圾分类，预计第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．某楼盘2020年房价为每平方米8100元，经过两年连续涨价后，2022年房价为每平方米12100元．设该楼盘这两年平均每年房价上涨的百分率为x，根据题意可列方程______ ． 【变式2】．第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． (1)求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； (2)从5月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，已知徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，5月销售利润达8400元？ 【变式3】．项目背景：人工智能的发展为人们的生活与学习带来了诸多便利，初中生也能借助人工智能提升学习效率．为此，综合实践小组的同学们围绕“依托人工智能平台的自主高效学习”开展了项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 依托人工智能平台的自主高效学习 活动内容 选择人工智能平台，开展以问题驱动为核心的高效学习 活动过程 活动1：选择人工智能平台 小组成员搜集到如下资料：学习所使用的智能平台所属公司是一家专注人工智能领域的科技公司，该公司致力于开发先进的大语言模型和生成式技术，平台一经发布，便占据各大手机下载市场下载榜首位．据统计，该平台首日在某下载市场的下载量为万次，第二天、第三天的下载量连续增长，第三天的下载量为万次． 活动2：向人工智能平台提出问题 向平台提出的首个问题：如图，把一根长度为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形的面积之和能否等于？    平台回复的结果： 交流展示 请根据以上的活动报告，解答下列问题： (1)求所使用平台刚发布后的前三天下载量的日平均增长率； (2)请猜想人工智能平台回复的结果是“能”还是“不能”，并说明理由． 题型3 与图形有关的问题 解题技巧：数形结合、割补转化、面积建模。1. 常见场景：道路宽度、边框宽度、草坪面积、裁剪拼接图形；2. 平移技巧：曲折道路统一平移为直路，空白区域合并为规则图形；3. 利用“总面积-空白面积=阴影面积”列等式；4. 设宽度、边长为未知数，结合长方形、正方形面积公式列方程；5. 边长、宽度必须为正数，且小于图形最大边长，超范围根舍去。 【典例3】．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问题：一个矩形长和宽的和为步，面积是平方步，问长比宽多几步？若设长为步，根据题意可列方程是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽x应该满足的方程为_______________________________ 【变式2】．根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 该农户在种植园区种植草莓，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为元，每月可销售的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售草莓．果园每月的承包费为2万元．    (1)解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．若中间种植的面积是，求道路宽度x的值． (2)解决果园种植的预期利润问题（总利润销售利润承包费）．若农户预期一个月该草莓的总利润为万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 【变式3】．阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根． (1)【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是 ．(从序号①②③中选择) (2)【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即( )； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程： ，解得原方程的一个根为 ． (3)【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数 ， ，求得方程的正根为 ． 题型4 数字问题 解题技巧：数位设元、规范表示、平方和差建模。1. 连续数：设中间数或最小数，连续整数、连续奇偶数列式；2. 两位数问题：设十位x、个位y，两位数表示为；3. 根据题干“平方、乘积、和差”等条件列一元二次方程；4. 数位取值限制：十位不为0、个位0-9，严格根据数位规则取舍根。 【典例4】．如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（     ） 豆包 内容由AI生成 有没有这样一个数，先计算它的平方， 然后加上它的3倍，运算结果与这个 数的相反数减4相同． A． B． C． D．1 【变式1】．“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是_________． 【变式2】．已知整数与的平方和可以表示为，现有两个连续的正整数． 【尝试】（1）若这两个连续的正整数中，较小的数是3，计算它们的平方和； 【建模】（2）若这两个连续的正整数的平方和是145，求这两个正整数． 【变式3】．有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为．将该数的十位数字与个位数字调换，所得到的新的两位数与原来的两位数的积为．求原来的两位数． 题型5 营销问题 解题技巧：利润万能公式，锁定单价与销量变化关系。1. 核心公式：总利润＝（售价－进价）×销售量；2. 涨价/降价规律：涨价销量减少，降价销量增加，找准“每涨/降1元，销量变化多少”的比例关系；3. 设涨价或降价金额为x，分别表示出新单价、新销量、单件利润；4. 代入利润公式列方程，结合题干售价上限、销量正数取舍根。 高频坑点：忘记同步更新销量，直接用原销量计算利润。 【典例5】．某文创店销售一种纪念徽章，原定价销售每枚徽章盈利12元，平均每天可售出80枚．市场调研发现：若每枚徽章降价1元，则平均每天可多售出10枚．为了尽快减少库存，店主决定降价促销．销售一段时间后发现，平均日盈利为910元．假设每天售出徽章的数量相同，设每件商品降价x元，依题意可列方程（） A． B． C． D． 【变式1】．山西某品牌老陈醋改进了包装，采用标志性的古建筑作为主视觉元素，直观传递山西地域文化底蕴．某特产店购入的新款包装的老陈醋每瓶进价为40元．市场调查发现，当售价为50元时，平均每天可销售500瓶；售价每上涨1元，平均每天销量减少10瓶．该特产店要想使平均每天销售新包装老陈醋的利润达到8000元，则售价应定为________元． 【变式2】．某批发商以每件70元的价格购进800件T恤，第一个月以单价100元销售，售出了200件，第二个月如果单价不变，预计仍可以售出200件．批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格．第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为60元，设第二个月单价降低元． (1)按要求填表： 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 100 ①__________ 60 销售量（件） 200 ②__________ ③__________ (2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利8750元，那么第二个月的单价应该是多少元？ 【变式3】．漳浦县自发布渔业生态保护相关通告后，本地养殖的黄翅鱼（黄鳍鲷）和石斑鱼在市场上热销，成为不少游客喜爱的伴手礼．2026年端午假期，小福同学旅游到此，并购买了若干黄翅鱼和石斑鱼，他用元买的黄翅鱼的数量比用同样价钱买石斑鱼的数量多斤，且石斑鱼的单价是黄翅鱼的倍． (1)求黄翅鱼、石斑鱼两种鱼的单价分别为多少元/斤； (2)两种鱼在得到一致好评后，小福决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中黄翅鱼按照原单价购买，石斑鱼的单价每斤降低元，则购买的数量会比第一次购买石斑鱼的数量增加斤，第二次一共购买斤鱼共用了元．求的值． 题型6 动态几何问题 解题技巧：动点化静、时间设元、锁定几何关系。1. 设运动时间为t，用含t的代数式表示动点移动的线段长度；2. 结合直角三角形、面积、勾股定理、周长等条件列等式；3. 常见模型：动点形成直角三角形、动点扫过的面积问题；4. 取值范围：t＞0，动点未超出线段端点，超范围根舍去。 【典例6】．如图，在中，，，．点从点出发向终点以的速度移动，点从点出发向终点以的速度移动，，两点同时出发，其中一点到达终点则两点同时停止运动．当的面积等于时，两点运动了（    ） A． B． C． D．或 【变式1】．如图，在中，，，，，垂足为．甲虫由点以的速度沿向点爬行，同时乙虫由点以的速度沿向点爬行，当乙虫到达目的地点时，甲乙两虫停止爬行． （1）则在_______秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形是等腰三角形． （2）则在_______秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形的面积等于． 【变式2】．如图，平行四边形中，，，点以的速度从点 出发沿向点运动，同时点以的速度从点 出发沿向点运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为． (1)求平行四边形的面积； (2)当的面积为平行四边形的面积的时，求的值； (3)求面积的最大值． 【变式3】．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知代数式，求它的最大值； (2)知识迁移：如图，在中，，点在边上以的速度从点向点移动，点在边上以的速度从点向点移动.若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为秒，求的最小值． 题型7 工程问题 解题技巧：总量归一、效率叠加、工期建模。1. 固定设定：总工程看作单位1；2. 效率=1÷单独完成天数；3. 根据“合作效率×时间+单独效率×时间=总工程量”列等量关系；4. 涉及工期增减、人员增减、效率提升的题型，设时间或效率变化量为x，列一元二次方程求解；5. 时间、效率均为正数，舍去负根。 【典例7】．问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 【变式1】．为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【变式2】．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【变式3】．公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 题型8 行程问题 解题技巧：依托路程公式，结合变速、延时建模。1. 核心公式：路程=速度×时间；2. 题型场景：变速行驶、提前/延后到达、往返行程；3. 设原速度或原时间为x，用变化后的速度、时间表示路程；4. 根据路程不变列方程，重点区分速度变化、时间变化的对应关系。 【典例8】．数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了______秒． 【变式1】．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是________． 【变式2】．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒少 ． (2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 【变式3】．一架飞机在跑道起点处着陆后滑行的相关数据如下表： 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行速度 60 57 54 51 48 已知该飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度y（单位：）与滑行时间t（单位：s）之间满足一次函数关系．而滑行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度． (1)直接写出y关于t的函数解析式和自变量的取值范围； (2)求飞机滑行的最远距离； (3)当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，求此时飞机的滑行速度； (4)若飞机在跑道起点处开始滑行时，发现前方有一辆通勤车正以的速度匀速同向行驶，试问飞机滑行过程中是否有碰撞通勤车的危险？ 题型9 握手、循环赛问题 解题技巧：固定循环公式，区分单双循环。1. 单循环（握手、单循环比赛、两两对接）：总次数；2. 双循环（互发消息、主客场比赛）：总次数；3. 根据总次数列一元二次方程，求解总人数；4. 人数必须为正整数，非整数根直接舍去。 秒杀技巧：无重复两两组合，必用单循环公式。 【典例9】．足球运动能锻炼学生的心肺功能、身体协调性、爆发力和耐力，促进骨骼与肌肉的发育，改善体态和运动能力．在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），共比赛28场，则参加比赛的球队数量是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式1】．某班级组织活动，每天需要两名志愿者参与活动，该班级学生积极参与，考虑到所有的不同组合，共有45种组队可能．如果设该班级参加活动的学生有人，根据题意列方程并化为一般形式：___________． 【变式2】．为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动会”，其中一个项目是“单脚拔河”，赛制为单循环形式（每两队之间都比赛一场），共进行了15场比赛，问共有多少个队参加“单脚拔河”比赛？ 【变式3】．行知中学举办九年级篮球赛，比赛采用单循环赛制（即每个队伍与其它参赛队伍各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： (1)若有6个参赛队伍，按赛制共进行了几场比赛？ (2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明； 题型10 其他问题 解题技巧：通用建模五步法，适配非常规应用题。1. 提取题干唯一不变的等量关系，作为列式核心；2. 合理设未知数，用含未知数的式子表示所有关联量；3. 根据和、差、倍、积、平方关系列出方程；4. 解方程后严格结合生活常识、题干限制取舍根；5. 无法归类的题型，优先回归“审、设、列、解、验、答”通用步骤。 【典例10】．把长为的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长．根据此问题，列出关于的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．在平面直角坐标系中，O为坐标原点．现规定对于一个整数n，若它为正偶数，则它对应的点的坐标为；若它为正奇数，则它对应的点的坐标为；若它为负偶数，则它对应的点的坐标为；若它为负奇数，则它对应的点的坐标为；若它为0，则对应的点为坐标原点．例如，，则它对应的点的坐标为；，则它对应的点的坐标为． （1）若，它对应的点为A，则点A的坐标为__________； （2）若，它对应的点为B，若存在点C，使得，则点C对应的整数m为__________． 【变式2】．中国航天“嫦娥探月”、“天问探火”以及空间站建设等成就激发了广大青少年对航天的热情．某航天科技体验馆将在暑假期间推出“逐梦苍穹”航天体验营，团体票收费标准如下： ①如果参加人数不超人，人均费用为元； ②如果参加人数超过人，每增加1人，人均费用降低5元，直到人均费用元时不再下降． (1)若有人参加活动，则人均费用是_______元（用含x的代数式表示）； (2)若某研学团参加体验营需要支付元的团体票费用，求研学团的人数． 【变式3】．某中学光影社团计划利用光学原理，设计一款可变换的灯光投影装置． (1)基础支架的搭建：社团有两种长度不同的金属杆，分别记为A杆和B杆．已知A杆长度的2倍比B杆长度多70厘米；A杆长度比B杆长度的2倍少10厘米．求A杆和B杆各自的长度； (2)投影布的尺寸限制：社团决定选用两根A杆作为投影装置的主干竖直固定在地面，一根B杆两头固定于A杆顶部作为横杆．现有一块矩形的投影布，用两挂钩将其水平悬挂在横杆上（投影布竖直向下垂落）．设投影布上边缘与水平横杆的距离为x厘米．要求：x不大于5厘米；投影布下边缘距离地面不小于26厘米．已知投影布自身高度为20厘米，求x的取值范围； (3)光影图形的缩放：若（2）中投影布正好形成一个特定的矩形光屏，经测量此时投影布另一边长为25厘米．现在，社团利用凸透镜成像原理，将这个矩形光屏上的影像投射到远处的另一块幕布上．已知成像存在一个缩放比例因子k．由于光学畸变，实际成像的长与宽的缩放比例不同，遵循规律：长边的缩放倍率为k，宽边的缩放倍率为．若最终的成像面积为1920平方厘米，求缩放比例因子k的值． 1．某市计划举行校际足球比赛，赛制为单循环形式，已知这些球队共要比赛21场，则参加比赛的球队共有（    ） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 2．芜湖铁画，原名“铁花”，是安徽省芜湖市特有的传统工艺品，起源于宋代，清代康熙年间形成独立艺术流派．该技艺以低碳钢为原料，融合国画构图与剪纸、雕刻技法，经锻打、焊接等工序制成山水、人物等题材作品，具有黑白分明的立体效果．如图，在一幅长，宽的芜湖铁画的四周加一个外框（外框宽度相同，外框与铁画衔接处忽略不计），制成一幅面积为的挂图．设外框的宽度为，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．万州天生城年接待游客万人，经过两年加大旅游开发力度，天生城年接待游客达到万人，若天生城这两年接待游客的年平均增长率为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．某工厂2024年的产值为100万元，2026年计划产值达到144万元，设这两年产值的平均增长率为，则下列说法正确的是（   ） A．列方程式为 B．增长率一定大于 C．列方程式为 D．增长率一定小于 6．如图，用的篱笆靠墙围成一个的矩形养鸡场．已知墙长，则该养鸡场中垂直于墙的边长为（   ）    A． B． C．或 D． 7．2025-2026赛季滇超联赛（云南省城市足球联赛）第一阶段采用单循环积分赛制，即每支参赛球队需与其他所有球队各进行一场比赛．已知该阶段共进行120场比赛，且无任何重复对阵．若设参赛球队总数为支，则可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 8．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？（    ） A．11 B．10 C．8 D．9 9．山西文化悠久绵长，是文创产品被深度开发的创作根基．如图，某玩具厂将应县木塔、太原晋祠等古建拟人化为“萌物”，让文物走进大众视野．该玩具厂以每个16元的价格批发给经销商，某经销商愿意经销800个，但在价格谈判过程中表示，若每个玩具每降低1元，则愿意多经销100个．该玩具厂要想使生产的这种古建毛绒玩具的批发额达到14400元，每件玩具应降价多少元？设每件玩具降价元，则可列出方程（   ） A． B． C． D． 10．随着生态环境变好，各湿地越冬水鸟种类逐年增多，如中华秋沙鸭、白鹤等珍稀物种，据统计，湖北荆州地区的湿地越冬水鸟种类从2023年75种增至2025年85种，设从2023年到2025年鸟的种类数量的年平均增长率为x，依据题意可列方程是（    ） A． B． C． D． 11．某人工智能大模型10月份用户数量为亿，12月份用户数量增长至亿，已知该智能模型的用户数量在逐月增加，则11月、12月份用户数量的月均增长率为_____． 12．如图，在一块长为25米、宽为20米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为米，则根据题意可列出方程为_____． 13．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的宽是多少步？”设这块矩形田地的宽为x步，则根据题意可列方程为_________． 14．某店铺连续两个月的销售额从2万猛增到10万，且连续两个月销售额的增长率是相同的，那么这个增长率是x，根据题意可列方程：_______________ ． 15．某校将开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划一共安排15场比赛，设有个足球队参赛，根据题意，请列出方程__________． 16．某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 (2)填空（用含x的代数式表示）： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为； (3)请继续完成本题的解答： 17．长鑫存储是合肥市政府重大招商引资项目，也是国内专注于存储芯片研发、生产与销售的龙头企业，坐落于合肥经开区，实现了存储芯片自主化突破，旗下内存产品广泛应用于电脑、服务器等设备．随着技术不断成熟与市场需求增长，企业经营业绩稳步攀升．请结合以下信息解答问题． (1)长鑫存储2023年全年营收为90亿元，2025年全年营收达到608.4亿元，求2023年至2025年这两年营收的年平均增长率． (2)某经销商主营长鑫内存条，该内存条进价为240元/条．经市场调研：当售价定为300元/条时，每月可售出200条；若售价每降低5元，每月销量可增加25条．为减少库存，若该经销商每月想要获得12375元的销售利润，求此时内存条的实际售价． 18．综合与实践 主题：如何制作收纳盒，收纳玩具． 素材：闲置的一张长为，宽为的长方形硬纸板（如图①）． 实践操作：在长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形（如图②），然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖长方体收纳盒（如图③）． 问题解决： (1)若剪去的小正方形的边长为，则折成的无盖长方体收纳盒的侧面积为 ； (2)若折成的无盖长方体收纳盒的底面积为时，请通过计算判断能否把家里的一个冰墩墩玩具完全放入该收纳盒里（冰墩墩的高度不能超过收纳盒的高度）．冰墩墩的实物图和尺寸大小如图④． 19．如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 20．问题情境：综合与实践小组的同学到某食品直营店研学，对该店销售的上海产的“梨膏糖”的生产和销售情况进行了数据收集和信息整理，结果如下： 信息1：该店每日生产的这款“梨膏糖”当日全部售完． 信息2：该店这款“梨膏糖”日产量（千克）的范围是． 信息3：该款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量（千克）之间的关系如下表所示． 信息4：该款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量（千克）之间的关系可用如图的平面直角坐标系中的线段所示． 日产量（千克） 30 60 90 120 每千克的成本（元） 55 50 45 40 问题解决： (1)根据收集的信息，该“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量（千克）之间的变化规律可用学习过的函数模型刻画，其函数关系式为 （无需写定义域）； (2)①该“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量（千克）之间的函数关系式为 ； ②该款“梨膏糖”每千克的售价最高是 元，理由是 ； (3)已知销售部计划将某日该款“梨膏糖”的销售利润定额为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的产量应该定为多少比较合理？请说明理由． 21．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以1的速度向点B移动；点Q从点B出发沿以2的速度向点C移动，动点P和Q同时出发，当其中一个动点到达终点后随即停止运动，设运动时间为． (1)当时，求t的值； (2)当的面积为25时，求t的值； (3)在点P、Q的运动过程中，能否在某一时刻成为以Q为直角顶点的等腰直角三角形？如果能，求出满足条件时t的值；如果不能，请说明理由． 22．全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少2000个/天，工厂的产线共x条 （1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）． （2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？ 23．周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地． (1)求小明、小红的跑步速度； (2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟． 24．学生会要组织“西实杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）． （1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行______场比赛； （2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？ 25．综合与实践：探究奶茶甜度 【阅读材料】奶茶甜度是衡量饮品口感的重要指标，行业内统一规定甜度计算公式：奶茶甜度，甜度数值越大，代表奶茶口感越甜；制作奶茶时额外添加的糖均可完全溶解，不计沉淀损耗． 【问题背景】某连锁奶茶店统一规格饮品基础参数：一杯a克的奶茶含糖量b克，称甜度为标准糖，以此甜度作为基准甜度，根据顾客需求划分四种甜度档位： 标准糖：含糖量b克； 七分糖：含糖量0.7b克； 五分糖：含糖量0.5b克； 三分糖：含糖量0.3b克． 已知制作过程中，后添加的糖全部溶解在饮品内，会同步增加奶茶总质量，请结合甜度计算公式完成下列探究任务． (1)任务一： 一杯总质量为400克的奶茶含糖40克，则该奶茶的甜度为 ； (2)任务二： 一天，小明到这家奶茶店点了一杯a克七分糖奶茶，则该奶茶的甜度 （用含a、b的代数式表示）；由于店员疏忽，做成了一杯a克五分糖奶茶，店员再往这杯奶茶中加入了0.2b克糖，则奶茶的甜度 （用含a、b的代数式表示）；请比较大小： ． (3)任务三： 为了保持奶茶店产品的品质，一杯a克五分糖奶茶需要再加入多少克的糖才能与七分糖奶茶的甜度一样？ (4)任务四：奶茶店推出“双杯拼配”玩法： 甲杯：a克三分糖奶茶（含糖0.3b克） 乙杯：a克标准糖奶茶（含糖b克） 操作1：从甲、乙两杯各倒出x克奶茶，互相交换倒入对方杯中，搅拌均匀； 操作2：再从操作1后的甲、乙两杯各倒出x克奶茶，互相交换倒入对方杯中，搅拌均匀．此时甲杯奶茶的甜度恰好等于五分糖奶茶的甜度，则x的值为 （用含a的代数式表示，且）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 实际问题与一元二次方程 目录 知识点1 一元二次方程解应用题通用步骤（必考） 2 知识点2 应用题核心取舍规则 2 知识点3 常见通用模型公式 2 题型1 传播问题 2 题型2 增长率问题 5 题型3 与图形有关的问题 8 题型4 数字问题 13 题型5 营销问题 15 题型6 动态几何问题 19 题型7 工程问题 27 题型8 行程问题 30 题型9 握手、循环赛问题 34 题型10 其他问题 36 1. 知识目标：掌握利用一元二次方程解决实际问题的通用步骤；熟记传播、增长率、图形、数字、营销、工程、行程等十大常见应用题模型及固定公式。 2. 能力目标：能精准提取题干等量关系，熟练建模列一元二次方程求解；会根据实际场景检验、取舍方程的根，排除不符合题意的增根。 3. 素养目标：建立数学建模思想，提升文字信息转化为数学方程的能力，培养结合实际情境分析、取舍结果的严谨思维。 知识点1 一元二次方程解应用题通用步骤（必考） 1. 审：读懂题意，梳理已知量、未知量、核心等量关系； 2. 设：合理设未知数（直接设、间接设），优先设变化基准量； 3. 列：根据等量关系列出一元二次方程； 4. 解：选择合适解法解方程，求出两个根； 5. 验：双重检验，检验计算正确性、检验根是否符合实际意义； 6. 答：规范作答，舍去负数、超范围、不符合场景的根。 知识点2 应用题核心取舍规则 一元二次方程求解通常有两个根，实际问题中必须取舍：长度、人数、天数、价格、增长率不能为负；数量取值需贴合题干限制条件，不合理根直接舍去。 知识点3 常见通用模型公式 1. 传播裂变模型：初始数量为a，每轮传播x个，n轮后总数： 2. 增长率模型：初始量a，增长率x，增长n次后：；降低率： 3. 循环握手模型：总次数；单循环比赛同理 4. 营销利润模型：总利润=单件利润×销售数量 5. 图形面积模型：利用割补、平移、去空白，列面积等量关系 题型1 传播问题 解题技巧：固定裂变公式，分层分析传播规律。1. 找准初始传染源人数、每轮每人传播人数、传播轮数；2. 套用标准模型：；3. 区分“新增人数”和“总人数”，题干问总数用完整公式，问新增需做差值计算；4. 结果必须为正整数，非整数根直接舍去。 易错点：忽略原有传染源，只计算新增传播人数，导致列式错误。 【典例1】．秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人． ∵初始有人患流感， ∴第一轮传染后，总患病人数为， ∵第二轮传染中，有个患者，每人传染人， ∴新增患病人数为， ∴． 【变式1】．某人患有甲型流感，经过两轮传染后共有36个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染个人，则根据题意可列方程_____． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据有一个人患流感，经过两轮传染后共有36个人患流感，列出一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 【变式2】．某学校机房有150台学生电脑和1台教师电脑，现在教师电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染． (1)每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？ 【答案】(1)每轮感染中平均1台电脑会感染4台电脑 (2)四轮感染后机房内所有电脑都被感染 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据“如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）分别求出三轮及四轮感染后感染病毒电脑的数量，结合机房共台电脑，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每轮感染中平均一台电脑会感染4台电脑． （2）解：经过三轮感染后感染病毒的电脑数量为（台， 经过四轮感染后感染病毒的电脑数量为（台， ， 四轮感染后机房内所有电脑都被感染． 【变式3】．冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有2人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有128人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ (2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了7人 (2)第三轮感染后，患流感的共有1024人 【分析】题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． （1）设每轮传染中平均每人传染了人，根据经过两轮传染后共有128人患了流感，可求出； （2）用第二轮每轮传染中平均每人传染的人数，可求出第三轮过后，患流感的人数． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了人， 由题意得：， 解得：，（不合题意舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了7人； （2）解：第三轮感染的人数（人）， 第三轮感染后，患流感的总人数为：（人）， 答：第三轮感染后，患流感的共有1024人． 题型2 增长率问题 解题技巧：三段式建模，精准套用增长/降低公式。1. 找准基准量（期初量）、变化次数、最终量；2. 连续增长：，连续下降：；3. 两年增长题型为考试高频，n=2，直接展开列式；4. 解出增长率后，百分率保留常规小数，负增长率直接舍去。 核心口诀：增长加、降低减，底数基准，指数次数。 【典例2】．某市计划从今年第二季度开始到本年底对全市共285个社区全部实现垃圾分类．已知该市第二季度已有60个社区率先实现垃圾分类，预计第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出第二、三、四季度实现垃圾分类的社区个数，根据总个数为285列方程，即可判断正确选项． 【详解】解：∵第二季度实现垃圾分类的社区个数为，第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率为， ∴第三季度实现垃圾分类的社区个数为，第四季度实现垃圾分类的社区个数为， ∵到本年底全部285个社区都要实现垃圾分类， ∴三个季度实现垃圾分类的总个数为285， 可得方程， 因此正确选项为D． 【变式1】．某楼盘2020年房价为每平方米8100元，经过两年连续涨价后，2022年房价为每平方米12100元．设该楼盘这两年平均每年房价上涨的百分率为x，根据题意可列方程______ ． 【答案】 【分析】设该楼盘这两年平均每年房价上涨的百分率为，根据该楼盘2020年和2022年的房价，找出等量关系，即可列出关于的一元二次方程. 【详解】解：设该楼盘这两年平均每年房价上涨的百分率为， 则2021年房价为每平方米元，2022年房价为每平方米元， 根据题意得：. 【变式2】．第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． (1)求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； (2)从5月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，已知徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，5月销售利润达8400元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x，根据题干条件列出一元二次方程，取符合题意的值即可； （2）设该款徽章降价元，根据5月销售利润达8400元，列出一元二次方程，取符合题意的值即可． 【详解】（1）设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意，可得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为． （2）设该款徽章降价元，则每枚的利润为元，月销售量为枚， 根据题意，可得， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：当该款徽章降价8元时，5月销售利润达8400元． 【变式3】．项目背景：人工智能的发展为人们的生活与学习带来了诸多便利，初中生也能借助人工智能提升学习效率．为此，综合实践小组的同学们围绕“依托人工智能平台的自主高效学习”开展了项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 依托人工智能平台的自主高效学习 活动内容 选择人工智能平台，开展以问题驱动为核心的高效学习 活动过程 活动1：选择人工智能平台 小组成员搜集到如下资料：学习所使用的智能平台所属公司是一家专注人工智能领域的科技公司，该公司致力于开发先进的大语言模型和生成式技术，平台一经发布，便占据各大手机下载市场下载榜首位．据统计，该平台首日在某下载市场的下载量为万次，第二天、第三天的下载量连续增长，第三天的下载量为万次． 活动2：向人工智能平台提出问题 向平台提出的首个问题：如图，把一根长度为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形的面积之和能否等于？    平台回复的结果： 交流展示 请根据以上的活动报告，解答下列问题： (1)求所使用平台刚发布后的前三天下载量的日平均增长率； (2)请猜想人工智能平台回复的结果是“能”还是“不能”，并说明理由． 【答案】(1) (2)解：猜想人工智能平台回复的结果是“不能”，理由如下： 设其中一个正方形的周长为，则另一个正方形的周长为， 假设这两个正方形的面积之和能等于，则， 整理得， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立， ∴这两个正方形的面积之和不能等于， ∴人工智能平台回复的结果是“不能”． 【分析】（1）设所使用平台刚发布后的前三天下载量的日平均增长率为，根据首日的下载量和第三天的下载量建立方程求解即可； （2）设其中一个正方形的周长为，则另一个正方形的周长为，假设这两个正方形的面积之和能等于列方程，然后利用判别式判断该方程是否有正实数解即可得到结论． 【详解】（1）解：设所使用平台刚发布后的前三天下载量的日平均增长率为， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：所使用平台刚发布后的前三天下载量的日平均增长率为； （2）略 题型3 与图形有关的问题 解题技巧：数形结合、割补转化、面积建模。1. 常见场景：道路宽度、边框宽度、草坪面积、裁剪拼接图形；2. 平移技巧：曲折道路统一平移为直路，空白区域合并为规则图形；3. 利用“总面积-空白面积=阴影面积”列等式；4. 设宽度、边长为未知数，结合长方形、正方形面积公式列方程；5. 边长、宽度必须为正数，且小于图形最大边长，超范围根舍去。 【典例3】．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问题：一个矩形长和宽的和为步，面积是平方步，问长比宽多几步？若设长为步，根据题意可列方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长与宽的和表示出宽，再利用矩形面积公式列方程即可 【详解】解：设长为步，长和宽的和为步 宽为步 矩形面积长宽，已知矩形面积为平方步 可列方程为 【变式1】．如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽x应该满足的方程为_______________________________ 【答案】 【分析】根据草坪的总面积为长为，宽为的长方形的面积，列出方程即可. 【详解】解：由题意，可列方程为. 【变式2】．根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 该农户在种植园区种植草莓，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为元，每月可销售的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售草莓．果园每月的承包费为2万元．    (1)解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．若中间种植的面积是，求道路宽度x的值． (2)解决果园种植的预期利润问题（总利润销售利润承包费）．若农户预期一个月该草莓的总利润为万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 【答案】(1) (2)每平方米草莓平均利润下调元 【分析】（1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润销售利润承包费，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 道路宽度为10米； （2）设每平方米草莓平均利润下调y元， 整理得：． 解得：，， 又从客户的角度考虑，要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调元． 【变式3】．阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根． (1)【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是 ．(从序号①②③中选择) (2)【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即( )； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程： ，解得原方程的一个根为 ． (3)【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数 ， ，求得方程的正根为 ． 【答案】(1)③ (2)，， (3)，3，1或3 【分析】（1）根据题意，变形为，根据图示分别算出每个图形中长方形的面积，进行比较即可解答； （2）根据材料提示，进行计算即可解答； （3）先根据材料提示分解为，图形结合分析，即可得，分类讨论，由此即可解答． 【详解】（1）解：， ， 将看作一个长为，宽为，面积为21的矩形， 很容易观察出构图是③． （2）解：， 第一步：将原方程变为，即； 第二步：如图②，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：，解得原方程的一个根为； 故答案为：，，． （3）解：由条件可知， ， 四个小矩形的面积各为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， 由条件可知，解得， 当时，，，，方程的一个正根为1； 当时，，，，方程的一个正根为3； 综上所述，方程的一个正根为1或3， 故答案为，3，1或3． 题型4 数字问题 解题技巧：数位设元、规范表示、平方和差建模。1. 连续数：设中间数或最小数，连续整数、连续奇偶数列式；2. 两位数问题：设十位x、个位y，两位数表示为；3. 根据题干“平方、乘积、和差”等条件列一元二次方程；4. 数位取值限制：十位不为0、个位0-9，严格根据数位规则取舍根。 【典例4】．如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（     ） 豆包 内容由AI生成 有没有这样一个数，先计算它的平方， 然后加上它的3倍，运算结果与这个 数的相反数减4相同． A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】设这个数为，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设这个数为， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， ∴这个数是 ． 【变式1】．“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是_________． 【答案】16 【分析】根据题意，得到，整理得，再根据解一元二次方程的方法解方程，即可求出的值． 【详解】解：根据题意，可得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 因式分解，得， 解得，， ∵个小方格中的正整数互不相等， ∴，即的值是16． 【变式2】．已知整数与的平方和可以表示为，现有两个连续的正整数． 【尝试】（1）若这两个连续的正整数中，较小的数是3，计算它们的平方和； 【建模】（2）若这两个连续的正整数的平方和是145，求这两个正整数． 【答案】（1）它们的平方和是25（2）这两个正整数分别是8和9 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由较小的数是3，可得出较大的数是4，将两个数的平方相加，即可求出结论； （2）设较小的正整数是，则较大的正整数是，根据这两个连续正整数的平方和是145，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）较小的数是3， 较大的数是4， 它们的平方和是． 答：它们的平方和是25； （2）设较小的正整数是，则较大的正整数是， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ． 答：这两个正整数分别是8和9． 【变式3】．有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为．将该数的十位数字与个位数字调换，所得到的新的两位数与原来的两位数的积为．求原来的两位数． 【答案】原来的两位数为或． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为，根据题意，得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为， 根据题意，得， 整理，得， 解得，， 当时，，原来的两位数为； 当时，，原来的两位数为； 答：原来的两位数为或． 题型5 营销问题 解题技巧：利润万能公式，锁定单价与销量变化关系。1. 核心公式：总利润＝（售价－进价）×销售量；2. 涨价/降价规律：涨价销量减少，降价销量增加，找准“每涨/降1元，销量变化多少”的比例关系；3. 设涨价或降价金额为x，分别表示出新单价、新销量、单件利润；4. 代入利润公式列方程，结合题干售价上限、销量正数取舍根。 高频坑点：忘记同步更新销量，直接用原销量计算利润。 【典例5】．某文创店销售一种纪念徽章，原定价销售每枚徽章盈利12元，平均每天可售出80枚．市场调研发现：若每枚徽章降价1元，则平均每天可多售出10枚．为了尽快减少库存，店主决定降价促销．销售一段时间后发现，平均日盈利为910元．假设每天售出徽章的数量相同，设每件商品降价x元，依题意可列方程（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际利润问题，解题核心是利用“总盈利等于每枚徽章盈利乘以销售量”的关系，根据降价情况分别表示出降价后的每枚盈利和销售量，即可列出方程． 【详解】解：∵设每件商品降价元， ∴降价后每枚徽章的盈利为元， ∵每降价元平均每天可多售出枚， ∴降价元后，每天的销售量为枚， 又∵平均日盈利为元， ∴可列方程为． 【变式1】．山西某品牌老陈醋改进了包装，采用标志性的古建筑作为主视觉元素，直观传递山西地域文化底蕴．某特产店购入的新款包装的老陈醋每瓶进价为40元．市场调查发现，当售价为50元时，平均每天可销售500瓶；售价每上涨1元，平均每天销量减少10瓶．该特产店要想使平均每天销售新包装老陈醋的利润达到8000元，则售价应定为________元． 【答案】60或80 【分析】每瓶售价定为元，则每瓶利润为元，销售量减少瓶，则日销售量为瓶，再由总利润=每瓶利润销量建立一元二次方程求解． 【详解】解：每瓶售价定为元， 由题意得，， 整理得， 解得， ∴每瓶售价定为60或80元． 【变式2】．某批发商以每件70元的价格购进800件T恤，第一个月以单价100元销售，售出了200件，第二个月如果单价不变，预计仍可以售出200件．批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格．第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为60元，设第二个月单价降低元． (1)按要求填表： 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 100 ①__________ 60 销售量（件） 200 ②__________ ③__________ (2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利8750元，那么第二个月的单价应该是多少元？ 【答案】(1)填表如下： 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 100 60 销售量（件） 200 (2)95元或85元 【分析】（1）根据题意用含的代数式表示即可； （2）利用“获利8750元”，即销售额成本利润，作为相等关系列方程，解方程求出的值即可解答． 【详解】（1）解：设第二个月单价降低元， ∴第二个月的单价为元，销售量为件， 清仓时销售量为件； 表格见答案； （2）解：由题意得，， 整理得：， 解得，， 当时，； 当时，； 答：第二个月的单价应该是95元或85元． 【变式3】．漳浦县自发布渔业生态保护相关通告后，本地养殖的黄翅鱼（黄鳍鲷）和石斑鱼在市场上热销，成为不少游客喜爱的伴手礼．2026年端午假期，小福同学旅游到此，并购买了若干黄翅鱼和石斑鱼，他用元买的黄翅鱼的数量比用同样价钱买石斑鱼的数量多斤，且石斑鱼的单价是黄翅鱼的倍． (1)求黄翅鱼、石斑鱼两种鱼的单价分别为多少元/斤； (2)两种鱼在得到一致好评后，小福决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中黄翅鱼按照原单价购买，石斑鱼的单价每斤降低元，则购买的数量会比第一次购买石斑鱼的数量增加斤，第二次一共购买斤鱼共用了元．求的值． 【答案】(1)黄翅鱼单价为元/斤，石斑鱼单价为元/斤 (2) 【分析】（1）设黄翅鱼的单价为元/斤，则石斑鱼的单价为元/斤，根据题意列出分式方程求解即可； （2）根据题意得出第二次购买时，石斑鱼的数量为斤，黄翅鱼的数量为 斤，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设黄翅鱼的单价为元/斤，则石斑鱼的单价为元/斤． 根据题意，， 解得， 检验：当时，， 所以是原方程的解， 则石斑鱼的单价为：（元/斤）． 答：黄翅鱼单价为元/斤，石斑鱼单价为元/斤； （2）解：第一次购买石斑鱼的数量：（斤）， 第二次购买时，石斑鱼的数量为斤，黄翅鱼的数量为 斤； 石斑鱼的单价变为元/斤，黄翅鱼单价仍为元/斤． 根据题意，， 解得（不合题意，舍去）或． 答：的值为． 题型6 动态几何问题 解题技巧：动点化静、时间设元、锁定几何关系。1. 设运动时间为t，用含t的代数式表示动点移动的线段长度；2. 结合直角三角形、面积、勾股定理、周长等条件列等式；3. 常见模型：动点形成直角三角形、动点扫过的面积问题；4. 取值范围：t＞0，动点未超出线段端点，超范围根舍去。 【典例6】．如图，在中，，，．点从点出发向终点以的速度移动，点从点出发向终点以的速度移动，，两点同时出发，其中一点到达终点则两点同时停止运动．当的面积等于时，两点运动了（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设后，的面积等于，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设后，的面积等于． 由题意，得，，则． ， ， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）． 故当的面积等于时，两点运动了． 故选：A． 【变式1】．如图，在中，，，，，垂足为．甲虫由点以的速度沿向点爬行，同时乙虫由点以的速度沿向点爬行，当乙虫到达目的地点时，甲乙两虫停止爬行． （1）则在_______秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形是等腰三角形． （2）则在_______秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形的面积等于． 【答案】 5 或 7 或 6+ 【分析】（1）设运动x秒时，甲虫所在位置为点P，乙虫所在位置为点Q，根据题意，得，，根据题意，分和时，两种情况求解即可． （2）利用分类思想，解方程计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 设运动x秒时，甲虫所在位置为点P，乙虫所在位置为点Q， 根据题意，得，， 当即时，点P在线段上，连接， 此时 ， ∵甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形是等腰三角形， ∴， ∴， 解得； 当即时，此时点P在线段上， ∴ ， ∵甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形是等腰三角形， ∴， ∴， 解得；不满足范围，舍去， 综上所述，在秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形是等腰三角形． （2）设运动x秒时，甲虫所在位置为点P，乙虫所在位置为点Q，根据题意，得，， 当点P在上时，此时 ， 根据题意，得， 即 ， 解得，； 当点P在上时，此时 ， 根据题意，得， 即 ， 整理，得， 解得， 故，（时间不能为负，舍去）； 此时， 综上所述，在5秒或7秒或秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形的面积等于． 【变式2】．如图，平行四边形中，，，点以的速度从点 出发沿向点运动，同时点以的速度从点 出发沿向点运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为． (1)求平行四边形的面积； (2)当的面积为平行四边形的面积的时，求的值； (3)求面积的最大值． 【答案】(1) (2)的值为4或 (3) 【分析】（1）过点作于点，由直角三角形的性质得出平行四边形的高，然后利用平行四边形公式求解； （2）首先求出的面积为，分点在线段上，点在线段上，点在线段上，点在线段上和点在线段上，点在线段上，三种情况计算即可； （3）根据题意分三种情况讨论，结合（2）表示出的面积，然后分别求出最大值比较即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积为：； （2）解：由（1）知，平行四边形的面积为， 当的面积为平行四边形的面积的时， ∴的面积为， 当点在线段上运动秒时，点在上运动秒时，， ，，过点F作于点H， 同（1）可得，， ∴， ∴（舍）或，不符合题意； 当点在线段上时，点在上，，如图， ∴，即， ∴； 当点在线段上，点在线段上，， 如图，过点作交的延长线于点I，交于点J， 根据题意得，，， ∵四边形为平行四边形，， ∴，，， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴，， ∵ ∴ 整理得， 解得，（舍去） 综上所述，的值为4或； （3）解：设的面积为S， 当点在线段上运动秒时，点在上运动秒时，， 由（2）得， ∴当时，S取得最大值为； 当点在线段上时，点在上，， 由（2）得， ∵ ∴S随t的增大而增大 ∴当时，S取得最大值为； 当点在线段上，点在线段上，， 由（2）得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即， 综上所述，面积的最大值为． 【变式3】．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知代数式，求它的最大值； (2)知识迁移：如图，在中，，点在边上以的速度从点向点移动，点在边上以的速度从点向点移动.若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为秒，求的最小值． 【答案】(1)； (2)20． 【分析】本题考查根据配方法求最值，熟练掌握配方的方法是解题的关键； （1）将配方得，根据，求解即可； （2）根据题意求出t的取值范围，由列方程，用配方法求最值即可． 【详解】（1）解：， 的最大值为； （2）解：，点在AC边上以的速度从点向点移动，点在边上以的速度从点向点移动 ∴点从点运动到点所需时间为， 点从点运动到点所需时间为， 的最小值为20． 题型7 工程问题 解题技巧：总量归一、效率叠加、工期建模。1. 固定设定：总工程看作单位1；2. 效率=1÷单独完成天数；3. 根据“合作效率×时间+单独效率×时间=总工程量”列等量关系；4. 涉及工期增减、人员增减、效率提升的题型，设时间或效率变化量为x，列一元二次方程求解；5. 时间、效率均为正数，舍去负根。 【典例7】．问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为米 【分析】选择（1）时，设原计划每天修建米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验即可得出结论； 选择（2）时，设原计划每天修建盲道米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验即可得出结论； 【详解】选（1）或（2） （1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 经检验：是所列方程的解 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． （2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 （舍） 经检验：是所列方程的解． 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 【变式1】．为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【答案】每天加固的长度还要再增加64米 【分析】设现在计划每天加固的长度为x米，则原计划每天加固的长度为米，根据“现计划比原计划所需天数缩短2天”列分式方程，即可求解． 【详解】解：设现在计划每天加固的长度为x米， 由题意知：， 整理可得：， 解得，（舍）， 经检验，是所列分式方程的解， 即现在计划每天加固的长度为160米， （米）， 因此每天加固的长度还要再增加64米． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用、解一元二次方程，解题的关键是根据所给等量关系列出分式方程，求出解后注意检验． 【变式2】．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米 (2)m的值为18 【分析】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米， 根据题意得，， 解得：， 则， ∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米； （2）解：根据题意得， ， 整理得，， 解得：（舍去）， ∴m的值为18． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 【变式3】．公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20% (2)在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． 题型8 行程问题 解题技巧：依托路程公式，结合变速、延时建模。1. 核心公式：路程=速度×时间；2. 题型场景：变速行驶、提前/延后到达、往返行程；3. 设原速度或原时间为x，用变化后的速度、时间表示路程；4. 根据路程不变列方程，重点区分速度变化、时间变化的对应关系。 【典例8】．数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了______秒． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用甲乙的路程之和等于，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 整理得： ， 解得： (不符合题意，舍去)， 故答案为：． 【变式1】．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，将其正值代入中即可求出结论． 【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，则 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴． 故甲走的步数是． 故答案为：． 【变式2】．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒少 ． (2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间，再进一步求解即可. （2）①利用列代数式即可； ②利用建立一元二次方程求解即可. 【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即， 故小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：①这段时间内小球的平均速度； ②由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴不符合题意， ∴. 【变式3】．一架飞机在跑道起点处着陆后滑行的相关数据如下表： 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行速度 60 57 54 51 48 已知该飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度y（单位：）与滑行时间t（单位：s）之间满足一次函数关系．而滑行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度． (1)直接写出y关于t的函数解析式和自变量的取值范围； (2)求飞机滑行的最远距离； (3)当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，求此时飞机的滑行速度； (4)若飞机在跑道起点处开始滑行时，发现前方有一辆通勤车正以的速度匀速同向行驶，试问飞机滑行过程中是否有碰撞通勤车的危险？ 【答案】(1) (2)飞机滑行的最远距离为 (3)此时飞机的滑行速度是 (4)飞机滑行过程中有碰撞通勤车的危险． 【分析】本题考查待定系数法确定函数解析式，求函数值、求自变量值；理解函数与方程的联系是解题的关键． （1）设y关于t的函数解析式为，利用待定系数法求解，令，即可求出t的取值范围即可； （2）根据滑行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度，代入数值计算即可求解； （3）根据行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度，即，建立关于t的一元二次方程即可求解； （4）设飞机滑行的距离为，求出飞机滑行的距离与时间t的关系式，由飞机滑行的时间内，根据通勤车与飞机之间的距离，建立关于t的方程，在飞机滑行的时间内，看飞机能否追上通勤车即可得出结论． 【详解】（1）解：设y关于t的函数解析式为， 将代入，得：， 解得：， y关于t的函数解析式为， 当时，则， 解得， y关于t的函数解析式； （2）解：根据题意：飞机滑行的最远距离为， 答：飞机滑行的最远距离为； （3）解：，， ，即， 解得：或（舍去）， 答：此时飞机的滑行速度是； （4）解：设飞机滑行的距离为， 则飞机滑行的距离与时间t的关系式为：， 通勤车与飞机之间的距离为：， 令通勤车与飞机之间的距离0，则，即， 解得或（舍去）， 在飞机滑行时，通勤车与飞机之间的距离为0， 飞机滑行过程中有碰撞通勤车的危险． 题型9 握手、循环赛问题 解题技巧：固定循环公式，区分单双循环。1. 单循环（握手、单循环比赛、两两对接）：总次数；2. 双循环（互发消息、主客场比赛）：总次数；3. 根据总次数列一元二次方程，求解总人数；4. 人数必须为正整数，非整数根直接舍去。 秒杀技巧：无重复两两组合，必用单循环公式。 【典例9】．足球运动能锻炼学生的心肺功能、身体协调性、爆发力和耐力，促进骨骼与肌肉的发育，改善体态和运动能力．在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），共比赛28场，则参加比赛的球队数量是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据单循环赛制的比赛场次规律，设出球队数量，列方程求解，舍去不合题意的负根即可求出答案． 【详解】单循环赛制中每两支球队之间只进行一场比赛，总比赛场数为28场， 设参加比赛的球队数量是，列方程 ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得 ，． 球队数量为正整数， （舍去）， ． 参加比赛的球队数量是8． 【变式1】．某班级组织活动，每天需要两名志愿者参与活动，该班级学生积极参与，考虑到所有的不同组合，共有45种组队可能．如果设该班级参加活动的学生有人，根据题意列方程并化为一般形式：___________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据从人中选出2人的不同组合总数等于45种建立等式，再整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：设该班级参加的学生有人，从人中选2名志愿者的不同组合数为， 根据题意列方程得： 两边同乘2得： 移项化为一般形式得： 【变式2】．为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动会”，其中一个项目是“单脚拔河”，赛制为单循环形式（每两队之间都比赛一场），共进行了15场比赛，问共有多少个队参加“单脚拔河”比赛？ 【答案】共有6个队参赛． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握单循环赛制的比赛场数公式是解题的关键．设参赛队伍数量为，根据单循环赛制的比赛场数公式，建立方程求解． 【详解】解：设共有个队参赛， 由题意可得，， 解得：（不符合题意舍去）， 答：共有6个队参赛. 【变式3】．行知中学举办九年级篮球赛，比赛采用单循环赛制（即每个队伍与其它参赛队伍各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： (1)若有6个参赛队伍，按赛制共进行了几场比赛？ (2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明； 【答案】(1)有6个参赛队伍，按赛制共进行了15场比赛 (2)小江说的有道理，理由见解析 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）由题意，得6个队伍需比赛的局数为； （2）设有x个队伍报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论． 【详解】（1）解：由题意，得6个队伍需比赛的局数为， 答：有6个参赛队伍，按赛制共进行了15场比赛； （2）解：小江说的有道理，理由如下： 设有x个队伍报名参赛，根据题意得， 整理，得：， 解得：（不是整数，不合题意）， ∴方程的解不符合实际，故小江的说法有道理． 题型10 其他问题 解题技巧：通用建模五步法，适配非常规应用题。1. 提取题干唯一不变的等量关系，作为列式核心；2. 合理设未知数，用含未知数的式子表示所有关联量；3. 根据和、差、倍、积、平方关系列出方程；4. 解方程后严格结合生活常识、题干限制取舍根；5. 无法归类的题型，优先回归“审、设、列、解、验、答”通用步骤。 【典例10】．把长为的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长．根据此问题，列出关于的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键．设较短一段长为，则 较长一段长为，根据题意列出方程并化简为一般形式即可求解． 【详解】解：设较短一段长为，则 较长一段长为，   由题意得，，   整理得，， 故选：． 【变式1】．在平面直角坐标系中，O为坐标原点．现规定对于一个整数n，若它为正偶数，则它对应的点的坐标为；若它为正奇数，则它对应的点的坐标为；若它为负偶数，则它对应的点的坐标为；若它为负奇数，则它对应的点的坐标为；若它为0，则对应的点为坐标原点．例如，，则它对应的点的坐标为；，则它对应的点的坐标为． （1）若，它对应的点为A，则点A的坐标为__________； （2）若，它对应的点为B，若存在点C，使得，则点C对应的整数m为__________． 【答案】 7或 【分析】（1）根据当n为奇数时，对应点为解答； （2）若，它对应的点为，则，由于，所以，点对应的整数为，再分四种情况讨论得出答案即可． 【详解】解：（1）若，它对应的点为； （2）若，它对应的点为， 则， ∵， ∴，点对应的整数为， 若它为正偶数，则它对应的点的坐标为，则， 解得，不合题意，舍去； 同理，不为负偶数； 若它为正奇数，则它对应的点的坐标为，， 解得； 若它为负奇数，则它对应的点的坐标为，， 解得． 综上所述，或． 【变式2】．中国航天“嫦娥探月”、“天问探火”以及空间站建设等成就激发了广大青少年对航天的热情．某航天科技体验馆将在暑假期间推出“逐梦苍穹”航天体验营，团体票收费标准如下： ①如果参加人数不超人，人均费用为元； ②如果参加人数超过人，每增加1人，人均费用降低5元，直到人均费用元时不再下降． (1)若有人参加活动，则人均费用是_______元（用含x的代数式表示）； (2)若某研学团参加体验营需要支付元的团体票费用，求研学团的人数． 【答案】(1) (2)人 【详解】（1）解：由题意得当时，人均费用为元， ， 有人参加活动，人均费用为元； （2）解：设有位研学团成员， 当时，，不符合题意， 当时，， 化简得， 方程两边同时除以得 ， 因式分解得， 解得、（舍去）， 当时，， 解得（舍去）， 答：研学团的人数为人． 【变式3】．某中学光影社团计划利用光学原理，设计一款可变换的灯光投影装置． (1)基础支架的搭建：社团有两种长度不同的金属杆，分别记为A杆和B杆．已知A杆长度的2倍比B杆长度多70厘米；A杆长度比B杆长度的2倍少10厘米．求A杆和B杆各自的长度； (2)投影布的尺寸限制：社团决定选用两根A杆作为投影装置的主干竖直固定在地面，一根B杆两头固定于A杆顶部作为横杆．现有一块矩形的投影布，用两挂钩将其水平悬挂在横杆上（投影布竖直向下垂落）．设投影布上边缘与水平横杆的距离为x厘米．要求：x不大于5厘米；投影布下边缘距离地面不小于26厘米．已知投影布自身高度为20厘米，求x的取值范围； (3)光影图形的缩放：若（2）中投影布正好形成一个特定的矩形光屏，经测量此时投影布另一边长为25厘米．现在，社团利用凸透镜成像原理，将这个矩形光屏上的影像投射到远处的另一块幕布上．已知成像存在一个缩放比例因子k．由于光学畸变，实际成像的长与宽的缩放比例不同，遵循规律：长边的缩放倍率为k，宽边的缩放倍率为．若最终的成像面积为1920平方厘米，求缩放比例因子k的值． 【答案】(1)A杆的长度为，B杆的长度为 (2) (3) 【分析】（1）设A杆的长度为，B杆的长度为，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意列不等式求解即可； （3）根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设A杆的长度为，B杆的长度为， 根据题意，得， 解得， 答：A杆的长度为，B杆的长度为． （2）解：根据题意，横杆距地面， ∴投影布下边缘距地面： 根据题意，得， 解得， 又，， ∴． （3）解：根据题意，得 整理，得 解得或（舍去）． 即缩放比例因子． 1．某市计划举行校际足球比赛，赛制为单循环形式，已知这些球队共要比赛21场，则参加比赛的球队共有（    ） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，明确单循环赛制为每两队之间只比赛一场，设出球队数量，根据总比赛场数列方程求解即可． 【详解】解：设参加比赛的球队共有支． ∵赛制为单循环形式，每两队之间只比赛一场，总比赛场数为21场 ∴可列方程 整理得 因式分解得 解得 ∵球队数量为正整数 ∴ 即参加比赛的球队共有7支． 2．芜湖铁画，原名“铁花”，是安徽省芜湖市特有的传统工艺品，起源于宋代，清代康熙年间形成独立艺术流派．该技艺以低碳钢为原料，融合国画构图与剪纸、雕刻技法，经锻打、焊接等工序制成山水、人物等题材作品，具有黑白分明的立体效果．如图，在一幅长，宽的芜湖铁画的四周加一个外框（外框宽度相同，外框与铁画衔接处忽略不计），制成一幅面积为的挂图．设外框的宽度为，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得挂图是一个长为，宽为的矩形，求解即可． 【详解】解：根据题意，得． 3．万州天生城年接待游客万人，经过两年加大旅游开发力度，天生城年接待游客达到万人，若天生城这两年接待游客的年平均增长率为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平均增长率的计算规律，结合已知条件列方程即可． 【详解】解：∵年接待游客为万人，年平均增长率为， ∴年接待游客数为万人， ∴年接待游客数为万人， ∵已知年接待游客为万人， ∴列方程得． 4．如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为， 根据题意得：． 5．某工厂2024年的产值为100万元，2026年计划产值达到144万元，设这两年产值的平均增长率为，则下列说法正确的是（   ） A．列方程式为 B．增长率一定大于 C．列方程式为 D．增长率一定小于 【答案】C 【分析】本题考查平均增长率的实际应用，根据增长规律列出方程，再求解增长率即可判断各选项． 【详解】解：∵2024年产值为100万元，平均年增长率为， ∴2025年产值为 ，2026年产值为 ， 结合2026年计划产值为144万元，可得方程 ，因此A错误，C正确． 解方程得 ， ∵， ∴，解得 ，因此B、D错误． 6．如图，用的篱笆靠墙围成一个的矩形养鸡场．已知墙长，则该养鸡场中垂直于墙的边长为（   ）    A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，掌握根据几何图形的边长与面积关系列方程，并结合实际限制条件筛选解是解题的关键． 设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边长为米，根据面积列方程求解，再结合墙长限制筛选符合条件的解． 【详解】解：设该养鸡场中垂直于墙的边长为米，平行于墙的边长为米 ∵ 养鸡场的面积为 ∴ 整理方程得： 因式分解得： 解得：或 ∵墙长为， ∴平行于墙的边长不能超过 当时，平行于墙的边长为米 ∵，不符合墙长限制，故舍去； 当时，平行于墙的边长为米 ∵，符合墙长限制 ∴ 该养鸡场中垂直于墙的边长为． 故选：B． 7．2025-2026赛季滇超联赛（云南省城市足球联赛）第一阶段采用单循环积分赛制，即每支参赛球队需与其他所有球队各进行一场比赛．已知该阶段共进行120场比赛，且无任何重复对阵．若设参赛球队总数为支，则可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 每支参赛球队需与其余支球队各赛一场，支球队初步计算的比赛场数为场，但此时每场比赛被两支球队各统计了一次，存在重复，因此实际总场数需除以2，再结合已知总场数为场，即可列出正确方程． 【详解】解：∵参赛球队总数为支，每支球队需与其他支球队各进行一场比赛， ∴初步统计的比赛场数为场， 又∵每两支球队的交锋仅算一场，上述统计中每场比赛被重复计算了1次， ∴实际总比赛场数为场， ∴可列出方程． 故选：C． 8．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？（    ） A．11 B．10 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据两轮感染后的电脑总数列出一元二次方程，求解并舍去不合题意的解即可． 【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑 第一轮感染后，被感染的电脑总数为台 第二轮感染时，这些电脑每台又感染台，新增台被感染电脑 两轮后被感染的电脑总数为 整理得 开平方得或 解得， 感染的电脑数量不能为负数 舍去 每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑 故选C． 9．山西文化悠久绵长，是文创产品被深度开发的创作根基．如图，某玩具厂将应县木塔、太原晋祠等古建拟人化为“萌物”，让文物走进大众视野．该玩具厂以每个16元的价格批发给经销商，某经销商愿意经销800个，但在价格谈判过程中表示，若每个玩具每降低1元，则愿意多经销100个．该玩具厂要想使生产的这种古建毛绒玩具的批发额达到14400元，每件玩具应降价多少元？设每件玩具降价元，则可列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由每件玩具降价x元，得降价后的批发单价为元，根据“销售量=原销量+多经销的销量”得销售量为件，根据“批发额=销售量×批发单价”列出关系式即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：A． 10．随着生态环境变好，各湿地越冬水鸟种类逐年增多，如中华秋沙鸭、白鹤等珍稀物种，据统计，湖北荆州地区的湿地越冬水鸟种类从2023年75种增至2025年85种，设从2023年到2025年鸟的种类数量的年平均增长率为x，依据题意可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用之增长率问题，解题的关键是找准等量关系． 设年平均增长率为x，根据增长率公式，即可列出方程． 【详解】解：设年平均增长率为x，根据题意得， ， 故选：D． 11．某人工智能大模型10月份用户数量为亿，12月份用户数量增长至亿，已知该智能模型的用户数量在逐月增加，则11月、12月份用户数量的月均增长率为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找出等量关系列出方程是解题的关键．设11月、12月份用户数量的月平均增长率为，根据增长模型列出方程并求解即可． 【详解】解：设月均增长率为， 由题意得：， 解方程得：， 所以（取正值）， 因此， 故答案为：． 12．如图，在一块长为25米、宽为20米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为米，则根据题意可列出方程为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程与图形面积的计算，理解图示面积的计算是关键，根据题意，草坪的长为米，宽为米，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，草坪的长为米，宽为米， ∴， 故答案为： ． 13．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的宽是多少步？”设这块矩形田地的宽为x步，则根据题意可列方程为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决古代问题，解题的关键是找准等量关系． 设宽为x步，则长为步，根据矩形面积公式列方程． 【详解】解：设宽为x步，则长为步．由题意， 得． 故答案为． 14．某店铺连续两个月的销售额从2万猛增到10万，且连续两个月销售额的增长率是相同的，那么这个增长率是x，根据题意可列方程：_______________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意第一个月的销售额为万元，则第二个月的销售额为万元，根据店铺连续两个月的销售额从2万猛增到10万即可列出方程． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 15．某校将开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划一共安排15场比赛，设有个足球队参赛，根据题意，请列出方程__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设有x个足球队参赛，每两个队之间进行一场比赛，则总比赛场数，根据计划安排15场比赛即可建立方程． 【详解】解：设有个足球队参赛，根据题意得，， 故答案为：． 16．某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 (2)填空（用含x的代数式表示）： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为； (3)请继续完成本题的解答： 【答案】(1)7，13，21 (2) (3)10个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，还涉及有理数的计算，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）分别求出主干、支干和小分支的总数填表即可； （2）①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：；②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：；③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：； （3）由题意得，再解方程即可． 【详解】（1）解：主干长出支干的个数为2时，则主干、支干和小分支的总数为； 主干长出支干的个数为3时，则主干、支干和小分支的总数为； 主干长出支干的个数为4时，则主干、支干和小分支的总数为； 则填表为： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 7 13 21 （2）解：①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：； （3）解：由题意得，， 解得：，（不合题意，舍去） 答：每个支干长出10个小分支． 17．长鑫存储是合肥市政府重大招商引资项目，也是国内专注于存储芯片研发、生产与销售的龙头企业，坐落于合肥经开区，实现了存储芯片自主化突破，旗下内存产品广泛应用于电脑、服务器等设备．随着技术不断成熟与市场需求增长，企业经营业绩稳步攀升．请结合以下信息解答问题． (1)长鑫存储2023年全年营收为90亿元，2025年全年营收达到608.4亿元，求2023年至2025年这两年营收的年平均增长率． (2)某经销商主营长鑫内存条，该内存条进价为240元/条．经市场调研：当售价定为300元/条时，每月可售出200条；若售价每降低5元，每月销量可增加25条．为减少库存，若该经销商每月想要获得12375元的销售利润，求此时内存条的实际售价． 【答案】(1)年平均增长率为 (2)内存条实际售价为元 【分析】（1）设至年平均增长率为，结合2025年全年营收达到608.4亿元，再建立方程求解即可； （2）设每条内存条降价元，可得单件利润：，月销量：，进一步列方程求解即可. 【详解】（1）解：设至年平均增长率为， ∴， ， 开平方，得， 增长率不能为负，故舍去， 所以， 即， 答：年平均增长率为． （2）解：设每条内存条降价元，则 单件利润：， 月销量：， ∴， 化简得：， ， 解得，． 越大，销售量越大，库存越少，所以舍去， 当时，售价：元， 答：内存条实际售价为元． 18．综合与实践 主题：如何制作收纳盒，收纳玩具． 素材：闲置的一张长为，宽为的长方形硬纸板（如图①）． 实践操作：在长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形（如图②），然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖长方体收纳盒（如图③）． 问题解决： (1)若剪去的小正方形的边长为，则折成的无盖长方体收纳盒的侧面积为 ； (2)若折成的无盖长方体收纳盒的底面积为时，请通过计算判断能否把家里的一个冰墩墩玩具完全放入该收纳盒里（冰墩墩的高度不能超过收纳盒的高度）．冰墩墩的实物图和尺寸大小如图④． 【答案】(1)520 (2)冰墩墩玩具能完全放入该收纳盒里 【分析】（1）分别求出侧面小长方形的长，再根据侧面积公式，计算即可； （2）设剪去的小正方形的边长为，列出一元二次方程，求解，从而求出收纳盒的长、宽和高，最后比较即可． 【详解】（1）解：（），（）， （）， 则折成的无盖长方体收纳盒的侧面积为520； （2）解：设剪去的小正方形的边长为， 由题意得，， ，（不合题意，舍去）， 即剪去的小正方形的边长为12cm， 此时收纳盒的长为（），宽为（），高为12． ，，， 冰墩墩玩具能完全放入该收纳盒里． 19．如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)最小数为10 (2)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设最小数是，则最大数是，根据“最大数与最小数的乘积为180”，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设最小数为，则另外三个数分别是，，，根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为80，列出一元二次方程，解之可得出的值，即可解决问题． 【详解】（1）解：设最小数为，则最大数为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 从日历表中可以看出10是第二行第6个数，符合要求， 答：最小数为10； （2）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由如下： 设最小数为，则另外三个数分别是，，， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80． 20．问题情境：综合与实践小组的同学到某食品直营店研学，对该店销售的上海产的“梨膏糖”的生产和销售情况进行了数据收集和信息整理，结果如下： 信息1：该店每日生产的这款“梨膏糖”当日全部售完． 信息2：该店这款“梨膏糖”日产量（千克）的范围是． 信息3：该款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量（千克）之间的关系如下表所示． 信息4：该款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量（千克）之间的关系可用如图的平面直角坐标系中的线段所示． 日产量（千克） 30 60 90 120 每千克的成本（元） 55 50 45 40 问题解决： (1)根据收集的信息，该“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量（千克）之间的变化规律可用学习过的函数模型刻画，其函数关系式为 （无需写定义域）； (2)①该“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量（千克）之间的函数关系式为 ； ②该款“梨膏糖”每千克的售价最高是 元，理由是 ； (3)已知销售部计划将某日该款“梨膏糖”的销售利润定额为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的产量应该定为多少比较合理？请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②；随的增大而减小，因此当时，取得最大值 (3)当日该产品的产量应该定为千克比较合理，理由如下： 根据题意可列方程：， ∴， 整理，得， 解得，， 当时，总成本为（元）；当时，总成本为（元）， ∴当日该产品的产量应该定为千克，总成本更低，更合理． 【分析】（1）容易判断与成一次函数关系，使用待定系数法求出关系式即可； （2）①使用待定系数法求出函数关系式；②利用一次函数的增减性结合的取值范围求出的最大值； （3）根据题意列出方程，求解出的值，对比两种方案的总成本即可得出结论． 【详解】（1）解：由表格可知，日产量每增加千克，每千克的成本会下降元， ∴与成一次函数关系， 设， 将，；，，代入，得， ， 解得， ∴； （2）解：①设， 将，；，，代入，得， ， 解得， ∴； ②∵， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴当时，取得最大值（元）． （3）略 21．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以1的速度向点B移动；点Q从点B出发沿以2的速度向点C移动，动点P和Q同时出发，当其中一个动点到达终点后随即停止运动，设运动时间为． (1)当时，求t的值； (2)当的面积为25时，求t的值； (3)在点P、Q的运动过程中，能否在某一时刻成为以Q为直角顶点的等腰直角三角形？如果能，求出满足条件时t的值；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)时，是以Q为直角顶点的等腰直角三角形 【分析】本题为几何图形动点问题，考查了矩形性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的应用，全等三角形的判定与性质等知识，理解题意，构造关于t的方程是解题关键． （1）由题意得，证明，得到，即可求出； （2）根据四边形为矩形得到，，，根据的面积为25，列出方程，解方程即可求解； （3）当为以Q为直角顶点的等腰直角三角形时，证明，得到，当时，求出，再证明，即可得到当时，是以Q为直角顶点的等腰直角三角形． 【详解】（1）解：由题意得， ∵， ∴， ∴， 即， ∴； （2）解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， 当的面积为时， 由题意得， 整理得， 解得， ∴或； （3）解：当为以Q为直角顶点的等腰直角三角形时， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，解得， 此时， ∴， ∴当时，是以Q为直角顶点的等腰直角三角形． 22．全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少2000个/天，工厂的产线共x条 （1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）． （2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？ 【答案】（1）；（2）该工厂引进了27条或13条生产线． 【分析】（1）根据题意，根据代数式的性质计算，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，列一元二次方程并求解，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，得该工厂最大产能是：个/天 故答案为：； （2）根据题意，得， 解得，， 该工厂引进了27条或13条生产线． 【点睛】本题考查了一元二次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解． 23．周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地． (1)求小明、小红的跑步速度； (2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）分别设小红和小明的速度，根据等量关系（小明比小红早5分钟到达B地）列出等量关系式，按照分式方程即可求解，求解后检验所求解是不是方程解． （2）先求出小明前30分钟中的5分钟是从B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的热量列方程，最后求解． 【详解】（1）解：设小红的速度为，则小明的速度为， 依据题意列方程得，， ， ， 经检验，是原式方程的解． ． 小红的速度为，小明的速度为． 故答案为：；． （2）解：小明的速度为， 小明从A地道B地需要的时间为：． 小明在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里， ． 设B地到C地的距离为，依据题意列方程得， ， ， ， ， 或（舍去）． A地到C地所需要时间为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用．解题的关键在于是否能根据题意列出等量关系式，解题的重点在于是否能了解小明的前30分钟内的最后5分钟是属于B地到C地时间． 24．学生会要组织“西实杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）． （1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行______场比赛； （2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？ 【答案】（1）6；（2）9支 【分析】根据赛制为单循环形式场，即可求解； （2）设有 支球队参加比赛，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：（1） （场）， 答：共进行6场比赛； （2）设有 支球队参加比赛，根据题意得： ， 解得： （不合题意，舍去）， 答：有9支球队参加比赛． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 25．综合与实践：探究奶茶甜度 【阅读材料】奶茶甜度是衡量饮品口感的重要指标，行业内统一规定甜度计算公式：奶茶甜度，甜度数值越大，代表奶茶口感越甜；制作奶茶时额外添加的糖均可完全溶解，不计沉淀损耗． 【问题背景】某连锁奶茶店统一规格饮品基础参数：一杯a克的奶茶含糖量b克，称甜度为标准糖，以此甜度作为基准甜度，根据顾客需求划分四种甜度档位： 标准糖：含糖量b克； 七分糖：含糖量0.7b克； 五分糖：含糖量0.5b克； 三分糖：含糖量0.3b克． 已知制作过程中，后添加的糖全部溶解在饮品内，会同步增加奶茶总质量，请结合甜度计算公式完成下列探究任务． (1)任务一： 一杯总质量为400克的奶茶含糖40克，则该奶茶的甜度为 ； (2)任务二： 一天，小明到这家奶茶店点了一杯a克七分糖奶茶，则该奶茶的甜度 （用含a、b的代数式表示）；由于店员疏忽，做成了一杯a克五分糖奶茶，店员再往这杯奶茶中加入了0.2b克糖，则奶茶的甜度 （用含a、b的代数式表示）；请比较大小： ． (3)任务三： 为了保持奶茶店产品的品质，一杯a克五分糖奶茶需要再加入多少克的糖才能与七分糖奶茶的甜度一样？ (4)任务四：奶茶店推出“双杯拼配”玩法： 甲杯：a克三分糖奶茶（含糖0.3b克） 乙杯：a克标准糖奶茶（含糖b克） 操作1：从甲、乙两杯各倒出x克奶茶，互相交换倒入对方杯中，搅拌均匀； 操作2：再从操作1后的甲、乙两杯各倒出x克奶茶，互相交换倒入对方杯中，搅拌均匀．此时甲杯奶茶的甜度恰好等于五分糖奶茶的甜度，则x的值为 （用含a的代数式表示，且）． 【答案】(1) (2)；； (3)克（或） (4) 【分析】（1）根据甜度计算公式，用糖的质量除以奶茶总质量即可． （2）分别用含糖量比总质量表示两种情况下奶茶的甜度，再作差比较大小． （3）设需要再加入克糖，根据甜度相等列出分式方程求解，并检验． （4）依次计算操作1和操作2后甲杯的含糖量，根据甲杯甜度等于五分糖甜度列出方程求解． 【详解】（1）解： 奶茶甜度， 该奶茶的甜度． （2）解： 一杯克七分糖奶茶含糖， ， 一杯克五分糖奶茶含糖克，再加入克糖后，含糖克，总质量为克， ， ，， ， ， 即． （3）解：设一杯克五分糖奶茶需要再加入克糖才能与七分糖奶茶的甜度一样， 加入克糖后，糖的质量为克，奶茶总质量为克， ， 解得，， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：需要再加入克糖． （4）解：操作1后，甲杯含糖量为克， 甲杯甜度为， 操作1后，乙杯含糖量为克， 乙杯甜度为， 操作2后，甲杯含糖量为克， 操作2后，甲杯甜度为， 五分糖奶茶的甜度为， ， 整理，得， ， ， ，且， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $