精品解析：福建省南安南星中学2025-2026学年七年级下学期期末模拟数学试题

2026年春季初一年数学学科模拟练习 （满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列选项中是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. “红砖白石双坡曲，出砖入石燕尾脊．”闽南红砖建筑是中华文化的瑰宝，下列四个花窗图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 用代入消元法解方程组时，把①代入②，得（ ） A. B. C. D. 4. 如图，与交于点，，点，是对应点，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，轻轻推动它就会变形．这说明（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 四边形具有对称性 C. 四边形不具有稳定性 D. 四边形可以变成三角形 6. 下列方程的变形正确的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 7. 如图，在中，是边上的中线，是边上的高．若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. “人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，体现了温度随着海拔的升高而降低．已知某地面温度为，且每升高千米温度下降，若山上的温度为，设山上距离地面的垂直高度为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，现有一张三角形纸片，其中，为上一点，将纸片沿折叠，使点落在点处，且折叠后得到的三角形是等边三角形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 按下面的程序计算： 若输入，输出结果是115；若输入，输出结果是65．若开始输入的值为正整数，最后输出的结果为75，则开始输入的值可能有（        ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若是方程的解，则的值为_____． 12. 如图，某校实践小组在点测得池塘两端的距离米，米．则池塘两端，之间的距离可能是_____米． 13. “与的差不小于”，用不等式可表示为_____． 14. 如图，连接正五边形各条对角线，它们相交形成一个五角星，则度数为_____． 15. 在“校园闽超”足球联赛中，甲队目前积分为分，还剩场比赛；乙队比赛已全部结束，最终积分为分．足球比赛积分规则为：胜一场得分，平一场得分，负一场得分．假设甲队剩余比赛全部分出胜负（无平局），为确保最终积分不低于乙队，甲队在剩余比赛中至少需要胜_____场． 16. 如图，已知 为等腰直角三角形，，， 为 上的动点，则 的最大值为____． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 18. 解不等式组：． 19. 如图，将沿直线向右平移个单位到的位置． （1）若，，求的度数． （2）已知的面积为，．当扫过的面积为时，求的值． 20. 规定一种新运算“”：，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知． （1）求的值； （2）若关于的方程有无数个解，求，的值． 21. 如图，在中，，为上一点，． （1）尺规作图：在上确定一点，使得；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，探究和的数量关系并说明理由． 22. 为助力乡村振兴，加快南安农产品电商平台融合发展，推动县域直播电商经济，某企业积极响应，在线上平台主推两款特色礼盒：甲礼盒包含南安手工面线和南安石井头水紫菜，乙礼盒包含南安手工面线和石井咸酥花生．已知购买盒甲礼盒和盒乙礼盒共需元，购买盒甲礼盒和盒乙礼盒共需元． （1）求甲、乙两种礼盒每盒的售价； （2）平台计划加大推广力度，要求后续单日订单总销售额不低于元，且甲礼盒的销量是乙礼盒销量的倍，求乙礼盒至少需要卖出多少盒？ 23. 综合与实践 无论是家庭装修中的地板铺贴，还是艺术设计中的图案拼接，我们常常能看到用正多边形无缝覆盖平面的现象．这种既不留空隙、也不重叠的拼接方式，在数学上称为“平面镶嵌”（或“密铺”）．它与正多边形的内角大小密切相关：当围绕同一点的几个多边形的内角之和恰好等于一个周角（）时，就能实现局部密铺． （1）探究1 只用一种正多边形进行平面镶嵌． 如图所示，这是由三个完全相同的正多边形无缝隙、不重叠地拼接而成的图形的一部分．观察图形，这种正多边形是_______； （2）探究2 用两种不同的正多边形进行平面镶嵌． 以正方形与正八边形组合为例： 解：已知正方形的一个内角为， 正八边形的一个内角为， 设在一个公共顶点处有个正方形和个正八边形． 由题意可得： ， 整理得：， 则方程的正整数解为． 因此，镶嵌平面时在一个顶点处用1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，即这两种正多边形的组合可以进行平面镶嵌． 请仿照上述方法，判断正三角形与正六边形能否进行平面镶嵌．若能，请写出所有可能的方案；若不能，请说明理由． （3）探究3 用四个边长相等的正多边形进行平面镶嵌． 设四个正多边形的边数为，，，（，且为整数），试探究，，，之间的数量关系，并根据你推导的关系写出两组符合要求的，，，的值． 24. 已知三个数，，满足． （1）若，试说明：为负数； （2）若，且，求的取值范围； （3）若，，为非负数，且满足，记，求的最大值与最小值的差． 25. 如图1，点在的边的延长线上，的角平分线与的角平分线交于点，的角平分线与交于点． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）如图2，过点作，将绕点逆时针旋转得到，设旋转角度为，试说明：与的夹角为； （3）在（2）的条件下，若，．在旋转的过程中，当的边与平行时，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季初一年数学学科模拟练习 （满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列选项中是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】一元一次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数的最高次数为，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：选项A中，满足只含一个未知数，未知数次数为，且是整式方程，符合一元一次方程定义，A符合题意； 选项B中不是等式，不属于方程，B不符合题意； 选项C中是不等式，不是方程，C不符合题意； 选项D中不含未知数，不符合一元一次方程要求，D不符合题意． 2. “红砖白石双坡曲，出砖入石燕尾脊．”闽南红砖建筑是中华文化的瑰宝，下列四个花窗图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】轴对称图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，中心对称图形绕着某点旋转后能够与原图形完全重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、该图案是轴对称图形，但不是中心对称图形； 选项B、该图案既是轴对称图形，又是中心对称图形； 选项C、该图案是轴对称图形，但不是中心对称图形； 选项D、该图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形． 3. 用代入消元法解方程组时，把①代入②，得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将方程①中y的表达式代入方程②，替换方程②中的y即可得到正确结果． 【详解】解：方程①为， 将①代入方程②得到． 4. 如图，与交于点，，点，是对应点，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“对顶角相等”判断A选项，再根据全等三角形的性质判断其余三项． 【详解】解：与交于点， 与是对顶角， ， 故A选项正确； ， 、、、， 故B、C选项正确，D选项错误． 5. 如图，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，轻轻推动它就会变形．这说明（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 四边形具有对称性 C. 四边形不具有稳定性 D. 四边形可以变成三角形 【答案】C 【解析】 【详解】解：轻轻推动四边形木架就会变形是因为四边形不具有稳定性． 6. 下列方程的变形正确的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 【答案】A 【解析】 【分析】等式两边同时加或减同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立． 【详解】解：选项A：∵，等式两边同时减3，得，变形正确，符合题意； 选项B：∵，等式两边同时除以7，得，原式变形错误，不符合题意； 选项C：∵，等式两边同时乘2，得，原式变形错误，不符合题意； 选项D：∵，移项得，原式变形错误，不符合题意． 7. 如图，在中，是边上的中线，是边上的高．若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵是边上的高，， ∴， ∴． 8. “人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，体现了温度随着海拔的升高而降低．已知某地面温度为，且每升高千米温度下降，若山上的温度为，设山上距离地面的垂直高度为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据温度变化的等量关系列一元一次方程，思路是：山上温度等于地面温度减去升高千米下降的总温度，据此列出方程即可． 【详解】解：∵山上距离地面的垂直高度为，每升高千米温度下降， ∴温度一共下降， ∵地面温度为，山上温度为， ∴根据等量关系可列方程：． 9. 如图，现有一张三角形纸片，其中，为上一点，将纸片沿折叠，使点落在点处，且折叠后得到的三角形是等边三角形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得到，结合折叠的性质得到，进而求出的度数，利用求解即可． 【详解】解：三角形是等边三角形， 、， 由折叠的性质得：、， ， ， ， ， ， ， 解得：． 10. 按下面的程序计算： 若输入，输出结果是115；若输入，输出结果是65．若开始输入的值为正整数，最后输出的结果为75，则开始输入的值可能有（        ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】C 【解析】 【分析】当输出的结果为75时，求出，再令，求出结果，然后令结果等于，直至找出不符合题意的结果，进而得出答案． 【详解】解：当输出的结果为75时，， 解得； 当时，最后输出的结果为75，即， 解得； 当时，最后输出的结果为75，即， 解得； 当时，最后输出的结果为75，即， 解得（不符合题意，舍去）， 所以开始输入的m的值可能是35，15，5，一共有3种． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若是方程的解，则的值为_____． 【答案】1 【解析】 【详解】解：将代入方程， 得：， 解得：. 12. 如图，某校实践小组在点测得池塘两端的距离米，米．则池塘两端，之间的距离可能是_____米． 【答案】（任意在范围内的实数均可） 【解析】 【分析】根据三角形三边关系可得的取值范围，即可解答． 【详解】解：根据三角形三边关系可得，即， 则池塘两端，之间的距离可能是米． 13. “与的差不小于”，用不等式可表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】明确“不小于”的含义为大于等于，即可列出符合要求的不等式． 【详解】解：根据题意可得． 14. 如图，连接正五边形各条对角线，它们相交形成一个五角星，则度数为_____． 【答案】##36度 【解析】 【分析】根据正多边形的性质得出，，根据等腰三角形的性质求出，即可解答； 【详解】解：正五边形的内角和为：， ∴正五边形每个内角的度数为，即， ∵正五边形各边长相等， ∴， ∴， ∴． 15. 在“校园闽超”足球联赛中，甲队目前积分为分，还剩场比赛；乙队比赛已全部结束，最终积分为分．足球比赛积分规则为：胜一场得分，平一场得分，负一场得分．假设甲队剩余比赛全部分出胜负（无平局），为确保最终积分不低于乙队，甲队在剩余比赛中至少需要胜_____场． 【答案】 【解析】 【分析】设甲队胜场，则负场，求出甲队最后获得的积分表达式，再根据确保甲队最终积分不低于乙队，列出不等式，结合是整数进行求解即可． 【详解】解：设甲队胜场，则负场， 甲队最后获得的积分为：， 为确保最终积分不低于乙队，列出不等式得： ， 解得：， 为整数， 最小值为2， 甲队在剩余比赛中至少需要胜2场． 16. 如图，已知 为等腰直角三角形，，， 为 上的动点，则 的最大值为____． 【答案】 【解析】 【分析】作点关于直线的对称点，连接并延长交于点，连接、；易得，，；进而构造出等边，然后根据三角形的三边关系可得；求出的长即可； 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接并延长交于点，连接、； 由轴对称图形的性质可知：，， ∴ 即：当三点共线时， ∵ 为等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴是等边三角形 ∴ 即：的最大值为 故答案为： 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、轴对称图形的性质；通过轴对称图形的性质转化线段和角是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 移项得： 合并同类项得：． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 所以该不等式组的解集为． 19. 如图，将沿直线向右平移个单位到的位置． （1）若，，求的度数． （2）已知的面积为，．当扫过的面积为时，求的值． 【答案】（1） （2）的值为 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质可得，，利用三角形内角和即可解答； （2）连接，过点作于点，求得，根据扫过的面积即为梯形的面积，列方程求得的值即可． 【小问1详解】 解：由平移的性质可得，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作于点， ∵，， ∴， 由平移的性质可得， 扫过的面积即为梯形的面积， 解得 则当扫过的面积为时，的值为． 20. 规定一种新运算“”：，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知． （1）求的值； （2）若关于的方程有无数个解，求，的值． 【答案】（1）的值为 （2）的值为，的值为 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程，即可解答； （2）由（1）可得，将原方程整理为，根据该方程有无数个解，可得，即可解答． 【小问1详解】 解： 解得 即的值为； 【小问2详解】 解：由（1）可得：， 则， 整理得， 该方程有无数个解， 解得 ， 则的值为，的值为． 21. 如图，在中，，为上一点，． （1）尺规作图：在上确定一点，使得；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，探究和的数量关系并说明理由． 【答案】（1）方法一： ；方法二： （2）由图可知， ∵ ∴ ∵， ∴ 【解析】 【分析】（1）根据作一个角等于已知角或作的垂直平分线交于点； （2）根据三角形外角的性质，进行角度的转换即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 为助力乡村振兴，加快南安农产品电商平台融合发展，推动县域直播电商经济，某企业积极响应，在线上平台主推两款特色礼盒：甲礼盒包含南安手工面线和南安石井头水紫菜，乙礼盒包含南安手工面线和石井咸酥花生．已知购买盒甲礼盒和盒乙礼盒共需元，购买盒甲礼盒和盒乙礼盒共需元． （1）求甲、乙两种礼盒每盒的售价； （2）平台计划加大推广力度，要求后续单日订单总销售额不低于元，且甲礼盒的销量是乙礼盒销量的倍，求乙礼盒至少需要卖出多少盒？ 【答案】（1）一盒甲礼盒售价为元，一盒乙礼盒售价为元 （2）乙礼盒至少需要卖出盒 【解析】 【分析】（1）设一盒甲礼盒售价为元，一盒乙礼盒售价为元，根据题意列方程求解即可； （2）根据总销售额的要求，设未知数列不等式求解，结合盒数为正整数得到最小销量． 【小问1详解】 解：设一盒甲礼盒售价为元，一盒乙礼盒售价为元． 根据题意，得， 解得， 答：一盒甲礼盒售价为元，一盒乙礼盒售价为元． 【小问2详解】 解：设乙礼盒卖出盒，则甲礼盒卖出盒． 根据题意，得， 解得， 答：乙礼盒至少需要卖出盒． 23. 综合与实践 无论是家庭装修中的地板铺贴，还是艺术设计中的图案拼接，我们常常能看到用正多边形无缝覆盖平面的现象．这种既不留空隙、也不重叠的拼接方式，在数学上称为“平面镶嵌”（或“密铺”）．它与正多边形的内角大小密切相关：当围绕同一点的几个多边形的内角之和恰好等于一个周角（）时，就能实现局部密铺． （1）探究1 只用一种正多边形进行平面镶嵌． 如图所示，这是由三个完全相同的正多边形无缝隙、不重叠地拼接而成的图形的一部分．观察图形，这种正多边形是_______； （2）探究2 用两种不同的正多边形进行平面镶嵌． 以正方形与正八边形组合为例： 解：已知正方形的一个内角为， 正八边形的一个内角为， 设在一个公共顶点处有个正方形和个正八边形． 由题意可得： ， 整理得：， 则方程的正整数解为． 因此，镶嵌平面时在一个顶点处用1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，即这两种正多边形的组合可以进行平面镶嵌． 请仿照上述方法，判断正三角形与正六边形能否进行平面镶嵌．若能，请写出所有可能的方案；若不能，请说明理由． （3）探究3 用四个边长相等的正多边形进行平面镶嵌． 设四个正多边形的边数为，，，（，且为整数），试探究，，，之间的数量关系，并根据你推导的关系写出两组符合要求的，，，的值． 【答案】（1）正六边形 （2）能； 已知正三角形的一个内角为， 正六边形的一个内角为， 设在一个公共顶点处有个正三角形和个正六边形， 由题意可得：， 整理得：， 则方程的正整数解为或， 因此，正三角形与正六边形能进行平面镶嵌， 共有两种方案：方案一：2个正三角形和2个正六边形拼成一个周角， 方案二：4个正三角形和1个正六边形拼成一个周角； （3）；可能的值为：①；②； ③；④ 【解析】 【分析】（1）根据围绕一点的3个相同正多边形内角和为，先计算该正多边形每个内角的度数，再利用正多边形内角公式求边数即可； （2）先分别计算正三角形和正六边形的内角度数，设公共顶点处有个正三角形、个正六边形，根据内角和为列不定方程，求解方程的正整数解，得到拼接方案即可； （3）先写出边数为的正多边形内角公式，根据四个正多边形在公共顶点处内角和为列等式，对等式变形化简得到，，，的数量关系，再代入符合条件的正整数得到两组解． 【小问1详解】 解：围绕一点的3个内角和为， 该正多边形的单个内角为， 设边数为，由正多边形内角公式得： 解得：， 该正多边形为正六边形． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：正边形的每个内角为， ， 即， ， ， ，且为整数， 可能的值为：①； ②； ③； ④，，，． 24. 已知三个数，，满足． （1）若，试说明：为负数； （2）若，且，求的取值范围； （3）若，，为非负数，且满足，记，求的最大值与最小值的差． 【答案】（1）∵ ∴ ∴ ∴ ∴为负数． （2） （3）的最大值与最小值的差为 【解析】 【分析】（1）由题意可得，代入不等式即可解答； （2）根据，，可得，再根据，即可解答； （3）用表示，再根据，，为非负数，求得的取值范围，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵①，② 由①②得： 即 ∴ ∵ ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由题可得， 解得 ∵，，为非负数 ∴， 解得 ∴的取值范围为 ∴的最大值为，的最小值为 ∴ ∴的最大值与最小值的差为． 25. 如图1，点在的边的延长线上，的角平分线与的角平分线交于点，的角平分线与交于点． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）如图2，过点作，将绕点逆时针旋转得到，设旋转角度为，试说明：与的夹角为； （3）在（2）的条件下，若，．在旋转的过程中，当的边与平行时，请直接写出的度数． 【答案】（1）为直角三角形，理由如下： ∵平分，平分 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴为直角三角形 （2）设直线分别与，交于点G，H，如图所示 由旋转性质可得， ∴ ∵， 又， ∴， ∴与的夹角为． （3），或 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义得到即可解答； （2）根据旋转的性质可得，再利用角度的转换即可解答； （3）分三种情况，即当时，当时，当时，利用平行线的性质分别解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵平分， ∴ 由（1）可得 ∴ ∴ 如图2，当时， ∵平分 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 如图3，当时， ∴ ∵， ∴ ∴ 如图4，当时，设与交于点，如图所示， ∴ ∵ ∴ ∴ 综上所述，旋转过程中，当的边与平行时，的度数为，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $