1.2 证明 学案 —2026-2027学年青岛版数学八年级上册

该初中数学学案聚焦“证明”核心知识点，通过眼力考验、数数游戏等实践活动，引导学生从观察、归纳等合情推理过渡到演绎推理，结合KWL预习表、对比归纳表等学习支架，系统梳理证明必要性、基本事实与定理及几何证明步骤。 资料特色在于强化逻辑推理与数学抽象素养，通过实验观察记录表和解题脚手架，帮助学生规范证明书写，习题分基础与提升层次，培养严谨推理习惯和科学态度，有效提升从数学角度思考与表达的能力。

1.2 证明 学案 青岛版八年级上册 一、学习目标 知识与技能 □ 理解通过观察、实验、归纳、类比得到的结论不一定正确，明白推理证明的必要性 □ 知道基本事实、定理、证明的概念，能区分基本事实与定理 □ 掌握几何证明的基本步骤：根据题意画出图形、结合图形写出已知和求证、写出证明过程 □ 能运用基本事实和已学定义进行简单的几何证明，规范书写推理过程并注明依据 过程与方法 □ 经历观察—猜想—验证—推理的完整探究过程，体会从合情推理到演绎推理的思维过渡 □ 通过眼力大考验、数数游戏等实践活动，体验用计算和推理来检验直观判断的方法 □ 在对顶角相等、同角的余角相等等命题的证明过程中，掌握几何证明的书写格式与规范 □ 通过小组合作与交流，培养有条理的逻辑表达能力和严谨的推理习惯 情感态度与价值观 □ 感受数学证明的严谨性与逻辑美，激发对数学推理的兴趣和求知欲 □ 通过发现观察和直觉可能出错，培养不轻信、不盲从的科学态度和求真精神 □ 在合作探究中体验团队协作的乐趣，增强学习数学的自信心和成就感 □ 体会数学证明从实际出发、以理服人的思维方式，感悟理性精神的价值 核心素养 □ 逻辑推理素养：能运用合情推理进行猜想，再通过演绎推理进行验证，形成完整的推理链条 □ 数学抽象素养：能从具体情境中抽象出数学命题，并用符号语言准确表达条件和结论 □ 直观想象素养：能借助图形直观理解几何命题，将文字语言转化为图形语言和符号语言 □ 数学建模素养：初步体会从实际问题中提炼数学命题并用证明方法加以确认的建模过程 二、课前预习 支架1：KWL预习表 K（我已知道） 关于'证明'，你已经知道哪些知识？请写下来。 ______________________________ ______________________________ ______________________________ W（我想知道） 关于'证明'，你想知道什么？请提出2-3个问题。 ______________________________ ______________________________ L（我学到了） 学完本节课后，请填写你学到了什么。 ______________________________ ______________________________ ______________________________ 一、知识回顾 1. 我们学习过哪些发现数学命题的方法？请列举出来。 答：____________________________________________ 2. 什么叫做命题？什么叫做真命题？什么叫做假命题？ 答：____________________________________________ 二、预习填空（阅读教材完成） 1. 有些命题是人们经过长期实践后而公认为正确的命题，叫做___________，它是证明的___________和___________。 2. 从___________、___________及___________出发，通过___________的方法证实命题的过程叫做证明。 3. 经过推理得到证实的___________叫做定理。 4. 本书确定的基本事实有： （1）两点确定___________； （2）两点之间，___________最短； （3）同一平面内，过一点有且只有___________与已知直线垂直； （4）过直线外一点有且只有___________与这条直线平行； （5）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线___________。 三、我的疑问 预习过程中，我存在的疑问： ______________________________ ______________________________ ______________________________ 四、课堂探究 探究一：证明的必要性 1. 观察下面图片，线段a和b的长度相等吗？先用眼睛判断，再用工具测量。 我的判断：___________ 测量结果：___________ 我的发现：____________________________________________ 2. 数数游戏：从1数到1000，按每分钟100个数字的速度。 我的估计：约___________小时 实际计算：共___________个数字，约___________分钟 我的发现：____________________________________________ 3. 小美的结论：当n=1,2,3时n²-6n<0，归纳出对所有正整数n都成立。 取n=6时，n²-6n=___________ 结论：____________________________________________ 4. 小亮的结论：由'两个正数相加，和大于每一个加数'类比出'两个有理数相加，和大于每一个加数'。 取两个负有理数：___________和___________，和为___________ 结论：____________________________________________ 探究二：几何证明三步骤 1. 证明'对顶角相等'： 已知：____________________________________________ 求证：____________________________________________ 证明：____________________________________________ 2. 归纳几何证明的步骤： 第一步：____________________________________________ 第二步：____________________________________________ 第三步：____________________________________________ 支架2：对比归纳表 合情推理与演绎推理对比 比较维度 合情推理 演绎推理（证明） 方法 观察、实验、归纳、类比 逻辑推理 目的 发现规律、形成猜想 验证猜想、确认结论 结论可靠性 不一定正确（可能对也可能错） 一定正确（有严格推理保证） 举例 由n=1,2,3时n²-6n<0，归纳出对所有n都成立 用奇数的定义和运算性质证明两奇数之和为偶数 关系 发现问题的起点 确认结论的终点 支架3：实验观察记录表 活动1：验证合情推理的可靠性 活动 我的判断/猜想 验证方法 验证结果 我的发现 眼力大考验 （请填写） 用工具测量 （请填写） （请填写） 数数游戏 估计：___小时 精确计算 实际：约___分钟 （请填写） 小美的结论 我认为：正确/不正确 取n=___验证 n²-6n=___ （请填写） 小亮的结论 我认为：正确/不正确 取___验证 和为___ （请填写） 五、例题学习 例1：说明下列命题是真命题 （1）如果ab=a（a是有理数，且a≠0），那么b=1。 证明：因为ab=a（已知）， 所以ab÷a=a÷a（__________________）， 所以b=1（__________________）。 （2）如果a,b都是奇数，那么a+b是偶数。 证明：因为a,b都是奇数（已知）， 设a=__________，b=__________，其中m,n是__________（奇数的定义）， 所以a+b=__________+__________=__________（__________________）， 因为m,n是整数，所以__________是整数（整数的定义）， 所以__________是偶数（__________________）， 所以a+b是偶数（__________________）。 例2：证明'同角的余角相等' 已知：如图，∠α=∠β，∠1是∠α的余角，∠2是∠β的余角。 求证：∠1=∠2。 证明：因为∠1是∠α的余角，∠2是∠β的余角（__________）， 所以∠1+∠α=__________，∠2+∠β=__________（__________________）， 所以∠1+∠α=∠2+∠β（__________________）， 因为∠α=∠β（__________）， 所以∠1=∠2（__________________）。 六、课堂练习 A组（基础巩固） 1. 下列结论中你能肯定的是（ ） A. 今天下雨，明天必然还下雨 B. 三个连续整数的积一定能被6整除 C. 小明在数学竞赛中一定能获奖 D. 两张相片看起来很像，则肯定照的是同一个人 ______________________________ ______________________________ 2. 下列问题用到推理的是（ ） A. 根据a=10，b=10，得到a=b B. 观察得到三角形有三个角 C. 老师告诉我们关于金字塔的许多奥秘 D. 由经验可知过两点有且只有一条直线 ______________________________ ______________________________ 3. 定理'三角形的任意两边之和大于第三边'的依据是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 边边边公理 C. 同位角相等，两直线平行 D. 垂线段最短 ______________________________ ______________________________ B组（能力提升） 4. 八（1）班同学将学号n=1,2,3,...,39代入n²+n+41，发现结果都是质数，于是猜想：对于所有自然数，n²+n+41的值都是质数。你认为这个猜想正确吗？验证n=40的情形。 ______________________________ ______________________________ ______________________________ 5. 如图，B、C是线段AD上的两点，且AB=CD。求证：AC=BD。 ______________________________ _____________________________ ______________________________ 6. 如图，求证：同角的补角相等。 已知：∠2和∠3都是∠1的补角 求证：∠2=∠3 ______________________________ ______________________________ ______________________________ 支架4：解题脚手架 几何证明步骤指引 第1步：画图 指引：根据题意，画出图形，在图中标出必要的字母和符号 自查：图形是否准确？字母是否标注清楚？ 第2步：写已知、求证 指引：将命题的条件转化为'已知'（符号语言），将结论转化为'求证'（符号语言） 自查：已知是否包含了所有条件？求证是否准确表达了结论？ 第3步：写证明过程 指引：从已知出发，逐步推理，每一步在括号内注明依据（定义、基本事实、等式性质等） 自查：每一步推理是否都有依据？推理链条是否完整？书写格式是否规范？ 七、课堂小结 请用你自己的语言总结本节课学习的主要内容： ______________________________ ______________________________ ______________________________ ______________________________ ______________________________ 支架5：自我评价表 学习效果自我评价 评价项目 完全掌握（3分） 基本掌握（2分） 还需努力（1分） 自评得分 理解证明的必要性 能区分合情推理与演绎推理 知道基本事实和定理的概念 掌握几何证明三步骤 能规范书写证明过程 能注明每一步推理的依据 总分：________分（满分18分） 我的收获与反思：________________________________ 八、课后作业 1. 教材习题1.2第1题：判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）如果|a|=|b|，那么a=b； （2）如果a>b，那么a²>b²。 ______________________________ ______________________________ ______________________________ 2. 教材习题1.2第2题：求证：如果a,b都是偶数，那么a+b是偶数。 ______________________________ ______________________________ ______________________________ 3. 教材习题1.2第3题：求证：对顶角相等。 ______________________________ ______________________________ ______________________________ 参考答案 课前预习 一、1. 观察、实验、归纳、类比。 2. 命题是能判断真假的陈述句；真命题是正确的命题；假命题是错误的命题。 二、1. 基本事实；起点；依据。 2. 定义；基本事实；已知条件；逻辑推理。 3. 真命题。 4. （1）一条直线；（2）线段；（3）一条直线；（4）一条直线；（5）平行。 课堂探究 探究一： 1. 判断：不相等；测量：相等；发现：观察可能出错，需要测量验证。 2. 估计：2-3小时；计算：共2893个数字，约29分钟；发现：凭经验估计可能与实际相差很大。 3. n=6时，n²-6n=0；结论：小美的归纳不正确，仅凭有限个值不能下一般结论。 4. 取(-3)和(-2)，和为-5；结论：小亮的类比不正确，忽略了负数的情况。 探究二： 1. 已知：∠AOC与∠BOD是对顶角。求证：∠AOC=∠BOD。 证明：因为直线AB、CD相交于点O（已知）， 所以∠AOC+∠AOD=180°，∠BOD+∠AOD=180°（平角的定义）， 所以∠AOC+∠AOD=∠BOD+∠AOD（等量代换）， 所以∠AOC=∠BOD（等式的基本性质）。 2. 第一步：根据题意，画出图形； 第二步：结合图形，写出已知、求证； 第三步：写出证明过程（每一步注明依据）。 例题学习 例1（1）：等式的基本性质；除法的运算法则。 （2）：a=2m+1；b=2n+1；整数；2m+1+2n+1=2(m+n+1)；乘法分配律；m+n+1；2(m+n+1)；偶数的定义；等量代换。 例2：已知；90°；90°；余角的定义；等量代换；已知；等式的基本性质。 课堂练习答案 A组（基础巩固） 1. 答案：B 2. 答案：A 3. 答案：A B组（能力提升） 4. 答案：不正确。当n=40时，n²+n+41=1600+40+41=1681=41×41，不是质数。 5. 答案：证明：因为AB=CD（已知），所以AB+BC=CD+BC（等式的基本性质），所以AC=BD（线段和的定义）。 6. 答案：证明：因为∠2和∠3都是∠1的补角（已知），所以∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°（补角的定义）。所以∠1+∠2=∠1+∠3（等量代换）。所以∠2=∠3（等式的基本性质）。 课后作业答案 1. （1）不正确。例如a=2，b=-2时，|a|=|b|=2，但a≠b。 （2）不正确。例如a=-1，b=-2时，a>b成立，但a²=1，b²=4，a²<b²。 2. 证明：因为a,b都是偶数（已知），设a=2m，b=2n，其中m,n是整数（偶数的定义）。所以a+b=2m+2n=2(m+n)（乘法分配律）。因为m,n是整数，所以m+n是整数（整数的定义），所以2(m+n)是偶数（偶数的定义）。所以a+b是偶数（等量代换）。 3. 证明：如图，直线AB、CD相交于点O。因为直线AB、CD相交于点O（已知），所以∠AOC+∠AOD=180°，∠BOD+∠AOD=180°（平角的定义）。所以∠AOC+∠AOD=∠BOD+∠AOD（等量代换）。所以∠AOC=∠BOD（等式的基本性质）。 学科网（北京）股份有限公司 $