第2章 专题2 动态平衡 平衡中的临界极值问题（Word教参）-【精讲精练】2027年高考物理一轮复习

该高中物理讲义聚焦动态平衡及临界极值问题，以共点力平衡为核心，按“动态分析方法（解析、图解等）—临界极值求解”逻辑架构知识点，通过考点梳理、一题多解指导、分层真题训练，帮助学生构建系统解题框架，突破力学平衡难点。 讲义突出科学思维培养，创新采用“模型建构+数学推理”策略，如用外接圆法分析三力平衡中力的变化，结合正弦定理推导动态关系。设置基础例题到综合变式题分层练习，助力学生高效掌握解题技巧，提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

专题二　动态平衡　平衡中的临界极值问题 考点一　共点力作用下的动态平衡 解决动态平衡问题的一般思路：把“动”化为“静”，“静”中求“动”，动态平衡问题的分析过程与处理方法如下： 题型1　 解析法、 图解法、相似三角形法的应用 　如图所示，一小球通过不可伸长的细绳悬挂于天花板上的O点。现用作用于A点且方向始终水平的力F将结点A向右缓慢拉起，用T表示AO绳子的拉力，所有的绳子都不被拉断，在将结点A向右缓慢拉起的过程中(　　) A．F逐渐增大，T逐渐增大 B．F逐渐增大，T逐渐减小 C．F逐渐增大，T先减小后增大 D．F先增大后减小，T逐渐增大 提示：一题多解 [解析]　方法一　因O点始终处于平衡状态，根据平衡条件有T＝，F＝mg tan θ，当结点A缓慢向右移动时，θ角变大，则T、F变大，故选项A正确。 方法二　由题意知结点在三力作用下处于平衡状态，其中拉力F始终沿水平方向，根据图解法可得将结点A向右缓慢拉起的过程中，T、F变大，故A正确。 [答案]　A 　在例题中，如图所示，若在同一竖直平面内对小球施加一个拉力F，保证细线中拉力的大小不变，缓慢地将细绳向右拉到水平位置。关于拉力F的大小和与竖直方向的夹角θ的说法正确的是(　　) A．F一直增大，θ一直增大 B．F一直增大，θ一直减小 C．F一直增大，θ先增大后减小 D．F一直增大，θ先减小后增大 解析　对小球受力分析如图所示，同一竖直平面内对小球施加一个拉力F，保证细绳中拉力的大小不变，缓慢地将细绳向右拉到水平位置，F一直增大，θ一直减小，所以选项B正确，A、C、D错误。 答案　B 　(多选)在例题中，如图所示，若用光滑的金属钩子勾住并用力F水平向右缓慢拉动绳子，移动过程中，以下说法正确的是(　　) A．细绳的拉力大小始终不变 B．细绳的拉力大小逐渐增加 C．力F一直水平向右 D．力F逐渐变大 解析　细绳的拉力大小始终等于物体的重力，保持不变，选项A正确，B错误；力F等于轻环两边绳子的拉力的合力，两边绳子的拉力一边是竖直向下，另一边是倾斜的，且两边绳子拉力相等，可知F的方向是斜向右上方向的，不是一直水平向右，由于环两边绳子的夹角逐渐减小，可知合力逐渐变大，即F逐渐变大，选项C错误，D正确。 答案　AD 题型2　 正弦定理法、辅助外接圆法的应用 1．正弦定理法 如图所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任何一个力的大小分别与另外两个力的夹角的正弦成正比，即＝＝。 2．外接圆法 三力平衡问题中，一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，可以作出外接圆，恒力为圆的一条弦，根据不同状态的矢量三角形边角关系判断各力的大小、方向变化，如图所示。 　如图所示，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中(　　) A．MN上的张力逐渐减小 B．MN上的张力先增大后减小 C．OM上的张力逐渐增大 D．OM上的张力先增大后减小 [解析]　方法一　正弦定理 把三力F1、F2、G放在一个矢量三角形中，如图所示 　　 根据正弦定理有＝＝，易证明∠3＋∠α＝180°，∠2＋∠γ＝180°，∠1＋∠β＝180°，故有＝＝，在OM由竖直被拉到水平的过程中，α角保持不变，β由钝角减小至90°，γ由锐角增大至钝角，故可判断F1逐渐增大，F2先增大后减小，故D正确。 方法二　以重物为研究对象分析受力情况，受重力mg、OM绳上拉力F2、MN上拉力F1，由题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示， F1、F2的夹角不变，在F2转至水平的过程中，矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，MN上的张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小，故A、B、C错误，D正确。 [答案]　D 1．(多选)在某次抖空竹表演中，表演者的左右手所持杆和空竹位置如图所示，此时左手高于右手，轻绳两端位置之间的连线与水平方向成θ角，空竹悬挂在轻绳上。现保持右手所持杆水平且位置不动，只人为改变一个条件，始终保持空竹静止，不考虑轻绳与空竹之间的摩擦，下列说法正确的是(　　) A．若换挂质量更大的空竹，则空竹的静止位置不会变化 B．若换更长的轻绳，则绳子的拉力不会变化 C．若使左手持杆缓慢竖直向下移动至θ＝0°，则绳子拉力逐渐变小 D．若使左手持杆顺时针缓慢以右杆为圆心画圆弧移动至θ＝0°，则绳子拉力逐渐变大 解析　设两段绳子之间的夹角为2α，由平衡条件可知2F cos α＝mg，F＝。设绳子总长为L，两杆之间的水平距离为s，悬挂点两边的绳子长度为L1、L2，由几何关系可知L1sin α＋L2sin α＝s，sin α＝＝，空竹质量增加，其他条件不变，则两段绳子之间的夹角不变，由于α不变，所以空竹静止位置不变，故A正确；绳长增加，L变长，α变小，cos α变大，空竹质量不变，则绳子拉力F变小，故B错误；杆下移，L、s都不变，α不变，所以拉力不会变化，故C错误；杆顺时针走圆弧使s增大，α变大，cos α变小，F变大，故D正确。 答案　AD 2．如图所示，半径为R的圆环竖直放置，长度为R的不可伸长的轻细绳OA、OB，一端固定在圆环上，另一端在圆心O处连接并悬挂一质量为m的重物，初始时OA绳处于水平状态。把圆环沿地面向右缓慢转动，直到OA绳处于竖直状态，在这个过程中(　　) A．OA绳的拉力逐渐减小 B．OA绳的拉力先增大后减小 C．OB绳的拉力先增大后减小 D．OB绳的拉力先减小后增大 解析　以重物为研究对象，重物受到重力mg、OA绳的拉力F1、OB绳的拉力F2三个力而平衡，构成矢量三角形，置于几何圆中如图：在转动的过程中，OA绳的拉力F1先增大，转过直径后开始减小，OB绳的拉力F2开始处于直径上，转动后一直减小，故选项B正确，A、C、D错误。 答案　B 考点二　临界极值问题 1．临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等语言叙述。 2．极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值或最小值问题。 3．解决极值问题和临界问题的方法 (1)图解法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。 (2)数学解析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值等)。 　三个相同的足球按照如图所示的方式静止在一端有垂直挡板的平板上，平板与水平面的夹角为θ，现逐渐减小θ，三个足球仍能按图示状态保持静止，不计所有摩擦，则θ正切值的最小值为(　　) A． B． C． D． [解析]　当θ取最小时，即将发生相对滑动，下面两足球间恰好无弹力，对最右边足球进行受力分析，如图所示，建立如图1所示直角坐标系，沿x轴方向，根据平衡条件有mg sin θ＝F cos 60° 图1 当θ取最小时，对最上面足球受力分析，如图2所示，根据平衡条件有mg sin θ＋F cos 60°＝F1cos 60°，mg cos θ＝F sin 60°＋F1sin 60°，联立解得tan θ＝，即平板与水平面夹角θ的正切值的最小值为，故选A。 图2 [答案]　A 　在例题中，若把质量为m的四个完全相同的足球叠成两层放在水平面上，底层三个足球刚好接触成三角形，上层一个足球放在底层三个足球的正上面，系统保持静止。若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则(　　) A．底层每个足球对地面的压力为mg B．底层每个足球之间的弹力为零 C．下层每个足球对上层足球的支持力大小为 D．足球与水平面间的动摩擦因数至少为 解析　根据整体法，下面每个球对地面的压力为3FN＝4mg，FN＝mg，故A错误；四个球的球心连线构成了正四面体，下层每个足球之间的弹力为零，故B正确；上层足球受到重力、下层足球对上层足球的三个支持力，由于三个支持力的方向不是竖直向上，所以三个支持力在竖直方向的分量之和等于重力，则下层每个足球对上层足球的支持力大小大于，故C错误；根据正四面体几何关系可求，F与mg的夹角的余弦值cos θ＝，正弦值sin θ＝；则有F＋mg＝FN＝mg，F＝Ff，联立解得Ff＝mg，F＝mg，则μ≥＝，所以足球与水平面间的动摩擦因数至少为，故D错误。 答案　B 　(多选)质量为m的物块在斜向上的恒力F的作用下沿水平面向右匀速运动，已知物块和水平面之间的动摩擦因数为μ＝。关于物块的受力，下列分析正确的是(　　) A．物块可能受到三个力的作用 B．当θ＝30°时，恒力最小 C．当F＝时，满足要求的θ有两个 D．物块受到的地面的摩擦力一定大于地面的支持力 [解析]　物块匀速运动，合力为零，由于恒力F有水平向右的分力，根据平衡条件可知，物块一定受到水平面的摩擦力，则一定受到水平面的支持力，所以物块共受四个力作用：重力、水平面的支持力、摩擦力和恒力F，故选项A错误；根据平衡条件，水平方向有F cos θ＝Ff，竖直方向有F sin θ＋FN＝mg，又Ff＝μFN，联立得F＝＝，其中tan α＝＝，则α＝60°，根据数学知识，当θ＋α＝90°，即θ＝30°时，恒力F最小，故选项B正确；当F＝时，代入F＝，得＝，由数学知识可知θ有两个解，故选项C正确；由于μ<1，所以由Ff＝μFN知Ff<FN，可知物块受到地面的摩擦力小于地面的支持力，故选项D错误。 [答案]　BC 　(多选)在例题中，若在平台上用轻绳通过定滑轮牵引质量为m的物块，物块从P点开始沿水平面POM匀速运动，物块运动到O点时，作用在物块上的绳与水平方向的夹角为30°，已知物块与水平面间的动摩擦因数为，重力加速度为g，以下说法正确的是(　　) A．在O点，物块所受摩擦力的大小为 B．在O点，绳对物块的拉力的大小为mg C．从P到M，地面对物块的摩擦力一直增大 D．从P到M，绳对物块的拉力先减小后增大 解析　在O点时，物块对地面的压力小于mg，可知物块所受摩擦力大小小于，选项A错误；在O点，由平衡知识可知F cos 30°＝μ(mg－F sin 30°)，可得F＝mg，选项B正确；从P到M的任意一点：F cos θ＝μ(mg－F sin θ)，解得F＝＝ (其中tan α＝)，则从P到M随θ增大，绳对物块的拉力F先减小后增大，选项D正确；因Ff＝F cos θ＝＝，则从P到M随θ增大，地面对物块的摩擦力一直减小，选项C错误。 答案　BD 1．(人教必修第一册P79练习与应用第2题变式)(多选)如图所示，用轻质网兜将一质量均匀的足球悬挂在竖直木板的A点，轻绳与木板之间的夹角α＝30°，将木板以底端为轴顺时针缓慢转动直至木板水平，转动过程中绳与木板之间的夹角保持不变，忽略一切摩擦，足球的重力为9 N，设木板对球的支持力为FN、绳上的拉力为FT，木板在转动过程中，下列说法正确的是(　　) A．FN的最小值为3 N B．FN的最大值为9 N C．当木板转动60°时，FN是FT大小的三倍 D．当木板转动30°时，FN与FT大小相等 解析　足球的受力如图所示 因为绳与板的夹角α＝30°不变，三力首尾相接可得FT与FN所在直线的夹角θ＝90°－α＝60°不变，即它们的矢量图被限制在一个外接圆上移动。可见绳对足球的拉力FT一直减小，木板对足球的支持力FN先增大后减小，初状态时FN的最小值为FNmin＝mg tan α＝3 N，故A正确；当木板转动60°时，FN最大，最大值为FNmax＝＝6 N，此时FT大小为FT＝mg tan α＝3 N，即FN是FT大小的两倍，故B、C错误；当木板转动30°时，FN、FT与mg三力构成等边三角形，即FN与FT大小相等，故D正确。 答案　AD 2．(多选)(2026·山东青岛模拟)质量为M、倾角θ为37°的木楔，在水平面上保持静止。当将一质量为m 的物块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。如图所示，当用与木楔斜面成α角的力F拉物块时，物块匀速上升。(已知木楔在整个过程中始终静止)sin 37°＝0.6。下列说法正确的有(　　) A．物块与斜面间的动摩擦因数为0.75 B．当α＝37°时，F有最小值 C．当α＝30°时，F有最小值 D．F的最小值为mg sin 2θ 解析　物块匀速下滑时，有mg sin 37°＝μmg cos 37°，μ＝0.75，A正确；物块匀速上升时，有F cos α＝mg sin θ＋μ(mg cos θ－F sin α)，整理得F＝，可知当α＝θ＝37°时F有最小值，最小值为F＝mg sin 2θ，B、D正确，C错误。 答案　ABD 学科网（北京）股份有限公司 $