精品解析：四川省成都市石室联合中学2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

2025-2026学年度下期期末测评 八年级数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必先认真核对条形码上的姓名、考号和座位号，无误后将本人姓名、考号和座位号填写在答题卡相应位置． 3．第Ⅰ卷为选择题，用2B铅笔在答题卡上填涂作答：第II卷为非选择题，用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．请按照题号在各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 中国经典纹样，千古流传，深受人们喜爱．下列纹样示意图中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 已知a<b，下列运用不等式的性质变形不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径作弧，交边于点D，连接，则的度数是（ ） A. 58° B. 60° C. 62° D. 56° 5. 如图，将点P向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则点P的对应点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如果一个多边形的内角和等于外角和的3倍，那么这个多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 在平面直角坐标系内，一次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 方程的解是 C. 当时， D. 不等式的解集是 8. 如图，在中，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若的周长为24，，则的周长是（ ） A. 12 B. 19 C. 16 D. 14 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 分解因式8x2y﹣2y＝_____． 10. 化简结果是_____． 11. 八年级举行少先队知识竞赛，共有30道题，规定答对一题得4分，答错或者不答扣一分，李明得分不低于90分，则他至少答对了_______道题． 12. 命题“若，则”是_______命题．（填“真”或“假”）． 13. 如图，在中，已知，点P以的速度从点A出发向点D运动，点Q以的速度从点C出发向点B运动，两点同时出发，当点Q到达点B时同时停止运动，设运动时间为t秒（）．当四边形是平行四边形时，t的值为_______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 按要求完成下列各题： （1）解不等式组； （2）解分式方程：． 15. 在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标为，，点P坐标为． （1）画出线段绕点P沿顺时针方向旋转所得到的线段，点的坐标是（_______）； （2）画出线段关于点P成中心对称的线段，点的坐标是（_______）； （3）在线段上画一点Q，使，点Q的坐标是（_______）． 16. 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．结合数轴观察： 解不等式，x表示到原点的距离小于3的数，如图1所示，不等式解集是； 解不等式，x表示到原点的距离大于3的数，如图2所示，不等式解集是或． 解答下面的问题： （1）的解集为__________，的解集为____________________； （2）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的整数值； 17. 如图，在中，对角线，相交于点，作于点，于点，连接，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的值． 18. 锐角中，，点在边上，，连接，将沿线段所在直线翻折，点的对应点落在延长线上，连接． （1）如图1，延长交于，求证：是的垂直平分线； （2）在图1中，请你延长至，使，连接． ①求的值； ②当时，求的值： （3）如图2，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，求的最小值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 如果，，那么代数式的值是_______． 20. 若关于x的分式方程的解是负数，则实数m的最大整数值是_______． 21. 如图，某厂的自动化流水线由两条平行的传送带a、b组成，a、b之间的距离为1米，在a、b之间要布置跨线工位，使得，物料供应点A到传送带a的距离米，物料供应点B到传送带b的距离米，A，B之间的距离为米，若要求两个物料供应点到工位的搬运距离相等，即，则________． 22. 如图，正方形中，为边的一动点（不与点，重合），作等腰梯形，其中，，与交于点，若，则_______． 23. 在平面直角坐标系中，函数，为常数，该函数的图象记为W． （1）当时，若点在图象W上，则_______． （2）已知点，点，当图象W与线段只有一个交点时，的取值范围是_______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 某水果经销商购进甲、乙两种水果进行销售．他发现甲种水果每件进价是乙种水果每件进价的倍．花500元购进甲种水果的件数比花450元购进乙种水果的件数少5件． （1）求甲种水果和乙种水果每件的进货单价； （2）该经销商计划购进甲、乙两种水果共100件，且购买的总费用不超过4200元．甲种水果售价为每件60元，乙种水果售价为每件36元．设购进甲种水果m件，总利润为W元． ①求W与m的函数关系式以及自变量m的取值范围； ②求总利润W的最大值和此时m的值． 25. 在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴、y轴于A，C两点，直线：分别交x轴、y轴于B，D两点，与相交于点．点M为线段上一动点． （1）求a和b的值； （2）作M关于x轴的对称点，M关于y轴的对称点，连接和，若线段与直线互相垂直，求M的坐标和的面积； （3）如果四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，那么这个四边形叫做对等四边形．将点A沿射线方向平移个单位到点F，连接，，当四边形是对等四边形时，求点M的坐标． 26. 平移与旋转是基本的几何图形变换，可以通过改变图形元素的相对位置来重组分散的几何元素，达到化散为聚，化隐为显的目的． 【基础探究】 （1）如图1，是等边三角形，边长为2，点D，E分别是，上的两个动点，且满足，连接．过点B作的平行线，过点E作的平行线，两线相交于点M，作射线，求的度数及的最小值． 【变式拓展】 （2）如图2，是等边三角形，点D在线段上，点E在线段延长线上，且满足，过点B作射线交射线于点F，射线交于点G． ①求证：； ②若，，求的值． 【迁移应用】 （3）如图3，中，，点D，E分别为，上两个动点，且满足，连接，，若，，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下期期末测评 八年级数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必先认真核对条形码上的姓名、考号和座位号，无误后将本人姓名、考号和座位号填写在答题卡相应位置． 3．第Ⅰ卷为选择题，用2B铅笔在答题卡上填涂作答：第II卷为非选择题，用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．请按照题号在各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 中国经典纹样，千古流传，深受人们喜爱．下列纹样示意图中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据两个定义，轴对称图形：沿一条直线折叠，直线两侧部分能完全重合；中心对称图形：绕中心点旋转后，能与原图重合．依次判断四个选项，筛选同时满足两个条件的图形． 【详解】解：选项A：图形有1条对称轴，是轴对称图形；绕中心旋转后无法和原图重合，不是中心对称图形； 选项B：图形没有对称轴，不是轴对称图形；绕圆心旋转后无法和原图完全重合，不是中心对称图形； 选项C：图形没有对称轴，不是轴对称图形；绕圆心旋转后和原图完全重合，是中心对称图形； 选项D：图形有对称轴，是轴对称图形；绕中心旋转后和原图完全重合，是中心对称图形． 2. 已知a<b，下列运用不等式的性质变形不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐一进行分析即可． 【详解】解：∵a＜b， ∴由不等式的性质1，得a+2＜b+2，a-2＜b-2，故选项A、 B说法正确，不符合题意； 由不等式的性质3，得-2a＞-2b，故选项C说法错误，符合题意； 由不等式的性质2，得，故选项D说法正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 3. 下列由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，即把多项式化为几个整式乘积的形式，逐一判断各选项即可． 【详解】A选项：右边为和的形式，不是整式乘积，不属于因式分解，不符合题意； B选项：右边不是整式，结果不是几个整式的乘积，不属于因式分解，不符合题意； C选项：是整式的乘法，不属于因式分解，不符合题意； D选项：，将多项式化为两个整式的乘积，符合因式分解的定义，符合题意． 4. 如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径作弧，交边于点D，连接，则的度数是（ ） A. 58° B. 60° C. 62° D. 56° 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形内角和得到的度数，再根据和三角形内角和得到的度数． 【详解】解：由题意知，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 5. 如图，将点P向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则点P的对应点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由图形知点P的坐标为， 将点P向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度， 则点P的对应点坐标是，即． 6. 如果一个多边形的内角和等于外角和的3倍，那么这个多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为，任意多边形外角和恒为，边形内角和为，据此结合题意建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得， 解得， ∴这个多边形的边数为． 7. 在平面直角坐标系内，一次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 方程的解是 C. 当时， D. 不等式的解集是 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的图象直接进行解答即可． 【详解】解：由函数的图象可知， A、当时，，原说法错误，不符合题意； B、方程的解是，原说法错误，不符合题意； C、当时，，正确，符合题意； D、不等式的解集是，原说法错误，不符合题意； 故答案为：C． 【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质及一次函数与一元一次方程，利用数形结合求解是解答此题的关键． 8. 如图，在中，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若的周长为24，，则的周长是（ ） A. 12 B. 19 C. 16 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】由线段垂直平分线的性质得到，再根据的周长求出，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，边的垂直平分线交于点D，交于点E， ∴， ∵的周长为24， ∴， ∴， ∴的周长． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 分解因式8x2y﹣2y＝_____． 【答案】2y（2x+1）（2x﹣1） 【解析】 【分析】首先提取公因式2y，再利用平方差公式分解因式得出答案． 【详解】8x2y-2y=2y（4x2-1） =2y（2x+1）（2x-1）． 故答案为2y（2x+1）（2x-1）． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 10. 化简结果是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先把原式变形为，再根据同分母分式减法计算法则求解即可． 【详解】解： 故答案为：2． 11. 八年级举行少先队知识竞赛，共有30道题，规定答对一题得4分，答错或者不答扣一分，李明得分不低于90分，则他至少答对了_______道题． 【答案】24 【解析】 【分析】设他答对了x道题，则答错或不答共道题，根据李明得分不低于90分建立不等式求解即可． 【详解】解：设他答对了x道题，则答错或不答共道题， 由题意得，， 解得， ∴x的最小值为24， ∴他至少答对了24道题． 12. 命题“若，则”是_______命题．（填“真”或“假”）． 【答案】 假 【解析】 【分析】利用平方的性质，通过举反例即可验证命题是否正确． 【详解】解：取，，计算得，， 此时满足，但，不满足， 因此原命题不成立，该命题是假命题． 13. 如图，在中，已知，点P以的速度从点A出发向点D运动，点Q以的速度从点C出发向点B运动，两点同时出发，当点Q到达点B时同时停止运动，设运动时间为t秒（）．当四边形是平行四边形时，t的值为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意可得，由平行四边形的性质得到，则，再根据平行四边形的性质可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴符合题意． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 按要求完成下列各题： （1）解不等式组； （2）解分式方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为； 【小问2详解】 解：去分母得， 去括号得， 解得， 经检验，是原方程的解． 15. 在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标为，，点P坐标为． （1）画出线段绕点P沿顺时针方向旋转所得到的线段，点的坐标是（_______）； （2）画出线段关于点P成中心对称的线段，点的坐标是（_______）； （3）在线段上画一点Q，使，点Q的坐标是（_______）． 【答案】（1）； （2）； （3）； 【解析】 【分析】（1）根据旋转的特点确定点的位置，再作图并写出对应点的坐标即可； （2）根据中心对称的特点确定点的位置，再作图并写出对应点的坐标即可； （3）求出，轴，则点Q的纵坐标为，设，则，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：画图见答案， 则点坐标是； 【小问2详解】 解：画图见答案， 则点的坐标是； 【小问3详解】 解：画图见答案， 由（2）得点的坐标是，点的坐标是， ∴； ∵， ∴轴， ∴点Q的纵坐标为， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 16. 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．结合数轴观察： 解不等式，x表示到原点的距离小于3的数，如图1所示，不等式解集是； 解不等式，x表示到原点的距离大于3的数，如图2所示，不等式解集是或． 解答下面的问题： （1）的解集为__________，的解集为____________________； （2）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的整数值； 【答案】（1）；或 （2） 【解析】 【分析】（1）对于第一空，仿照例题画数轴求解即可；对于第二空，设，则不等式可化为，仿照例题画数轴求出不等式的解集即可得到答案； （2）把方程组中的两个方程的左右两边分别相加推出，则；设，则不等式可化为，仿照例题画数轴求出不等式的解集，进而求出m的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，不等式的解集为 设，则不等式可化为， 如图所示，不等式的解集是或 ∴或， ∴或； 【小问2详解】 解： 得， ∴； ∵关于x，y的二元一次方程组的解满足， ∴； 设，则不等式可化为， 如图所示，不等式的解集为， ∴， ∴， ∴m的整数值为． 17. 如图，在中，对角线，相交于点，作于点，于点，连接，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的值． 【答案】（1）证明：，， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ，，， ， ， ，， 四边形为平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）由，，可得，，由四边形是平行四边形，可得，，证明，则，进而结论得证； （2）由勾股定理得到的长，根据三角形面积公式求出的长，结合勾股定理即可求出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 由勾股定理得，， 又， ， 由勾股定理得，， ， ． 18. 锐角中，，点在边上，，连接，将沿线段所在直线翻折，点的对应点落在延长线上，连接． （1）如图1，延长交于，求证：是的垂直平分线； （2）在图1中，请你延长至，使，连接． ①求的值； ②当时，求的值： （3）如图2，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，求的最小值． 【答案】（1）证明：由翻折性质：，平分， 即． 在等腰中，，平分顶角， 根据等腰三角形三线合一：，且． 直线垂直平分线段， 即是的垂直平分线． （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）由翻折性质及等腰三角形三线合一证明即可； （2）①连接，可得四边形是平行四边形，，，即可求出的长； ②由①知四边形是平行四边形，，根据勾股定理即可求出的长； （3）由题意，定点即在以为圆心、半径为的圆上运动，当共线且在之间时取最小，此时，根据已知条件及勾股定理即可解得的最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图，连接， 又点的对应点落在延长线上，， ， ， ， 与互相平分， 四边形是平行四边形， ， ， ， 又， ， 又， ， ， ； ②由①知四边形是平行四边形，， ， 在中，由勾股定理得，， ， 在中，由勾股定理得，， ， 在中，由勾股定理得，． 【小问3详解】 解：绕顺时针转得， 故为等边三角形， 定点即在以为圆心、半径为的圆上运动， 当共线且在之间时取最小，此时， 如图所示，， 作交延长线于点， 则为含的直角三角形， ， 设，则，， 在中，有， ， 解得或（舍去）， ， 则． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 如果，，那么代数式的值是_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ∵， ∴原式． 20. 若关于x的分式方程的解是负数，则实数m的最大整数值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于m的表达式，再根据解为负数且分式有意义，确定m的取值范围，即可求出m的最大整数值． 【详解】解：分式方程，两边同乘得：， 移项合并同类项得：． ∵方程的解为负数， ∴， 解得． 又∵分式有意义，分母不能为，即， ∴， 解得． ∴的取值范围是且， 则的最大整数值是． 21. 如图，某厂的自动化流水线由两条平行的传送带a、b组成，a、b之间的距离为1米，在a、b之间要布置跨线工位，使得，物料供应点A到传送带a的距离米，物料供应点B到传送带b的距离米，A，B之间的距离为米，若要求两个物料供应点到工位的搬运距离相等，即，则________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交的延长线于点，求得，利用勾股定理求得，设，则，利用勾股定理分别求得，，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：过点作交的延长线于点， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵，， ∴，， ∵，即， ∴， 解得； 即． 22. 如图，正方形中，为边的一动点（不与点，重合），作等腰梯形，其中，，与交于点，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】延长、交于点，作于点，连接、，设正方形的边长为，根据题意可得，．容易证明四边形是矩形，则，，由等腰梯形的性质可得，进而得到．在中，利用勾股定理构造方程，解得，则．利用平行线之间的等积变形可得，进而得到，因此． 【详解】解：如图，延长、交于点，作于点，连接、，设正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 23. 在平面直角坐标系中，函数，为常数，该函数的图象记为W． （1）当时，若点在图象W上，则_______． （2）已知点，点，当图象W与线段只有一个交点时，的取值范围是_______． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）将点分别代入两段函数式，结合范围进行取舍即可； （2）根据题意容易得到线段的解析式为，分别计算线段与两段线的交点，结合的取值范围，求出的范围，最后舍去两段都有交点的部分即可． 【详解】解：（1）∵ ∴， 当时， 解得，与矛盾； 当时， 解得，符合， ∴； （2）∵点，点， ∴线段的解析式为， 当线段与直线有交点时， ∴， 解得， ∵，且， ∴， 解得； 当线段与直线有交点时， ∴， 解得， ∵，且， ∴， 解得； ∵图象W与线段只有一个交点， ∴舍去两段都有交点的部分 ∴或． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 某水果经销商购进甲、乙两种水果进行销售．他发现甲种水果每件进价是乙种水果每件进价的倍．花500元购进甲种水果的件数比花450元购进乙种水果的件数少5件． （1）求甲种水果和乙种水果每件的进货单价； （2）该经销商计划购进甲、乙两种水果共100件，且购买的总费用不超过4200元．甲种水果售价为每件60元，乙种水果售价为每件36元．设购进甲种水果m件，总利润为W元． ①求W与m的函数关系式以及自变量m的取值范围； ②求总利润W的最大值和此时m的值． 【答案】（1）甲种水果每件的进货单价为元，乙种水果每件的进货单价为元； （2）①，且m为整数；②当时，取得最大值，最大值为． 【解析】 【分析】（1）设乙种水果每件的进货单价为元，则甲种水果每件的进货单价为元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）①设购进甲种水果m件，总利润为W元，根据题意求解即可；根据“购买的总费用不超过4200元”求得即可； ②利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设乙种水果每件的进货单价为元，则甲种水果每件的进货单价为元， 根据题意得， 解得， 经检验是原方程的解且符合题意， ， 答：甲种水果每件的进货单价为元，乙种水果每件的进货单价为元； 【小问2详解】 解：①设购进甲种水果m件，总利润为W元， 由题意得， ∵， ∴， ∴且m为整数； ②∵，， ∴随m的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为． 25. 在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴、y轴于A，C两点，直线：分别交x轴、y轴于B，D两点，与相交于点．点M为线段上一动点． （1）求a和b的值； （2）作M关于x轴的对称点，M关于y轴的对称点，连接和，若线段与直线互相垂直，求M的坐标和的面积； （3）如果四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，那么这个四边形叫做对等四边形．将点A沿射线方向平移个单位到点F，连接，，当四边形是对等四边形时，求点M的坐标． 【答案】（1）； （2），的面积为 （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出点E的坐标，即可得到a的值，再把点E的坐标代入直线的解析式中求出b的值即可； （2）求出，得到；过点C作交x轴于点H，设，则；由勾股定理得，解得，则；可求出直线的解析式为；设，则，可证明，则可设直线的解析式为，据此利用待定系数法求出点M的坐标，再根据列式求解即可； （3）由平移的性质可得，可求出直线的解析式为，则可求出，进而得到直线的解析式为；再分两种情况：平分四边形的面积和平分四边形的面积，分别画出示意图，讨论求解即可． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴，， 把点E的坐标代入得， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得直线的解析式为， 在中，当时，，解得， 当时，， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点C作交x轴于点H，设， ∴； 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为； 设，则， ∵线段与直线互相垂直， ∴， ∴可设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：由平移的性质可得， ∴可设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 如图所示，当平分四边形的面积时，则， 过点A，点M分别作的垂线，垂足分别为点I，点J，连接交于点K， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即点K为的中点； 设，则点K的坐标为，即， 把点K的坐标代入得， 解得， ∴， ∴； 如图所示，当平分四边形的面积时，设交于点N， 同理可证明点N为的中点， ∴点N的坐标为，即， 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴； 综上所述，点M的坐标为或． 26. 平移与旋转是基本的几何图形变换，可以通过改变图形元素的相对位置来重组分散的几何元素，达到化散为聚，化隐为显的目的． 【基础探究】 （1）如图1，是等边三角形，边长为2，点D，E分别是，上的两个动点，且满足，连接．过点B作的平行线，过点E作的平行线，两线相交于点M，作射线，求的度数及的最小值． 【变式拓展】 （2）如图2，是等边三角形，点D在线段上，点E在线段延长线上，且满足，过点B作射线交射线于点F，射线交于点G． ①求证：； ②若，，求的值． 【迁移应用】 （3）如图3，中，，点D，E分别为，上两个动点，且满足，连接，，若，，，求的值． 【答案】（1）；的最小值为1； （2）①证明：如图所示，过点E作交的延长线于点R， ∵是等边三角形， ∴； ∵， ∴，， ∴； 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ② （3） 【解析】 【分析】（1）证明，得到，；则可证明，得到，由三角形外角的性质可证明；由等边三角形的性质可推出，则可得到，即点M在射线上运动，由垂线段最短可知，当时，有最小值，据此可得答案； （2）①过点E作交的延长线于点R，证明是等边三角形，得到，则可得到，再证明，即可得到；②过点E作于点H，过点D作于点M，可求出，则可得到，，；证明平分，得到，则，即可得到； （3）以为底边，在的上方作等腰，且使得，设直线交于点R，可证明，得到，则可证明，得到，进而得到；过点F作于点H，过点F作于点G，则，，；证明是等腰直角三角形，推出，则；过点F作于点T，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即； ∴点M在射线上运动， 由垂线段最短可知，当时，有最小值， 此时有， ∴的最小值为1， ∴的最小值为1； 【小问2详解】 ①略； ②如图所示，过点E作于点H，过点D作于点M， ∴； ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分， 又∵，， ∴； ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，以为底边，在的上方作等腰，且使得，设直线交于点R， ∴，， 又∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点F作于点H，过点F作于点G， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点F作于点T， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $