3.3立方根（讲义，3个知识点5大题型）数学新教材浙教版七年级上册

本初中数学讲义聚焦“立方根”核心知识点，以正方体体积求棱长情境引入定义，系统梳理立方根的符号表示、性质（正负0的立方根规律及公式），通过对比平方根明确被开方数范围与根的个数差异，构建从概念到应用的学习支架。 资料设计突出情境化与对比性，通过实际几何问题培养数学眼光，对比表格强化推理意识，随学随练与分层题型助力课中教学效率提升，课后可通过综合应用题巩固模型意识，有效帮助学生查漏补缺。

第三章 实数 3.3 立方根 课标要点 1.结合正方体体积求棱长的实际情境，理解立方根的定义，掌握立方与开立方互为逆运算的关系。 2.会正确读写立方根符号，对比平方根区分被开方数取值范围，明确任意实数都存在立方根。 3.能依据立方运算，熟练求出正数、0、负数的立方根，归纳立方根符号规律：正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根是0。 4.掌握公式，能对负被开方数的立方根进行变形化简，规范书写计算步骤。 5.对比平方根与立方根的概念、性质差异，梳理两类开方运算的区别，能利用立方根解决正方体棱长、体积相关实际几何问题。 学习重难点 重点： 1.立方根的概念、符号表示，熟练求任意实数的立方根。 2.立方根的符号化简法则。 难点： 1.区分平方根与立方根的性质差异（被开方数范围、根的个数、符号规律），避免混淆。 2.含负号、带分数的立方根化简计算。 3结合立方根列方程求解几何体棱长的综合应用题。 知识点 立方根的定义（重点） 1.定义：如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么这个数x叫做a的立方根，也叫三次方根。 2.表示方法：a的立方根记作，读作“三次根号a”。 易错提醒 立方根的根指数3不能省略，不可写成，仅表示算术平方根。 随学随练 1．（25-26七年级下·浙江金华·开学考试）如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数是（   ） A．0，1 B．1， C．0， D．0， 2．（2026七年级上·浙江·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．64的平方根是8 B．125的立方根是 C．算术平方根是它本身的数是0 D．的立方根是 知识点 立方根的性质（重点） 1.正数的立方根是正数； 2.负数的立方根是负数； 3.0的立方根是0； 4.重要公式：，负数可以直接开立方。 特别提醒 平方根只有非负数能开，而任意实数（正数、0、负数）都有唯一的立方根，这是立方根与平方根最核心区别。 随学随练 1．（26-27七年级·浙江·暑假作业）的立方根是（    ） A．2 B． C．4 D． 2．（26-27七年级·浙江·暑假作业）求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点 平方根与立方根对比区分（难点） 1.存在条件：平方根仅非负数存在；全体实数都有立方根。 2.根的个数：正数有2个互为相反数的平方根；任意实数仅有1个立方根。 3.符号规则：；符号与a保持一致。 教材延伸 1.拓展结论：，，化简求值高频公式； 2.综合题型：结合平方根、立方根定义，列方程求解未知数，是考试常考大题。 随学随练 1．（26-27七年级·浙江·暑假作业）一个数的立方根等于它本身，且这个数的平方根也等于它本身，则这个数是（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）下列说法：①一个数的立方根有两个，它们互为相反数；②负数没有立方根；③任何数的立方根都只有一个；④如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根．其中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（26-27七年级·浙江·暑假作业）若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 题型 立方根的概念 ▌例1 （25-26七年级上·浙江·期末）下列说法正确的是（    ）． A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．负数没有立方根 D．是2的算术平方根 解题贴士 任意实数有且只有 1 个立方根；正数平方根有2个，立方根永远只有1个。 ▌对点练1-1 （25-26七年级上·浙江金华·期中）下列说法正确的是（   ） A．立方根等于本身的数是0和1 B．一定没有平方根 C．有理数与数轴上的点是一一对应的 D．两个无理数的和可能是有理数 ▌对点练1-2 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）下列说法：①若两个数乘积为1，则这两个数必互为倒数；②任何正数都有两个互为相反数的平方根；③立方根等于本身的数有1，0，；④一个数的算术平方根一定比原数小．其中错误的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 题型 求一个数的立方根 ▌例2 （25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）8的立方根为（   ） A． B．2 C． D．4 解题贴士 求一个数的立方根，就看哪个数的立方等于这个数。 ▌对点练2-1 （26-27七年级·浙江·暑假作业）______ ；的立方根是______ ． ▌对点练2-2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 题型 立方根的实际应用 ▌例3 （26-27七年级·浙江·暑假作业）小雨做了一个棱长为的正方体盒子，小雪说：“我做的正方体盒子体积比你的大．”则小雪做的盒子的棱长为______． 解题贴士 区分正方体体积（立方）和正方形面积（平方），不要混淆公式。 ▌对点练3-1 （26-27七年级·浙江·暑假作业）把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块．锻造成的立方体铁块的棱长是多少厘米？ ▌对点练3-2 （25-26七年级上·浙江温州·期中）如图1是一个立方体木块，其体积是． (1)求立方体的棱长； (2)如图2所示，在立方体木块中挖去一个圆柱体后，木块体积只剩，求圆柱体底面半径．（取3.14） 题型 与立方根有关的规律探索 ▌例4 （25-26七年级上·浙江衢州·期末）若，，则_____． 解题贴士 被开方数的小数点每向左/右移动3位，它的立方根小数点向相同方向移动1位。 ▌对点练4-1 （26-27七年级·浙江·暑假作业）若，，，则=_____． ▌对点练4-2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）观察下表，并用所得的规律解决问题： (1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位； (2)应用：①已知，则___________； ②已知，则___________； (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值． 题型 算术平方根、平方根、立方根综合应用 ▌例5 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知是的立方根，是的平方根与的立方根的和，是的平方． (1)直接写出，的值，并比较，，的大小． (2)求的所有可能值． 解题贴士 一个数等于它的平方根的平方，立方根的立方。 ▌对点练5-1 （26-27七年级·浙江·暑假作业）已知的立方根是的算术平方根是3． (1)求的值； (2)求的平方根． ▌对点练5-2 （25-26七年级上·浙江衢州·期末）已知的平方根是，的立方根是2． (1)求的算术平方根； (2)是的整数部分，求的立方根． 基础通关 1．（26-27七年级·浙江·暑假作业）下列说法中，正确的是（   ） A．的平方根是 B．是9的平方根 C．2是的正立方根 D．的平方根是 2．（26-27七年级·浙江·暑假作业）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27七年级·浙江·暑假作业）下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根； B．是4的算术平方根； C．立方根是它本身的数只有0； D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 4．（26-27七年级·浙江·暑假作业）如图，二阶魔方可看作由8个小立方块构成的正方体结构，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个小方块的边长为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图为钱外同学的小测卷，他的得分应是（   ） 姓名：钱外   得分：_____ 填空题每小题25分，共100分 ①2的相反数是； ②绝对值等于本身的数是0和1； ③8的立方根是2； ④16的平方根是4． A．25分 B．50分 C．75分 D．100分 6．（26-27七年级·浙江·暑假作业）对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（    ） A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，还有另一个值2 C．乙说得对，还有另一个值 D．两人说得都不对，应有个不同值 7．（26-27七年级·浙江·暑假作业）立方根等于它本身的数是________ 8．（26-27七年级·浙江·暑假作业）填空： （1）因为，所以8的立方根是________；因为，所以的立方根是________； （2）的立方根是________，即________； （3）的立方根是________； （4）的立方根是________； （5）________的立方根是0； （6）9的立方根是________． 9．（26-27七年级·浙江·暑假作业）4的平方根为，的立方根为，则的值为________． 10．（26-27七年级·浙江·暑假作业）求下列各数的立方根： (1)1000； (2)； (3)； (4)0.008． 11．（26-27七年级·浙江·暑假作业）求下列各式的值： (1) (2) (3) (4) 素养提升 12．（26-27七年级·浙江·暑假作业）已知，，则（   ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 13．（26-27七年级·浙江·暑假作业）正整数、分别满足、，则___________． 14．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）把下列各数填到相应的横线上（填序号）： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨（相邻的两个之间依次多一个）． 分数： ； 无理数： ； 是整数而不是负数： ； 负实数： ． 15．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分，求的平方根． 16．（26-27七年级·浙江·暑假作业）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示． (1)用“”“”或“”填空：b_____0，_____0，_____0； (2)化简：． 迁移创新 17．（26-27七年级·浙江·暑假作业）观察下列式子： ①；②； ③；④． 根据上述等式反映的规律，回答下列问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式： ； (2)由等式①②③④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若 ，则反之也成立； (3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求x的立方根． 18．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）阅读理解下面内容，并解决问题： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，希望求出它的立方根，华罗庚脱口而出地报出答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请阅读下面的问题和解答： ，，你能确定是几位数吗？ ，． 是两位数． 的个位上的数是，你能确定的个位上的数是几吗？ 只有个位数是的立方数的个位数依然是，的个位数是． 如果划去后面的三位得到，而，，由此你能确定其十位上的数是几吗？ ，．的十位数是． 所以，的立方根是． 问题：已知整数是整数的立方． (1)说明是一个几位数； (2)求的值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 实数 3.3 立方根 课标要点 1.结合正方体体积求棱长的实际情境，理解立方根的定义，掌握立方与开立方互为逆运算的关系。 2.会正确读写立方根符号，对比平方根区分被开方数取值范围，明确任意实数都存在立方根。 3.能依据立方运算，熟练求出正数、0、负数的立方根，归纳立方根符号规律：正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根是0。 4.掌握公式，能对负被开方数的立方根进行变形化简，规范书写计算步骤。 5.对比平方根与立方根的概念、性质差异，梳理两类开方运算的区别，能利用立方根解决正方体棱长、体积相关实际几何问题。 学习重难点 重点： 1.立方根的概念、符号表示，熟练求任意实数的立方根。 2.立方根的符号化简法则。 难点： 1.区分平方根与立方根的性质差异（被开方数范围、根的个数、符号规律），避免混淆。 2.含负号、带分数的立方根化简计算。 3结合立方根列方程求解几何体棱长的综合应用题。 知识点 立方根的定义（重点） 1.定义：如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么这个数x叫做a的立方根，也叫三次方根。 2.表示方法：a的立方根记作，读作“三次根号a”。 易错提醒 立方根的根指数3不能省略，不可写成，仅表示算术平方根。 随学随练 1．（25-26七年级下·浙江金华·开学考试）如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数是（   ） A．0，1 B．1， C．0， D．0， 【答案】D 【详解】解：0，的立方根等于本身． 2．（2026七年级上·浙江·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．64的平方根是8 B．125的立方根是 C．算术平方根是它本身的数是0 D．的立方根是 【答案】D 【分析】本题考查平方根和立方根的定义，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义． 根据定义逐一判断各选项． 【详解】解：∵ 64的平方根是，而不是8， ∴ A错误； ∵ 125的立方根是5，而不是， ∴ B错误； ∵ 算术平方根是它本身的数有0和1，而不是只有0， ∴ C错误； ∵， ∴的立方根是， ∴D正确； 故选：D． 知识点 立方根的性质（重点） 1.正数的立方根是正数； 2.负数的立方根是负数； 3.0的立方根是0； 4.重要公式：，负数可以直接开立方。 特别提醒 平方根只有非负数能开，而任意实数（正数、0、负数）都有唯一的立方根，这是立方根与平方根最核心区别。 随学随练 1．（26-27七年级·浙江·暑假作业）的立方根是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查立方根的概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，即，那么x叫做a的立方根.根据立方根的定义求值，对照选项即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故选：D． 2．（26-27七年级·浙江·暑假作业）求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握该定义是本题解题的关键． （1）利用立方根的定义即可得到结果； （2）利用立方根的定义即可得到结果； （3）利用立方根的定义即可得到结果； （4）利用立方根的定义即可得到结果． 【详解】（1）解：因为，所以的立方根是； （2）解：因为，所以的立方根是； （3）解：因为， 所以的立方根是； （4）解：因为， 所以的立方根是． 知识点 平方根与立方根对比区分（难点） 1.存在条件：平方根仅非负数存在；全体实数都有立方根。 2.根的个数：正数有2个互为相反数的平方根；任意实数仅有1个立方根。 3.符号规则：；符号与a保持一致。 教材延伸 1.拓展结论：，，化简求值高频公式； 2.综合题型：结合平方根、立方根定义，列方程求解未知数，是考试常考大题。 随学随练 1．（26-27七年级·浙江·暑假作业）一个数的立方根等于它本身，且这个数的平方根也等于它本身，则这个数是（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 【答案】A 【详解】解：∵立方根等于本身的数为，平方根为本身的数只有0， 故这个数为0. 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）下列说法：①一个数的立方根有两个，它们互为相反数；②负数没有立方根；③任何数的立方根都只有一个；④如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根．其中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了平方根、立方根，根据平方根和立方根的定义逐项判断即可求解，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：①一个数的平方根有两个，它们互为相反数，该选项说法错误； ②负数有立方根，该选项说法错误； ③任何数的立方根都只有一个，该选项说法正确； ④一个数有立方根，这个数不一定有平方根，比如负数，该选项说法错误； ∴正确的说法有个， 故选：． 3．（26-27七年级·浙江·暑假作业）若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查根式的运算性质，特别是奇次根式与偶次根式的区别，以及绝对值的应用，理解相关概念是解题的关键. 【详解】解： ∵； ∴ 故选：A. 题型 立方根的概念 ▌例1 （25-26七年级上·浙江·期末）下列说法正确的是（    ）． A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．负数没有立方根 D．是2的算术平方根 【答案】D 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，以及立方根的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键．根据平方根，算术平方根，以及立方根的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．的平方根是，故不正确； B．的算术平方根是，故不正确； C．负数有一个负的立方根，故不正确； D．是2的算术平方根，正确； 故选D． 解题贴士 任意实数有且只有 1 个立方根；正数平方根有2个，立方根永远只有1个。 ▌对点练1-1 （25-26七年级上·浙江金华·期中）下列说法正确的是（   ） A．立方根等于本身的数是0和1 B．一定没有平方根 C．有理数与数轴上的点是一一对应的 D．两个无理数的和可能是有理数 【答案】D 【分析】本题考查立方根、平方根、数轴、无理数等知识，熟练掌握相关概念，逐项判定即可得到答案． 【详解】解：A、立方根等于本身的数是0、1和，选项说法错误，不符合题意； B、不一定是负数，当，，此时有平方根，选项说法错误，不符合题意； C、实数与数轴上的点是一一对应的，选项说法错误，不符合题意； D、比如，则两个无理数的和可能是有理数，说法正确，符合题意； 故选：D． ▌对点练1-2 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）下列说法：①若两个数乘积为1，则这两个数必互为倒数；②任何正数都有两个互为相反数的平方根；③立方根等于本身的数有1，0，；④一个数的算术平方根一定比原数小．其中错误的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的性质，直接利用立方根的定义以及平方根的定义分别分析得出答案． 【详解】解：①若两个数乘积为1，则这两个数必互为倒数，此说法正确，故不符合题意； ②任何正数都有两个互为相反数的平方根，此说法正确，故不符合题意； ③立方根等于本身的数有1，0，，此说法正确，故不符合题意； ④一个数的算术平方根一定比原数小，此说法错误，比如，0的算术平方根是0，故符合题意； 故选：D． 题型 求一个数的立方根 ▌例2 （25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）8的立方根为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴8的立方根为2， 故选：B． 解题贴士 求一个数的立方根，就看哪个数的立方等于这个数。 ▌对点练2-1 （26-27七年级·浙江·暑假作业）______ ；的立方根是______ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根，立方根的计算，根据立方根和平方根的定义，直接计算的值，以及先计算的值再求其立方根即可，解题的关键是掌握平方根和立方根的求解过程． 【详解】解：由； ∵， ∴的立方根是，即的立方根是， 故答案为：，． ▌对点练2-2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查立方根． （1）根据立方根的定义求解即可； （2）根据立方根的定义求解即可； （3）根据立方根的定义求解即可； 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：． 题型 立方根的实际应用 ▌例3 （26-27七年级·浙江·暑假作业）小雨做了一个棱长为的正方体盒子，小雪说：“我做的正方体盒子体积比你的大．”则小雪做的盒子的棱长为______． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义，先计算小雨盒子的体积，再求出小雪盒子的体积，然后利用立方根定义解答即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，小雨盒子的体积为， ∴小雪盒子的体积为， ∴小雪盒子的棱长为 ， 故答案为：． 解题贴士 区分正方体体积（立方）和正方形面积（平方），不要混淆公式。 ▌对点练3-1 （26-27七年级·浙江·暑假作业）把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块．锻造成的立方体铁块的棱长是多少厘米？ 【答案】锻造成的立方体铁块的棱长是厘米 【分析】本题考查了立方根的应用，把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，这个过程体积不发生变化，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设锻造成的立方体铁块的棱长是厘米， ∵把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块， ∴， 即， 解得， ∴锻造成的立方体铁块的棱长是厘米 ▌对点练3-2 （25-26七年级上·浙江温州·期中）如图1是一个立方体木块，其体积是． (1)求立方体的棱长； (2)如图2所示，在立方体木块中挖去一个圆柱体后，木块体积只剩，求圆柱体底面半径．（取3.14） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根和平方根的应用，掌握正方体和圆柱体的体积是解题关键． （1）根据正方体的体积公式求解即可； （2）设圆柱体底面半径为，用正方体的体积减圆柱的体积列方程求解即可． 【详解】（1）解：立方体木块的体积是， 则棱长为； （2）解：设圆柱体底面半径为， 则， 解得：（负值舍去）， 即圆柱体底面半径为． 题型 与立方根有关的规律探索 ▌例4 （25-26七年级上·浙江衢州·期末）若，，则_____． 【答案】47.4 【分析】本题考查了立方根的计算，算术平方根的计算等，熟知立方根的性质变形是解题的关键． 根据立方根的运算法则求出，接着求出，再计算的值即可． 【详解】， ， 又， ． 故答案为：47.4． 解题贴士 被开方数的小数点每向左/右移动3位，它的立方根小数点向相同方向移动1位。 ▌对点练4-1 （26-27七年级·浙江·暑假作业）若，，，则=_____． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．依据被开方数小数向左或向右移动3位时，则对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． ▌对点练4-2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）观察下表，并用所得的规律解决问题： (1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位； (2)应用：①已知，则___________； ②已知，则___________； (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值． 【答案】(1)三；一 (2)①；②； (3)． 【分析】本题考查的知识点是算术平方根、立方根有关的规律探索问题，解题关键是由题意总结出规律． （1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 【详解】（1）解：结合表格内容得，被开方数的小数点向右（或左）移动三位，其立方根的小数点向右（或左）移动一位， 故答案为：三；一； （2）解：根据总结的规律可得：， ， 故答案为：①；②； （3）解：类比可得，被开方数的小数点移动两位，其平方根的小数点移动一位， ，， ． 题型 算术平方根、平方根、立方根综合应用 ▌例5 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知是的立方根，是的平方根与的立方根的和，是的平方． (1)直接写出，的值，并比较，，的大小． (2)求的所有可能值． 【答案】(1)，或；； (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根的定义以及实数大小比较，关键是根据平方根的双值性求出的所有可能值，再分别计算和，从而比较大小和求的值． （1）先根据立方根的定义求出，再根据平方根和立方根的定义求出的所有可能值，然后计算，最后根据正数大于负数，以及正数之间的大小比较规则比较，，的大小． （2）先根据的不同取值分别计算的值，再对结果进行平方，得到的所有可能值． 【详解】（1）解：∵是的立方根， ∴． ∵的平方根是，的立方根是， ∴当取时，；当取时，． ∴或． 当时，， ∵， ∴； 当时，， ∵， ∴； 综上，； （2）解：当时，， ∴； 当时，， ∴； 故只有一个值为． 解题贴士 一个数等于它的平方根的平方，立方根的立方。 ▌对点练5-1 （26-27七年级·浙江·暑假作业）已知的立方根是的算术平方根是3． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了立方根和平方根的定义，熟练掌握立方根和平方根的求法是关键． （1）根据立方根和算术平方根的定义进行计算即可； （2）先求出代数式的值，再计算平方根即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ， 解得：； （2）解：， ∴的平方根是． ▌对点练5-2 （25-26七年级上·浙江衢州·期末）已知的平方根是，的立方根是2． (1)求的算术平方根； (2)是的整数部分，求的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方根和立方根的性质，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题的关键． （1）根据平方根和立方根的性质可得，，从而得到，，再代入，即可求解； （2）先估算出，可得，然后再代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵的平方根是，    ∴，    ∴， ∵的立方根是2，    ∴，    ∴， ∴． （2）解：∵是的整数部分， ，   ∴，    ∴， ∴ 基础通关 1．（26-27七年级·浙江·暑假作业）下列说法中，正确的是（   ） A．的平方根是 B．是9的平方根 C．2是的正立方根 D．的平方根是 【答案】B 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，熟练掌握平方根、算术平方根、立方根的性质是解题关键．根据平方根、算术平方根、立方根的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、，的平方根是，则此项错误，不符合题意； B、9的平方根是，则此项正确，符合题意； C、的立方根是，则此项错误，不符合题意； D、，，则的平方根是，则此项错误，不符合题意； 故选：B． 2．（26-27七年级·浙江·暑假作业）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根、立方根定义与性质，熟记平方根、立方根定义与性质是解决问题的关键．由平方根、立方根定义与性质逐一分析各选项的等式是否成立，即可得到答案． 【详解】解：A、，选项中左边是两个值，而右边仅取正根，显然不等，故等式不成立，不符合题意； B、，故等式不成立，不符合题意； C、，故等式不成立，不符合题意； D、，故等式成立，符合题意； 故选：D． 3．（26-27七年级·浙江·暑假作业）下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根； B．是4的算术平方根； C．立方根是它本身的数只有0； D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 【答案】D 【分析】本题考查了立方根和算术平方根的概念，相反数的定义，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、负数有立方根，且负数的立方根是负数，故该选项不符合题意； B、4的算术平方根是2，不是，故该选项不符合题意； C、立方根是本身的数有0、1、，故该选项不符合题意； D、互为相反数的数的立方根也互为相反数，故该选项符合题意； 故选：D． 4．（26-27七年级·浙江·暑假作业）如图，二阶魔方可看作由8个小立方块构成的正方体结构，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个小方块的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查立方根的应用，根据题意，计算出每一个小正方体的体积，直接开立方即可得到每个小正方体的棱长，读懂题意，掌握正方体体积公式是解决问题的关键． 【详解】解：几何体由个形状大小完全相同的小正方体组成，且该几何体的体积约为， 每一个小正方体的体积为， ∴每个小正方体的棱长为， 故选：B． 5．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图为钱外同学的小测卷，他的得分应是（   ） 姓名：钱外   得分：_____ 填空题每小题25分，共100分 ①2的相反数是； ②绝对值等于本身的数是0和1； ③8的立方根是2； ④16的平方根是4． A．25分 B．50分 C．75分 D．100分 【答案】B 【分析】本题主要考查相反数、绝对值、立方根及平方根，熟练掌握相反数、绝对值、立方根及平方根是解题的关键；根据相反数、绝对值、立方根和平方根的定义判断各题正误，然后计算得分即可． 【详解】解：∵ ①2的相反数是，正确； ②绝对值等于本身的数是非负数（如0、1、2等），不止0和1，错误； ③8的立方根是2，正确； ④16的平方根是，不止4，错误； ∴正确题数为2个，得分为分； 故选B． 6．（26-27七年级·浙江·暑假作业）对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（    ） A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，还有另一个值2 C．乙说得对，还有另一个值 D．两人说得都不对，应有个不同值 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的定义．本题可通过换元法，利用立方根的定义求解方程，再判断甲、乙的说法是否正确． 【详解】解：设，则原方程变为． ∵一个数的立方根等于它本身的数是、、． ∴分三种情况讨论： ①当时，，解得． ②当时，，解得． ③当时，，解得． ∴的值为、、，共3个不同值． ∴甲、乙两人的说法都不对． 故选：D． 7．（26-27七年级·浙江·暑假作业）立方根等于它本身的数是________ 【答案】0，1， 【分析】本题考查了立方根，利用立方根的意义是解题关键．根据立方根的意义，可得答案． 【详解】解：立方根等于它本身的数是0，1，， 故答案为：0，1，． 8．（26-27七年级·浙江·暑假作业）填空： （1）因为，所以8的立方根是________；因为，所以的立方根是________； （2）的立方根是________，即________； （3）的立方根是________； （4）的立方根是________； （5）________的立方根是0； （6）9的立方根是________． 【答案】 2 3 3 / / 0 【分析】本题考查了立方根，掌握立方根的定义是解决问题的关键．如果一个数的立方是a，则这个数的立方根是， 根据立方根的定义即可得到结论． 【详解】解：（1）∵， ∴8的立方根是2； ， 的立方根是； （2）， 的立方根是3，即； （3）∵，∴的立方根是； （4）∵，∴的立方根是； （5）∵，∴0的立方根是0； （6）∵，∴9的立方根是 ． 故答案为：2，，3，3，，，0，． 9．（26-27七年级·浙江·暑假作业）4的平方根为，的立方根为，则的值为________． 【答案】或 【分析】此题考查平方根、算术平方根、立方根，解题关键在于掌握平方根、算术平方根、立方根的基本运算，特别注意一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．根据平方根、算术平方根、立方根的意义可得，然后分两种情况进行计算即可解答． 【详解】解：∵4的平方根是x，的立方根是y，且， ∴， ∴当时，； 当时，； 综上所述：的值为或． 故答案为：或． 10．（26-27七年级·浙江·暑假作业）求下列各数的立方根： (1)1000； (2)； (3)； (4)0.008． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是立方根的计算，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，即如果，那么x叫做a的立方根． （1）根据立方根的概念计算即可； （2）根据立方根的概念计算即可； （3）根据立方根的概念计算即可； （4）根据立方根的概念计算即可． 【详解】（1）解：因为， 所以1000的立方根是10，即． （2）解：因为， 所以的立方根是，即． （3）解：因为， 所以的立方根是，即． （4）解：因为， 所以0.008的立方根是0.2，即． 11．（26-27七年级·浙江·暑假作业）求下列各式的值： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了立方根的求解，注意计算的准确性即可． （1）利用立方根的定义即可求解； （2）根据即可求解； （3）利用立方根的定义即可求解； （4）根据即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）根据立方根的性质， 可得； （3）∵， ∴； （4）根据立方根的性质， 可得； 素养提升 12．（26-27七年级·浙江·暑假作业）已知，，则（   ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 【答案】A 【分析】本题考查了与立方根有关的规律探索，结合，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A 13．（26-27七年级·浙江·暑假作业）正整数、分别满足、，则___________． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算、代数式求值，熟练掌握无理数的估算方法，正确得到值是解答的关键．根据立方根和算术平方根的概念进行估算，从而代入求解． 【详解】解：∵，，，， 又∵，是正整数， ∴，， ∴， 故答案为：． 14．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）把下列各数填到相应的横线上（填序号）： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨（相邻的两个之间依次多一个）． 分数： ； 无理数： ； 是整数而不是负数： ； 负实数： ． 【答案】②④；①⑤⑥⑨；⑦；②③⑧ 【分析】本题考查实数的分类，解题的关键是根据分数、无理数、非负整数及负实数的意义依次对各个数进行判断即可．也考查了立方根及乘方． 【详解】解：①是无理数； ②是分数也是负实数； ③是整数，也是负实数； ④是分数； ⑤是无理数； ⑥是无理数； ⑦是整数而不是负数； ⑧是整数，也是负实数； ⑨（相邻的两个之间依次多一个）是无理数， ∴分数：②④； 无理数：①⑤⑥⑨； 是整数而不是负数：⑦； 负实数：②③⑧． 故答案为：②④；①⑤⑥⑨；⑦；②③⑧． 15．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了平方根、立方根的定义及无理数整数部分的确定，解题的关键是先求出、、的值，再代入计算． 根据平方根定义求，立方根定义求，通过的范围确定；计算，再求其平方根． 【详解】解：∵的平方根是， ∴； ∵的立方根是， ∴； ∵， ∴的整数部分； 则， 289的平方根是． 答：的平方根是． 16．（26-27七年级·浙江·暑假作业）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示． (1)用“”“”或“”填空：b_____0，_____0，_____0； (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根的性质、绝对值，实数的加减运算，实数与数轴等知识，掌握这些知识是关键； （1）由数轴知，且，结合实数的加法与减法法则即可完成； （2）利用（1）所得及平方根、立方根的性质、绝对值的意义化简即可． 【详解】（1）解：由数轴知：，且， 则， ∴，， 故答案为：；；； （2）解：∵，， ． 迁移创新 17．（26-27七年级·浙江·暑假作业）观察下列式子： ①；②； ③；④． 根据上述等式反映的规律，回答下列问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式： ； (2)由等式①②③④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若 ，则反之也成立； (3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求x的立方根． 【答案】(1) 解：依题意，（答案不唯一） (2) (3) 【分析】本题考查了与立方根有关的规律探索，相反数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察题干的过程，即可作答． （2）观察等式①②③④，再总结式子所反映的规律，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：由等式①②③④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若，则反之也成立； 故答案为：， （3）解：∵与的值互为相反数， ∴， 解得， ∴x的立方根是． 18．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）阅读理解下面内容，并解决问题： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，希望求出它的立方根，华罗庚脱口而出地报出答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请阅读下面的问题和解答： ，，你能确定是几位数吗？ ，． 是两位数． 的个位上的数是，你能确定的个位上的数是几吗？ 只有个位数是的立方数的个位数依然是，的个位数是． 如果划去后面的三位得到，而，，由此你能确定其十位上的数是几吗？ ，．的十位数是． 所以，的立方根是． 问题：已知整数是整数的立方． (1)说明是一个几位数； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）判断与、的大小关系，即可得解； （2）先判断个位数：根据一个数的立方的个位上的数就是这个数的个位上的数的立方的个位上的数，然后再判断十位数，即可得解． 【详解】（1）解：，，， ． 是两位数； （2）解：只有个位数是的立方数的个位数是， 的个位数是． 划去后面的三位得到， ，，， ， 的十位数是， 的立方根是，即． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $