第04讲 因式分解法一元二次方程（暑假预习跟踪训练）2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学暑假预习同步练，聚焦因式分解法解一元二次方程，分层递进设计，从基础技能到综合应用，适配预习需求，培养运算能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础操作|直接用因式分解法解方程|题量集中，巩固提公因式、公式法等基本步骤| |概念理解|因式分解法原理辨析|选择题型检验根的性质、参数取值等理解| |实践应用|几何与实际问题|结合三角形边长、菱形面积等情境，体现应用意识| |综合拓展|多种方法与综合探究|含换元法、错误分析及综合证明题，提升推理能力|

第04讲 因式分解法解一元二次方程（暑假预习） 【新教材人教版】 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 【题型1 因式分解法解一元二次方程】 1．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ∴或 解得，； （2）解： ∴或 解得，． 2．解方程： (1) (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【详解】（1）解： 移项得 配方得 即 开方得 解得 ，； （2） 提取公因式得 或 解得 ，． 3．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1), (2), 【详解】（1）解：， ， 两边开平方得， 即或， 解得，； （2） 因式分解得 即或 解得，． 4．解下列关于的一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程； （2）用因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， 移项得：， 提公因式得：， 可得：或， 解得：，； （2）解：， 分解因式得：， 可得：或， 解得：，． 【题型2 因式分解法的理解】 5.用分解因式法解方程，将左边分解后有一个因式是，则的值是（   ） A． B．5 C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 由于方程左边分解因式后有一个因式是，则是方程的一个根，代入原方程即可求出的值． 【详解】解：∵将方程左边分解后有一个因式是， ∴是方程的一个根， 代入得，， 解得， 故选：D． 6.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】用因式分解法解方程得出或，再根据关于的一元二次方程有两个相等的实数根，即可得出，进而可求出m的值． 【详解】解：， 解得或． 由题可知， ． 7.关于x的一元二次方程的两个实数根都是整数，则正整数m的值为（     ） A．1 B．3 C．1或2 D．2或3 【答案】C 【分析】先利用因式分解法求得方程的两个根，再根据根为整数、m为正整数的条件即可确定m的值． 【详解】解：， ， ，． ∵ 原方程是关于x的一元二次方程，m为正整数， ∴ ． ∵ 两个实数根都是整数，是整数， ∴为整数，m是正整数， ∴或． 8.已知m是关于x的一元二次方程的一个实数根，且满足，则a的值为（   ）． A． B．1 C．或 D．或1 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，由题意可求得，，从而可得出方程，解方程即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵m是关于x的一元二次方程的一个实数根， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 整理可得：， 解得：或， ∵， ∴， 故选：A． 【题型3 因式分解法的应用】 9．一元二次方程的一个根为3，那么它的另一个根为（     ） A． B．0 C．2 D． 【答案】B 【分析】已知一元二次方程的一个根，可先将根代入方程求出参数m的值，再解一元二次方程得到另一个根即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴将代入原方程得，可得， ∴原方程为，即， 解得， ∴方程的另一个根为． 10．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（     ） A．9 B．11 C．13 D．11或13 【答案】C 【分析】先求解一元二次方程得到第三边的两个可能取值，再根据三角形三边关系判断符合条件的第三边长度，最后计算三角形周长． 【详解】解：， 因式分解得， ∴， 解得或． 根据三角形三边关系，可得第三边的取值范围为， 即． ∵不满足，不能构成三角形，舍去， 满足，可以构成三角形． ∴三角形的周长为． 11．保定古莲花池内一个景观石的坐标为且满足：，是一元二次方程的两个根，，则表示景观石位置的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先解一元二次方程得到两个根，结合确定点横纵坐标的符号，再根据象限的坐标特征判断点所在象限． 【详解】解：， ， ∴ 或 ， 解得 ，， ∵ ，是方程的两个根，且， ∴ ，，即点坐标为， ∵ 横坐标为负，纵坐标为正，符合第二象限点的坐标特征， ∴ 点在第二象限． 12．已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵方程的两根恰好是某菱形的对角线长， ∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7， ∴该菱形的面积为． 【题型4 用指定方法解下列方程】 13．解下列方程： (1)（用配方法）； (2) （用公式法）； (3)（因式分解法）； (4)（选适当方法）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）直接运用配方法解答即可； （2）先运用根的判别式判断方程根的情况，再运用求根公式求解即可； （3）先移项，然后再运用因式分解法求解即可； （4）直接运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 所以． （2）解：， ∵， ∴， ∴． （3）解：， ， ， ， 或， ∴． （4）解：， ， 或， ∴． 14．解方程： (1)；（用配方法） (2)（用公式法） (3)（用因式分解法） (4)（用适当的方法） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴或， 解得； （2）解： ， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 解得； （3）解： ， ， ， ， ∴或， 解得； （4）解： ， ， ， ， ∴或， 解得． 【题型5 选择合适方法解一元二次方程】 15．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）根据因式分解法可进行求解； （2）根据因式分解法可进行求解． 【详解】（1）解： 或 解得：； （2）解： 或 解得：． 16．用适当的方法解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）用配方法解一元二次方程． （2）先展开等式左边，然后移项因式分解． 【详解】（1）解： 两边同时除以9得： 即 配方得： 计算得： ∴ 因此 ∴，． （2）解： 去括号得： 移项得： 整理得： 因式分解得： ∴或 解得，． 17．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握是解题关键． （1）根据因式分解法求解即可； （2）根据因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， 解得． （2）解： ， ， ， 解得． 18．用适当的方法解一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，根据方程特征选择合适方法求解，整理一般的形式，可以因式分解就用因式分解法求解，无法直接因式分解，就选用求根公式法求解即可． 【详解】（1）解： 代入求根公式得 ∴， （2）解： 整理得 因式分解得 ∴或 解得， 【题型6 判断解一元二次方程的正误】 19．解方程：文文与明明两位同学解方程的过程如下： 文文： 两边同除以，得 则． 明明： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得． 文文的解法 ；明明的解法 ；（填“正确”或“不正确”） 请你写出解一元二次方程的正确过程： 【答案】不正确；不正确；正确过程见解析 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键； 先根据解一元二次方程的解法判断，然后再根据因式分解法解方程即可． 【详解】解：文文的解法：当时，不满足等式的性质，故文文的解法不正确； 明明的解法，在提取公因式时错误，正确应为， 正确过程如下： ∴或， ∴． 20．习题课上老师给了一道方程：． 洋洋的解法 方程可化为：    …第一步     …第二步         …第三步     …第四步 ∴，        …第五步 融融的解法 方程可化为：    …第一步 两边都除以    …第二步 ∴    …第三步 (1)她们的解法都是错误的，洋洋从第______步开始错误，错因是______；融融从第______步开始错误，错因是______； (2)请你正确解出该方程． 【答案】(1)二，违反了等式的基本性质1，右边漏加1，二，违反了等式的基本性质2，可能为0 (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据等式的基本性质回答即可． （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：洋洋从第二步开始错误，违反了等式的基本性质1，右边漏加1 融融从第二步开始错误，违反了等式的基本性质2，可能为0． 故答案为：二，违反了等式的基本性质1，右边漏加1，二，违反了等式的基本性质2，可能为0 （2）解：方程可化为， ， ， 或． ，． 【题型7 换元法解一元二次方程】 21．已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 【答案】C 【分析】采用换元法简化原方程，结合平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】解：设， 原方程可化为， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 22．已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（　　） A． B． C． D．，方程无实数解 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，整体思想的运用，熟练掌握整体思想的应用是关键． 通过变量替换，令，将新方程转化为原方程形式，利用已知解求解关于的方程． 【详解】令，则方程化为, ∵方程的解为，， ∴或， ∴或， 解得或 ∴新方程的解为， 故选：A． 23．设，是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边为________． 【答案】 【分析】本题考查换元法，解一元二次方程，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．通过换元法，设 ，将原方程转化为一元二次方程求解，得到 ，再根据勾股定理得出斜边长． 【详解】解：设 ， 则原方程化为 ， 即 ， ， 解得 或 ， 由于 ，故舍去 ， ∴， 在直角三角形中，斜边长的平方等于两直角边的平方和， 故斜边长为． 故答案为 ． 24．已知实数x满足，则代数式的值为________． 【答案】7 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程． 通过换元法将原方程转化为关于新变量的一元二次方程，求解后验证实数解条件，排除无效解，最后代入求值． 【详解】解：设， 则原方程化为， 因式分解得， 所以或， 即或． 当时，方程的判别式，无实数解，故舍去； 当时，方程的判别式； ∴． 故答案为：7． 【题型7 因式分解法解一元二次方程的综合应用】 25．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若方程两个根均为负整数，求负整数的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)负整数的值为、、或 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与因式分解法解方程． （1）通过计算判别式，判断其非负性，从而证明方程总有实数根； （2）先因式分解求出方程的根，再根据根为负整数的条件，结合为负整数的要求，确定的取值． 【详解】（1）解：对于一元二次方程， 其判别式． ∵，即， ∴无论取何值，方程总有实数根； （2）解：对原方程因式分解，得， 解得，． ∵方程的两个根均为负整数，且是负整数， ∴也需为负整数. 又∵是负整数， ∴，解得， ∴的取值为、、或． 26．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何实数，该方程总有实数根； (2)若一个等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求m的值及这个三角形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)当时，三角形的周长为13；当时，三角形的周长为11． 【分析】本题主要考查根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的定义，熟练掌握根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式来判断即可； （2）根据题意分两种情况讨论：当腰为5时和当底为5时，然后分别求出符合条件的，即可求出周长． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∴无论取任何实数，方程总有实数根； （2）解：当腰为5时，5为方程的解， 把代入，得， 得， ∴ 或 解得， ∴方程的另外一个解为， ∴此时三角形三边长为3，5，5 ∵，符合题意， 此时三角形的周长； 当底为5时， ∵另两边恰好是这个方程的两根， ∴， 解得， ∴ ∴ ∴ 此时方程的解为， ∴此时三角形三边长为3，3，5 ∵，符合题意， ∴三角形的周长． 综上所述，当时，三角形的周长为13；当时，三角形的周长为11． 27．定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断关于x的方程_____“倍根方程”．（填“是”或“不是”） (2)若关于x的方程有两个不相等的实数根，且该方程是“倍根方程”，请求出a的值． 【答案】(1)是 (2)a的值为3或 【分析】本题是阅读理解类题目，主要考查了解一元二次方程，解题的关键是读懂题意． （1）通过解方程得到根，判断是否满足倍根关系． （2）根据因式分解形式直接得到根，结合有两个不等根和倍根条件求a的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ， 该方程是“倍根方程”， 故答案为：是． （2）解：方程的根为， 原方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 又 ∵该方程是“倍根方程”， ∴有两种情况：情况一：， ∴， ∴， 情况二：， ， ， ， 经检验，和均满足， a的值为3或． 28．阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解得 当时，，∴； 当时，，∴； 原方程有四个根： (1)在由原方程得到方程①的过程中，利用___________法达到降次的目的，体现了数学的_________思想． (2)解方程： 【答案】(1)换元；转化 (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知换元法解方程是解题的关键． （1）解方程运用了换元法，即体现了转化的数学思想； （2）设，则，解方程得到，进而得到方程，，分别解这两个方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想； （2）解：设， ∴原方程可变为， ∴， 解得， 当时，，即， ∵， ∴此时方程无解； 当时，，即， ∴， 解得． 课后作业 1．关于x的一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是关键．通过提取公因式求解即可． 【详解】解：， ， 或， 即，． 故选：B． 2．若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义，通过一元二次方程，变形为，再根据题意可得一元二次方程有一个根为，然后求解即可，掌握换元法是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴， ∵关于的一元二次方程有一根为， ∴一元二次方程有一个根为，解得， 故选：． 3．关于y的方程，下面解法完全正确的是（   ） 甲 乙 丙 丁 整理得； ∴，， ∴ ∴ 两边同时除以得 移项得： ∴ ∴或 ∴， 整理得： 配方得： ∴ ∴ ∴， A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 利用一元二次方程的解法进行逐个判断，即可求解． 【详解】解：甲、方程化简得，甲写成，故甲解法错误； 乙、直接两边除以，未考虑的情况，会漏解，故乙解法错误； 丙、移项时符号错误，正确移项应为，丙写成，导致后续结果错误，故丙解法错误； 丁、化简得，配方得，得，即，解得，，解法完全正确； 综上可知丁的解法完全正确，选项D符合题目要求． 故选：D． 4．若分式的值为，则的值是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键． 根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算即可． 【详解】解：∵的值为， ∴，且， 解得或，且， ∴． 故选：B． 5．已知关于的一元二次方程的两根分别是直角三角形的两直角边，则这个直角三角形的面积为（） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程． 根据因式分解法解一元二次方程，然后利用面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴两根分别为和， 即两直角边长为2和3， ∴面积， 故选：D 6．已知：关于x的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为，（其中），若y是关于x的函数，设，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，二次函数的图象性质，熟记一元二次方程的求根公式是解本题的关键． 利用一元二次方程的求根公式求出两根或，又因为，，，得，整理得，结合二次函数的图象性质得的函数图象开口向下，则当时，得，又因为，即可得出结论． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ， ∴， ∴或 ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 则 当时， 解得， ∵的函数图象开口向下， ∴当时，得， ∵， ∴． 7．对于实数m，n，现定义一种运算“*”如下：，若，则实数x的值为（   ） A．3或 B．或8 C．8 D．3 【答案】D 【分析】根据新定义分两种情况计算：当时，；当时，；分别求解即可． 【详解】解：若， 则当时，， 整理得， 解得（舍去）或， 当时，， 解得（舍去）， 综上，， 故选：D． 8．若代数式的值与的值相等，则x的值为_____． 【答案】或6 【详解】解：∵代数式的值与的值相等， ∴， ， ， ， ∴． 故答案为：或6． 9．已知关于的一元二次方程的解是，，则另一个关于的方程的解是_____． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 令，则整理为，由题意知，的解是，，即或，计算求解即可． 【详解】解：令， ∴整理为， ∴， ∵关于的一元二次方程的解是，， ∴的解是，， ∴或， 解得，， 故答案为：，． 10．关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是______． 【答案】， 【分析】此题主要考查利用整体代换思想解方程．熟练掌握该知识点是关键；通过观察方程结构，可将第二个方程中的看作一个整体，则该整体的值应等于第一个方程的解，从而求出的值． 【详解】解：关于的方程的解是，，，均为常数，， 方程变形为， 即此方程中或， 解得或． 故答案为：，． 11．当______时，分式的值为零． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，解一元二次方程． 根据分式的值为零的条件得到且，进而求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴分子且分母． 解方程，得或； 解，得； 即或且， ∴． 故答案为：． 12．用适当的方法解方程： (1) (2)． (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ， 或， 解得； （2）解：， ， ， 解得； （3）解：， ，即， ， 或， 解得； （4）解：， ， ， 或， 解得. 13．用合适的方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）利用直接开平方法求解即可； （）利用因式分解法求解即可； （）利用公式法求解即可； （）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， 或 ∴，； （2）解：， ， 或， ∴，； （3）解： ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； （4）解：， ， 或， ∴，． 14．关于的一元二次方程． (1)若，求方程的解； (2)求证：无论取何值，方程总有实数根． 【答案】(1)， (2)解：∵一元二次方程，且 ∴ ， 无论取何值，方程总有实数根． 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可． （2）根据证明即可． 【详解】（1）解：当时，变形为， ∴， 解得，． （2）略 15．已知关于x的一元二次方程． (1)试判断方程的根的情况； (2)若此方程有一个根大于0且小于1，求k的取值范围． 【答案】(1)此方程总有实数根 (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式： （1）利用根的判别式进行求解即可； （2）利用因式分解法解方程得到或，进而得到，则． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∵， ∴， ∴此方程总有实数根； （2）解：∵， ∴， 解得或， ∵此方程有一个根大于0且小于1， ∴， ∴． 16．已知为实数，关于的一元二次方程为． (1)判断方程根的情况． (2)若方程有一个根大于且小于，试求的取值范围． 【答案】(1)方程总有两个实数根； (2)的取值范围为． 【分析】本题考查了根的判别式及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握根的判别式． （）根据根的判别式即可判断； （）利用因式分解法解一元二次方程可得出，结合方程有一个根大于且小于可得出，解之即可得出的取值范围． 【详解】（1）解： ∴ ， ∴方程总有两个实数根； （2）解： ， 解得，， ∵方程有一个根大于且小于，且， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 17．关于的一元二次方程，设，是此方程的两个根． (1)若，求的值； (2)若方程有一个根不小于5，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程． （1）根据根与系数的关系，得到，先展开，再代入求解即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程可得出，结合该方程有一个根不小于5，可得出，解之即可得出m的取值范围． 【详解】（1）解：∵是方程的根， ， ， 解得； （2）解：， 即， ， 方程有一个根不小于5， ， ． 的取值范围是． 18．阅读下面的例题： 解方程：． 解：（1）当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去）． （2）当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去），， ∴原方程的根是． 请参照例题解方程，则此方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了含绝对值的一元二次方程的解法，解题的关键是分情况讨论去掉绝对值符号，易错点是讨论后对不符合前提条件的根的取舍．分（即）和（即）两种情况，分别去掉绝对值符号，转化为一元二次方程求解，再根据前提条件取舍． 【详解】解：当时，原方程化为， 即， 解得 (不合题意，舍去)， (不合题意，舍去)； 当时，原方程化为， 即， 解得． 所以原方程的根是． 故答案为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 因式分解法解一元二次方程（暑假预习） 【新教材人教版】 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 【题型1 因式分解法解一元二次方程】 1．解方程： (1)； (2)． 2．解方程： (1) (2) 3．解方程 (1)； (2)． 4．解下列关于的一元二次方程： (1)； (2)． 【题型2 因式分解法的理解】 5.用分解因式法解方程，将左边分解后有一个因式是，则的值是（   ） A． B．5 C． D．1 6.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 7.关于x的一元二次方程的两个实数根都是整数，则正整数m的值为（     ） A．1 B．3 C．1或2 D．2或3 8.已知m是关于x的一元二次方程的一个实数根，且满足，则a的值为（   ）． A． B．1 C．或 D．或1 【题型3 因式分解法的应用】 9．一元二次方程的一个根为3，那么它的另一个根为（     ） A． B．0 C．2 D． 10．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（     ） A．9 B．11 C．13 D．11或13 11．保定古莲花池内一个景观石的坐标为且满足：，是一元二次方程的两个根，，则表示景观石位置的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【题型4 用指定方法解下列方程】 13．解下列方程： (1)（用配方法）； (2) （用公式法）； (3)（因式分解法）； (4)（选适当方法）． 14．解方程： (1)；（用配方法） (2)（用公式法） (3)（用因式分解法） (4)（用适当的方法） 【题型5 选择合适方法解一元二次方程】 15．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 16．用适当的方法解一元二次方程： (1)； (2)． 17．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 18．用适当的方法解一元二次方程： (1) (2) 【题型6 判断解一元二次方程的正误】 19．解方程：文文与明明两位同学解方程的过程如下： 文文： 两边同除以，得 则． 明明： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得． 文文的解法 ；明明的解法 ；（填“正确”或“不正确”） 请你写出解一元二次方程的正确过程： 20．习题课上老师给了一道方程：． 洋洋的解法 方程可化为：    …第一步     …第二步         …第三步     …第四步 ∴，        …第五步 融融的解法 方程可化为：    …第一步 两边都除以    …第二步 ∴    …第三步 (1)她们的解法都是错误的，洋洋从第______步开始错误，错因是______；融融从第______步开始错误，错因是______； (2)请你正确解出该方程． 【题型7 换元法解一元二次方程】 21．已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 22．已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（　　） A． B． C． D．，方程无实数解 23．设，是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边为________． 24．已知实数x满足，则代数式的值为________． 【题型7 因式分解法解一元二次方程的综合应用】 25．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若方程两个根均为负整数，求负整数的值． 26．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何实数，该方程总有实数根； (2)若一个等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求m的值及这个三角形的周长． 27．定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断关于x的方程_____“倍根方程”．（填“是”或“不是”） (2)若关于x的方程有两个不相等的实数根，且该方程是“倍根方程”，请求出a的值． 28．阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解得 当时，，∴； 当时，，∴； 原方程有四个根： (1)在由原方程得到方程①的过程中，利用___________法达到降次的目的，体现了数学的_________思想． (2)解方程： 课后作业 1．关于x的一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 3．关于y的方程，下面解法完全正确的是（   ） 甲 乙 丙 丁 整理得； ∴，， ∴ ∴ 两边同时除以得 移项得： ∴ ∴或 ∴， 整理得： 配方得： ∴ ∴ ∴， A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．若分式的值为，则的值是（    ） A．或 B． C． D．或 5．已知关于的一元二次方程的两根分别是直角三角形的两直角边，则这个直角三角形的面积为（） A．6 B．5 C．4 D．3 6．已知：关于x的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为，（其中），若y是关于x的函数，设，若，则（　　） A． B． C． D． 7．对于实数m，n，现定义一种运算“*”如下：，若，则实数x的值为（   ） A．3或 B．或8 C．8 D．3 8．若代数式的值与的值相等，则x的值为_____． 9．已知关于的一元二次方程的解是，，则另一个关于的方程的解是_____． 10．关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是______． 11．当______时，分式的值为零． 12．用适当的方法解方程： (1) (2)． (3) (4) 13．用合适的方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．关于的一元二次方程． (1)若，求方程的解； (2)求证：无论取何值，方程总有实数根． 15．已知关于x的一元二次方程． (1)试判断方程的根的情况； (2)若此方程有一个根大于0且小于1，求k的取值范围． 16．已知为实数，关于的一元二次方程为． (1)判断方程根的情况． (2)若方程有一个根大于且小于，试求的取值范围． 17．关于的一元二次方程，设，是此方程的两个根． (1)若，求的值； (2)若方程有一个根不小于5，求的取值范围． 18．阅读下面的例题： 解方程：． 解：（1）当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去）． （2）当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去），， ∴原方程的根是． 请参照例题解方程，则此方程的根是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $