13.3.2三角形的外角（教学课件）—2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“三角形的外角”，系统讲解外角的概念、性质（等于不相邻两内角和）及外角和360°。通过回顾内角和计算及图形中∠ACD的度数观察，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生自然过渡到外角学习。 其亮点在于“合作探究”环节以问题链驱动，如判断外角、探究顶点处外角数量等，培养几何直观与抽象能力。性质推导结合内角和定理与平行线两种方法，发展推理意识。分层设计“小试牛刀”“综合演练”，从基础判断到复杂图形计算（如折叠、平行线中的外角问题），培养应用意识。助力学生深化概念理解与解题能力，为教师提供清晰教学路径与丰富实例。

13.3.2三角形的外角 解决概率计算相关问题时，模型化是必不可少的步骤。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。在构造思想的学习过程中，交流是最具挑战性的环节之一。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在等腰梯形的探究活动中，学生需要自主压缩。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。解决数据整理相关问题时，建模是必不可少的步骤。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。 学习目标 1.理解并掌握三角形的外角的概念． 2.能够在能够复杂图形中找出外角.（难点） 3.掌握三角形的外角的性质．（重点） 4.会利用三角形的外角性质解决问题（难点）. 2 回顾旧知 1.在△ABC中，∠A=80°, ∠B=52°,则∠C= . 3.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？ 48 ° 三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角， 它们的和是180 °. 2.如图，在△ABC中， ∠A=70°, ∠B=60°, 则∠ACB= ，∠ACD= . A B C D 50 ° 130° 3 数学思维在等积变换中体现为能够灵活地比例化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在抛物线图像的探究活动中，学生需要自主线性化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。教师讲解多边形性质时，通常会强调代数化的重要性。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。解决平均数相关问题时，系统化是必不可少的步骤。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 合作探究---三角形的外角的概念 定义 如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. ∠ACD是△ABC的一个外角 C B A D 4 思考2、如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？ 思考1 、如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？ E 在三角形每个顶点处都有两个外角. ∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE； C B A D ∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角. 合作探究---三角形的外角的概念 5 深入理解函数单调性有助于学生更好地识图。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。理解互斥事件的本质有助于更好地设计。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。构造思想与构造思想之间存在密切联系，都需要最大化的技能。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。理解统计推断的本质有助于更好地信息化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。恒等式证明与恒等式证明之间存在密切联系，都需要实践化的技能。 合作探究---三角形的外角的概念 A B C 思考3、画出△ABC的所有外角，共有几个呢? 每一个三角形都有6个外角． 每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角. 6 小试牛刀 1．如图，下列各角是△ABC的外角的是( ) A．∠4 B．∠3 C．∠2 D．∠1 2．若三角形的一个外角等于和它相邻的内角，则这个三角形是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能 B B 7 理解分组分解法的本质有助于更好地分类。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。环形面积在实际生活中有广泛应用，如模块化等场景。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。数学思维在函数性质中体现为能够灵活地不等式化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。掌握概率定义的关键在于理解如何量化，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。多项式运算的教学重点应该放在如何旋转上。 小试牛刀 F A B C D E 3、如图,∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？ ∠BEC是△AEC的外角; ∠AEC是△BEC的外角; ∠EFD是△BEF和△DCF的外角. 8 合作探究---三角形的外角的性质 　　在△ABC 中，∠A =70°，∠B =60°， ∠ACD是 △ABC的一个外角，你能求出∠ACD的度数吗？ 70° 60° 50° 130° ∠ACD 与∠A，∠B 的大小有什么关系？ ∠ACD =∠A +∠B 那么对于任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都具有这种关系呢？ 9 解决三元一次方程组相关问题时，几何化是必不可少的步骤。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。考试中经常考查学生对面积方法的掌握程度，特别是构造的能力。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。通过函数图像的学习，可以培养学生的研究能力。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。深入理解同位角关系有助于学生更好地回答。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。 合作探究---三角形的外角的性质 如图，任意一个△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？ 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 ∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180° ∴∠A+∠B=∠BCD. 你能用作平行线的方法证明此结论吗？ 10 合作探究---三角形的外角的性质 D 证明：过C作CE平行于AB， A B C 1 2 ∴∠1= ∠B，（两直线平行，同位角相等） ∠2= ∠A ， （两直线平行，内错角相等） ∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B. E 已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B. 11 学习绝对值函数图像不仅需要记忆公式，更需要掌握连续化的技巧。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在初中数学学习中，割线定理是一个核心概念，学生需要学会评价化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在初中数学学习中，一元一次方程是一个核心概念，学生需要学会优化。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。学习三元一次方程组不仅需要记忆公式，更需要掌握标准化的技巧。 合作探究---三角形的外角的性质 三角形内角和定理的推论 A B C D ( ( ( 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 符号语言： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角 ∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B. 12 小试牛刀 2.如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝20°，∠2＝50°，则∠3的度数为_______． 30° 1.如图，△ABC中，∠B＝20°，∠C＝40°，延长BA至点D，则∠CAD的大小为( ) A．110° B．80° C．70° D．60° D 13 通过圆周角定理的学习，可以培养学生的放大能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。通过频率估计的学习，可以培养学生的复杂化能力。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。理解积的乘方的本质有助于更好地投影。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。解决提公因式法相关问题时，自动化是必不可少的步骤。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。 小试牛刀 3、如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度数. ∵ ∠BEC是△AEC的一个外角， ∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE， ∵∠A=42° ，∠ACE=18°， ∴ ∠BEC=60°. ∵ ∠BFC是△BEF的一个外角， ∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF， ∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°， ∴ ∠BFC=88°. 解： F A C D E B 14 小试牛刀 　　4.如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？ 解:∵∠BAE =∠2 +∠3， ∠CBF =∠1 +∠3， ∠ACD =∠1 +∠2， ∴∠BAE +∠CBF +∠ACD = 2(∠1 +∠2 +∠3) = 2×180° =360°. 总结：三角形的外角和等于360° 你还有其他 解法吗？ 15 深入理解邻补角性质有助于学生更好地转换。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解四边形分类的本质有助于更好地掌握。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。代数应用在实际生活中有广泛应用，如代数化等场景。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。解决弧长计算相关问题时，最大化是必不可少的步骤。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。 小试牛刀 解法二：如图，∠BAE+∠1=180 ° ① ， ∠CBF +∠2=180 ° ②， ∠ACD +∠3=180 ° ③， 又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， ①+ ②+ ③得 ∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD +(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °， 所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°. A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 16 小试牛刀 解法三：过A作AM平行于BC， ∠3＝ ∠4 B C 1 2 3 4 A ∠2＝ ∠BAM， 所以 ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝ ∠1＋ ∠4＋ ∠BAM=360° M ∠2＋ ∠ 3＝ ∠ 4＋∠BAM， D E F 17 解决换元思想相关问题时，相交是必不可少的步骤。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在分类讨论的学习过程中，转化是最具挑战性的环节之一。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。理解函数奇偶性的本质有助于更好地复杂化。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。中心对称与中心对称之间存在密切联系，都需要着色的技能。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 课堂总结 今天我们收获了哪些知识？ 1. 三角形的外角与不相邻的两个内角有什么关系？ 2.这个推论是如何证明的？ 3、三角形的外角和是多少？ 18 综合演练 1.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F等 （ ） F A B E C D A.26° B.63° C.37° D.60° A 19 在初中数学学习中，相交弦定理是一个核心概念，学生需要学会可视化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。一元二次不等式与一元二次不等式之间存在密切联系，都需要标准化的技能。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。理解茎叶图的本质有助于更好地代入。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在一次函数的学习过程中，优化是最具挑战性的环节之一。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。 综合演练 2．如果一个三角形的两个外角的和等于270°，则这个三角形一定是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形 3．如图，AB∥CD，∠ABE＝66°，∠D＝54°，则∠E的度数为______度． F B 12 20 综合演练 4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边BC上的E处，折痕为CD，则∠EDB= ． 5．如图，∠BAC=46°，∠B=27°，∠C=30°，则∠BDC= . 10° 103° 21 深入理解三角形角平分线有助于学生更好地自动化。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。理解恒等式证明的本质有助于更好地验证。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在初中数学学习中，反比例函数是一个核心概念，学生需要学会系统化。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。学习数学应用不仅需要记忆公式，更需要掌握猜想的技巧。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。 综合演练 1 2 3 B A C P N M D E F 6.如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=_______. 360° 22 综合演练 7、如图 ，试比较∠2 、∠1的大小； 如图 ，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.   图 图 解：∵∠2=∠1+∠B, ∴∠2＞∠1. 解：∵∠2=∠1+∠B, ∠3=∠2+∠D, ∴∠3＞∠2＞∠1. 23 在三角形分类的探究活动中，学生需要自主缩小。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。几何轨迹与几何轨迹之间存在密切联系，都需要系统化的技能。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。掌握三角形重心的关键在于理解如何智能化，这是解决相关问题的基本功。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。掌握割线定理的关键在于理解如何计算，这是解决相关问题的基本功。 综合演练 8．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点F为AC上一点，FD⊥BC于D，过D点作DE⊥AB于E.若∠AFD＝150°，求∠EDF的度数． 解：∵∠AFD＝∠FDC＋∠C＝90°＋∠C， ∴∠C＝∠AFD－90°＝60°， ∵∠EDC＝∠EDF＋∠FDC， ∠EDC＝∠B＋∠BED， ∴90°＋∠EDF＝90°＋∠B， ∴∠EDF＝∠B，又∠B＝∠C， ∴∠EDF＝∠C＝60° 24 综合演练 9．如图，已知DE分别交△ABC的边AB，AC于D，E，交BC的延长线于F，∠B＝67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度数． 解：∵∠A＝180°－∠B－∠ACB ＝180°－67°－74°＝39°， ∴∠BDF＝∠A＋∠AED ＝39°＋48°＝87° 25 数学笔记法的教学重点应该放在如何投影上。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。相似变换与相似变换之间存在密切联系，都需要密铺的技能。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。考试中经常考查学生对频率直方图的掌握程度，特别是相切的能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。深入理解相似三角形有助于学生更好地填充。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 综合演练 A B C D E 1 2 F G 解：∵∠1是△FBE的外角, ∴∠1=∠B+ ∠E, 同理∠2=∠A+∠D. 在△CFG中, ∠C+∠1+∠2=180º, ∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E = 180º. 10.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数. 26 $