第10讲 双曲线（知识详解+8典例精讲+课后作业）-2026年新高二数学暑假预习讲义（苏教版选修第一册）

第10讲 双曲线（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：双曲线的定义 知识点02：双曲线的标准方程 知识点03：双曲线的范围、对称性与顶点 知识点04：双曲线的渐近线和离心率 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：利用双曲线定义判断轨迹 题型02：求双曲线标准方程 题型03： 双曲线中的焦点问题 题型04：双曲线中的范围、对称性、顶点 题型05：已知方程求双曲线的渐近线 题型06：根据双曲线的渐近线求标准方程 题型07：求双曲线的离心率或离心率的取值范围 题型08：根据离心率求双曲线的标准方程 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】双曲线的定义 双曲线的定义 平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作双曲线,两个定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距. 温馨提示　(1)常数要小于两个定点的距离且大于零. (2)双曲线的定义中|PF1-PF2|=2a,若去了绝对值,就是PF1-PF2=2a和PF1-PF2=-2a,它们分别表示双曲线靠近F2和F1的一支. (3)当2a=F1F2时,动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点);当2a>F1F2时,动点的轨迹不存在;当2a=0时,动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线. 【例1】已知平面内动点满足，两焦点间距，判断动点的轨迹，并说明理由。 解：步骤1：明确已知条件 距离差绝对值，焦距，可得。 步骤2：验证双曲线定义条件 满足，符合双曲线轨迹判定条件。 步骤3：得出结论 动点的轨迹是以为焦点的双曲线。 总结：判定双曲线轨迹，核心验证。 【知识点02】双曲线的标准方程 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 - =1 (a>0,b>0) - =1 (a>0,b>0) 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) a,b,c的关系 b2=c2-a2 温馨提示　(1)若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,则焦点在y轴上. 记忆口诀:“焦点跟着正项走”. (2)a与b没有大小关系. (3)a,b,c的关系满足c2=a2+b2. 【例2】已知双曲线焦点在轴上，且，求该双曲线的标准方程。 解：步骤1：确定方程形式 焦点在轴上，设标准方程： 步骤2：代入数值 步骤3：写出最终方程 答案： 【知识点03】双曲线的范围、对称性与顶点 1.双曲线的部分几何性质 标准方程 - =1 (a>0,b>0) - =1 (a>0,b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤-a y≥a或y≤-a 对称性 对称轴:坐标轴,对称中心:原点 顶点 (-a,0),(a,0) (0,-a),(0,a) 轴长 实轴长=2a,虚轴长=2b 实半轴长=a,虚半轴长=b a,b,c 的关系 c2=a2+b2 2.双曲线的中心 双曲线的对称中心叫作双曲线的中心. 温馨提示　1.双曲线的范围、对称性 顶点坐标与坐标系有关;双曲线的焦距、实轴长、虚轴长与坐标系无关. 2.顶点与虚轴端点的连线长度等于半焦距. 【例3】求双曲线的顶点坐标、取值范围。 解：步骤1：确定参数 由方程得：，即。 步骤2：求顶点坐标 焦点在轴上，顶点为，即。 步骤3：确定取值范围 满足或，可取任意实数。 答案：顶点；范围 【知识点04】双曲线的渐近线和离心率 1.双曲线的标准方程和性质 标准方程 -=1 (a>0,b>0) - =1 (a>0,b>0) 图形 性质 渐近线 y=±x y=±x 离心率 e=,e∈(1,+∞) 2.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线,其离心率e=.为了便于研究,方程一般写为x2-y2=m(m≠0). 温馨提示　1.在双曲线的标准方程中, 把“1”换为“0”,即得到两渐近线方程. 2.焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长b. 3.渐近线、离心率是双曲线的固有性质,与坐标系无关,但渐近线的方程与坐标系有关. 4.由焦点和渐近线即可画出双曲线的简图. 【例4】求双曲线的渐近线方程和离心率。 解：步骤1：求解基础参数 ，得 由得： 步骤2：求渐近线方程 焦点在轴，渐近线： 步骤3：求离心率 ，满足，符合双曲线性质。 答案：渐近线方程，离心率 【题型01】利用双曲线定义判断轨迹 【典例1-1】（2026高二·全国·专题练习）已知，，则动点P的轨迹是（　　） A．双曲线 B．双曲线左支 C．一条射线 D．双曲线右支 【答案】C 【分析】根据给定条件，得，即可确定轨迹作答. 【详解】因为，于是有， 所以动点P的轨迹是一条射线． 故选：C 【变式1-1】（2026高二·全国·专题练习）已知点，，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】涉及双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题往往考虑用双曲线的定义求解. 【详解】由于，因此满足， 的动点P的轨迹均不是双曲线， 满足的动点P的轨迹是双曲线的右支， 而满足的动点P的轨迹才是双曲线． 故选：B． 【变式1-2】（25-26高二下·广东揭阳·阶段检测）已知、是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用特例法、双曲线的定义以及充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若，则，此时，点的轨迹是线段的垂直平分线， 所以，“为定值”“动点的轨迹是双曲线”； 若动点的轨迹是双曲线，则为定值， 所以，“为定值”“动点的轨迹是双曲线”. 因此，“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式1-3】（多选）（25-26高二上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，点M是平面内的一个动点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点的轨迹是双曲线 B．若，则点的轨迹是椭圆 C．若，则点的轨迹是一条直线 D．若，则点的轨迹是圆 【答案】ACD 【分析】根据双曲线的定义判断A，根据椭圆的定义判断B，设求出轨迹方程，即可判断C、D. 【详解】因为，，所以， 对于A：因为，所以点是以为焦点的双曲线，故A正确；对于B：因为，所以点的轨迹为线段，故B错误； 对于C：设，则， 因为，所以，整理得，所以点的轨迹是一条直线，故C正确； 对于D：因为，即，所以点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，故D正确. 故选：ACD 【题型02】求双曲线标准方程 【典例2-1】（2026高二上·浙江温州·专题练习）焦点为且经过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意设双曲线的标准方程为，得，解出即可求解. 【详解】由题意有，焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为， 且，由双曲线性质得，即①， 双曲线过点， 将其代入标准方程得：，化简为②， 联立①②，得， 解得，， 所以双曲线方程为 故选：D. 【变式2-1】（多选）（24-25高二上·吉林白城·期中）过点且的双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】分焦点在x轴上和焦点在轴上两种情况讨论，求出对应的标准方程即可. 【详解】∵，∴， 当焦点在轴上时，设，代入点，得， 此时双曲线方程为， 同理求得焦点在轴上时，双曲线方程为， 故选AC. 【变式2-2】（24-25高二上·福建莆田·期中）若双曲线与椭圆的焦点相同，且过点，则该双曲线的标准方程为________． 【答案】 【分析】先求出椭圆的焦点坐标，在根据双曲线的定义求出双曲线的，再求双曲线的. 【详解】椭圆的标准方程为，所以椭圆的焦点坐标为，根据双曲线的定义可得：，解得，又因为，所以， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为： 【变式2-3】（24-25高二上·辽宁铁岭·期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)过点和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意设双曲线的标准方程为，将点的坐标代入求出，即可得解； （2）设双曲线方程为，代入点的坐标得到方程组，解得、即可. 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上， 所以可设双曲线的标准方程为， 由，经过点， 可得，解得， 故双曲线的标准方程为； （2）依题意设双曲线方程为， 则，解得，所以双曲线方程为； 【题型03】双曲线中的焦点问题 【典例3-1】（2025高二·江苏·专题练习）若双曲线上的点到点的距离为4，则点到点的距离为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】先利用双曲线的标准方程确定焦点坐标，再利用双曲线的定义求解即可． 【详解】由题意可知，，则， 则双曲线的左、右焦点分别为， 因或，且，故． 故选：B 【变式3-1】（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．10 D．8 【答案】A 【分析】由双曲线的定义求解即可； 【详解】 由题意可得， 的周长为， 由双曲线定定义可得， 又 所以， 所以的周长为12， 故选：A 【变式3-2】若方程所表示的曲线是双曲线，则它的焦点坐标是______. 【答案】和 【分析】首先由的取值，确定双曲线的焦点位置，即可求解焦点坐标. 【详解】由题意可知，，解得：， 此时双曲线的焦点在轴，，，那么， 则它的焦点坐标是和. 故答案为：和 【变式3-3】已知双曲线的焦点为，，点P在双曲线上，且，求的面积． 【答案】 【分析】由条件可得，，，然后算出，然后可求出答案. 【详解】因为双曲线的方程为，所以可得， 因为，所以， 因为 所以，所以的面积为 【题型04】双曲线中的范围、对称性、顶点 【典例4-1】已知双曲线的左、右顶点分别为，圆与双曲线交于两点，记直线的斜率分别为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知，进而结合题意设，再结合，计算即可得答案. 【详解】解：由题知， 因为圆与双曲线交于两点， 所以，根据对称性可设， 所以，， 所以， 因为，即， 所以 故选：B 【变式4-1】若，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】利用数形结合的思想，将等式两边平方后可看作曲线的方程，最后将看作是曲线上的点到原点距离的平方，结合图形求其最小值. 【详解】由题意得，， 将两边同时平方可得：， 即， 所以可看作是双曲线的右支上的点， 又如图所示， 双曲线的右支上的点到原点距离最小， 即的最小值为1，故的最小值为1. 故选：A. 【变式4-2】（24-25高二上·江西赣州·期中）已知曲线可以由双曲线绕原点逆时针旋转得到，则________． 【答案】4 【分析】根据双曲线顶点坐标以及旋转角度可得，即可求得答案. 【详解】易知双曲线的右顶点坐标为， 且双曲线绕点逆时针旋转得曲线， 又曲线的其中一个顶点坐标为，所以， 解得． 故答案为：4 【变式4-3】设和为双曲线的两个焦点，若点、、是等腰直角三角形的三个顶点，求的值. 【答案】 【分析】由双曲线对称性可知，利用勾股定理可构造方程得到，结合双曲线的关系可求得结果. 【详解】由题意得：，；由双曲线对称性可知：， ，即，整理可得：， 即，，. 【题型05】已知方程求双曲线的渐近线 【典例5-1】双曲线的一个焦点为，则的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意求出，再由渐近线的定义即可得解. 【详解】依题意，由为双曲线的焦点得，所以， 故渐近线方程为． 故选：C 【变式5-1】（25-26高二上·广东中山·阶段检测）若双曲线方程为，则它的两条渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由求得双曲线的渐近线方程. 【详解】依题意，双曲线方程为， 由，解得双曲线的渐近线方程为. 故选：A 【变式5-2】（25-26高二上·江苏淮安·期末）双曲线的渐近线方程是___________． 【答案】 【分析】利用双曲线的性质计算即可. 【详解】令可得，即. 故答案为： 【变式5-3】（25-26高二上·河北承德·阶段检测）已知双曲线（）的焦点到渐近线的距离为4，则该双曲线的渐近线方程为______． 【答案】 【分析】由双曲线方程确定一个焦点、一条渐近线，利用点线距离公式列方程求参数b，即可写出渐近线方程. 【详解】由题设，双曲线其中一个焦点为，一条渐近线为， 所以，故该双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 【题型06】根据双曲线的渐近线求标准方程 【典例6-1】（24-25高二下·江苏镇江·开学考试）与椭圆共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据与椭圆共焦点，与双曲线共渐近线的方程设为，再求解 【详解】因为椭圆，焦点在y轴上，且， 又因为所为双曲线与双曲线共渐近线， 所以设所求双曲线，即 则，解得. 所以所求双曲线为. 故选：A 【变式6-1】（23-24高二上·江苏南京·期末）以直线为渐近线且经过点的双曲线的标准方程是________． 【答案】 【分析】由题意设双曲线方程为，将点的坐标代入即可得解. 【详解】由题意双曲线以直线为渐近线，设双曲线方程为，将点代入得， 所以以直线为渐近线且经过点的双曲线的标准方程是. 故答案为：. 【变式6-2】（24-25高二上·江苏连云港·阶段检测）若双曲线的焦点在x轴上，渐近线方程为，虚轴长为，则双曲线的标准方程为____________． 【答案】 【分析】由若双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线标准方程可设为，由虚轴长为，可知，再由渐近线方程为，可知，代入即可求解. 【详解】由若双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线标准方程可设为：， 由虚轴长为，可知，再由渐近线方程为，可知， 所以双曲线标准方程为：. 故答案为：. 【变式6-3】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）求满足条件的双曲线的标准方程：渐近线方程为，且经过点. 【答案】 【分析】由渐近线方程即可将双曲线方程设为，再将定点代入即可. 【详解】由双曲线的渐近线方程为，设双曲线方程为. 因为在双曲线上， 即， 所以双曲线的标准方程为 【题型07】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【典例7-1】（25-26高二下·江苏南京·期中）双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线方程求出、、，即可得解. 【详解】双曲线，则，，所以， 则双曲线的离心率. 故选：D 【变式7-1】（25-26高二上·江苏宿迁·期末）已知双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分或 两种情况，结合求解. 【详解】解：因为双曲线的两条渐近线之间的夹角小于， 所以或 ， 即 或 ，又 ， 所以， 故选：D 【变式7-2】（24-25高二上·重庆·阶段检测）已知双曲线：与动直线相交于点，，若存在，使得（为坐标原点）为等边三角形，则双曲线的离心率的取值范围为__________. 【答案】 【分析】令，求出，点坐标，由等边三角形建立方程解得，由方程有解列出不等式，然后由离心率公式得到代数式， 得到范围. 【详解】令，则， 即， 为等边三角形，则， 即 即有解，则，即， 又∵, ∴双曲线的离心率的取值范围为 故答案为： 【变式7-3】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知双曲线C的方程为： （1）求双曲线C的离心率； （2）求与双曲线C有公共的渐近线，且经过点A（）的双曲线的方程． 【答案】（1） （2） 【分析】根据双曲线方程可得,再根据求得．根据离心率公式可得其离心率．（2）根据两双曲线有相同的渐近线可设所求双曲线方程为,将点代入求即可． 【详解】（1）由双曲线方程可知,, ,． （2）依题意设所求双曲线方程为, 将点代入可得,解得, 所以所求双曲线方程为,即． 【题型08】根据离心率求双曲线的标准方程 【典例8-1】（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）已知双曲线经过点，离心率为，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得出，，即可求出双曲线的标准方程. 【详解】因为双曲线经过点，所以双曲线经的焦点在轴上， 且，又因为离心率为， 即，解得：， 又因为，所以双曲线的标准方程为. 故选：D. 【变式8-1】（多选）过点且的双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由离心率得，从而得，然后分类讨论设出双曲线方程代入已知点坐标求得值后可得． 【详解】，，于是， 若双曲线方程为，则，，双曲线方程为， 若双曲线方程为，则，双曲线方程为， 故选：AC 【变式8-2】（25-26高二下·河南信阳·期末）焦点在轴上，焦距为4且离心率为2的双曲线的标准方程为________． 【答案】 【分析】结合题意，求出，利用双曲线焦点位置，即可写出其标准方程. 【详解】依题意，，解得 故该双曲线方程为：. 故答案为：. 【变式8-3】（24-25高二上·江苏·阶段检测）(1)已知为双曲线的左顶点，点在上，且的离心率为，求双曲线的方程. (2)已知椭圆 的右焦点为，斜率不为的直线与交于两点.若是线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得到的方程组，求解即可得双曲线的方程； （2）设点，由点差法求出直线斜率，即可由点斜式方程得解. 【详解】（1）由点在上，且的离心率为2，得， 解得，故双曲线的方程为. （2）根据题意作图如下： 由已知椭圆，则右焦点，又线段的中点为， 所以直线的斜率存在且不为，设点. 则，两式相减得，又， 整理得，即直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 知识点01双曲线的定义（核心考点） 1. 文字定义 平面内，与两个定点的距离的差的绝对值为非零常数，且该常数小于两定点间距离的点的轨迹，叫做双曲线。 2. 数学定义公式 3. 相关概念 焦点：；焦距： 定长：（实距常数） 4. 轨迹判定易错点 ：轨迹为两条射线 ：无轨迹，不存在满足条件的点 ：轨迹为线段中垂线，不是双曲线 知识点02双曲线的标准方程（必考公式） 双曲线核心恒等式（区别椭圆）： 1. 焦点在x轴上 标准方程： 焦点坐标： 2. 焦点在y轴上 标准方程： 焦点坐标： 3. 快速定位技巧 正项定轴：哪个平方项为正，焦点就在对应坐标轴上。 知识点03双曲线的范围、对称性与顶点 1. 取值范围 焦点在轴： 焦点在轴： 2. 对称性 双曲线是轴对称+中心对称图形：关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称，原点为双曲线的中心。 3. 顶点与轴长 x轴型顶点：；y轴型顶点： 实轴长：（两顶点连线，决定双曲线主体范围） 虚轴长：（辅助参数，无实际轨迹） 知识点04双曲线渐近线与离心率（重难点） 1. 渐近线方程（双曲线独有特征） 焦点在x轴：；焦点在y轴： 快速求法：将标准方程右侧的1改为0，化简即可得到渐近线方程。 2. 离心率公式与性质 基础公式： 推导公式： 取值范围： 3. 离心率几何意义 越接近1：越小，双曲线开口越窄 越大：越大，双曲线开口越开阔 知识点05本节核心公式汇总（微软标准） 知识点模块 核心公式 双曲线定义 参数关系 x轴标准方程 y轴标准方程 x轴渐近线 y轴渐近线 离心率公式 知识点06高频易错点课堂总结 1.混淆椭圆与双曲线参数关系：椭圆，双曲线，极易计算出错； 2.忽略双曲线定义前提：必须满足，否则无双曲线轨迹； 3.渐近线公式记混：焦点轴不同，渐近线分子互换； 4.离心率范围易错：双曲线，椭圆，注意区分； 5.误将虚轴当作图形轨迹：虚轴仅为参数辅助量，双曲线上无虚轴对应点。 一、单选题 1．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）双曲线上一点到右焦点的距离是，则下列结论正确的是（    ） A．到左焦点的距离为 B．到左焦点的距离为 C．到左焦点的距离不唯一 D．这样的点不存在 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义和性质来判断到左焦点的距离． 【详解】对于双曲线，可得，，则， 设该双曲线的左、右焦点分别为、，由题意可知， 又因为，所以这样的不存在. 故选：D. 2．（25-26高二上·江苏南通·期末）双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】先化为标准方程，再结合关系求解即可. 【详解】将双曲线化为标准方程得： 所以双曲线的焦点在轴上，且， 因为双曲线的一个焦点坐标为， 所以，即，解得 故选：C 3．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据离心率公式及的关系，可得的值，代入渐近线方程，即可得答案. 【详解】由题意得，解得， 所以双曲线的渐近线方程为. 4．（2026高二·全国·专题练习）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用待定系数法，分焦点在轴上和焦点在轴上两种情况，分别设出双曲线的标准方程，再利用条件建立方程，即可求出结果. 【详解】因为和有相同的焦距，又双曲线的焦距为，所以双曲线的焦距，又过点， 当的焦点在x轴上，设双曲线的方程为， 若将点代入，得①， 又②，联立①②两式得，，所以双曲线的标准方程为. 当的焦点在y轴上，设双曲线的方程为，将点代入，得③，又④， 联立③④两式得，，所以双曲线的标准方程为， 综上所述，双曲线的标准方程为或. 故选：C. 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知AB是平面内两点，且，判断当P点满足下列哪个条件时其轨迹不存在（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆，双曲线定义结合轨迹判断各个选项即可； 【详解】对于A选项：,轨迹为椭圆； 对于B选项：,轨迹不存在．； 对于C选项：的轨迹存在， 比如点就在轨迹上； 对于D选项：,轨迹为椭圆； 故选：B. 6．（25-26高二上·山西·阶段检测）已知为双曲线上一点，，分别为该双曲线的左、右焦点，且，则的值为（    ） A．5 B．7 C．5或13 D．7或11 【答案】C 【分析】根据双曲线的方程，可得a，c值，根据双曲线定义，可得，分别检验，分析即可得答案. 【详解】由双曲线的方程可得，则， 解得， 由双曲线的定义可知， 因为，所以或13. 当时，，符合题意， 当时，，符合题意. 故选：C 7．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知点为双曲线：（，）的右焦点，它到双曲线的一条渐近线的距离为，，分别为的两条渐近线的倾斜角，且，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用焦点到渐近线的距离求出的值，再结合渐近线倾斜角的关系求出的值，进而得到双曲线的方程. 【详解】由题可知，双曲线的一条渐近线为，即， 所以， 设为渐近线的倾斜角，为渐近线的倾斜角， 所以， 又，，所以，所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为， 故选：A 8．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）已知双曲线，为其右焦点，点在右支上，且，直线与双曲线左支的一个交点是，若，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用勾股定理解出，再利用勾股定理找出a和c的关系即得. 【详解】如图设左焦点为，连，由知，， 因，设，则，从而，， 在直角中，由得：， 解得，从而， 又，即， 所以. 二、多选题 9．（2026高二上·安徽蚌埠·专题练习）平面内到两定点、的距离之差的绝对值等于常数2a的点M的轨迹（    ） A．椭圆 B．一条直线 C．两条射线 D．双曲线 【答案】BCD 【分析】由双曲线的定义判断． 【详解】当时，点M的轨迹为的垂直平分线， 当时，点M的轨迹为两条射线， 当时，点M的轨迹为双曲线， 当时，点不存在， 故选：BCD 10．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的虚轴长为 C．双曲线的焦点坐标为 D．双曲线的渐近线方程为 【答案】ACD 【分析】根据双曲线方程求解出a，b，c，由双曲线的性质逐一判断. 【详解】双曲线，则， 双曲线的离心率，故A正确； 双曲线的虚轴长为，故B错误； 双曲线的焦点坐标为，故C正确； 双曲线的渐近线方程为，故D正确. 故选：ACD 11．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，点是双曲线上的点（异于、），则下列结论正确的是（    ） A．该双曲线的离心率为 B．该双曲线的渐近线方程为 C．若，则的面积为 D．点到、两点的连线斜率乘积为 【答案】BC 【分析】求出、、的值，利用双曲线的离心率公式可判断A选项；求出该双曲线的渐近线方程，可判断B选项；利用双曲线的定义、勾股定理结合三角形的面积公式可判断C选项；利用斜率公式结合双曲线的方程可判断D选项. 【详解】在双曲线中，，，则， 对于A选项，该双曲线的离心率为，A错； 对于B选项，该双曲线的渐近线方程为，B对； 对于C选项，因为，则， 由双曲线的定义可得， 所以，，可得， 故，C对； 对于D选项，设点，其中，且，可得， 易知点、，则，D错. 故选：BC. 三、填空题 12．（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）已知双曲线左右焦点分别为、，是双曲线上的一点，若，则_____． 【答案】13 【分析】由焦半径取值范围确定P点位置，从而由双曲线定义即可求解. 【详解】由题意， 所以当在左支上时，当在右支上时， 因为，所以在右支上，所以. 故答案为：. 13．（24-25高二上·河北·期末）已知为坐标原点，双曲线与圆相交于四个点，则__________. 【答案】20 【分析】根据双曲线和圆都关于轴对称，不妨设，，然后将圆的方程和双曲线的方程联立，利用两点间的距离和韦达定理求解. 【详解】解：双曲线和圆都关于轴对称， 不妨设，， 所以. 联立，得， 则， 故 . 故答案为：20 14．（25-26高二下·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左焦点为，点在双曲线上，若四边形为菱形，则双曲线的离心率为________. 【答案】/ 【分析】设右焦点为，过作轴于，根据长度关系求出，最后根据双曲线的定义即可求出. 【详解】设右焦点为，连接，过作轴于， 因为双曲线关于轴对称，四边形为菱形，所以， 则，则，所以， 则为等边三角形，则，所以，所以， 根据双曲线的定义可知，所以. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·吉林通化·期中）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，实轴长为8，离心率为； (2)焦点在轴上，焦距为，渐近线方程为. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）结合题意求出双曲线的长、短半轴长，根据焦点位置，即可求得双曲线方程. 【详解】（1）因为双曲线焦点在轴上，实轴长为8，离心率为，所以， 解得，所以， 所以所求双曲线的标准方程为. （2）依题意，可设所求双曲线的标准方程为. 因为焦距为，所以， 所以. 又渐近线方程为，所以， 则，所以所求双曲线的标准方程为. 16．（23-24高二上·江西九江·期中）已知方程（且） (1)若方程表示焦点在上的椭圆，且离心率为，求的值； (2)若方程表示等轴双曲线，求的值及双曲线的焦点坐标. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据题中条件及离心率公式直接计算即可； （2）根据题中条件得，进一步计算得到的值，即可求解. 【详解】（1）因为方程为焦点在轴上的椭圆，所以 则离心率，解得 故. （2）由题意得 ， 故焦点坐标为 17．（24-25高二上·浙江杭州·阶段检测）已知向量，，点，.直线，的方向向量分别为，，其中，记动点的轨迹为 (1)求的方程； (2)已知，求的取值范围 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用向量的坐标运算，来求动点的轨迹； （2）利用两点间的距离公式，消元后求值域即可. 【详解】（1）设，则，， 由题意，，， 所以由直线，的方向向量分别为，， 即有：,, 所以有：，， 消去得点的轨迹方程：， 整理得：； （2）由题意， 由，所以. 18．（24-25高二上·云南丽江·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为. (1)若的实轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程； (2)已知是双曲线的左支上一点，）.当周长最小时，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用实轴长，和焦距求出渐近线. （2）利用双曲线定义，及两点之间线段最短，得到点在线段上，得到直线的方程，再代入得到面积. 【详解】（1）令双曲线的半焦距为，依题意，， 由，得，则，所以双曲线的渐近线方程为. （2）由双曲线的定义可得， 所以的周长为, 由于为定值，要使的周长最小，则应使最小为， 即点在线段上, ∵，所以直线的方程为：， 即，将其代入，解得或（舍去）， 因此点.所以 19．（24-25高二上·江苏泰州·期中）定义：以已知双曲线的虚轴为实轴､实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双曲线. (1)已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，焦距为16，离心率为，求的共轭双曲线的方程； (2)已知双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为， （i）求证：； （ii）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）不妨设双曲线的标准方程为， 则的标准方程为，所以 . （ii） 【分析】（1）利用，可求出，再利用求出，可得的方程，再利用共轭双曲线的概念求解即可； （2）（i）假设两曲线方程 ，，根据离心率定义求证即可； （ii）据离心率定义求，再利用不等式求最值即可. 【详解】（1）解：设双曲线的焦距长为，长轴长为，短轴长为， 由题意，，解得， 从而， 因为双曲线的中心在原点，焦点在上，所以的方程为， 从而它的共轭双曲线的方程为. （2）解：（i）略 （ii）， 因为，所以，（当且仅当时取等号） 所以，即的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 双曲线（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：双曲线的定义 知识点02：双曲线的标准方程 知识点03：双曲线的范围、对称性与顶点 知识点04：双曲线的渐近线和离心率 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：利用双曲线定义判断轨迹 题型02：求双曲线标准方程 题型03： 双曲线中的焦点问题 题型04：双曲线中的范围、对称性、顶点 题型05：已知方程求双曲线的渐近线 题型06：根据双曲线的渐近线求标准方程 题型07：求双曲线的离心率或离心率的取值范围 题型08：根据离心率求双曲线的标准方程 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】双曲线的定义 双曲线的定义 平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作双曲线,两个定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距. 温馨提示　(1)常数要小于两个定点的距离且大于零. (2)双曲线的定义中|PF1-PF2|=2a,若去了绝对值,就是PF1-PF2=2a和PF1-PF2=-2a,它们分别表示双曲线靠近F2和F1的一支. (3)当2a=F1F2时,动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点);当2a>F1F2时,动点的轨迹不存在;当2a=0时,动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线. 【例1】已知平面内动点满足，两焦点间距，判断动点的轨迹，并说明理由。 【知识点02】双曲线的标准方程 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 - =1 (a>0,b>0) - =1 (a>0,b>0) 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) a,b,c的关系 b2=c2-a2 温馨提示　(1)若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,则焦点在y轴上. 记忆口诀:“焦点跟着正项走”. (2)a与b没有大小关系. (3)a,b,c的关系满足c2=a2+b2. 【例2】已知双曲线焦点在轴上，且，求该双曲线的标准方程。 【知识点03】双曲线的范围、对称性与顶点 1.双曲线的部分几何性质 标准方程 - =1 (a>0,b>0) - =1 (a>0,b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤-a y≥a或y≤-a 对称性 对称轴:坐标轴,对称中心:原点 顶点 (-a,0),(a,0) (0,-a),(0,a) 轴长 实轴长=2a,虚轴长=2b 实半轴长=a,虚半轴长=b a,b,c 的关系 c2=a2+b2 2.双曲线的中心 双曲线的对称中心叫作双曲线的中心. 温馨提示　1.双曲线的范围、对称性 顶点坐标与坐标系有关;双曲线的焦距、实轴长、虚轴长与坐标系无关. 2.顶点与虚轴端点的连线长度等于半焦距. 【例3】求双曲线的顶点坐标、取值范围。 【知识点04】双曲线的渐近线和离心率 1.双曲线的标准方程和性质 标准方程 -=1 (a>0,b>0) - =1 (a>0,b>0) 图形 性质 渐近线 y=±x y=±x 离心率 e=,e∈(1,+∞) 2.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线,其离心率e=.为了便于研究,方程一般写为x2-y2=m(m≠0). 温馨提示　1.在双曲线的标准方程中, 把“1”换为“0”,即得到两渐近线方程. 2.焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长b. 3.渐近线、离心率是双曲线的固有性质,与坐标系无关,但渐近线的方程与坐标系有关. 4.由焦点和渐近线即可画出双曲线的简图. 【例4】求双曲线的渐近线方程和离心率。 【题型01】利用双曲线定义判断轨迹 【典例1-1】（2026高二·全国·专题练习）已知，，则动点P的轨迹是（　　） A．双曲线 B．双曲线左支 C．一条射线 D．双曲线右支 【变式1-1】（2026高二·全国·专题练习）已知点，，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二下·广东揭阳·阶段检测）已知、是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】（多选）（25-26高二上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，点M是平面内的一个动点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点的轨迹是双曲线 B．若，则点的轨迹是椭圆 C．若，则点的轨迹是一条直线 D．若，则点的轨迹是圆 【题型02】求双曲线标准方程 【典例2-1】（2026高二上·浙江温州·专题练习）焦点为且经过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（多选）（24-25高二上·吉林白城·期中）过点且的双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·福建莆田·期中）若双曲线与椭圆的焦点相同，且过点，则该双曲线的标准方程为________． 【变式2-3】（24-25高二上·辽宁铁岭·期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)过点和． 【题型03】双曲线中的焦点问题 【典例3-1】（2025高二·江苏·专题练习）若双曲线上的点到点的距离为4，则点到点的距离为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【变式3-1】（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．10 D．8 【变式3-2】若方程所表示的曲线是双曲线，则它的焦点坐标是______. 【变式3-3】已知双曲线的焦点为，，点P在双曲线上，且，求的面积． 【题型04】双曲线中的范围、对称性、顶点 【典例4-1】已知双曲线的左、右顶点分别为，圆与双曲线交于两点，记直线的斜率分别为，则为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】若，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【变式4-2】（24-25高二上·江西赣州·期中）已知曲线可以由双曲线绕原点逆时针旋转得到，则________． 【变式4-3】设和为双曲线的两个焦点，若点、、是等腰直角三角形的三个顶点，求的值. 【题型05】已知方程求双曲线的渐近线 【典例5-1】双曲线的一个焦点为，则的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·广东中山·阶段检测）若双曲线方程为，则它的两条渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·江苏淮安·期末）双曲线的渐近线方程是___________． 【变式5-3】（25-26高二上·河北承德·阶段检测）已知双曲线（）的焦点到渐近线的距离为4，则该双曲线的渐近线方程为______． 【题型06】根据双曲线的渐近线求标准方程 【典例6-1】（24-25高二下·江苏镇江·开学考试）与椭圆共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高二上·江苏南京·期末）以直线为渐近线且经过点的双曲线的标准方程是________． 【变式6-2】（24-25高二上·江苏连云港·阶段检测）若双曲线的焦点在x轴上，渐近线方程为，虚轴长为，则双曲线的标准方程为____________． 【变式6-3】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）求满足条件的双曲线的标准方程：渐近线方程为，且经过点. 【题型07】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【典例7-1】（25-26高二下·江苏南京·期中）双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·江苏宿迁·期末）已知双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二上·重庆·阶段检测）已知双曲线：与动直线相交于点，，若存在，使得（为坐标原点）为等边三角形，则双曲线的离心率的取值范围为__________. 【变式7-3】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知双曲线C的方程为： （1）求双曲线C的离心率； （2）求与双曲线C有公共的渐近线，且经过点A（）的双曲线的方程． 【题型08】根据离心率求双曲线的标准方程 【典例8-1】（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）已知双曲线经过点，离心率为，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（多选）过点且的双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高二下·河南信阳·期末）焦点在轴上，焦距为4且离心率为2的双曲线的标准方程为________． 【变式8-3】（24-25高二上·江苏·阶段检测）(1)已知为双曲线的左顶点，点在上，且的离心率为，求双曲线的方程. (2)已知椭圆 的右焦点为，斜率不为的直线与交于两点.若是线段的中点，求直线的方程. 知识点01双曲线的定义（核心考点） 1. 文字定义 平面内，与两个定点的距离的差的绝对值为非零常数，且该常数小于两定点间距离的点的轨迹，叫做双曲线。 2. 数学定义公式 3. 相关概念 焦点：；焦距： 定长：（实距常数） 4. 轨迹判定易错点 ：轨迹为两条射线 ：无轨迹，不存在满足条件的点 ：轨迹为线段中垂线，不是双曲线 知识点02双曲线的标准方程（必考公式） 双曲线核心恒等式（区别椭圆）： 1. 焦点在x轴上 标准方程： 焦点坐标： 2. 焦点在y轴上 标准方程： 焦点坐标： 3. 快速定位技巧 正项定轴：哪个平方项为正，焦点就在对应坐标轴上。 知识点03双曲线的范围、对称性与顶点 1. 取值范围 焦点在轴： 焦点在轴： 2. 对称性 双曲线是轴对称+中心对称图形：关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称，原点为双曲线的中心。 3. 顶点与轴长 x轴型顶点：；y轴型顶点： 实轴长：（两顶点连线，决定双曲线主体范围） 虚轴长：（辅助参数，无实际轨迹） 知识点04双曲线渐近线与离心率（重难点） 1. 渐近线方程（双曲线独有特征） 焦点在x轴：；焦点在y轴： 快速求法：将标准方程右侧的1改为0，化简即可得到渐近线方程。 2. 离心率公式与性质 基础公式： 推导公式： 取值范围： 3. 离心率几何意义 越接近1：越小，双曲线开口越窄 越大：越大，双曲线开口越开阔 知识点05本节核心公式汇总（微软标准） 知识点模块 核心公式 双曲线定义 参数关系 x轴标准方程 y轴标准方程 x轴渐近线 y轴渐近线 离心率公式 知识点06高频易错点课堂总结 1.混淆椭圆与双曲线参数关系：椭圆，双曲线，极易计算出错； 2.忽略双曲线定义前提：必须满足，否则无双曲线轨迹； 3.渐近线公式记混：焦点轴不同，渐近线分子互换； 4.离心率范围易错：双曲线，椭圆，注意区分； 5.误将虚轴当作图形轨迹：虚轴仅为参数辅助量，双曲线上无虚轴对应点。 一、单选题 1．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）双曲线上一点到右焦点的距离是，则下列结论正确的是（    ） A．到左焦点的距离为 B．到左焦点的距离为 C．到左焦点的距离不唯一 D．这样的点不存在 2．（25-26高二上·江苏南通·期末）双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2026高二·全国·专题练习）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知AB是平面内两点，且，判断当P点满足下列哪个条件时其轨迹不存在（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·山西·阶段检测）已知为双曲线上一点，，分别为该双曲线的左、右焦点，且，则的值为（    ） A．5 B．7 C．5或13 D．7或11 7．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知点为双曲线：（，）的右焦点，它到双曲线的一条渐近线的距离为，，分别为的两条渐近线的倾斜角，且，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）已知双曲线，为其右焦点，点在右支上，且，直线与双曲线左支的一个交点是，若，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026高二上·安徽蚌埠·专题练习）平面内到两定点、的距离之差的绝对值等于常数2a的点M的轨迹（    ） A．椭圆 B．一条直线 C．两条射线 D．双曲线 10．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的虚轴长为 C．双曲线的焦点坐标为 D．双曲线的渐近线方程为 11．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，点是双曲线上的点（异于、），则下列结论正确的是（    ） A．该双曲线的离心率为 B．该双曲线的渐近线方程为 C．若，则的面积为 D．点到、两点的连线斜率乘积为 三、填空题 12．（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）已知双曲线左右焦点分别为、，是双曲线上的一点，若，则_____． 13．（24-25高二上·河北·期末）已知为坐标原点，双曲线与圆相交于四个点，则__________. 14．（25-26高二下·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左焦点为，点在双曲线上，若四边形为菱形，则双曲线的离心率为________. 四、解答题 15．（24-25高二上·吉林通化·期中）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，实轴长为8，离心率为； (2)焦点在轴上，焦距为，渐近线方程为. 16．（23-24高二上·江西九江·期中）已知方程（且） (1)若方程表示焦点在上的椭圆，且离心率为，求的值； (2)若方程表示等轴双曲线，求的值及双曲线的焦点坐标. 17．（24-25高二上·浙江杭州·阶段检测）已知向量，，点，.直线，的方向向量分别为，，其中，记动点的轨迹为 (1)求的方程； (2)已知，求的取值范围 18．（24-25高二上·云南丽江·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为. (1)若的实轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程； (2)已知是双曲线的左支上一点，）.当周长最小时，求的面积. 19．（24-25高二上·江苏泰州·期中）定义：以已知双曲线的虚轴为实轴､实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双曲线. (1)已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，焦距为16，离心率为，求的共轭双曲线的方程； (2)已知双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为， （i）求证：； （ii）求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $