第08讲 正数与负数（暑假预习讲义，7题型突破+过关检测）新六年级数学新教材沪教版五四制

第08讲 正数与负数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 正负数的定义 题型2 相反意义的量 题型3 正负数的实际应用 题型4 有理数的定义 题型5 0的意义 题型6 有理数的分类 题型7 带“非”字的有理数 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 正数、负数、0（分界数）、性质符号、正号、负号、相反意义的量、基准、有理数、正整数、负整数、正分数、负分数、非负数、非正数 1. 知识与技能 （1）精准识别正数、负数，牢记核心结论：0既不是正数，也不是负数，是正数和负数的唯一分界点。 （2）熟练掌握正、负数读写规则：正号“+”可以省略不写，负号“-”绝对不可省略。 （3）能够运用正负数准确表示生活中具有相反意义的同类量，涵盖温度、海拔、收支、运动方向、升降变化等常见场景。 （4）掌握有理数的基础分类方法，可准确区分正数集合、负数集合、非负数、非正数。 2. 过程与方法 （1）结合生活实例抽象出负数概念，建立数学符号意识，完成小学非负数到初中有理数的思维过渡。 （2）规范解答正负数实际应用题，形成“先定基准、再标符号、最后计算差值”的解题思维，熟练求解温差、高差、收支差等常见问题。 3. 情感与素养 （1）理解负数的产生源于生活实际需求，感知数系扩充的合理性与必要性。 （2）养成严谨审题、规范书写、精准分类的数学学习习惯。 （3）落实数学抽象、直观想象、数学运算核心素养，为后续有理数运算学习夯实基础。 重点：正负数的概念、用正负数表示相反意义的量、有理数的基础分类 难点：准确区分相反意义的量、实际情境中的基准判定 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01具有相反意义的量 1.定义：在生活中存在各种各样的量，其中有一类量，它们的属性相同(即同类量)，但表示的意义却相反，我们把这样的量叫做具有相反意义的量 . 特别提醒 具有相反意义的量的“两要素”： (1)具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不能称为具有相反意义的量 . (2)具有相反意义的量必须是同类量，只要求具有相反意义，不要求数量一定相等 . 2. 用正数、负数表示具有相反意义的量 为了更好地区分这些具有相反意义的量，若我们把其中一种意义的量用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示 . 特别提醒 用正数、负数表示具有相反意义的量时，一般地，向指定趋势变化用正数表示，向指定趋势的相反趋势变化用负数表示. 【易错提醒】1.解题遗漏单位，导致答题失分；2. 主观默认正负规则，忽略题干明确规定；3. 将不同类量判定为相反意义的量（如收入5元和下降3米，不属于相反意义的量）。 知识点02 正数、负数的概念 正数：像 2%,4,3.5 这样大于0的数叫做正数.有时,为了明确表达意义,在正数的前面加上“+”(正)号.如 +2,+0.7。 负数:像 -3,-2.7%,-4.5 这样在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数 注意： 0 既不是正数，也不是负数 . 【方法总结】逐个数逐一判定，先对比数值与0的大小，再对应归入对应集合，牢记0单独划分，不与正负数混淆。 知识点03 有理数 1. 整数 正整数、0、负整数统称为整数,如-3,-2,0,1,2,3等 2.分数 正分数、负分数统称为分数,如+1-,0.18,-1.35,-分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式,同时有限小数和限循环小数 又都可以化为分数.无限不循环小数不能转化成分数. 3.有理数 整数和分数统称为有理数，“有理数都可以写成分数的形式， 特别提醒 1. 非负整数是在整数范围内取非负数，包括正整数和 0. 2. 引入负数后，奇数和偶数的范围也相应地扩大了.奇数和偶数也可以是负数 . 3. 自然数包括 0 和正整数 . 【方法总结】判断三步法：①先看数值与0的大小：＞0为正数，＜0为负数，=0单独归类；②区分符号：“-”作为性质符号不可省略；③整数包含正整数、0、负整数三类。 知识点04 有理数的分类 1.有理数的分类： 特别警示 1. 不管按什么标准分类，最终都将有理数分为五类：正整数、 0、负整数、正分数、负分数. 2. 正有理数都是正数，但正数不一定都是正有理数. 2. 有理数分类的三原则 (1) 分类不重复： 所分的各类应当互不包含 . (2) 分类无遗漏： 所分各类之“和”必须是原来的全部 . (3) 标准要统一： 必须按同一分类标准进行分类 . 【易错提醒】1. π、无限不循环小数不属于有理数，不可归入正负有理数；2. 百分数、有限小数、分数均属于分数类有理数；3. 严禁将0同时填入正数、负数集合，0单独分类。 题型1 正负数的定义 【例1】已知下列各数：，，，0，，，6，，其中正数有___________；负数有___________． 【答案】 ，，6， ，， 【知识点】正负数的定义 【分析】本题主要考查正数与负数，属于基础题． 根据正数与负数的特征可判定求解． 【详解】解：在，，，0，，，6，中， 正数，，6，；负数有，，． 故答案为：，，6，，，， 【易错警示】忽略0的特殊性；混淆性质符号与运算减号；误以为负数只有负整数；不了解负数有无数个。 【变式1-1】（24-25六年级上·上海金山·期中）在有理数、、、、、、中，负数有（    ）个 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了负数，根据负数的定义即可求解，掌握负数的定义是解题的关键． 【详解】解：在有理数、、、、、、中，负数有个， 故选：． 【变式1-2】（24-25六年级上·上海杨浦·阶段检测）在数，，，，，，，中，负数的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了正负数的认识，比0小的数为负数，据此逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴负数的个数为4个， 故选：C． 【变式1-3】．读一读下列各数，并指出哪些是正数，哪些是负数． ． 【答案】读法见解析，正数有：5，，；负数有：，，， 【知识点】正负数的定义 【分析】根据正负数的概念判定即可． 【详解】解：5读着正五或五，读着负七分之五，读着负三点五，读着正1又三分之一或1又三分之一，读着负零点零一，读着正二点五或二点五，读着负七佰； 正数有：5，，； 负数有：，，，． 【点睛】本题考查正负数及其读法，熟记正负数的概念是解题的关键． 题型2 相反意义的量 【例2】．（25-26六年级上·上海黄浦·期中）如果规定向东为正，那么走米表示______． 【答案】向西走8米 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查的是正负数的意义，根据正负数的意义，规定向东为正，则负数表示相反方向，即向西，据此得出结论即可． 【详解】解：如果规定向东为正，那么米表示向西走8米． 故答案为：向西走8米． 【例3】．（25-26六年级上·上海嘉定·期末）微信收付款具有“二维码收款”和“向商家付款”两项功能，若使用二维码收款50元记作元，那么向商家付款80元记作（    ） A． B． C．元 D．元 【答案】D 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了相反意义的量，正负数表示具有相反意义的量，根据二维码收款记为正，向商家付款记为负求解即可． 【详解】解：∵二维码收款50元记作元， ∴向商家付款80元记作元， 故选：D， 【技巧归纳】1.圈画题干关键信息，明确题目规定的正负标准；2. 找准题目中的基准0；3. 规范书写：数字+性质符号+单位。 【变式2-1】．（25-26六年级上·上海宝山·期末）我国是世界上最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若温度上升记为，则温度下降记为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了正负数的意义．根据正负数表示相反意义的量，上升为正，则下降为负，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵温度上升记为， 则温度下降记为， 故选：B． 【变式2-2】．（25-26六年级上·上海宝山·期中）如果股票价格上涨元，记作元，那么下跌元，应记作____元． 【答案】 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．根据正负数表示相反意义的量，下跌应记为负数． 【详解】解：股票价格上涨元记作元，那么下跌元应记作元， 故答案为：． 【变式2-3】．（23-24六年级下·上海·期中）如果元表示支出1000元，那么收入2000元记为____． 【答案】+2000元/2000 【知识点】正负数的定义 【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答． 【详解】解：元表示支出1000元， 收入2000元记作为元． 故答案为：元． 【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【变式2-4】．（25-26六年级上·上海青浦·期中）微信收付款具有“二维码收款”和“向商家付款”两项功能，若使用二维码收款100元记作元，那么向商家付款50元记作______． 【答案】元 【知识点】相反意义的量 【分析】本题主要考查了具有相反意义的量，正负数是一对具有相反意义的量，若二维码收款用“”表示，那么向商家付款就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：若使用二维码收款100元记作元，那么向商家付款50元记作元， 故答案为：元． 题型3 正负数的实际应用 【例4】．（25-26六年级上·上海闵行·期中）某实验室规定，记录温度时采用“向下取整”法，即记录不超过实际温度的最大整数．例如某物体温度为，记录为，温度为，记录为，如果早晨某液体温度为，夜晚该液体温度为，那么，该液体温度早晚的两次记录分别为__________和__________． 【答案】 0 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查了正负数的应用．根据“向下取整”法的定义，记录值为不超过实际温度的最大整数．对于正温度，向下取整取整数部分；对于负温度，向下取整取比实际温度更小的整数． 【详解】解：早晨温度为，采用“向下取整”法记录为； 夜晚温度为，采用“向下取整”法记录为． 故答案为：0，． 【变式3-1】某种零件，标明要求是（表示直径，单位：毫米），有一个零件的直径为，则这个零件 ．（填“合格”或“不合格”） 【答案】合格 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查了正数和负数的知识，解答本题的关键是求出合格直径范围． 先求出合格直径范围，再判断即可． 【详解】解：由题意得，合格直径范围为：， 若一个零件的直径是，则该零件合格． 故答案为：合格． 【变式3-2】．（25-26六年级上·上海·期中）某公司去年第一季度（1月到3月）共亏损万元，第二季度（4月到6月）平均每月盈利万元，说明这个公司去年上半年总的盈亏情况． 【答案】这个公司上半年总共盈利万元 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查了正负数的定义，理解题意并列出算式是解题的关键． 根据正负数的定义进行解题． 【详解】解： ， ∴盈利万元． 答：这个公司上半年总共盈利万元． 【变式3-3】．（2023六年级下·上海·专题练习）某班级抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的分数记为正数，不足的分数记为负数，记录的结果如下（单位：分）：+8、﹣3、+12、﹣7、﹣10、﹣3、﹣8、+1、5、+10．这10名同学中， (1)最高分是多少？ (2)最低分是多少？ (3)10名同学的平均成绩是多少？ 【答案】(1)92分 (2)70分 (3)分 【知识点】正负数的定义、正负数的实际应用 【分析】（1）根据正负数的意义，可得答案； （2）根据正负数的意义，可得答案； （3）根据平均数的意义，可得答案． 【详解】（1）最高分是分； （2）最低分是分； （3）10名同学的平均成绩是分． 【点睛】本题考查了正数和负数，利用正负数的意义超出的分数记为正数，不足的分数记为负数是解题关键． 题型4 有理数的定义 【例5】．（25-26六年级上·上海宝山·期末）在、0、、π、、中，有理数有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】有理数的定义 【分析】本题考查了有理数的定义，根据有理数分为整数和分数进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：∵是有限小数， ∴是有理数； ∵0是整数， ∴0是有理数； ∵是分数， ∴是有理数； ∵ π是无限不循环小数， ∴π不是有理数； ∵是整数， ∴是有理数； ∵是有限小数， ∴是有理数， ∴有理数有5个， 故选：D 【技巧归纳】可以写成 （p、q 为整数，且 q≠0）形式的数，叫做有理数。 【变式4-1】.（25-26六年级上·上海普陀·期末）下列各数中，负有理数是（  ） A．0 B． C．2026 D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的分类．负有理数是小于零的有理数，需从选项中找出符合条件的数． 【详解】解：∵负有理数定义为小于零的有理数； A．0既不是正数也不是负数，∴不符合； B．且可表示为分数，∴是有理数且为负，∴符合； C．，∴不符合； D．，∴不符合． 故选：B． 【变式4-2】．（25-26六年级上·上海青浦·期中）在，，，，，，中，有理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】有理数的定义 【分析】本题考查有理数的定义，运用分类判断思想，根据有理数是整数、分数（含有限小数和无限循环小数）的定义逐一判断，关键是明确有理数与无理数的区别，易错点是混淆无限循环小数和无限不循环小数． 【详解】解： 是整数，是有理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是分数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是循环小数，是有理数； 是整数，是有理数； 无限不循环小数，是无理数； 所以有理数有个； 故选：C． 【变式4-3】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）在，，，，，，，中，正有理数有__________． 【答案】，，，， 【分析】本题考查了有理数的分类，注意整数和正数的区别，注意是整数，但不是负数，根据有理数的分类填写即可；正有理数是大于的有理数，有理数包括整数和分数；需要从给定的数中找出大于的整数和分数． 【详解】解：是大于的整数，整数属于有理数，所以是正有理数； 小于，所以不是正有理数； 小于，所以不是正有理数； 是大于的整数，整数属于有理数，所以是正有理数； 既不是正数也不是负数，所以不是正有理数； 是大于的有限小数，有限小数可以化为分数，属于有理数，所以是正有理数； 是大于的分数，分数属于有理数，所以是正有理数； 是大于的无限循环小数，无限循环小数可以化为分数，属于有理数，所以是正有理数； 正有理数有：． 故答案为：． 题型5 0的意义 【例6】．下列说法不正确的是（    ） A．是自然数 B．是整数 C．表示没有 D．既不是正数也不是负数 【答案】C 【知识点】0的意义 【分析】根据有理数的基本定义判断即可． 【详解】解：0是自然数，也是整数，它既不是正数也不是负数， 0不仅可表示没有，也可以表示有，例如温度为0℃，不代表没有温度， 故选：C． 【点睛】本题考查有理数0的理解，熟记基本定义是解题关键． 【技巧归纳】0是整数，不是正数，也不是负数。 【变式5-1】．（23-24六年级上·上海嘉定·期末）下列四个选项中，不正确的是（    ） A．0是自然数 B．0是偶数 C．0没有倒数 D．0是最小的整数 【答案】D 【知识点】0的意义 【分析】根据0的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、0是自然数，选项正确，不符合题意； B、0是偶数，选项正确，不符合题意； C、0没有倒数，选项正确，不符合题意； D、0不是最小的整数，选项错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查0的性质．熟练掌握0是自然数，是整数，是偶数，没有倒数，是解题的关键． 【变式5-2】．（23-24六年级下·上海·期末）__________既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界线． 【答案】0 【知识点】有理数的分类、0的意义 【分析】本题主要考查有理数的分类，属于基础知识．根据有理数的分类可求解． 【详解】解：0既不是正数，也不是负数． 故答案为：0． 【变式5-3】下面关于0的说法： （1）0是最小的正数； （2）0是最小的非负数； （3）0既不是正数也不是负数； （4）0既不是奇数也不是偶数； （5）0是最小的自然数； （6）海拔0m就是没有海拔． 其中正确说法的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】有理数的定义、0的意义 【分析】0既不是正数也不是负数，是最小的非负数，最小的自然数，是偶数，判断即可得到结果． 【详解】解：（1）0是最小的正数，错误，0不是正数也不是负数； （2）0是最小的非负数，正确，非负数即为正数与0； （3）0既不是正数也不是负数，正确； （4）0既不是奇数也不是偶数，错误，0是偶数； （5）0是最小的自然数，正确； （6）海拔0m就是没有海拔，错误，海拔0m就是与海平面高度相同； 则正确的说法有3个． 故选：D． 【点睛】此题考查了有理数的分类和意义，掌握有理数的分类和0的意义是解本题的关键． 题型6 有理数的分类 【例7】．下列说法中，正确的是（   ） A．正分数和负分数统称为分数 B．0既是正整数也是负整数 C．正整数、负整数统称为整数 D．正有理数和负有理数统称为有理数 【答案】A 【知识点】有理数的定义 【分析】此题考查了有理数，利用分数，整数，以及有理数定义判断即可． 【详解】解：A、正分数和负分数统称为分数，选项说法正确； B、0是整数，选项说法错误； C、正整数、负整数和0统称为整数，选项说法错误； D、正数、负数和0统称为有理数，选项说法错误， 故选：A． 【例8】．（2024六年级上·上海·专题练习）把下列各数填在适当的内： 9， 0，， ， ， 26， 【答案】正整数：9，26； 负整数：，； 自然数：9，0，26． 【知识点】有理数的定义 【分析】根据正整数、负整数、自然数的定义进行分类即可． 【详解】解：在9， 0，， ，， 26， 中， 其中正整数有：9，26； 负整数有：，； 自然数有：9，0，26． 填数如下图： 【点睛】本题考查了正整数、负整数、自然数的定义，熟练掌握正整数、负整数、自然数的定义是解题的关键． 【技巧归纳】正整数无小数分数，分数包含有限、循环小数；0单独归类，不属于正数、负数。 【变式6-1】．（25-26六年级上·上海崇明·期末）下列关于有理数的说法，错误的是（      ） A．0是整数 B．负分数是有理数 C．有理数包括正有理数和负有理数 D．1 是最小的正整数 【答案】C 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查有理数的概念，有理数包括正有理数，负有理数和0，有理数是分数和整数的统称，0也是整数，1是最小的正整数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、0是整数，原说法正确，不符合题意； B、负分数是有理数，原说法正确，不符合题意； C、有理数包括正有理数、负有理数和0，原说法错误，符合题意； D、1 是最小的正整数，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 【变式6-2】．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）把下列各数填在相应的大括号里： ，，，0，，，     正有理数：{__________________________…} 负分数：{__________________________…} 整数：{__________________________…}． 【答案】；，，；，0 【知识点】有理数的分类 【分析】本题主要考查了有理数的分类，正有理数是大于等于0的整数和分数，负分数是小于0的分数，再结合整数和分数的定义即可得到答案． 【详解】解：正有理数：{}； 负分数：{，，} ； 整数：{，0 }． 【变式6-3】．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）把这六个数分别填入相应的圈里． 【答案】见详解 【知识点】有理数的分类、有理数的定义 【分析】本题考查了有理数的概念与分类，整数和分数统称为有理数，大于0的有理数为正有理数，自然数是指0和正整数，据此即可作答． 【详解】解：依题意，如图： 题型7带“非”字的有理数 【例9】．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）在中，非负数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】带“非”字的有理数 【分析】本题考查非负数的定义，非负数是指大于或等于0的数，包括正数和0．根据题目中的数逐一判断即可． 【详解】∵，，，，，， ∴、、、是非负数， ∴非负数有个． 故选：C． 【例10】．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段检测）在，25，0，，中，非负数是_______． 【答案】25，0， 【知识点】带“非”字的有理数 【分析】本题考查了有理数，利用有理数中非负数的概念解答． 【详解】解：在，25，0，0.02，中，非负数是25，0，0.02． 故答案为：25，0，0.02． 【变式7-1】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）在中，非负整数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】带“非”字的有理数 【分析】本题考查了非负整数的定义，明确既不是负数，又是整数的数是非负整数即可求解． 【详解】解：在中，非负整数有，共两个， 故选：C． 【变式7-2】．写出所有适合条件的数：小于的非负整数：__________________ ． 【答案】0，1，2，3 【知识点】带“非”字的有理数 【分析】利用非负整数是指零和正整数，即可确定答案． 【详解】解：小于的非负整数是：0，1，2，3 故答案为：0，1，2，3 【点睛】本题主要考查了有理数中非负整数的定义，熟练掌握定义是解本题的关键． 【变式7-3】．（23-24六年级上·上海浦东新·阶段检测）把下列各数分类，并填在表示相应集合的大括号内： ，，，，，，，， （1）整数集合：{ …}； （2）分数集合：{ …}； （3）非正数集合：{ …}； （4）负有理数集合：{ …}． （5）自然数集合：{ …}． 【答案】（1）；（2）； （3）；（4）；（5）． 【知识点】带“非”字的有理数、有理数的分类 【分析】（1）根据整数的定义进行分析，即可； （2）根据分数的定义进行分析，即可； （3）根据非正数的定义进行分析，即可； （4）根据负数，有理数的定义进行分析，即可； （5）根据自然数的定义进行分析，即可． 【详解】（1）整数集合：； （2）分数集合：； （3）非正数集合：； （4）负有理数集合：； （5）自然数集合：． 【点睛】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的分类． 一、单选题 1．在15，﹣0.23，0，5，﹣0.65，2，﹣，316%这几个数中，非负数的个数是（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】根据非负数的定义（通常把正数和0统称为非负数）进行判断即可． 【详解】解：在15，﹣0.23，0，，﹣0.65，2，，316%这几个数中，非负数有15，0，，2，316%，共5个． 故选：B． 【点睛】题目主要考查非负数的定义，理解非负数的定义是解题关键． 2．下列数字中，，，0，，，，，有理数有（    ）个 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的分类，整数和分数统称为有理数，解题的关键是注意不是有理数．根据有理数的概念即可得出答案． 【详解】有理数有，，0，，，，，， 共有个， 故选：D． 3．下列叙述中，正确的是（    ） A．0既不是正数也不是负数 B．0是正数 C．0是负数 D．0不是整数 【答案】A 【分析】本题考查了的意义，有理数的分类，根据的意义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：0既不是正数也不是负数，是整数 故选：A． 4．如图是小才国庆期间的微信支付情况，微信账单中的表示的意思是（    ） 零钱明细 微信红包 10月2日 余额：669.27 微信转账 10月1日 余额：769.27 A．发出100元红包 B．余额100元 C．收入100元 D．抢到100元红包 【答案】A 【分析】本题考查正负数的实际意义，微信账单中“”表示支出，即发出100元红包，据此即可得到答案． 【详解】解：微信账单中“”表示支出，即发出100元红包， 故选：A． 5．中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果将“收入元记作元”，那么“支出元”应记作（ ） A．元 B．元 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正负数的实际意义，明确相反关系是解题关键． 收入记为正数，则支出记为负数，直接根据数值和对应符号即可得出答案． 【详解】解：∵收入元记作元， ∴支出元应记作负数，即元． 故选：． 6．在，，，，，中，非负整数有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】非负整数指大于或等于0的整数，只需逐个判断给出的数，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：是负整数，不符合；是分数，不是整数，不符合；是大于等于的整数，符合；是负小数，不符合；是负分数，不符合；是大于的整数，符合； ∴ 符合条件的非负整数共有个． 二、填空题 7．下列各数中：．属于非负数的有______个． 【答案】3 【分析】本题主要考查有理数，掌握有理数的分类是解题的关键．根据大于或等于0的数成为非负数，即可得出结果． 【详解】解： 其中属于非负数的有：   故答案为 ：3. 8．给出下列各数：，0，，，，，，．其中是负分数有_______个． 【答案】2 【分析】本题考查了有理数的分类以及负数的定义，根据小于0的分数是负分数进行分析作答即可． 【详解】解：依题意， ，是负分数， 所以负分数有2个， 故答案为：2 9．中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．如果公元前600年记作年，那么公元2026年应记作_________年． 【答案】/2026 【分析】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键． 根据相反意义的量，公元前用负数表示，公元后用正数表示． 【详解】解：如果公元前600年记作年， 那么公元2026年应记作年， 故答案为：． 10．月球表面温度白天最高，记为；则夜间最低零下，记为_____________________ 【答案】 【分析】本题考查负数的意义，熟练掌握“负数表示和正数意义相反的量”是解题的关键． 负数表示和正数意义相反的量。当零上温度记为正数时，零下温度应记为负数． 【详解】解：由于白天最高温度，记为， 则夜间最低零下，记为， 故答案为：． 11．一直以来，我国科技工作者努力攻关，在高温超导研究领域处于世界领先地位，早已获得绝对温度为零下的高温超导材料．我们把高于的温度记为正数，温度零下可记为_________ ． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数，解题的关键是明确正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示．根据正数和负数的意义解答．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，“正”和“负”相对． 【详解】解：我们把高于的温度记为正数，温度零下可记为． 故答案为：． 12．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入120元记作元，则元表示______． 【答案】支出40元 【分析】本题考查了正数和负数，解题的关键是理解正和负的相对性，确定一对具有相反意义的量． 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，由此求解即可． 【详解】解：∵收入120元记作元， ∴元表示支出40元． 故答案为：支出40元． 13．下列7个数：，，，，，（每两个1之间依次多一个4），3.14，其中有理数有_____个 【答案】5 【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据有理数包括整数和分数解答即可. 【详解】解：是有理数，一共有5个. 故答案为：5. 14．下列各数中是正数的是________________________，是负数的是__________________，既不是正数也不是负数的是__________________． ． 【答案】 0 【分析】本题考查了正数和负数的认识，熟练掌握正负数的基础知识是关键； 根据正负数的定义和0既不是正数也不是负数解答即可. 【详解】解：是正数， 是负数， 0既不是正数也不是负数； 故答案为：；；0 ． 15．在，，，，，，，中，非负数的个数为______． 【答案】 【分析】根据非负数包括正数和判断即可． 【详解】解：在，，，，，，，中，非负数有，，，，，，共个． 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的分类．正确掌握有理数的分类标准是解题的关键． 16．下列7个数中：，，，0，，，，有理数的个数有___________个； 【答案】5 【分析】本题主要考查了有理数的定义，有理数分为整数和分数，又分为正有理数，负有理数和0，据此求解即可． 【详解】解：在，，，0，，，中，有理数有，，，0，，共5个． 故答案为：5． 17．体育课上全班女生进行百米检测，达标成绩为18秒．下表是第一组女生的成绩简单记录，其中“+”表示成绩大于18秒，“”表示成绩小于18秒．则这个小组女生的达标率是_____． 女生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 成绩记录 0 0 【答案】 【分析】本题考查正数和负数．成绩记录中“+”表示成绩大于18秒，“﹣”表示成绩小于18秒，由于达标成绩为18秒，记录中的数不大于0则表示成绩达标．故应该有6人达标，从而求出达标率． 【详解】解：由题意可知，成绩不高于18秒为达标，即成绩记录为负数或0的为达标， 表格中成绩记录不大于0的有，共6人这8人中有6人是达标的， ∴这个小组女生的达标率是． 故答案为：． 三、解答题 18.某饮料公司生产的一种瓶装饮料，外包装上印有“”的字样，那么“”是什么含义？质检局对该产品抽查了5瓶，容量分别为，，，，，抽查的产品容量是否合格？ 【答案】见详解 【知识点】正负数的实际应用 【分析】根据题意，可得合格范围，根据合格范围，可得答案． 本题主要考查了正数和负数的意义，理解正数和负数的意义是解题的关键． 【详解】解：表示比多，表示比少； 所以产品合格的容量为这个范围内， 所以抽查样品容量，，，，，只有不合格，其它的都合格． 19．将下列各数填在相应的括号里： 、5、、、、0、102、、、 分数集合：{ }； 非正有理数集合：{ }； 负数集合：{ } 【答案】； ； 【详解】解：分数集合：； 非正有理数集合：； 负数集合： 20．写出与下面各量具有相反意义的量，并用正负数表示． (1)高于海平面74.6米，高于海平面为正； (2)转动转盘，顺时针转动4圈，顺时针旋转为正； (3)气温是零下，零下为负． 【答案】(1)低于海平面74.6米，记作米 (2)逆时针转动4圈，记作圈 (3)零上，记作 【分析】本题考查相反意义的量，用正负数表示变化的量，先规定其中一个用正（或负）表示，则其相反意义的量就用负（或正）表示． （1）高于海平面为正，则低于海平面为负； （2）顺时针转动为正，则逆时针转动为负； （3）零下温度为负，则零上温度为正． 【详解】（1）解：低于海平面74.6米，记作米； （2）解：逆时针转动4圈，记作圈； （3）解：零上，记作． 21．把下列各数填在相应的横线上： ，，5.21，0，2050，，，，，． （1）非负整数：{__________________________________…}． （2）负分数：{__________________________________…}． （3）正有理数：{__________________________…}； （4）负有理数：{__________________________…}； 【答案】（1）④, ⑤； （2）⑥, ⑦, ⑨； （3）②, ③, ⑤, ⑧，⑩； （4）①, ⑥, ⑦, ⑨ 【分析】本题考查了有理数的分类，解题的关键是明确各类有理数的定义（非负整数包括正整数和0；负分数是小于0的分数；正有理数包括正整数和正分数；负有理数包括负整数和负分数）． 根据非负整数、负分数、正有理数、负有理数的定义，对所给的数逐一进行分类． 【详解】解：（1）非负整数： 非负整数包括正整数和0．在所给数中，④是整数且非负，⑤2050是正整数，所以非负整数：④, ⑤； （2）负分数： 负分数是小于0的分数，分数包括有限小数和无限循环小数．⑥是负的分数形式，⑦是负的有限小数，可化为负分数，⑨是负的有限小数，可化为负分数，所以负分数：⑥, ⑦, ⑨； （3）正有理数： 正有理数包括正整数和正分数．②是正分数，③5．21是正分数，⑤2050是正整数，⑧％是正分数，⑩是正分数，所以正有理数：②, ③, ⑤, ⑧，⑩； （4）负有理数： 负有理数包括负整数和负分数．①是负整数，⑥是负分数，⑦是负分数，⑨是负分数，所以负有理数：①, ⑥, ⑦, ⑨． 故答案为：（1）④, ⑤； （2）⑥, ⑦, ⑨； （3）②, ③, ⑤, ⑧，⑩； （4）①, ⑥, ⑦, ⑨． 22．把下列各数分类： ，，，0，9，，，10， (1)负有理数集合：{ } (2)正分数集合：{ } (3)非负数集合：{ } (4)非正整数集合：{ } 【答案】(1)，，， (2)， (3)，，0，9，10 (4)，0， 【分析】本题考查了有理数的分类． （1）根据负有理数的定义作答即可； （2）根据正分数的定义作答即可； （3）根据非负数的定义作答即可； （4）根据非正整数的定义作答即可． 【详解】（1）负有理数集合：{，，，} 故答案为：，，，； （2）正分数集合：{，} 故答案为：，； （3）非负数集合：{，，0，9，10} 故答案为：，，0，9，10； （4）非正整数集合：{，0，} 故答案为：，0，． 23．某体育用品店用400元购进了8套运动服，准备以一定价格出售．如果该店卖出每套运动服的价格以65元为标准，超出部分记做正数，不足部分记做负数，记录如下（单位：元）：，，，，，，0，． (1)你能求出销售后的总额吗？ (2)该店卖出这8套运动服后是盈利还是亏损？赢利（亏损）多少？ 【答案】(1)元 (2)盈利，元 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，正数和负数的实际应用，结合已知条件列出正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列算式即可； （2）结合（1）中所求列式计算即可． 【详解】（1）解： （元）； 即销售后的总额为元； （2）解：， 该店卖出这8套运动服后是盈利， 盈利元． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 正数与负数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 正负数的定义 题型2 相反意义的量 题型3 正负数的实际应用 题型4 有理数的定义 题型5 0的意义 题型6 有理数的分类 题型7 带“非”字的有理数 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 正数、负数、0（分界数）、性质符号、正号、负号、相反意义的量、基准、有理数、正整数、负整数、正分数、负分数、非负数、非正数 1. 知识与技能 （1）精准识别正数、负数，牢记核心结论：0既不是正数，也不是负数，是正数和负数的唯一分界点。 （2）熟练掌握正、负数读写规则：正号“+”可以省略不写，负号“-”绝对不可省略。 （3）能够运用正负数准确表示生活中具有相反意义的同类量，涵盖温度、海拔、收支、运动方向、升降变化等常见场景。 （4）掌握有理数的基础分类方法，可准确区分正数集合、负数集合、非负数、非正数。 2. 过程与方法 （1）结合生活实例抽象出负数概念，建立数学符号意识，完成小学非负数到初中有理数的思维过渡。 （2）规范解答正负数实际应用题，形成“先定基准、再标符号、最后计算差值”的解题思维，熟练求解温差、高差、收支差等常见问题。 3. 情感与素养 （1）理解负数的产生源于生活实际需求，感知数系扩充的合理性与必要性。 （2）养成严谨审题、规范书写、精准分类的数学学习习惯。 （3）落实数学抽象、直观想象、数学运算核心素养，为后续有理数运算学习夯实基础。 重点：正负数的概念、用正负数表示相反意义的量、有理数的基础分类 难点：准确区分相反意义的量、实际情境中的基准判定 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01具有相反意义的量 1.定义：在生活中存在各种各样的量，其中有一类量，它们的属性相同(即同类量)，但表示的意义却相反，我们把这样的量叫做具有相反意义的量 . 特别提醒 具有相反意义的量的“两要素”： (1)具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不能称为具有相反意义的量 . (2)具有相反意义的量必须是同类量，只要求具有相反意义，不要求数量一定相等 . 2. 用正数、负数表示具有相反意义的量 为了更好地区分这些具有相反意义的量，若我们把其中一种意义的量用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示 . 特别提醒 用正数、负数表示具有相反意义的量时，一般地，向指定趋势变化用正数表示，向指定趋势的相反趋势变化用负数表示. 【易错提醒】1.解题遗漏单位，导致答题失分；2. 主观默认正负规则，忽略题干明确规定；3. 将不同类量判定为相反意义的量（如收入5元和下降3米，不属于相反意义的量）。 知识点02 正数、负数的概念 正数：像 2%,4,3.5 这样大于0的数叫做正数.有时,为了明确表达意义,在正数的前面加上“+”(正)号.如 +2,+0.7。 负数:像 -3,-2.7%,-4.5 这样在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数 注意： 0 既不是正数，也不是负数 . 【方法总结】逐个数逐一判定，先对比数值与0的大小，再对应归入对应集合，牢记0单独划分，不与正负数混淆。 知识点03 有理数 1. 整数 正整数、0、负整数统称为整数,如-3,-2,0,1,2,3等 2.分数 正分数、负分数统称为分数,如+1-,0.18,-1.35,-分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式,同时有限小数和限循环小数 又都可以化为分数.无限不循环小数不能转化成分数. 3.有理数 整数和分数统称为有理数，“有理数都可以写成分数的形式， 特别提醒 1. 非负整数是在整数范围内取非负数，包括正整数和 0. 2. 引入负数后，奇数和偶数的范围也相应地扩大了.奇数和偶数也可以是负数 . 3. 自然数包括 0 和正整数 . 【方法总结】判断三步法：①先看数值与0的大小：＞0为正数，＜0为负数，=0单独归类；②区分符号：“-”作为性质符号不可省略；③整数包含正整数、0、负整数三类。 知识点04 有理数的分类 1.有理数的分类： 特别警示 1. 不管按什么标准分类，最终都将有理数分为五类：正整数、 0、负整数、正分数、负分数. 2. 正有理数都是正数，但正数不一定都是正有理数. 2. 有理数分类的三原则 (1) 分类不重复： 所分的各类应当互不包含 . (2) 分类无遗漏： 所分各类之“和”必须是原来的全部 . (3) 标准要统一： 必须按同一分类标准进行分类 . 【易错提醒】1. π、无限不循环小数不属于有理数，不可归入正负有理数；2. 百分数、有限小数、分数均属于分数类有理数；3. 严禁将0同时填入正数、负数集合，0单独分类。 题型1 正负数的定义 【例1】已知下列各数：，，，0，，，6，，其中正数有___________；负数有___________． 【易错警示】忽略0的特殊性；混淆性质符号与运算减号；误以为负数只有负整数；不了解负数有无数个。 【变式1-1】（24-25六年级上·上海金山·期中）在有理数、、、、、、中，负数有（    ）个 A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25六年级上·上海杨浦·阶段检测）在数，，，，，，，中，负数的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-3】．读一读下列各数，并指出哪些是正数，哪些是负数． ． 题型2 相反意义的量 【例2】．（25-26六年级上·上海黄浦·期中）如果规定向东为正，那么走米表示______． 【例3】．（25-26六年级上·上海嘉定·期末）微信收付款具有“二维码收款”和“向商家付款”两项功能，若使用二维码收款50元记作元，那么向商家付款80元记作（    ） A． B． C．元 D．元 【技巧归纳】1.圈画题干关键信息，明确题目规定的正负标准；2. 找准题目中的基准0；3. 规范书写：数字+性质符号+单位。 【变式2-1】．（25-26六年级上·上海宝山·期末）我国是世界上最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若温度上升记为，则温度下降记为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】．（25-26六年级上·上海宝山·期中）如果股票价格上涨元，记作元，那么下跌元，应记作____元． 【变式2-3】．（23-24六年级下·上海·期中）如果元表示支出1000元，那么收入2000元记为____． 【变式2-4】．（25-26六年级上·上海青浦·期中）微信收付款具有“二维码收款”和“向商家付款”两项功能，若使用二维码收款100元记作元，那么向商家付款50元记作______． 题型3 正负数的实际应用 【例4】．（25-26六年级上·上海闵行·期中）某实验室规定，记录温度时采用“向下取整”法，即记录不超过实际温度的最大整数．例如某物体温度为，记录为，温度为，记录为，如果早晨某液体温度为，夜晚该液体温度为，那么，该液体温度早晚的两次记录分别为__________和__________． 【变式3-1】某种零件，标明要求是（表示直径，单位：毫米），有一个零件的直径为，则这个零件 ．（填“合格”或“不合格”） 【变式3-2】．（25-26六年级上·上海·期中）某公司去年第一季度（1月到3月）共亏损万元，第二季度（4月到6月）平均每月盈利万元，说明这个公司去年上半年总的盈亏情况． 【变式3-3】．（2023六年级下·上海·专题练习）某班级抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的分数记为正数，不足的分数记为负数，记录的结果如下（单位：分）：+8、﹣3、+12、﹣7、﹣10、﹣3、﹣8、+1、5、+10．这10名同学中， (1)最高分是多少？ (2)最低分是多少？ (3)10名同学的平均成绩是多少？ 题型4 有理数的定义 【例5】．（25-26六年级上·上海宝山·期末）在、0、、π、、中，有理数有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【技巧归纳】可以写成 （p、q 为整数，且 q≠0）形式的数，叫做有理数。 【变式4-1】.（25-26六年级上·上海普陀·期末）下列各数中，负有理数是（  ） A．0 B． C．2026 D． 【变式4-2】．（25-26六年级上·上海青浦·期中）在，，，，，，中，有理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式4-3】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）在，，，，，，，中，正有理数有__________． 题型5 0的意义 【例6】．下列说法不正确的是（    ） A．是自然数 B．是整数 C．表示没有 D．既不是正数也不是负数 【技巧归纳】0是整数，不是正数，也不是负数。 【变式5-1】．（23-24六年级上·上海嘉定·期末）下列四个选项中，不正确的是（    ） A．0是自然数 B．0是偶数 C．0没有倒数 D．0是最小的整数 【变式5-2】．（23-24六年级下·上海·期末）__________既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界线． 【变式5-3】下面关于0的说法： （1）0是最小的正数； （2）0是最小的非负数； （3）0既不是正数也不是负数； （4）0既不是奇数也不是偶数； （5）0是最小的自然数； （6）海拔0m就是没有海拔． 其中正确说法的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 题型6 有理数的分类 【例7】．下列说法中，正确的是（   ） A．正分数和负分数统称为分数 B．0既是正整数也是负整数 C．正整数、负整数统称为整数 D．正有理数和负有理数统称为有理数 【例8】．（2024六年级上·上海·专题练习）把下列各数填在适当的内： 9， 0，， ， ， 26， 【技巧归纳】正整数无小数分数，分数包含有限、循环小数；0单独归类，不属于正数、负数。 【变式6-1】．（25-26六年级上·上海崇明·期末）下列关于有理数的说法，错误的是（      ） A．0是整数 B．负分数是有理数 C．有理数包括正有理数和负有理数 D．1 是最小的正整数 【变式6-2】．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）把下列各数填在相应的大括号里： ，，，0，，，     正有理数：{__________________________…} 负分数：{__________________________…} 整数：{__________________________…}． 【变式6-3】．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）把这六个数分别填入相应的圈里． 题型7带“非”字的有理数 【例9】．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）在中，非负数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例10】．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段检测）在，25，0，，中，非负数是_______． 【变式7-1】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）在中，非负整数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式7-2】．写出所有适合条件的数：小于的非负整数：__________________ ． 【变式7-3】．（23-24六年级上·上海浦东新·阶段检测）把下列各数分类，并填在表示相应集合的大括号内： ，，，，，，，， （1）整数集合：{ …}； （2）分数集合：{ …}； （3）非正数集合：{ …}； （4）负有理数集合：{ …}． （5）自然数集合：{ …}． 一、单选题 1．在15，﹣0.23，0，5，﹣0.65，2，﹣，316%这几个数中，非负数的个数是（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 2．下列数字中，，，0，，，，，有理数有（    ）个 A．5 B．6 C．7 D．8 3．下列叙述中，正确的是（    ） A．0既不是正数也不是负数 B．0是正数 C．0是负数 D．0不是整数 4．如图是小才国庆期间的微信支付情况，微信账单中的表示的意思是（    ） 零钱明细 微信红包 10月2日 余额：669.27 微信转账 10月1日 余额：769.27 A．发出100元红包 B．余额100元 C．收入100元 D．抢到100元红包 5．中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果将“收入元记作元”，那么“支出元”应记作（ ） A．元 B．元 C． D． 6．在，，，，，中，非负整数有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 7．下列各数中：．属于非负数的有______个． 8．给出下列各数：，0，，，，，，．其中是负分数有_______个． 9．中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．如果公元前600年记作年，那么公元2026年应记作_________年． 10．月球表面温度白天最高，记为；则夜间最低零下，记为_____________________ 11．一直以来，我国科技工作者努力攻关，在高温超导研究领域处于世界领先地位，早已获得绝对温度为零下的高温超导材料．我们把高于的温度记为正数，温度零下可记为_________ ． 12．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入120元记作元，则元表示______． 13．下列7个数：，，，，，（每两个1之间依次多一个4），3.14，其中有理数有_____个 14．下列各数中是正数的是________________________，是负数的是__________________，既不是正数也不是负数的是__________________． ． 15．在，，，，，，，中，非负数的个数为______． 16．下列7个数中：，，，0，，，，有理数的个数有___________个； 17．体育课上全班女生进行百米检测，达标成绩为18秒．下表是第一组女生的成绩简单记录，其中“+”表示成绩大于18秒，“”表示成绩小于18秒．则这个小组女生的达标率是_____． 女生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 成绩记录 0 0 三、解答题 18.某饮料公司生产的一种瓶装饮料，外包装上印有“”的字样，那么“”是什么含义？质检局对该产品抽查了5瓶，容量分别为，，，，，抽查的产品容量是否合格？ 19．将下列各数填在相应的括号里： 、5、、、、0、102、、、 分数集合：{ }； 非正有理数集合：{ }； 负数集合：{ } 20．写出与下面各量具有相反意义的量，并用正负数表示． (1)高于海平面74.6米，高于海平面为正； (2)转动转盘，顺时针转动4圈，顺时针旋转为正； (3)气温是零下，零下为负． 21．把下列各数填在相应的横线上： ，，5.21，0，2050，，，，，． （1）非负整数：{__________________________________…}． （2）负分数：{__________________________________…}． （3）正有理数：{__________________________…}； （4）负有理数：{__________________________…}； 22．把下列各数分类： ，，，0，9，，，10， (1)负有理数集合：{ } (2)正分数集合：{ } (3)非负数集合：{ } (4)非正整数集合：{ } 23．某体育用品店用400元购进了8套运动服，准备以一定价格出售．如果该店卖出每套运动服的价格以65元为标准，超出部分记做正数，不足部分记做负数，记录如下（单位：元）：，，，，，，0，． (1)你能求出销售后的总额吗？ (2)该店卖出这8套运动服后是盈利还是亏损？赢利（亏损）多少？ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $