3.1.2　第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

该高中数学课件聚焦椭圆的标准方程及性质应用，核心知识点包括点与椭圆的位置关系、直线与椭圆的位置关系及弦长、中点弦问题。课堂通过光线反射情境导入，提出点P与椭圆位置、直线与椭圆位置的问题，衔接椭圆定义与标准方程，搭建从基础到应用的学习支架。 其亮点在于以情境导入激发数学眼光，通过典型例题的通性通法（如分类讨论、点差法）培养数学思维，分层训练（A级基础到C级拓展）强化数学语言应用。例如中点弦问题用点差法简化计算，帮助学生掌握解题策略，教师可直接使用系统资源提升教学效率。

第2课时　 椭圆的标准方程及性质的应用 目录 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 从椭圆 C 的一个焦点 F1处出发的光线照射到 P 点，经反射后通过椭圆的另一个焦点 F2，如图所示. 【问题】　（1）点 P 与椭圆 C 具有怎样的位置关系？ （2）直线 l 及直线 PF2与椭圆 C 具有怎样的位置关系？ 目录 数学·选择性必修第一册 知识点一　点与椭圆的位置关系 点 P （ x0， y0）与椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的位置关系： （1）点 P 在椭圆上⇔ ＋ ＝1； （2）点 P 在椭圆内部⇔ ＋ ＜1； （3）点 P 在椭圆外部⇔ ＋ ＞1. 目录 数学·选择性必修第一册 知识点二　直线与椭圆的位置关系 直线 y ＝ kx ＋ m 与椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）位置关系的判断方 法：联立消 y 得一元二次方程： （1）当Δ＞0时，方程 ，直线与椭圆相交； （2）当Δ＝0时，方程 ，直线与椭圆相切； （3）当Δ＜0时，方程 ，直线与椭圆相离. 有两解　 有一解　 无解　 目录 数学·选择性必修第一册 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）直线 y ＝ x ＋1与椭圆 ＋ ＝1的位置关系是相切. （　×　） （2）过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为 . （　√　） （3）直线与椭圆的位置关系有相交、相切、相离三种情况. （　√　） × √ √ 目录 数学·选择性必修第一册 2. 直线 y ＝ x ＋1被椭圆 ＋ ＝1所截得的弦的中点坐标是（　　） 解析： 　联立消去 y ，得3 x2＋4 x －2＝0，设直线与 椭圆交于点 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则 x1＋ x2＝－ ，故 AB 的 中点横坐标 x0＝ ＝－ ，纵坐标 y0＝ x0＋1＝－ ＋1＝ . 目录 数学·选择性必修第一册 3. 若点 A （ a ，1）在椭圆 ＋ ＝1的内部，则 a 的取值范围 是 ⁠. 解析：∵点 A 在椭圆内部，∴ ＋ ＜1，∴ a2＜2，∴－ ＜ a ＜ . （－ ， ）　 目录 数学·选择性必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 直线与椭圆的位置关系 【例1】　已知直线 l ： y ＝2 x ＋ m ，椭圆 C ： ＋ ＝1.试问当 m 取 何值时，直线 l 与椭圆 C ： （1）相交； 目录 数学·选择性必修第一册 （1）当Δ＞0，即－3 ＜ m ＜3 时，方程①有两个不相等的 实数根，这时直线 l 与椭圆 C 相交. 解：直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，得方程组 消去 y ，得9 x2＋8 mx ＋2 m2－4＝0， ① 方程①的根的判别式Δ＝（8 m ）2－4×9×（2 m2－4）＝－8 m2＋ 144. 目录 数学·选择性必修第一册 （2）相切； 解：当Δ＝0，即 m ＝±3 时，方程①有两个相等的实数根， 这时直线 l 与椭圆 C 相切. （3）相离. 解：当Δ＜0，即 m ＜－3 或 m ＞3 时，方程①没有实数 根，这时直线 l 与椭圆 C 相离. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 　　研究直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研 究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时 要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 1. （2024·深圳月考）若直线 y ＝ x ＋2与椭圆 ＋ ＝1（ m ＞0）有 两个公共点，则 m 的取值范围是（　　） A. （1，＋∞） B. （1，3）∪（3，＋∞） C. （3，＋∞） D. （0，3）∪（3，＋∞） 解析： 　由得（ m ＋3） x2＋4 mx ＋ m ＝0.由Δ＞0且 m ≠3及 m ＞0，得 m ＞1且 m ≠3. 目录 数学·选择性必修第一册 2. （多选）无论 k 为何值，直线 y ＝ kx ＋2和椭圆 ＋ ＝1交点情况 有（　　） A. 没有公共点 B. 一个公共点 C. 两个公共点 D. 无法确定 解析： 　因为 y ＝ kx ＋2过定点（0，2），且椭圆 ＋ ＝1的 上顶点也为（0，2），所以当直线的斜率为0时，此时直线与椭圆 相切，仅有一个公共点，当直线的斜率不为零时，此时直线与椭圆 有两个交点，故选B、C. 目录 数学·选择性必修第一册 题型二 直线与椭圆的相交弦问题 【例2】　（2024·济南质检）已知椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0） 的离心率为 ，短轴的一个端点到右焦点的距离为2. 目录 数学·选择性必修第一册 （1）求椭圆 C 的方程； 解： 由题意可得所以椭 圆 C 的方程为 ＋ y2＝1. 目录 数学·选择性必修第一册 解： 设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）， 由消去 y 并整理，得 x2＋2 mx ＋2 m2－2＝0， 易知Δ＞0，即（2 m ）2－4（2 m2－2）＞0，解得－ ＜ m ＜ . 所以 x1＋ x2＝－2 m ， x1 x2＝2 m2－2， 所以｜ AB ｜＝ ｜ x1－ x2｜＝ × ＝ × ＝ ，解得 m ＝±1. （2）设直线 l ： y ＝ x ＋ m 交椭圆 C 于 A ， B 两点，且｜ AB ｜＝ ，求 m 的值. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 求弦长的两种方法 （2）联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次 方程，利用弦长公式：｜ P1 P2｜＝ · （或｜ P1 P2｜＝ · ），其中 x1， x2（ y1， y2）是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式求得弦长. （1）求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长； 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 　已知斜率为1的直线 l 过椭圆 ＋ y2＝1的右焦点 F ，交椭圆于 A ， B 两点，求弦 AB 的长. 解：设 A ， B 两点的坐标分别为（ x1， y1），（ x2， y2）， 由椭圆方程知 a2＝4， b2＝1，∴ c ＝ ＝ ， ∴ F （ ，0），∴直线 l 的方程为 y ＝ x － ， 将其代入椭圆方程，化简并整理得5 x2－8 x ＋8＝0， ∴ x1＋ x2＝ ， x1 x2＝ ，∴｜ AB ｜＝ ｜ x1－ x2｜ ＝ · ＝ × ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册 题型三 直线与椭圆的中点弦问题 【例3】　已知 P （1，1）为椭圆 ＋ ＝1内一定点，经过 P 引一条 弦，若此弦被 P 点平分，求此弦所在的直线方程. 目录 数学·选择性必修第一册 解：法一　易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为 y －1＝ k （ x －1），弦所在的直线与椭圆相交于 A （ x1， y1）， B （ x2， y2） 两点. 由 消去 y 得，（2 k2＋1） x2－4 k （ k －1） x ＋2（ k2－2 k －1）＝0， ∴ x1＋ x2＝ ，又∵ x1＋ x2＝2，∴ ＝2，解得 k ＝－ . 经检验， k ＝－ 满足题意. 故此弦所在的直线方程为 y －1＝－ （ x －1）， 即 x ＋2 y －3＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 法二　易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为 k ，弦所在的直线 与椭圆相交于 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）两点， 则 ＋ ＝1， ① ＋ ＝1， ② 目录 数学·选择性必修第一册 ①－②得 ＋ ＝0， ∵ x1＋ x2＝2， y1＋ y2＝2，∴ ＋ y1－ y2＝0， 又 x1－ x2≠0，∴ k ＝ ＝－ . 经检验， k ＝－ 满足题意. ∴此弦所在的直线方程为 y －1＝－ （ x －1），即 x ＋2 y －3＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 解决椭圆“中点弦”问题的方法 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 　（2024·郑州月考）已知直线 x － y ＋5＝0与椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）相交于 A ， B 两点，且 AB 的中点是 M （－4，1），则椭圆的离 心率是（　　） 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），因为 AB 的中点是 M （－ 4，1），所以 x1＋ x2＝－8， y1＋ y2＝2.易知直线 AB 的斜率 k ＝ ＝1.由 ＋ ＝0，所以 ＝－ · ＝ ，所以 椭圆的离心率 e ＝ ＝ ＝ .故选C. 目录 数学·选择性必修第一册 1. 已知直线 l ： x ＋ y －3＝0，椭圆 ＋ y2＝1，则直线与椭圆的位置 关系是（　　） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相切 解析： 　把 x ＋ y －3＝0代入 ＋ y2＝1，得 ＋（3－ x ）2＝1， 即5 x2－24 x ＋32＝0.∵Δ＝（－24）2－4×5×32＝－64＜0，∴直线 与椭圆相离. 目录 数学·选择性必修第一册 2. 直线 x － y ＋1＝0被椭圆 ＋ y2＝1所截得的弦长｜ AB ｜＝（　　） 解析： 　由得交点为（0，1），（－ ，－ ），则｜ AB ｜＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册 3. 直线 y ＝ x －1被椭圆2 x2＋ y2＝4所截得的弦的中点坐标是（　　） 解析： 　由消去 y 得2 x2＋（ x －1）2＝4，即3 x2－ 2 x －3＝0，所以弦的中点的横坐标是 x ＝ × ＝ ，代入直线方程 y ＝ x －1中，得 y ＝－ ，所以弦的中点坐标是（ ，－ ）.故选A. 目录 数学·选择性必修第一册 4. （2024·连云港月考）已知直线 y ＝ kx ＋1（ k ∈R）与焦点在 x 轴上 的椭圆 ＋ ＝1（ b ＞0）总有公共点，求实数 b 的取值范围. 解：由题意，知直线 y ＝ kx ＋1（ k ∈R）恒过定点 M （0，1）， 要使直线 y ＝ kx ＋1与椭圆 ＋ ＝1（ b ＞0）总有公共点，则只 需点 M （0，1）在椭圆上或椭圆内，则 b ≥1. 又 b2＜4，所以1≤ b ＜2. 目录 数学·选择性必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 点 P （4 cos α，2 sin α）（α∈R）与椭圆 C ： ＋ ＝1的位置 关系是（　　） A. 点 P 在椭圆 C 上 B. 点 P 与椭圆 C 的位置关系不能确定，与α的取值有关 C. 点 P 在椭圆 C 内 D. 点 P 在椭圆 C 外 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 把 P （4 cos α，2 sin α）（α∈R）代入椭圆方程的左 边，得 ＋ ＝4（ cos 2α＋ sin 2α）＝4＞1，因 此点 P 在椭圆 C 外. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 2. 若直线 y ＝ kx ＋2与椭圆 ＋ ＝1相切，则斜率 k 的值是（　　） 解析： 　把 y ＝ kx ＋2代入 ＋ ＝1，得（2＋3 k2） x2＋12 kx ＋6 ＝0，由题意知Δ＝0，∴ k2＝ ，∴ k ＝± . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 3. （2024·龙岩月考）过椭圆 x2＋2 y2＝4的左焦点作倾斜角为 的弦 AB ，则弦 AB 的长为（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　椭圆 x2＋2 y2＝4化为标准方程为 ＋ ＝1，所以 a ＝ 2， b ＝ ， c ＝ ，所以左焦点为（－ ，0），易求直线 AB 的 方程为 y ＝ （ x ＋ ）.由消去 y 并整理，得7 x2 ＋12 x ＋8＝0，Δ＝（12 ）2－4×7×8＝64＞0，设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则 x1＋ x2＝－ ， x1 x2＝ .由弦长公式， 得｜ AB ｜＝ ·｜ x1－ x2｜＝2× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 4. （2024·泰安质检）已知过圆锥曲线 ＋ ＝1上一点 P （ x0， y0） 的切线方程为 ＋ ＝1.过椭圆 ＋ ＝1上的点 A （3，－1） 作椭圆的切线 l ，则过点 A 且与直线 l 垂直的直线方程为（　　） A. x － y －3＝0 B. x ＋ y －2＝0 C. 2 x ＋3 y －3＝0 D. 3 x － y －10＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　过椭圆 ＋ ＝1上的点 A （3，－1）的切线 l 的方程为 ＋ ＝1，即 x － y －4＝0，切线 l 的斜率为1.与直线 l 垂直的直 线的斜率为－1，故过点 A 且与直线 l 垂直的直线方程为 y ＋1＝－ （ x －3），即 x ＋ y －2＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 5. 椭圆4 x2＋9 y2＝144内有一点 P （3，2），以 P 为中心的弦所在直线 的斜率为（　　） 解析： 　设以 P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），斜率为 k ，则4 ＋9 ＝144，4 ＋9 ＝ 144，两式相减，得4（ x1＋ x2）·（ x1－ x2）＋9（ y1＋ y2）（ y1－ y2）＝0.又 x1＋ x2＝6， y1＋ y2＝4， ＝ k ，所以 k ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 6. （多选）（2024·杭州质检）已知椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0） 的左、右焦点分别为 F1， F2， O 为坐标原点，直线 y ＝ x － 过 F2 交椭圆 C 于 A ， B 两点，若△ AF1 B 的周长为8，则（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　如图，因为△ AF1 B 的周长为8，所以4 a ＝8，解得 a ＝2.因为直线 y ＝ x － 过右焦点 F2，所以 c ＝ ，椭圆的焦距为2 ，故A错误. b2 ＝ a2－ c2＝4－3＝1，椭圆方程为 ＋ y2＝1，故B 正确.设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），联立消去 y ，得5 x2－8 x ＋8＝0，所以 x1＋ x2＝ ， x1 x2＝ ，｜ AB ｜＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ，故C正确.原点到直线 y ＝ x － 的距离 d ＝ ＝ ，所以 S△ OAB ＝ × d × ｜ AB ｜＝ × × ＝ ，故D错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 7. 过椭圆 ＋ ＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为 ⁠. 解析：过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2 a ＝4；最短弦为垂 直于长轴的弦，因为 c ＝1，将 x ＝1代入 ＋ ＝1，得 ＋ ＝ 1，解得 y2＝ ，即 y ＝± ，所以最短弦的长为2× ＝3. 4，3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析：∵△ AF1 F2为等腰直角三角形，∴ b ＝ c ，则 a2＝ b2＋ c2＝2 b2，易知直线 AF1的方程为 y ＝ x ＋ b ，代入椭圆方程可得3 x2＋4 bx ＝0，解得 x ＝0或 x ＝－ b ，则 B （－ b ，－ b ），又 F2（ b ， 0），∴ ＝ ＝ . 8. （2024·福州月考）设 F1， F2分别是椭圆 E ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞ 0）的左、右焦点，点 A 是椭圆 E 的上顶点，△ AF1 F2为等腰直角三 角形，延长 AF1交椭圆 E 于点 B ，则直线 BF2的斜率为 ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 9. 已知直线 l ： y ＝ kx ＋1与椭圆 ＋ y2＝1交于 M ， N 两点，且｜ MN ｜＝ ，则 k ＝ ⁠. ±1　 解析：设 M （ x1， y1）， N （ x2， y2），由消去 y 并 整理得（1＋2 k2） x2＋4 kx ＝0，所以 x1＋ x2＝－ ， x1 x2＝0. 由｜ MN ｜＝ ，得（ x1－ x2）2＋（ y1－ y2）2＝ ，所以（1＋ k2）（ x1－ x2）2＝ ，所以（1＋ k2）[（ x1＋ x2）2－4 x1 x2]＝ ， 即（1＋ k2）· ＝ .化简得 k4＋ k2－2＝0，所以 k2＝1，所以 k ＝±1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 10. 已知椭圆4 x2＋ y2＝1及直线 y ＝ x ＋ m . （1）当直线和椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围； 解：联立消去 y ，得5 x2＋2 mx ＋ m2－1＝0. （*） （1）因为直线和椭圆有公共点， 所以Δ＝4 m2－4×5（ m2－1）≥0，所以 m2≤ ，解得－ ≤ m ≤ . 所以实数 m 的取值范围为［－ ］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）当 m ＝1时，求直线与椭圆的相交弦长. 解：设交点为 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）， 当 m ＝1时，（*）式可化为5 x2＋2 x ＝0， 则根据一元二次方程根与系数的关系有 x1＋ x2＝－ ， x1 x2＝0， 由弦长公式得｜ AB ｜＝ · ＝ × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 11. 已知椭圆 ＋ y2＝1，则所有与椭圆相交且斜率为2的弦的中点的 轨迹方程为（　　） A. x ＋4 y ＝0 C. 4 x ＋ y ＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　设斜率为2的直线与椭圆 ＋ y2＝1交于点 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），弦 AB 的中点为 M （ x ， y ），由点差法可 知， k ＝2＝ ＝－ × ＝－ × ，即 x ＋4 y ＝0.又椭圆的 弦的中点只能在椭圆内，∴ ＋（－ ）2＜1，解得－ ＜ x ＜ .∴所求的轨迹方程为 x ＋4 y ＝0（－ ＜ x ＜ ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 12. (2025秋·延吉市期末) 已知椭圆：的两个焦点分别为，，过作倾斜角为的直线交椭圆于，两点，则的周长为（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.  B.  C.  D.  目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　由椭圆的方程可知，所以， 如图，因为直线过椭圆的右焦点， 则由椭圆定义可得， 即的周长为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 13. （多选）设椭圆的方程为 ＋ ＝1，斜率为 k 的直线 l 不经过原 点 O ，且与椭圆相交于 A ， B 两点， M 为线段 AB 的中点，则下列 结论正确的是（　　） A. kAB · kOM ＝－1 B. 若点 M 坐标为（1，1），则直线 l 的方程为2 x ＋ y －3＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则 ＋ ＝0，即 · ＝－2，即 kAB · kOM ＝－2.对于A， kAB · kOM ＝－2≠－1，所以A不正确；对于B，由 kAB · kOM ＝－2， M （1，1），得 kAB ＝－2，所以直线 l 的方程为 y －1＝－2（ x －1），即2 x ＋ y －3＝0，所以B正确；对于C，若直线 l 的方程为 y ＝ x ＋1， M （ ），则 kAB · kOM ＝1×4＝4≠－2，所以C不正确；对于D，由得3 x2＋4 x ＝0，解得 x ＝0或 x ＝－ ，所以｜ AB ｜＝ ×｜－ －0｜＝ ，所以D正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 14. 椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的离心率为 ， P （ ， ）是椭 圆上一点. （1）求椭圆的标准方程； 解： 由题意可得 故椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解： 由题意知直线 AB 的斜率存在， 设直线 AB 的方程为 y ＝ k （ x ＋1）， A （ x1， y1）， B （ x2， y2）， 联立椭圆与直线 AB 的方程得 消去 y 得（3＋4 k2） x2＋8 k2 x ＋4 k2－12＝0， 故Δ＝（8 k2）2－4（3＋4 k2）（4 k2－12）＞0， （2） F1， F2分别是椭圆的左、右焦点，过焦点 F1的弦 AB 的中点 为 E （－ ， t ），求线段 EF2的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 x1＋ x2＝－ ＝－1，解得 k2＝ ， 将 x ＝－ 代入 y ＝ k （ x ＋1）得 y ＝ ， 故 E （－ ），又 F2（1，0）， 所以｜ EF2｜＝ ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 15. 已知 F1， F2分别是椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的左、右焦 点，点 P ， Q 是 C 上位于 x 轴上方的任意两点，且 PF1∥ QF2.若｜ PF1｜＋｜ QF2｜≥ b ，则 C 的离心率的取值范围是（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　由点 P ， Q 是 C 上位于 x 轴上方的任意两点，延长 PF1交 椭圆另一交点为 A （图略），由 PF1∥ QF2再结合椭圆的对称性， 易知｜ QF2｜＝｜ F1 A ｜，又｜ PF1｜＋｜ F1 A ｜＝｜ PA ｜，由椭 圆过焦点的弦通径最短，所以当 PA 垂直 x 轴时，｜ PA ｜最小，所 以 b ≤｜ PA ｜min＝ ，所以 ab ≤2 b2，解得0＜ e ≤ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 16. （2024·杭州质检）设椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的右顶点为 A ，下顶点为 B ，过 A ， O ， B （ O 为坐标原点）三点的圆的圆心 坐标为（ ，－ ）. （1）求椭圆的方程； 解： 依题意知 A （ a ，0）， B （0，－ b ），因为△ AOB 为直角三角形， 所以过 A ， O ， B 三点的圆的圆心为斜边 AB 的中点，所以 ＝ ，－ ＝－ ，即 a ＝ ， b ＝1， 所以椭圆的方程为 ＋ y2＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）已知点 M 在 x 轴正半轴上，过点 B 作 BM 的垂线与椭圆交于 另一点 N ，若∠ BMN ＝60°，求点 M 的坐标. 解： 由（1）知 B （0，－1），依题意知直线 BN 的斜 率存在且小于0， 设直线 BN 的方程为 y ＝ kx －1（ k ＜0）， 则直线 BM 的方程为 y ＝－ x －1， 由消去 y 得（1＋3 k2） x2－6 kx ＝0， 解得 xN ＝ ， yN ＝ kxN －1， 所以｜ BN ｜＝ ＝ ＝ ｜ xN ｜， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 所以｜ BN ｜＝ · ， 在 y ＝－ x －1中，令 y ＝0得 x ＝－ k ， 即 M （－ k ，0），所以｜ BM ｜＝ ， 在Rt△ MBN 中，因为∠ BMN ＝60°， 所以｜ BN ｜＝ ｜ BM ｜， 即 · ＝ · ， 整理得3 k2－2 ｜ k ｜＋1＝0， 解得｜ k ｜＝ ，因为 k ＜0，所以 k ＝－ ， 所以点 M 的坐标为（ ，0）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 谢 谢 观 看！ $