第12讲 有理数的乘法与除法（暑假预习讲义，9题型突破+过关检测）新六年级数学新教材沪教版五四制

第12讲 有理数的乘法与除法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 两个有理数的乘法运算 题型2 多个有理数的乘法运算 题型3 倒数 题型4 有理数乘法运算律 题型5 有理数的除法运算 题型6 有理数乘除混合运算 题型7 有理数四则混合运算 题型8 根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型9 有理数运算的实际应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 有理数乘法、有理数除法、符号法则、同号得正、异号得负、负因数个数、倒数、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律、乘除互化、乘除混合运算、0无倒数、转化思想、简便运算 （一）知识理解目标 1. 理解有理数乘法、除法符号法则，能够快速准确判断积、商的正负性； 2. 掌握倒数的核心定义，熟练求解整数、分数、小数、带分数的倒数，牢记0没有倒数的特殊性质； 3. 理解除法是乘法的逆运算，掌握“除以一个非0数=乘它的倒数”的核心转化思想； 4. 熟记乘法三大运算律，能够正向、逆向运用运算律简化计算。 （二）运算技能目标 1. 熟练掌握两个有理数相乘、多个有理数连乘的计算方法； 2. 规范完成有理数单独除法运算、乘除混合运算，规避运算失误； 3. 熟练实现带分数、小数、分数的统一互化，通过约分简化运算； 4. 快速识别算式中的0因数，直接判定乘积为0，简化运算步骤。 （三）应用与思维目标 1. 能够运用有理数乘除运算解决盈亏、温度变化、行程等实际应用题； 2. 建立“先定符号，再算绝对值”的标准化有理数运算思维； 3. 体会数学转化、分类讨论、简便运算的核心思想，提升运算效率。 重点：有理数乘除符号法则、倒数的概念与求解、除法化乘法的转化方法、乘法分配律简便运算 难点：负负得正的逻辑理解、多个负因数的符号判断、乘法分配律逆用、乘除混合运算顺序 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． 【方法总结】同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积为0。 知识点02有理数的乘法运算律 乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)；乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c. 知识点03 多个有理数相乘 ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 注意： （1）运算前先确定积的符号；（2）小数要化为分数； （3）带分数要化为假分数；（4）灵活运用乘法交换律、乘法结合律． 【方法总结】负因数个数为偶数，积为正；负因数个数为奇数，积为负；式子中只要有一个因数为0，积直接为0。 知识点04 倒数的概念 乘积是1的两数互为倒数． 的倒数是，的倒数是 注意：若，则、互为倒数；反之，若、互为倒数，则；0有没有倒数 【方法总结】乘积为1的两个数互为倒数；0没有倒数；正数的倒数为正数，负数的倒数为负数。 知识点05有理数除法 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 零除以任何一个不为零的数，都得零。 甲数除以乙数（零除外）等于甲数乘以乙数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） 【方法总结】两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何非0的数，结果为0。 知识点06 有理数的乘除混合运算 有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果. 注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算 题型1两个有理数的乘法运算 【例1】．（25-26六年级上·上海虹口·期末）计算：______________ ． 【例2】．（25-26六年级上·上海·期末）如果两个数的积是正数，而它们的和是负数，那么这两个数（    ） A．都是正数 B．都是负数 C．一正一负 D．不能确定 【例3】．（25-26六年级上·上海·期中）若，且，那么（  ） A．都是正数 B．都是负数 C．一正一负，且负数的绝对值较大 D．一正一负，且正数的绝对值较大 【技巧归纳】解题步骤： 1. 判断两数同号、异号，依据法则确定积的符号； 2. 计算两个数绝对值的乘积； 3. 组合符号与绝对值结果，得出最终答案。 【变式1-1】．（2025六年级上·上海·专题练习）根据算式，，，，不能得到的结论是（   ） A．两个有理数相乘时，同号得正，异号得负； B．两个有理数相乘时，交换乘数的位置，积不变； C．两个有理数相乘时，积的绝对值等于各乘数绝对值的积； D．两个有理数相乘时，其中一个乘数换成它的相反数，所得的积是原来积的相反数． 【变式1-2】．（25-26六年级上·上海·期末）规定一种运算，则_______ ． 【变式1-3】．（25-26六年级上·上海·期末）从数，1，，5，中任意选取两个数相乘，其积的最大值是_____，最小值是______． 题型2多个有理数的乘法运算 【例4】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）________； 【例5】.（25-26六年级上·上海·阶段检测）已知，，，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【技巧归纳】解题技巧：两步优先法 1. 优先观察算式：若含因数0，直接判定乘积为0； 2. 无0因数时，数清负因数个数，偶数个为正，奇数个为负； 3. 所有数的绝对值相乘，能约分先约分，简化计算。 【变式2-1】．（25-26六年级上·上海青浦·期中）从五个有理数中任取三个有理数相乘，最小的积为______． 【变式2-2】．（22-23六年级下·上海闵行·阶段检测）计算：． 【变式2-3】．（2025六年级上·上海·专题练习）计算：． 题型3倒数 【例6】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）的倒数是（   ） A． B． C． D． 【例7】．（25-26六年级上·上海·期末）的倒数是______． 【例8】．（25-26六年级上·上海·期末）已知互为相反数，互为倒数．求代数式的值． 【技巧归纳】核心结论：0无倒数；±1的倒数是其本身。 【变式3-1】．（22-23六年级下·上海静安·期末）的倒数是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】．（25-26六年级上·上海杨浦·期末）如果一个数的倒数是，那么这个数是_____． 【变式3-3】．（25-26六年级上·上海·期中）下列结论错误的是（   ） ①；②若是有理数，那么的倒数是 ③负数的倒数一定比本身大；④有理数由正数、负数和零组成 A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【变式3-4】．（2025六年级上·上海·专题练习）已知、互为相反数，、互为倒数，是最小的素数，求的值． 题型4有理数乘法运算律 【例9】．简化计算，应该运用（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法对加法的分配律 D．乘法结合律 【例10】．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【例11】．（25-26六年级上·上海普陀·期末）计算：． 【变式4-1】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）规定，如果，则___________ 【变式4-2】．（25-26六年级上·上海·期中）计算：． 【变式4-3】．（25-26六年级上·上海青浦·期中）计算：． 题型5 有理数的除法运算 【例12】．（25-26六年级上·上海普陀·期末）计算：______． 【例13】．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）计算： 【技巧归纳】两数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除；0除以任何非0数，结果为0。 【变式5-1】．（25-26六年级上·上海·期中）如果两个有理数的商是，那么说法正确的是（   ） A．这两个数相等 B．这两个数互为相反数 C．这两个数互为倒数 D．这两个数中一个数是另一个数的相反数的倒数 【变式5-2】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）计算： __________． 【变式5-3】．（2026六年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型6有理数乘除混合运算 【例14】．（2025六年级上·上海·专题练习）下列计算的过程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【例15】．（25-26六年级上·上海·期末）计算： 【技巧归纳】标准化解题步骤： 1. 统一转化：所有除法转化为乘倒数，带分数化假分数、小数化分数； 2. 整体连乘：将算式统一为连乘形式； 3. 先定符号：数清负因数个数，判定最终符号； 4. 约分计算：绝对值部分交叉约分，算出最简结果。 【变式6-1】．（上海市浦东新区部分学校2025-2026学年六年级上学期1月期末数学试题）计算：_____． 【变式6-2】．（2025六年级上·上海·专题练习）计算：． 【变式6-3】．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）计算： ． 题型7有理数四则混合运算 【例16】．（2025六年级上·上海·专题练习）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【例17】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）定义一种新运算．例如：．则的值为_______． 【变式7-1】．（25-26六年级上·上海普陀·期末）计算： 【变式7-2】．（25-26六年级上·上海普陀·期末）计算： 【变式7-3】．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）阅读以下解题过程，并回答问题： 计算： 原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解决过程中第___________步产生了错误，错误原因为___________； (2)请写出正确的解答过程． 题型8根据点在数轴的位置判断式子的正负 【例18】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）如果两个有理数、在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（     ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．无法确定 【例19】．有理数m，n在数轴上的位置如图所示化简：______. 【变式8-1】．（25-26六年级上·上海长宁·期末）如图，数轴上点、点分别对应的数是，那么下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】．（24-25六年级上·上海·单元测试）、、三点在数轴上的位置如图所示，、、三个数的乘积为正数，数轴上原点的位置可能在（  ） A．点右侧或，两点之间 B．点左侧或，两点之间 C．点右侧或，两点之间 D．点左侧或，两点之间 【变式8-3】．有理数在数轴上的位置如图．    (1)把这七个数用“”连起来； (2)判断正负，用“”或“”填空：_______________________0． 题型9 有理数运算的实际应用 【例20】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）在走进田间课程中，某校六年级学生来到劳动实践基地挖红薯，一共挖了10筐，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，等于25千克记作0，不足的千克数记作负数，称重后记录如下：． (1)以每筐25千克为标准，这10筐红薯总计超过或不足多少千克？ (2)若红薯每千克售价12元，则售出这10筐红薯可得多少元？ 【例21】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）【问题情境】 近年来，国家越来越重视新能源汽车的发展，为积极响应国家推广节能减排的政策，李老师家买了一辆新能源汽车． 【实践探索】 李老师连续一星期记录了每天行驶的路程（每天以为基准，超出记为正，不足记为负），如下表所示： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 路程（） 【问题解决】 (1)该汽车行驶路程最多的一天是_______，这一天的实际行驶路程是________； (2)若该新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，求李老师这一星期开新能源汽车的电费． 【技巧归纳】解题技巧： 1. 定正负：规定正向意义（盈利、升温、向东为正；亏损、降温、向西为负）； 2. 理关系：套用基础数量关系“总量=单量×份数”； 3. 计算作答：列式后按有理数乘除法则计算，结果带单位作答。 【变式8-1】．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）十一国庆期间恰逢中秋，小明妈妈买了一盒月饼（共计6枚），包装说明上标记的总质量为克，小明好奇这盒月饼是否符合这个标准．于是他把6枚月饼进行称重，为了简化运算，他选取了一个恰当的标准质量，依据这个标准质量，把超出的部分记为正，不足的部分记为负，其统计结果如表所示（单位：克） 第枚 1 2 3 4 5 6 与标准质量的差 已知第6枚月饼为71克，请通过计算说明，判断这盒月饼的质量是否符合标准？ 【变式8-2】．（25-26六年级上·上海金山·期中）某展会期间有非常精彩的直升机花式飞行表演．表演过程中一架直升机A起飞后的高度变化量（单位：千米，规定上升为正，下降为负）为：，，，，． (1)当直升机A完成上述五个表演动作后，直升机A的高度是多少千米？ (2)若直升机A每上升1千米消耗5升燃油，每下降1千米消耗3升燃油，求直升机A在这5个动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？ (3)若另一架直升机B在做花式飞行表演时，起飞后前四次的高度为：，，，．若要使直升机B在完成第5个动作后与直升机A完成5个动作后的高度相同，求直升机B的第5个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？ 【变式8-3】．（25-26六年级上·上海·寒假作业）粮库6天内粮食进、出库的吨数记录如下表（“”表示进库，“”表示出库） 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 进、出库的数量（吨） (1)这6天中，进库或出库粮食最多的是__________吨． (2)经过这6天，粮库里的粮食是增多了还是减少了？请通过计算说明； (3)经过这6天，仓库管理员发现库里还有500吨，那么6天前库里存量多少吨？ (4)如果搬运1吨粮食的费用是20元，请问这六天的搬运费是多少钱？ 一、单选题 1．2026的倒数是（     ） A． B． C． D． 2．简化计算，应该运用（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法对加法的分配律 D．乘法结合律 3．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 4．计算：得（    ） A． B． C． D． 5．如果，那么下列结论成立的是（　　） A． B． C． D． 6．下列说法正确的是（   ） A．如果两个数的和为0，那么这两个数的商为 B．如果两个数的差为0，那么这两个数的商为1 C．如果两个数的积为，那么这两个数的和为0 D．如果两个数的商为，那么这两个数的和为0 二、填空题 7．的倒数是______． 8．计算：______． 9．在抢答比赛中，规定答对一题记分，答错一题记分．如果甲队答对5个题，答错2个题，则最后得分为______分． 10．请列举两个有理数：使它们的积为负数，和为负数，这两个有理数可以是_____．（写出一组即可） 11．如图，数轴上的点、分别表示有理数、，根据它们的位置，比较大小：__（填“”或“”或“”）． 12．气象观测资料表明，高度每增加，气温降低大约．如果地面气温是，那么空中气温为的位置距离地面高度是______千米． 13．若、互为相反数（、均不为0），、互为倒数，则______． 14．乐乐在计算时，误将“”看成“”，所得的结果是，那么的正确结果应是______． 15．在，，，4，5中取出三个数，把三个数相乘，所得到的最大乘积是_______； 16．若、、都是有理数，，且，有理数在数轴上所对应的点在原点左侧，则___________． 17．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，，则的值为______． 三、解答题 18．计算：． 19．计算：． 20．计算：． 21．计算： 22．十一国庆期间恰逢中秋，小明妈妈买了一盒月饼（共计6枚），包装说明上标记的总质量为克，小明好奇这盒月饼是否符合这个标准．于是他把6枚月饼进行称重，为了简化运算，他选取了一个恰当的标准质量，依据这个标准质量，把超出的部分记为正，不足的部分记为负，其统计结果如表所示（单位：克） 第枚 1 2 3 4 5 6 与标准质量的差 已知第6枚月饼为71克，请通过计算说明，判断这盒月饼的质量是否符合标准？ 23．【问题情境】 近年来，国家越来越重视新能源汽车的发展，为积极响应国家推广节能减排的政策，李老师家买了一辆新能源汽车． 【实践探索】 李老师连续一星期记录了每天行驶的路程（每天以为基准，超出记为正，不足记为负），如下表所示： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 路程（） 【问题解决】 (1)该汽车行驶路程最多的一天是_______，这一天的实际行驶路程是________； (2)若该新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，求李老师这一星期开新能源汽车的电费． 24．股民曹先生上星期五买进某公司股票1000股，每股31元，下表为本周每日该股票的涨跌情况（单位：元）． 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 注：正数表示比前一天上涨，负数表示比前一天下跌． (1)星期三收盘时，每股是多少元？（列式计算） (2)本周内最高股价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (3)如果曹先生在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 有理数的乘法与除法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 两个有理数的乘法运算 题型2 多个有理数的乘法运算 题型3 倒数 题型4 有理数乘法运算律 题型5 有理数的除法运算 题型6 有理数乘除混合运算 题型7 有理数四则混合运算 题型8 根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型9 有理数运算的实际应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 有理数乘法、有理数除法、符号法则、同号得正、异号得负、负因数个数、倒数、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律、乘除互化、乘除混合运算、0无倒数、转化思想、简便运算 （一）知识理解目标 1. 理解有理数乘法、除法符号法则，能够快速准确判断积、商的正负性； 2. 掌握倒数的核心定义，熟练求解整数、分数、小数、带分数的倒数，牢记0没有倒数的特殊性质； 3. 理解除法是乘法的逆运算，掌握“除以一个非0数=乘它的倒数”的核心转化思想； 4. 熟记乘法三大运算律，能够正向、逆向运用运算律简化计算。 （二）运算技能目标 1. 熟练掌握两个有理数相乘、多个有理数连乘的计算方法； 2. 规范完成有理数单独除法运算、乘除混合运算，规避运算失误； 3. 熟练实现带分数、小数、分数的统一互化，通过约分简化运算； 4. 快速识别算式中的0因数，直接判定乘积为0，简化运算步骤。 （三）应用与思维目标 1. 能够运用有理数乘除运算解决盈亏、温度变化、行程等实际应用题； 2. 建立“先定符号，再算绝对值”的标准化有理数运算思维； 3. 体会数学转化、分类讨论、简便运算的核心思想，提升运算效率。 重点：有理数乘除符号法则、倒数的概念与求解、除法化乘法的转化方法、乘法分配律简便运算 难点：负负得正的逻辑理解、多个负因数的符号判断、乘法分配律逆用、乘除混合运算顺序 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． 【方法总结】同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积为0。 知识点02有理数的乘法运算律 乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)；乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c. 知识点03 多个有理数相乘 ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 注意： （1）运算前先确定积的符号；（2）小数要化为分数； （3）带分数要化为假分数；（4）灵活运用乘法交换律、乘法结合律． 【方法总结】负因数个数为偶数，积为正；负因数个数为奇数，积为负；式子中只要有一个因数为0，积直接为0。 知识点04 倒数的概念 乘积是1的两数互为倒数． 的倒数是，的倒数是 注意：若，则、互为倒数；反之，若、互为倒数，则；0有没有倒数 【方法总结】乘积为1的两个数互为倒数；0没有倒数；正数的倒数为正数，负数的倒数为负数。 知识点05有理数除法 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 零除以任何一个不为零的数，都得零。 甲数除以乙数（零除外）等于甲数乘以乙数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） 【方法总结】两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何非0的数，结果为0。 知识点06 有理数的乘除混合运算 有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果. 注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算 题型1两个有理数的乘法运算 【例1】．（25-26六年级上·上海虹口·期末）计算：______________ ． 【答案】 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据有理数乘法法则，异号两数相乘得负，再计算分数乘法即可解答． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【例2】．（25-26六年级上·上海·期末）如果两个数的积是正数，而它们的和是负数，那么这两个数（    ） A．都是正数 B．都是负数 C．一正一负 D．不能确定 【答案】B 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘法, 有理数的加法，根据同号为正，异号为负可知：两个有理数的积为正数，则这两个数为同号；根据同号相加，取相同符号，并把绝对值相加，则这两个数一定都是负数，即可求解． 【详解】解：如果两个有理数的积为正数，则这两个数为同号，且和是负数，那么这两个数一定都是负数． 故选：B． 【例3】．（25-26六年级上·上海·期中）若，且，那么（  ） A．都是正数 B．都是负数 C．一正一负，且负数的绝对值较大 D．一正一负，且正数的绝对值较大 【答案】B 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的运算，根据，可判断a，b同号，再根据，可得都是负数． 【详解】解：， a，b同号， 又， 都是负数， 故选B． 【技巧归纳】解题步骤： 1. 判断两数同号、异号，依据法则确定积的符号； 2. 计算两个数绝对值的乘积； 3. 组合符号与绝对值结果，得出最终答案。 【变式1-1】．（2025六年级上·上海·专题练习）根据算式，，，，不能得到的结论是（   ） A．两个有理数相乘时，同号得正，异号得负； B．两个有理数相乘时，交换乘数的位置，积不变； C．两个有理数相乘时，积的绝对值等于各乘数绝对值的积； D．两个有理数相乘时，其中一个乘数换成它的相反数，所得的积是原来积的相反数． 【答案】B 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法，解题关键是熟练掌握有理数的乘法法则． 根据有理数的乘法法则解题即可． 【详解】解：A：观察已知条件中的4个算式可知：两个有理数相乘时，同号得正，异号得负，故此选项不符合题意； B：观察算式可知：没有两个有理数相乘时交换乘数的位置的算式，故此选项符合题意； C：观察算式得到两个有理数相乘时，积的绝对值等于各乘数绝对值的积，故此选项不符合题意； D：观察，可得两个有理数相乘时，其中一个乘数换成它的相反数，所得的积是原来积的相反数，故此选项不符合题意； 故选：B ． 【变式1-2】．（25-26六年级上·上海·期末）规定一种运算，则_______ ． 【答案】10 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查定义新运算，根据新定义的运算规则正确计算是解题的关键．根据新定义运算规则，将，代入公式计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故答案为：10． 【变式1-3】．（25-26六年级上·上海·期末）从数，1，，5，中任意选取两个数相乘，其积的最大值是_____，最小值是______． 【答案】 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算即可求解，解题的关键是几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正． 【详解】解：积的最大值是， 积的最小值为， 故答案为：，． 题型2多个有理数的乘法运算 【例4】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）________； 【答案】0 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，任何数与0相乘都得0，据此可得答案． 【详解】解：， 故答案为：0． 【例5】.（25-26六年级上·上海·阶段检测）已知，，，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数乘法运算法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．据此判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 综上所述，，． 故选：B． 【技巧归纳】解题技巧：两步优先法 1. 优先观察算式：若含因数0，直接判定乘积为0； 2. 无0因数时，数清负因数个数，偶数个为正，奇数个为负； 3. 所有数的绝对值相乘，能约分先约分，简化计算。 【变式2-1】．（25-26六年级上·上海青浦·期中）从五个有理数中任取三个有理数相乘，最小的积为______． 【答案】 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数乘法运算．要使三个数的乘积最小，结果应为负数.而三数相乘结果为负数有两种情况：一负两正或三负．根据题中数据，负数只有两个，故只能是“一负两正”的情况．要使“一负两正”的积最小，应取绝对值最大的负数与两个正数相乘． 【详解】解：最小的积为：． 故答案为：． 【变式2-2】．（22-23六年级下·上海闵行·阶段检测）计算：． 【答案】 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，熟知有理数的乘法计算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式2-3】．（2025六年级上·上海·专题练习）计算：． 【答案】． 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的运算法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 题型3倒数 【例6】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】倒数 【分析】本题考查了倒数的定义．先将带分数转化为假分数，再求倒数，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴的倒数为， 即的倒数是， 故选：C． 【例7】．（25-26六年级上·上海·期末）的倒数是______． 【答案】 【知识点】倒数 【分析】本题主要考查了倒数．先将带分数转化为假分数，再依据倒数的定义求解即可． 【详解】解：的倒数是． 故答案为． 【例8】．（25-26六年级上·上海·期末）已知互为相反数，互为倒数．求代数式的值． 【答案】3 【知识点】相反数的定义、已知式子的值，求代数式的值、倒数 【分析】本题考查相反数和倒数的定义，代数式求值，解题的关键是熟练掌握相反数和倒数的定义． 根据相反数和倒数的性质，a与b互为相反数则，c与d互为倒数则，代入代数式计算即可． 【详解】解：∵a，b互为相反数， ∴， ∵c，d互为倒数， ∴， ∴． 【技巧归纳】核心结论：0无倒数；±1的倒数是其本身。 【变式3-1】．（22-23六年级下·上海静安·期末）的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】倒数 【分析】本题考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．根据倒数的定义解答即可求解． 【详解】的倒数是 故答案为B． 【变式3-2】．（25-26六年级上·上海杨浦·期末）如果一个数的倒数是，那么这个数是_____． 【答案】 【知识点】倒数 【分析】本题考查了倒数的定义，掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键． 根据倒数的定义即可求解． 【详解】解：一个数的倒数是，那么这个数是， 故答案为：． 【变式3-3】．（25-26六年级上·上海·期中）下列结论错误的是（   ） ①；②若是有理数，那么的倒数是 ③负数的倒数一定比本身大；④有理数由正数、负数和零组成 A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】A 【知识点】倒数、有理数的分类 【分析】本题考查有理数的运算、倒数的定义以及有理数的分类，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据有理数的运算法则、倒数的定义以及有理数的分类逐一分析每个结论的正确性． 【详解】对于结论①：等式左边，等式右边，而和，两者一般不等，（例如当时，左边等于，右边等于，故结论①错误； 对于结论②：若是有理数，当时，，0没有倒数，故结论②错误； 对于结论③：负数的倒数不一定比本身大（例如当时，倒数为，且），故结论③错误； 对于结论④：有理数包括正有理数、负有理数和零，但“正数”通常包括正无理数（如等），这些不是有理数，故结论④错误； 综上，结论①②③④均错误， 故选：A． 【变式3-4】．（2025六年级上·上海·专题练习）已知、互为相反数，、互为倒数，是最小的素数，求的值． 【答案】 【知识点】倒数、已知式子的值，求代数式的值、相反数的定义 【分析】根据相反数的两个数的和为0，互为倒数的两个数的积为1，绝对值的意义，负数的意义计算即可． 【详解】解：、互为相反数，、互为倒数，是最小的素数， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相反数，素数，倒数，代数式的值，有理数的乘法，熟练掌握相反数，倒数的性质是解题的关键． 题型4有理数乘法运算律 【例9】．简化计算，应该运用（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法对加法的分配律 D．乘法结合律 【答案】C 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法对加法的分配律是解题关键．因为24、12、4都是24的约数，所以本题利用乘法对加法的分配律进行计算． 【详解】解：利用乘法对加法的分配律得：， ， 故选：C 【例10】．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用乘法分配律展开计算乘法，最后算加减法即可． 【详解】解： ． 【例11】．（25-26六年级上·上海普陀·期末）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查了乘法分配律，先利用乘法分配律去括号，再计算乘法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式4-1】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）规定，如果，则___________ 【答案】/ 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查有理数的运算，根据定义计算和的值，代入方程后通过通分和约分求解b． 【详解】由定义，， 则， ． 代入方程：， 即， 则． 故答案为：． 【变式4-2】．（25-26六年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘法运算法则计算． 【详解】解：原式 ． 【变式4-3】．（25-26六年级上·上海青浦·期中）计算：． 【答案】0 【详解】解： ． 题型5 有理数的除法运算 【例12】．（25-26六年级上·上海普陀·期末）计算：______． 【答案】 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的除法运算，解题关键是掌握有理数的除法运算． 将带分数转换为假分数，然后利用除以分数等于乘以倒数的法则进行计算． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【例13】．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）计算： 【答案】 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查有理数的除法运算，带分数化为假分数，除法变乘法，进行约分化简即可． 【详解】解：原式． 【技巧归纳】两数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除；0除以任何非0数，结果为0。 【变式5-1】．（25-26六年级上·上海·期中）如果两个有理数的商是，那么说法正确的是（   ） A．这两个数相等 B．这两个数互为相反数 C．这两个数互为倒数 D．这两个数中一个数是另一个数的相反数的倒数 【答案】B 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题主要考查了有理数的除法计算，根据有理数的除法计算法则即可得到答案． 【详解】解：如果两个有理数的商是，那么，即，故这两个数互为相反数， 故选：B． 【变式5-2】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）计算： __________． 【答案】 【知识点】有理数的除法运算 【详解】解： ． 【变式5-3】．（2026六年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) 【知识点】有理数的除法运算 【分析】同号得正，异号得负，再绝对值相除；除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数，据此作答即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题主要考查了有理数的除法运算，掌握相应的运算法则是解答本题的关键． 题型6有理数乘除混合运算 【例14】．（2025六年级上·上海·专题练习）下列计算的过程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的除法运算，掌握其运算法则是解题的关键． 先算括号，再根据除以一个数，等于乘以这个数的倒数，由此即可求解． 【详解】解： ， 故选：D ． 【例15】．（25-26六年级上·上海·期末）计算： 【答案】5 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，解题关键是先将带分数化为假分数，把除法转化为乘法，再通过约分简化计算，同时注意符号的运算规则. 【详解】解：原式 . 【技巧归纳】标准化解题步骤： 1. 统一转化：所有除法转化为乘倒数，带分数化假分数、小数化分数； 2. 整体连乘：将算式统一为连乘形式； 3. 先定符号：数清负因数个数，判定最终符号； 4. 约分计算：绝对值部分交叉约分，算出最简结果。 【变式6-1】．（上海市浦东新区部分学校2025-2026学年六年级上学期1月期末数学试题）计算：_____． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 先将除法转化为乘法，再计算乘法即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式6-2】．（2025六年级上·上海·专题练习）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，先把除法转化为乘法，再进行计算即可﹒ 【详解】解：﹒ 【变式6-3】．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）计算： ． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，先计算中括号内的加法，再把除法变成乘法后计算乘法即可得到答案． 【详解】解： ． 题型7有理数四则混合运算 【例16】．（2025六年级上·上海·专题练习）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算律，有理数的除法计算，有理数四则运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选B． 【例17】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）定义一种新运算．例如：．则的值为_______． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的乘法、加减法的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．先根据新定义将转化为，再进行计算即可． 【详解】解：由题意，得， 故答案为：． 【变式7-1】．（25-26六年级上·上海普陀·期末）计算： 【答案】35 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先算括号里面的减法，接着算乘除，最后算加减即可． 【详解】解：原式 【变式7-2】．（25-26六年级上·上海普陀·期末）计算： 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是逆用分配律进行简便计算． 根据运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【变式7-3】．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）阅读以下解题过程，并回答问题： 计算： 原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解决过程中第___________步产生了错误，错误原因为___________； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)第二步；运算顺序错误 (2)见解析 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）根据有理数的混合运算顺序求解即可； （2）先算括号内的式子，然后计算除法和乘法即可． 【详解】（1）解：上面解决过程中第二步产生了错误，错误原因为运算顺序错误； （2）解： ． 题型8根据点在数轴的位置判断式子的正负 【例18】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）如果两个有理数、在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（     ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．无法确定 【答案】A 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数的除法运算 【分析】先根据数轴上点的位置判断两个数的符号，再利用有理数除法法则判断商的符号即可． 【详解】解：∵有理数，在数轴上对应的点分别在原点的两侧， ∴和一个是正数，一个是负数，即，异号， 又∵有理数除法法则为：两数相除，同号得正，异号得负， ∴这两个数相除所得的商一定是负数． 【例19】．有理数m，n在数轴上的位置如图所示化简：______. 【答案】/ 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】首先根据数轴上右边的数总大于左边的数判断m、n之间的大小关系，然后确定的符号，然后根据求绝对值的法则去掉绝对值符号即可． 【详解】解：∵在数轴上实数m位于n的左侧， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了实数与数轴，根据数轴上实数的位置确定绝对值里面的代数式的符号是解决此题的关键． 【变式8-1】．（25-26六年级上·上海长宁·期末）如图，数轴上点、点分别对应的数是，那么下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查数轴上点的位置与数的大小、符号关系，需结合数轴确定、的取值范围，再逐一分析选项． 【详解】解：由数轴可知，，，且，故选项D错误； ∴，选项A错误； ，选项B错误； ，选项C正确； 故选：C． 【变式8-2】．（24-25六年级上·上海·单元测试）、、三点在数轴上的位置如图所示，、、三个数的乘积为正数，数轴上原点的位置可能在（  ） A．点右侧或，两点之间 B．点左侧或，两点之间 C．点右侧或，两点之间 D．点左侧或，两点之间 【答案】B 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】根据“、、三个数的乘积为正数”可知、、均为正数或一个数是正数，另外两个数是负数，结合、、三点在数轴上的位置，即可得到答案． 【详解】解：、、三个数的乘积为正数， 、、均为正数或一个数是正数，另外两个数是负数， 、、三点全都在原点右侧或三点中有一点在原点右侧，另外两点在原点左侧， 数轴上原点的位置可能在点左侧或，两点之间， 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴上点的特征，熟练掌握“正数在原点右侧，负数在原点左侧”是解题的关键． 【变式8-3】．有理数在数轴上的位置如图．    (1)把这七个数用“”连起来； (2)判断正负，用“”或“”填空：_______________________0． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】（1）由数轴可得且，由此即可得到答案； （2）由数轴可得且，由此逐个判断即可得到答案． 【详解】（1）解：由数轴可得：且， ； （2）解：由数轴可得且， ，，，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负，根据数轴得出且是解此题的关键． 题型9 有理数运算的实际应用 【例20】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）在走进田间课程中，某校六年级学生来到劳动实践基地挖红薯，一共挖了10筐，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，等于25千克记作0，不足的千克数记作负数，称重后记录如下：． (1)以每筐25千克为标准，这10筐红薯总计超过或不足多少千克？ (2)若红薯每千克售价12元，则售出这10筐红薯可得多少元？ 【答案】(1)不足7千克 (2)2916元 【知识点】有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查了有理数在实际中的应用，有理数的混合运算．解题的关键在于熟练掌握负数的含义并正确的运算． （1）根据，计算求解，然后作答即可； （2）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：（千克）， 答：10筐红薯总计不足千克； （2）（元）， 答：售出这筐红薯可得元． 【例21】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）【问题情境】 近年来，国家越来越重视新能源汽车的发展，为积极响应国家推广节能减排的政策，李老师家买了一辆新能源汽车． 【实践探索】 李老师连续一星期记录了每天行驶的路程（每天以为基准，超出记为正，不足记为负），如下表所示： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 路程（） 【问题解决】 (1)该汽车行驶路程最多的一天是_______，这一天的实际行驶路程是________； (2)若该新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，求李老师这一星期开新能源汽车的电费． 【答案】(1)星期六，； (2)元 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】（）根据题意及正数与负数的含义进行分析求解即可； （）先求出这七天高于（或低于）的标准所行驶的路程，再加上七天按标准行驶的路程，然后列出算式即可求解； 本题考查了正负数的意义，有理数的加减混合运算，有理数的除法运算，掌握正负数的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：根据表格可知该汽车行驶路程最多的一天是星期六，这一天的实际行驶路程是， 故答案为：星期六，； （2）解：李老师这一星期开新能源汽车行驶的路程为 ， ∴李老师这一星期开新能源汽车的电费为：（元）， 答：李老师这一星期开新能源汽车的电费为元． 【技巧归纳】解题技巧： 1. 定正负：规定正向意义（盈利、升温、向东为正；亏损、降温、向西为负）； 2. 理关系：套用基础数量关系“总量=单量×份数”； 3. 计算作答：列式后按有理数乘除法则计算，结果带单位作答。 【变式8-1】．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）十一国庆期间恰逢中秋，小明妈妈买了一盒月饼（共计6枚），包装说明上标记的总质量为克，小明好奇这盒月饼是否符合这个标准．于是他把6枚月饼进行称重，为了简化运算，他选取了一个恰当的标准质量，依据这个标准质量，把超出的部分记为正，不足的部分记为负，其统计结果如表所示（单位：克） 第枚 1 2 3 4 5 6 与标准质量的差 已知第6枚月饼为71克，请通过计算说明，判断这盒月饼的质量是否符合标准？ 【答案】总质量420.3克，符合标准 【知识点】有理数加法在生活中的应用、正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查正负数的应用，有理数运算的实际应用，通过已知第6枚月饼的实际质量和与标准质量的差值，求出标准质量，再计算所有月饼与标准质量差值的和，进而求出总质量，并判断是否在标准范围内即可． 【详解】解：已知第6枚月饼实际质量为71克，与标准质量的差值为克， ∴标准质量为（克）； 所有月饼与标准质量的差值之和为： （克）． 故这盒月饼的总质量（克）． ∵标准质量为克，即418克至422克． ∵， ∴总质量420.3克，这盒月饼的质量符合标准． 【变式8-2】．（25-26六年级上·上海金山·期中）某展会期间有非常精彩的直升机花式飞行表演．表演过程中一架直升机A起飞后的高度变化量（单位：千米，规定上升为正，下降为负）为：，，，，． (1)当直升机A完成上述五个表演动作后，直升机A的高度是多少千米？ (2)若直升机A每上升1千米消耗5升燃油，每下降1千米消耗3升燃油，求直升机A在这5个动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？ (3)若另一架直升机B在做花式飞行表演时，起飞后前四次的高度为：，，，．若要使直升机B在完成第5个动作后与直升机A完成5个动作后的高度相同，求直升机B的第5个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？ 【答案】(1)千米 (2)升 (3)上升，上升1千米 【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题意和数据，可求得这5个数据的和，即可得直升机A的高度； （2）分别计算上升和下降的总距离，再根据消耗率求燃油总量； （3）根据题意，可以计算出直升机B前四次的高度，再用直升机A的最后高度减去直升机B前四次的结果即可求解． 【详解】（1）解：（千米） 答：直升机A的高度是千米 （2）解：上升总距离：（千米） 下降总距离：（千米） 消耗燃油：（升） 答：直升机A一共消耗升燃油； （3）解：直升机B前四次高度和：（千米） 第五个动作需要：（千米），由于结果为正，故上升 答：直升机B的第5个动作是上升，上升1千米 【变式8-3】．（25-26六年级上·上海·寒假作业）粮库6天内粮食进、出库的吨数记录如下表（“”表示进库，“”表示出库） 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 进、出库的数量（吨） (1)这6天中，进库或出库粮食最多的是__________吨． (2)经过这6天，粮库里的粮食是增多了还是减少了？请通过计算说明； (3)经过这6天，仓库管理员发现库里还有500吨，那么6天前库里存量多少吨？ (4)如果搬运1吨粮食的费用是20元，请问这六天的搬运费是多少钱？ 【答案】(1)36 (2)粮库里的粮食增多了20吨 (3)480 (4)2800元 【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用、有理数加法在生活中的应用、有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的混合运算． （1）根据比较绝对值的大小即可得到答案； （2）根据有理数的加法进行计算即可得答案； （3）根据题意列出算式，可得答案； （4）将各数绝对值相加，乘以20即可． 【详解】（1）解：， ∴这6天中，进库或出库粮食最多的是吨， 故答案为：； （2）解：． ∴总变化量为20吨，表示粮食增多了20吨； （3）解：6天前库里存量（吨）， 答：6天前库里存粮480吨； （4）解： （元）． 答：这六天的搬运费是2800元． 一、单选题 1．2026的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】乘积为的两个数互为倒数. 【详解】解：， 的倒数是. 2．简化计算，应该运用（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法对加法的分配律 D．乘法结合律 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法对加法的分配律是解题关键．因为24、12、4都是24的约数，所以本题利用乘法对加法的分配律进行计算． 【详解】解：利用乘法对加法的分配律得：， ， 故选：C 3．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的混合运算，逐项计算，然后判定即可求解． 【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 4．计算：得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】同级运算从左向右依次计算，计算过程中注意正负符号的变化． 【详解】解：， 故选B． 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5．如果，那么下列结论成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的运算，根据有理数除法的符号法则，同号为正，得到同为正或同为负，再根据两数和为负，得到，同为负，即可． 【详解】解：∵， ∴同为正或同为负， ∵， ∴同为负，即：； 故选B． 6．下列说法正确的是（   ） A．如果两个数的和为0，那么这两个数的商为 B．如果两个数的差为0，那么这两个数的商为1 C．如果两个数的积为，那么这两个数的和为0 D．如果两个数的商为，那么这两个数的和为0 【答案】D 【分析】本题考查真假命题的判断，根据题意判断命题的真假是解题的关键，通过逐一分析每个选项的条件和结论，判断其是否恒成立，即可得到答案. 【详解】解：选项A：∵如果两个数的和为0，则它们互为相反数，但当其中一个数为0时，商不存在，∴A错误； 选项B：∵如果两个数的差为0，则它们相等，但当数为0时，商不存在，∴B错误； 选项C：∵如果两个数的积为，则它们互为负倒数，但和不一定为0，例如2和，和为，∴C错误； 选项D：∵如果两个数的商为，则设一个数为，另一个数为， ∴， ∴D正确， 故选：D. 二、填空题 7．的倒数是______． 【答案】 【详解】解：的倒数是． 8．计算：______． 【答案】81 【分析】本题考查的是有理数的乘除混合运算，掌握乘除混合运算的运算顺序是解本题的关键，本题按照从左至右的顺序进行计算即可. 【详解】解：， 故答案为： 9．在抢答比赛中，规定答对一题记分，答错一题记分．如果甲队答对5个题，答错2个题，则最后得分为______分． 【答案】11 【分析】本题考查了有理数的乘法应用，理解题意，根据题意正确列式计算是解题的关键．根据题意列式计算即可． 【详解】解：由题意，最后得分为（分）， 故答案为：11． 10．请列举两个有理数：使它们的积为负数，和为负数，这两个有理数可以是_____．（写出一组即可） 【答案】1和（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的乘法和加法，两个有理数的积为负数表明它们异号，和为负数表明负数的绝对值大于正数的绝对值，据此求解即可． 【详解】解：两个有理数的积为负数，和为负数，则这两个有理数异号，且负数的绝对值大于正数的绝对值， 所以这两个有理数可以是1和， 故答案为：1和（答案不唯一）． 11．如图，数轴上的点、分别表示有理数、，根据它们的位置，比较大小：__（填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】根据点在数轴上的位置得出，然后根据有理数减法以及有理数乘法运算法则判断即可． 【详解】解：根据数轴上点的位置得：， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据点在数轴上的位置判断式子的符号，熟练掌握相关运算法则以及数轴的表示方式是解本题的关键． 12．气象观测资料表明，高度每增加，气温降低大约．如果地面气温是，那么空中气温为的位置距离地面高度是______千米． 【答案】4 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算的应用，审清题意、正确列式是解题的关键． 根据气温随高度变化的规律，气温降低量与高度增加成正比，计算气温降低总量，再除以每千米降低的温度即可解答． 【详解】解：由题意可得：． 故答案为4． 13．若、互为相反数（、均不为0），、互为倒数，则______． 【答案】/ 【分析】本题考查了相反数的定义，倒数的定义，有理数的混合运算． 由a和b互为相反数，得，由a和c互为倒数，得，代入计算即可． 【详解】解：∵、互为相反数， ∴， ∵、互为倒数， ∴， ∴ ， 故答案为：． 14．乐乐在计算时，误将“”看成“”，所得的结果是，那么的正确结果应是______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法和除法，根据题意求出的值，再代入算式计算即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴正确结果为， 故答案为：． 15．在，，，4，5中取出三个数，把三个数相乘，所得到的最大乘积是_______； 【答案】30 【分析】此题考查有理数的乘法，有理数大小比较，解题关键在于掌握运算法则． 根据正数大于一切负数，同号得正，异号得负，找出乘积是正数绝对值最大的三个数相乘即可． 【详解】解：由题意可知，要使三个数的积最大，则应取绝对值较大的两个负数，一个正数， 所以最大乘积是． 故答案为：30． 16．若、、都是有理数，，且，有理数在数轴上所对应的点在原点左侧，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值、数轴、有理数的加减混合运算，熟练掌握相关概念及运算法则是解题的关键． 先去绝对值，再根据题意得出，，，即可得出，，，然后将值代入即可得出答案． 【详解】解： ，，， ，有理数在数轴上所对应的点在原点左侧， ，，， ，，， ． 故答案为：． 17．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，，则的值为______． 【答案】2或0 【分析】本题主要考查了代数式求值，相反数，倒数定义，绝对值意义，由a、b互为相反数可得，进而；由c、d互为倒数可得，进而；由可得或．代入表达式化简计算即可． 【详解】解：∵a、b互为相反数， ∴， ∴． ∵c、d互为倒数， ∴， ∴． ∴． ∴原式． 又∵， ∴或． 当时，，原式； 当时，，原式． 故答案为：2或0． 三、解答题 18．计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘法和加法运算．化小数为分数然后计算即可． 【详解】解：原式． 19．计算：． 【答案】0 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、有理数的乘法运算律等知识点，灵活运用有理数乘法运算律进行简便运算是解题的关键． 先把小数化成分数，然后再运用有理数乘法运算律进行简便运算即可． 【详解】解： ． 20．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用乘法分配律展开计算乘法，最后算加减法即可． 【详解】解： ． 21．计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，先进行乘法运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 22．十一国庆期间恰逢中秋，小明妈妈买了一盒月饼（共计6枚），包装说明上标记的总质量为克，小明好奇这盒月饼是否符合这个标准．于是他把6枚月饼进行称重，为了简化运算，他选取了一个恰当的标准质量，依据这个标准质量，把超出的部分记为正，不足的部分记为负，其统计结果如表所示（单位：克） 第枚 1 2 3 4 5 6 与标准质量的差 已知第6枚月饼为71克，请通过计算说明，判断这盒月饼的质量是否符合标准？ 【答案】总质量420.3克，符合标准 【分析】本题考查正负数的应用，有理数运算的实际应用，通过已知第6枚月饼的实际质量和与标准质量的差值，求出标准质量，再计算所有月饼与标准质量差值的和，进而求出总质量，并判断是否在标准范围内即可． 【详解】解：已知第6枚月饼实际质量为71克，与标准质量的差值为克， ∴标准质量为（克）； 所有月饼与标准质量的差值之和为： （克）． 故这盒月饼的总质量（克）． ∵标准质量为克，即418克至422克． ∵， ∴总质量420.3克，这盒月饼的质量符合标准． 23．【问题情境】 近年来，国家越来越重视新能源汽车的发展，为积极响应国家推广节能减排的政策，李老师家买了一辆新能源汽车． 【实践探索】 李老师连续一星期记录了每天行驶的路程（每天以为基准，超出记为正，不足记为负），如下表所示： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 路程（） 【问题解决】 (1)该汽车行驶路程最多的一天是_______，这一天的实际行驶路程是________； (2)若该新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，求李老师这一星期开新能源汽车的电费． 【答案】(1)星期六，； (2)元 【分析】（）根据题意及正数与负数的含义进行分析求解即可； （）先求出这七天高于（或低于）的标准所行驶的路程，再加上七天按标准行驶的路程，然后列出算式即可求解； 本题考查了正负数的意义，有理数的加减混合运算，有理数的除法运算，掌握正负数的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：根据表格可知该汽车行驶路程最多的一天是星期六，这一天的实际行驶路程是， 故答案为：星期六，； （2）解：李老师这一星期开新能源汽车行驶的路程为 ， ∴李老师这一星期开新能源汽车的电费为：（元）， 答：李老师这一星期开新能源汽车的电费为元． 24．股民曹先生上星期五买进某公司股票1000股，每股31元，下表为本周每日该股票的涨跌情况（单位：元）． 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 注：正数表示比前一天上涨，负数表示比前一天下跌． (1)星期三收盘时，每股是多少元？（列式计算） (2)本周内最高股价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (3)如果曹先生在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【答案】(1)周三收盘时股价为元 (2)本周内最高股价是每股元，最低价是每股元 (3)如果曹先生在星期五收盘前将全部股票卖出他的收益元 【分析】本题考查了有理数的混合运算，以及正负数表示一对具有相反意义的量，解题关键在于认真的阅读题目，分析题意，认真的进行计算． （1）根据有理数的加法，可得答案； （2）根据有理数的加法，有理数的大小比较，可得答案； （3）分别求出卖出时的受益，买进的费用即可解决问题； 【详解】（1）解：周三收盘时股价为： (元)． 答：周三收盘时股价为元； （2）解：周一股价为：(元)； 周二股价为：(元)； 周三股价为：(元)； 周四股价为：(元)∶ 周五股价为：(元)； 答：本周内最高股价是每股元，最低价是每股元； （3）解：根据题意得∶（元） 答：如果曹先生在星期五收盘前将全部股票卖出他的收益元． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $