（八上预习篇）第1章 1.2 证明-【假期好时光】2025年新教材数学七升八暑假作业（青岛版2024）

第1章推理与证明 预习篇 8.(1)判断下列语句是不是命题，若是，改成“如果…，那么…”的形式，并判断其是真命题 还是假命题。 ①同位角相等，两直线平行：②延长BA到点C:③同角的补角相等； (2)举反例说明下列命题是假命题： ①相等的角是同位角：②大于90°的角为钝角。 1.2证明 学习目标☐ 1.通过具体实例，了解基本事实、定理的意义。 2.知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述证 明的过程，会用综合法的证明格式。 厂知识点讲解☐ 知识点一基本事实 人们在长期的实践中，经过分析总结后，把那些公认的真命题作为 ,以基本事实为 依据来证实其他命题。 一个量可以用它的等量来替换，即 在代数中，可以依据 等进行运算 和推理。 【典型例题1】教改圈小亮由“如果a,b都是偶数，那么a+b也是偶数”，联想“如果a,b都是奇 数，那么a+b也是奇数”，小亮的结论正确吗？ 解：因为a,b都是奇数（已知）， 设a=2m+1,b=2n+1,其中m,n是整数（奇数的定义）。 所以a+b=2m+1+2n+1=2(m+n+1)(乘法分配律)。 因为m,n是整数（已知）， 所以m+n+1是整数（整数的定义）。 所以2(m+n+1)是偶数（偶数的定义）。 所以a+b是偶数（等量代换）。 所以小亮的结论不正确。 【跟踪练习1】 说明“与一个偶数前后相邻的两个偶数之和，一定是4的倍数”是真命题。 31 假期好时光 QD·数学·八年级·上 知识点二证明 基本事实通常作为论证的起点和依据。从定义、基本事实及已知条件出发，通过逻辑推理 的方法证实命题的过程叫作 我们把经过推理证实的真命题叫作 定理和基本事实一样，也可以作为证明的依据。 一般地，几何证明过程有以下三个步骤： ①根据题意，画出图形： ②结合图形，写出“已知”“求证”； ③写出“证明”。 【典型例题2】证明：邻补角的角平分线互相垂直。（画出图形，写出已知、求证，并完成证明） 小斗点拨：先要分清待证命题的条件和结论。为了使推理过程更精确、简约，便于论证，还 要把用文字语言叙述的条件和结论“翻译”成图形语言和符号语言。 解：已知：如图，AB,CD相交于点O,OE,OF分别平分∠AOC,∠AOD。 求证：OE⊥OF。 证明：因为OE,OF分别平分∠AOC,∠AOD(已知)， 所以LA0E=2LA0C,LA0F=2LA0D(角平分线的定义)。 因为AB,CD相交于点O(已知)， 所以∠AOC+∠AOD=180°（平角的定义）。 所以LA0B+LA0F=2(LA0C+LA0D)=90(等量代换)。 所以OE⊥OF(垂直的定义)。 【跟踪练习2】 已知C是线段AB上一点，M是线段BC的中点，求证：AM=(AB+AC)。 2 自主检测☐ 1.能作为证明依据的是 A.已知条件 B.定义及基本事实C.定理及推论 D.以上三项都对 2.散改画在判断“对于任意自然数n,代数式n2-n+11的值一定是质数”这一命题的真假时，同 学们给出如下的分析，其中正确的是 () A.因为n=1时，代数式n2-n+11的值为质数，所以该命题是真命题 B.因为n=0,1,2,…,10时，代数式n2-n+11的值都为质数，所以该命题是真命题 C.如果n取某一自然数时，代数式n2-n+11的值为合数，那么该命题是假命题 D.如果n取某一奇数时，代数式n2-n+11的值为质数，那么该命题是真命题 32 第1章推理与证明 预习篇 3.已知A,B是两个整式，A=4a2-5a+2,B=3a2-5a-3。求证：无论a为何值，A>B始终 成立。 4.阅读证明过程，并在括号内填写推理依据。 如图，AB与CD相交于点0，OE平分∠AOC,OE⊥0F,∠B0D=40°，求证：∠COF=70°。 证明：因为∠B0D=40°( 又因为∠AOC=∠BOD( 所以∠A0C=40°( 因为OE平分∠AOC( 所以Lc0E=2LA0C=20( 因为OE⊥OF( 所以∠E0F=90°( 所以∠COF=∠EOF-∠COE=70°。 5.说明“一个两位数，其十位数字为a,个位数字为b,一个新的两位数是这个两位数交换十位数 字与个位数字，这个两位数与新的两位数之差能被9整除”是真命题。 6.说明下列命题是真命题： (1)任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍； (2)任意两个连续奇数的平方差都是4的偶数倍。 7.题改题如图，直线AB,CD相交于点O,∠AOC=a,且∠BOE:∠DOE=∠BOG:∠COG=4:5。 求证：∠EOG的度数为定值。 33因为DF∥BC, 所以∠C=∠AFD=180°-8a。 又因为∠DAE+2∠C=90°， 所以a+2(180°-8a)=90°。 所以a=18°。 所以∠C=180°-8×18°=36°。 所以∠ADB=∠C=36°。 又因为∠BAC=∠BAD, 所以∠ABC=180°-∠C-∠BAC =180°-∠ADB-∠BAD=∠ABD。 因为∠CBD=90°， 所以∠ABC=∠ABD=2∠CBD=45°。 在△ABD中，∠BAD=180°-45°-36°=99°。 预习篇 第1章推理与证明 1.1定义与命题 知识点讲解 知识点一定义 【跟踪练习1】解：从左到右，依次为 三角形，定义：由不在同一条直线上的三条线段 首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形； 平行四边形，定义：在同一平面内，两组对边分 别平行的四边形叫作平行四边形； 梯形，定义：在同一平面内，一组对边平行而另 一组对边不平行的四边形叫作梯形。 知识点二命题条件结论 【跟踪练习2】B 知识点三真命题假命题反例 【跟踪练习3】 1.B 2.解：条件：a=b;结论：a2=b2。真命题。 自主检测 1.C【解析】选项A,D均为描述性语言；选项B是 疑问句：选项C是命题。故选C。 2.A3.D4.A 5.B【解析】A.同一平面内，过直线外一点有且只 有一条直线与已知直线平行，故本选项不符合题 意：B.对顶角相等，是真命题，故本选项符合题 意；C.如果Ial=Ibl,那么a=±b,故本选项不符 合题意：D.三角形的一个外角大于和它不相邻的 任意一个内角，故本选项不符合题意。故选B。 6.①②④ 7.解：(1)条件：两个角的和等于直角； 结论：这两个角互为余角。 这个命题是真命题。 (2)条件：两个角是同旁内角； 结论：这两个角互补。 这个命题是假命题。 反例：如图，∠1与∠2是同旁内角，∠1+∠2≠180°。 8.解：(1)①是命题，改成“如果…，那么…”的 形式：如果两条直线被第三条直线所截得的同位 角相等，那么这两条直线平行。真命题。 ②不是命题。 ③是命题，改成“如果…，那么…”的形式：如 果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等。 真命题。 (2)①反例：对顶角相等，但不是同位角。 ②反例：180的角不是钝角。 1.2证明 知识点讲解 知识点一基本事实等量代换定义运算法则 运算律公式等式（不等式）的基本性质 【跟踪练习1】解：设这个偶数为2n(n为整数)， 前后相邻的两个偶数分别为2n-2,2n+2。 所以2n-2+2n+2=4n。 因为n为整数，所以4n是4的倍数。 所以“与一个偶数前后相邻的两个偶数之和，一 定是4的倍数”是真命题。 知识点二证明定理 【跟踪练习2】证明：因为M是线段BC的中点， 所以CM=2BC。 因为C是线段AB上一点， 所以BC=AB-AC。 所以CM=2(AB-AC)。 15 所以AM=AC+CM -AC+(AB-AC)-(AB+AC). 自主检测 1.D2.C 3.证明：A-B=4a2-5a+2-(3a2-5a-3) =4a2-5a+2-3a2+5a+3 =a2+5。 因为a2≥0， 所以a2+5>0,即A-B>0。 所以无论a为何值，A>B始终成立 4.解：已知对顶角相等等量代换已知 角平分线的定义已知垂直的定义 5.解：已知这个两位数为10a+b(a≠0，b≠0)，则新 的两位数为10b+a。 因为(10a+b)-(10b+a) =10a+b-10b-a =9(a-b), 所以这个两位数与新的两位数之差能被9整除。 6.解：(1)设两个连续偶数为2m,2m+2(m为整 数)。 所以(2m+2)2-(2m)2=4(2m+1)。 因为m为整数，所以2m+1是奇数。 所以“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数 倍”是真命题。 (2)设两个连续奇数为2n-1,2n+1(n为整数)。 所以(2n+1)2-(2n-1)2=4×2n 因为n为整数，所以2n是偶数。 所以“任意两个连续奇数的平方差都是4的偶数 倍”是真命题。 7.证明：因为∠AOC=a, 所以∠BOD=∠AOC=a, ∠B0C=180°-∠A0C=180°-a。 因为∠BOE:∠DOE=∠BOG:∠COG=4:5, 所以LBOE=4 ∠LB0D=4a 9, ∠B0G=号LB0C=号(180-a)。 所以∠EOG=∠BOE+∠BOG -号a+号(180-a)=80 4 所以∠EOG的度数为定值。 16 1.3几何证明举例 知识点讲解 知识点一 【跟踪练习1】已知：如图，AB∥CD,直线MN分别交 直线AB,CD于点E,F,OE,OF分别平分 LAEF,∠CFE。 求证：OE⊥OF。 证明：因为AB∥CD, 所以∠AEF+∠CFE=180°。 因为OE,OF分别平分∠AEF,∠CFE, 所以L0EF+L0FE=号LAEF+2∠CFE=90。 因为∠OEF+∠OFE+∠EOF=180°， 所以∠E0F=90°，即OE⊥OF。 知识点二互逆命题原命题逆命题逆定理 【跟踪练习2】C 知识点三辅助线推论 【跟踪练习3】证明：因为AD是边BC上的高， 所以∠DMC+∠DCM=90°。 因为∠DCM=∠EAM,∠DMC=∠AME, 所以∠AME+∠EAM=90°。 所以△AEM是直角三角形。 知识点四反证法 【跟踪练习4】A 自主检测 1.B【解析】命题“如果a>0,b>0,那么a+b>0” 是真命题；其逆命题“如果a+b>0,那么a>0, b>0”是假命题。故选B。 2.D【解析】A.由EF∥AB,得∠ACE=∠A,∠BCF= ∠B。由∠ACE+∠ACB+∠BCF=18O°，得∠A+ ∠ACB+∠B=180°。故本选项不符合题意； B.由CE∥AB,得∠A=∠ECF,∠B=∠BCE。由 ∠ECF+∠BCE+∠ACB=18O°，得∠A+∠B+ ∠ACB=180°。故本选项不符合题意； C.由DE∥BC,得LADE=∠B,∠C=∠AED。由 DF∥AC,得∠EDF=∠AED,∠A=∠BDF。所以 ∠C=∠EDF。由∠ADE+∠EDF+∠BDF=18O°，