第03讲 两条直线的平行与垂直（知识详解+6典例精讲+课后作业）-2026年新高二数学暑假预习讲义（苏教版选修第一册）

第03讲 两条直线的平行与垂直 （知识详解+6典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：两条直线平行的判定 知识点02：与已知直线平行的直线方程 知识点03：直线平行的应用 知识点04：两条直线垂直关系的判定 知识点05：与已知直线垂直的直线方程 知识点06：两直线垂直的应用 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：两条直线平行的判定 题型02：求与已知直线平行的直线方程 题型03：直线平行的应用（求参数值） 题型04：两条直线垂直的判定 题型05：求与已知直线垂直的直线方程 题型06：两直线垂直的应用（求参数值） 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】两条直线平行的判定 不重合的两条直线l1,l2平行的等价条件: (1)当两条直线l1,l2的斜率均存在时,方程分别为l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1与l2平行⇔k1=k2且b1≠b2. (2)当直线l1,l2的斜率都不存在时,l1∥l2⇔它们都与x轴垂直,且在x轴上的截距不相等. 温馨提示　(1)l1∥l2⇔k1=k2成立的前提条件是:①两条直线的斜率都存在;②l1与l2不重合. (2)k1=k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在). (3)l1∥l2⇒k1=k2或两条直线的斜率都不存在. 【例1】判断下列两条直线是否平行：（1），；（2），；（3），。 解：（1）、斜率均存在，，，且两直线截距不同（），不重合，故； （2）、斜率均不存在，且，不重合，故； （3）、斜率均存在，但，故与不平行。 答案：（1）平行；（2）平行；（3）不平行。 【知识点02】与已知直线平行的直线方程 与已知直线平行的直线，斜率与已知直线相等（斜率存在时），仅截距不同（避免重合），可根据已知条件设方程求解。 常见设法： （1）已知直线为斜截式（斜率存在），则与之平行的直线方程可设为（，为待求常数）； （2）已知直线为一般式（不同时为0），则与之平行的直线方程可设为（，为待求常数）。 【例2】求经过点，且与直线平行的直线方程。 解：已知直线的斜率，与之平行的直线斜率也为3，设所求直线方程为（）； 将点代入方程，得，解得； 故所求直线方程为（化为一般式：）。 答案：所求直线方程为（或）。 【知识点03】直线平行的应用 利用直线平行的判定条件，求参数值、求直线方程、判断图形形状（如平行四边形）等，核心是抓住“斜率相等（不重合）”这一关键。 【例3】已知直线，，且，求实数的值。 解：分两种情况讨论： （1）当两条直线斜率均存在时，需满足（斜率相等），且（不重合）； 由斜率相等得，即，解得； 验证不重合：当或时，均成立； （2）当两条直线斜率均不存在时，，无解； 综上，或。 答案：或。 【知识点04】两条直线垂直关系的判定 对应关系 l1与l2的斜率都存在,分别为k1,k2,则l1⊥l2⇔k1·k2=-1 l1与l2中的一条斜率不存在,另一条斜率为零,则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 温馨提示　(1)l1⊥l2⇔k1k2=-1成立的条件是两条直线的斜率都存在. (2)当直线l1⊥l2时,有k1k2=-1或其中一条直线垂直于x轴,另一条直线垂直于y轴;而若k1k2=-1,则一定有l1⊥l2. (3)当两条直线的斜率都存在时,若这两条直线垂直,则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率. 利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 (1)一看:就是看其中一条直线所过两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在;再看另一条直线所过两点的纵坐标是否相等,若相等,则垂直;若不相等,则进行第二步. (2)二代:就是将点的坐标代入斜率公式. (3)求值:计算斜率的值,进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时,应用斜率公式要对参数进行讨论. 【例4】判断下列两条直线是否垂直：（1），；（2），；（3），。 解：（1）、斜率均存在，，，，故； （2）斜率不存在（垂直x轴），斜率为0（平行x轴），故； （3）、斜率均存在，，，，故与不垂直。 答案：（1）垂直；（2）垂直；（3）不垂直。 【知识点05】与已知直线垂直的直线方程 与已知直线垂直的直线，斜率与已知直线的斜率之积为（斜率存在时）；若已知直线斜率为0，则与之垂直的直线斜率不存在；若已知直线斜率不存在，则与之垂直的直线斜率为0。 常见设法： （1）已知直线为斜截式（），则与之垂直的直线方程可设为（为待求常数）； （2）已知直线为一般式（不同时为0），则与之垂直的直线方程可设为（为待求常数）。 【例5】求经过点，且与直线垂直的直线方程。 解：先求已知直线的斜率，将化为斜截式，得； 与之垂直的直线斜率（因）； 设所求直线方程为，将点代入，得，解得； 故所求直线方程为（化为一般式：）。 答案：所求直线方程为（或）。 【知识点06】两直线垂直的应用 利用直线垂直的判定条件，求参数值、求直线方程、判断图形形状（如直角三角形）等，核心是抓住“斜率之积为”或“斜率一为0、一不存在”这一关键。 【例6】已知直线，，且，求实数的值；若直线与垂直且过点，求的方程。 解：（1）求的值： 直线的斜率，直线的斜率； 因，故，即，解得； （2）求的方程： 与垂直，故的斜率； 又过点，即y轴截距，设斜截式方程； 化为一般式为。 答案：；的方程为（或）。 【题型01】两条直线平行的判定 【典例1-1】（24-25高二上·江苏扬州·阶段检测）两直线与的位置关系是（　　） A．相交 B．平行 C．重合 D．平行或重合 【答案】D 【分析】根据直线方程及直线平行的判定判断两直线的位置关系. 【详解】当时，直线与重合； 当时，直线与平行； 所以，题设两直线重合或平行. 故选：D 【变式1-1】（25-26高二上·福建泉州·期末）已知直线，则与的位置关系为（    ） A．重合 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】B 【分析】将直线方程化为斜截式方程，根据，即可判断求解. 【详解】直线可化为， 所以， ， 直线可化为， 所以，， 因为，， 所以与平行. 故选：B 【变式1-2】（24-25高二上·全国·单元测试）若直线的倾斜角为135°，直线经过点，，则直线与的位置关系是______． 【答案】平行或重合 【分析】求得直线与的斜率，进而可得结论. 【详解】直线的倾斜角为135°，故斜率． 由经过点，，得， 所以，所以直线与平行或重合． 故答案为：平行或重合． 【变式1-3】（24-25高二上·全国）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 【答案】(1) (2)或与重合 【分析】（1）由，且A，B，C，D，四点不共线，可判断； （2）由，可判断. 【详解】（1）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 因为，又， 所以，所以A，B，C三点不共线，所以A，B，C，D四点不共线， 所以． （2）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 所以，所以或与重合． 【题型02】求与已知直线平行的直线方程 【典例2-1】（25-26高二上·江苏连云港·期末）过点且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用平行关系设出直线方程，再代入点，即可写出直线方程. 【详解】因为直线与平行，设直线方程为. 因为直线经过，代入解得.所以直线方程为. 故选：A 【变式2-1】（24-25高二上·江苏扬州·阶段检测）已知直线过点且与直线平行，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线平行，令直线为，再由所过的点求参数，即可得方程. 【详解】令直线为，且过点， 所以，即，故直线的方程为. 故选：C 【变式2-2】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知直线，过点且与直线平行的直线一般式方程为______． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率，再利用点斜式求解作答. 【详解】直线的斜率为，则所求直线的斜率为， 又直线经过点，所以所求直线的方程是，即. 故答案为：. 【变式2-3】（25-26高二上·内蒙古通辽·阶段检测）已知直线经过点，求满足下列条件的直线方程： (1)直线与直线平行： (2)直线在两个坐标轴上的截距相等. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）由平行关系可假设直线，代入点即可； （2）分别讨论直线过坐标原点和不过坐标原点的情况，结合直线截距式和点坐标可求得结果. 【详解】（1）设直线， 过点， ，解得：， 直线方程为. （2）若直线过坐标原点，则直线方程为：，满足题意； 若直线不过坐标原点，可设直线， ，即直线； 综上所述：直线方程为：或. 【题型03】直线平行的应用（求参数值） 【典例3-1】（25-26高二上·江苏常州·期末）若直线平行，则实数的值为（    ） A．1或2 B．2 C．1或2 D．1 【答案】D 【详解】∵平面内两条直线平行， ∴，解得或2． 时的方程为，的方程为，两条直线重合． 时的方程为，的方程为，两条直线平行． 因此． 【变式3-1】（25-26高二上·江苏南通·期末）已知直线.若，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据直线一般式的平行关系列式求解即可. 【详解】因为已知直线，且， 所以，解得， 当时，的方程为，即，此时满足. 故选：B 【变式3-2】（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）若直线与直线平行，则实数_________. 【答案】1或4 【分析】由两直线平行列方程求解可得，注意不要重合. 【详解】由题意可得，解得或4， 当时直线方程分别为，不重合； 当时，直线方程分别为，不重合. 故答案为：1或4. 【变式3-3】（25-26高二上·全国）已知直线l经过两点，，问：当取何值时： (1)直线与轴平行？ (2)直线与轴平行？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直线与轴平行，则直线的斜率，据此可以求的值； （2）直线与轴平行，则直线的斜率不存在，据此可以得出的值. 【详解】（1）若直线与轴平行，则直线的斜率， 所以. （2）若直线与轴平行，则直线的斜率不存在， 所以. 【题型04】两条直线垂直的判定 【典例4-1】（24-25高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】求出直线和的斜率，判断出，进而可得结果. 【详解】因为 ， 所以 , 故 因此该三角形为直角三角形. 故选：B. 【变式4-1】（25-26高二上·江西宜春·期末）设直线和直线，则直线与直线的位置关系为（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．以上都不是 【答案】C 【分析】利用斜率之积为,来判断两直线垂直即可. 【详解】由直线的斜率为：， 直线的斜率为， 可得，所以两直线互相垂直. 故选：C 【变式4-2】已知直线l1：x＋2y＋1＝0，l2：﹣2x＋y＋2＝0，它们相交于点A．判断直线l1和l2是否垂直？请给出理由； 【答案】垂直，理由见解析 【分析】利用两直线的斜率即可判断. 【详解】由题可知：直线的斜率，直线的斜率， ∴， ∴. 【变式4-3】解答下列各题： (1)已知四点，，，，求证：； (2)已知直线，，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【分析】（1）由斜率公式求出直线的斜率，证明垂直； （2）根据直线方程求出的斜率，证明垂直. 【详解】（1）由斜率公式，得，， 则，所以． （2）由，的方程可知，它们的斜率，， 从而，所以． 【题型05】求与已知直线垂直的直线方程 【典例5-1】（24-25高二上·江苏镇江·期中）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知：，所以，可得到的斜率，再由点斜式方程，即可得到答案. 【详解】由方程可知：的斜率为， 由题意可知：，所以，所以， 因为过点，所以由直线点斜率式方程可知的方程为：， 即. 故选：C. 【变式5-1】24-25高二上·江苏盐城·期中）过点且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意设直线方程为，代入原点即可. 【详解】设与垂直于直线的直线方程为， 若直线过原点，则， 所以所求直线方程为. 故选：B. 【变式5-2】（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）已知两点，，则线段AB的垂直平分线的一般式方程为______. 【答案】 【分析】根据中点坐标公式求得线段中点坐标，再求直线的斜率，进而确定垂直平分线的斜率，最后根据点斜式写出直线方程即可. 【详解】因为两点，， 所以线段中点坐标为，， 所以线段AB的垂直平分线的斜率为， 由点斜式可知：线段AB的垂直平分线的方程为：， 整理得：. 故答案为：. 【变式5-3】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知的三个顶点的坐标分别为. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)求的平分线所在直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线的斜率，可得出边上的高所在直线的斜率，可得出边上的高所在直线的点斜式方程，化为一般式方程即可； （2）由图可知，所以的平分线所在直线的斜率为，可得到的平分线所在直线的点斜式方程，化为斜截式方程即可. 【详解】（1）因为点、，则， 所以，边上的高所在直线的斜率为， 又，所以边上的高所在直线的方程为，即， 即边上的高所在直线的一般式方程为. （2）   如图，可得，所以的平分线所在直线的倾斜角为，斜率为， 又，所以的平分线所在直线的方程为，即， 即的平分线所在直线的斜截式方程为. 【题型06】两直线垂直的应用（求参数值） 【典例6-1】（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】由两条直线垂直的充要条件得，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 【变式6-1】（25-26高二上·江苏·期末）已知直线与互相垂直，则（    ） A．或0 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据两直线垂直的公式，结合题意验根，可得答案. 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得或， 当时，方程不为直线，舍去，则. 故选：D 【变式6-2】（25-26高二上·宁夏·阶段检测）已知直线与互相垂直，则实数的值为______． 【答案】2 【分析】利用斜率是否存在进行讨论分析，再由斜率之积为列方程求参数. 【详解】当时， 直线化为：， 直线化为， 此时两直线不垂直，不满足题意； 当时， 直线的斜率为， 直线的斜率为， 因为两直线垂直，所以，解得， 综上可得：实数的值为. 故答案为：2 【变式6-3】（24-25高二上·江苏常州·期中）已知点，直线，且点均在直线上，， (1)求点的坐标： (2)若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设，由题意列方程组，即可求得. （2）设，由题意可得，可求得点的坐标，可求直线的方程. 【详解】（1）设，由题意可得：，解得：， 所以点的坐标为. （2）设，由（1）知点的坐标为. 根据题意可得，解得或， 所以点的坐标为或， 当点为时，直线的方程为，即， 当点为时，直线的方程为，即， 综上所述：直线的方程为或. 知识点1：直线的斜率（核心基础） 1. 定义 斜率是描述直线倾斜程度的代数量，常用字母 表示，是研究直线位置关系的核心工具。 2. 核心计算公式（必考） 已知直线上任意两点 、，直线斜率公式： 3. 特殊直线斜率情况 当 时，直线垂直于轴（竖直线），斜率不存在； 当 时，直线平行于轴（水平线），。 4. 关键性质 直线斜率与两点选取顺序无关： 知识点2：斜率的核心应用——判定直线位置关系（重点考点） 本知识点核心用于判定两条直线平行、垂直的位置关系，分斜率存在、斜率不存在两种情况讨论。 1. 两条直线平行判定 ① 两直线斜率均存在：设 斜率为 ② 两直线斜率均不存在：两直线均为竖直线 ，则 。 ③ 补充区分： 包含平行或重合两种情况，解题需排除重合。 2. 两条直线垂直判定 ① 两直线斜率均存在： ② 特殊垂直情况：一条直线斜率为0（水平线），一条直线斜率不存在（竖直线），两直线天然垂直。 3. 斜率辅助应用（判断直线趋势） ：直线从左到右上升 ：直线从左到右下降 ：直线水平无倾斜 知识点3：一般式万能判定公式（补全考点） 设两直线 1. 平行万能判定 2. 垂直万能判定 知识点4：常用直线系方程（解题速用） 1. 与 平行的直线： 2. 与 垂直的直线： 知识点05：易错点总结 1.斜率相等仅代表直线倾斜程度相同，不能直接判定平行，必须排除直线重合情况； 2. 判定垂直的前提是两直线斜率均存在，不可用于横竖直线垂直判定； 3.遇到含竖直线、水平线的题型，优先使用一般式万能公式，避免漏解、错解。 一、单选题 1．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知直线垂直于直线，则实数（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用两直线垂直可得出，解该方程即可. 【详解】因为直线垂直于直线， 所以，解得. 故选：A. 2．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知直线：，：，若，则（   ） A．-1 B．3 C．-1或-3 D．-1或3 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用两条直线平行的充要条件列式求解. 【详解】由直线：与直线：平行， 得，所以或. 故选：D 3．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）若的顶点，，，则边上的高所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得边所在直线的斜率，再根据垂直关系求得边上的高所在直线的斜率，再结合点斜式方程，即可求解. 【详解】设边上的高所在直线为直线，斜率为， 因为，，则， 又直线为边上的高所在直线，所以，则，所以， 又边上的高所在直线过点， 所以直线的方程为，即. 故选：C 4．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知直线，，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或2 【答案】B 【分析】根据两条直线平行的条件，列出a满足的方程以及不等式，即可求得答案. 【详解】由题意可知直线，， 故且， 解得， 故选：B 5．（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知直线l过点且与直线垂直，则直线l方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线垂直时斜率的关系，以及点斜式方程定义，求出结果即可. 【详解】直线的斜率为，则与它垂直的直线l的斜率为， 又直线l过点，，即. 故选：A. 6．（24-25高二上·河南·阶段检测）已知直线过点，且直线与直线平行，与直线垂直，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，利用垂直直线斜率关系，建立方程，结合点斜式方程，可得答案. 【详解】由题意得，直线与直线垂直， 则，解得， 故直线的方程为，即. 故选：B. 7．（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）设，则“”是“直线与直线平行”的（　　） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合两直线平行的条件判断即可. 【详解】当时，直线，直线，此时直线与直线平行； 当直线与直线平行时，，解得； 所以“”是“直线与直线平行”的充要条件. 故选：A. 8．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．直线与直线互相垂直，则 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．直线过点，且与点的距离最远，则直线的方程是: D．直线与直线互相平行，则 【答案】D 【分析】根据直线方程的相关概念，以及两条直线平行或垂直的性质，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】对于选项A：当时，两直线方程为别为与，且相互垂直，所以A错误； 对于选项B：当直线经过原点和点时，在轴和轴上截距都相等，直线方程为，所以B错误； 对于选项C：当直线经过点，且与直线垂直时，与点的距离最远， 可得，所以直线斜率为， 则直线的方程为，即，所以C错误； 对于选项D：当直线与直线互相平行时， 可得，解得，所以D正确. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高二上·贵州黔南·阶段检测）同一平面内的直线与直线，下列选项中满足的直线是（   ） A． B．经过点和 C．的斜率为2，且过点 D．与没有公共点 【答案】AD 【分析】根据两条直线平行计算求出参数判断A，C，根据平行直线位置关系判断D，应用两点求出斜率判断B. 【详解】对于A：与斜率相等，且不重合，所以符合题意； 对于B : 经过点和，所以斜率为， 所以直线的方程为,化简可得，重合，不符合题意； 对于C：的斜率为2，且过点，所以，两条直线重合，不符合题意； 对于D：与没有公共点，则满足，D选项符合题意； 故选：AD. 10．（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）已知直线与直线，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．存在，使得与重合 【答案】AB 【分析】应用直线平行和垂直的判定列方程求参数值，结合各项判断正误即可. 【详解】由，得，解得或， 当或时，与都不重合，则A正确，C、D错误. 由，则，得，则B正确. 故选：AB 11．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知正方形中心的坐标为，若直线的方程为，则与边垂直的两条边所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】先根据直线的方程求出直线的斜率，从而得出所求直线的斜率，再利用正方形中心的性质根据点到直线的距离即为点的所求直线的距离，利用点到直线距离公式构造方程计算求解． 【详解】直线的方程为， 直线的斜率为，故所求直线的斜率为， 设其方程为（c为常数） 正方形中心到直线边的距离为， 正方形中心到所求直线的距离为，即，解得或， 与边垂直的两条边所在的直线方程为或． 故选：CD． 三、填空题 12．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）直线l过点且与直线平行，则l的方程为____________ 【答案】 【详解】设直线， 依题意得直线l过点， 则， 得， 故l的方程为． 13．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线与直线互相垂直，则的值为___________． 【答案】 【分析】由垂直关系得到，求解即可. 【详解】由直线垂直得到， 解得：， 故答案为： 14．（25-26高二上·云南曲靖·期末）已知直线，若，则___________ 【答案】 【分析】由一般式得到两直线斜率，再由两直线平行，斜率相等求解即可； 【详解】当时，，，两直线不平行， 当时，两直线平行斜率相等， ，则 ，则， 又，则两直线斜率相等，即， 化简计算得：，解得：或， 又时，，，两直线重合， 故. 故答案为： 四、解答题 15．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知的顶点. (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出中点坐标后结合点坐标计算即可得； （2）求出直线的斜率后由高的性质可得直线斜率，结合点坐标计算即可得； 【详解】（1）由，有， 故中点的坐标为，又， 则，即； （2）由，则， 由为边上的高，故，则， 故，即. 16．（25-26高二上·广东广州·期中）给出两条直线，，其中． (1)当为何值时，与重合？ (2)若，求； (3)求的值，使得． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】直线，的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： （1）与重合； （2）与平行； （3）与垂直. 【详解】（1）由，解得，所以当时，与重合. （2）由，解得，所以时，与平行. （3）当时，即时，与相垂直. 17．（25-26高二上·青海·阶段检测）已知直线经过点，． (1)若直线经过点且平行于直线，求直线的一般式方程； (2)若直线经过点且垂直于直线，求直线的一般式方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出直线的斜率，再利用平行关系求出直线的斜率，进而求出直线方程； （2）先根据垂直关系求出直线斜率，再结合点求出直线方程． 【详解】（1）直线经过点，， 直线的斜率为， 直线平行于直线，直线的斜率为， 又直线经过点， 直线的方程为，一般式方程为．      （2）直线垂直于直线，直线的斜率，解得， 又直线经过点， 直线的方程为，其一般式方程为．    18．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）求出满足下列条件的直线方程： (1)经过点，且与直线平行； (2)经过点，且与直线垂直； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据直线方程得出已知直线的斜率，由平行关系求得所求直线的斜率，然后利用点斜式写出所求直线方程化简即可； （2）根据直线方程得出已知直线的斜率，由垂直关系求得所求直线的斜率，然后利用点斜式写出所求直线方程化简即可； 【详解】（1）由直线的斜率为， 设所求直线的斜率为， 因为所求直线与直线平行， 所以， 又所求直线经过，根据点斜式方程可得：， 即所求直线方程为. （2）由直线的斜率， 由题知两条直线垂直且，所以所求直线斜率存在， 设所求直线的斜率为， 由，解得：， 又所求直线经过点，根据点斜式方程可得：， 即所求直线方程为. 19．（25-26高二上·湖南永州·期中）已知点.求： (1)过点P且在y轴上截距的直线的方程； (2)已知直线，直线经过两点，若，求实数m的值. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）设该直线的方程为，将点代入，求得，即可求解； （2）求得的方程，根据，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：因为直线在y轴上截距，设该直线的方程为， 将点代入直线方程，可得，解得， 所以的方程为. （2）解：易知存在，由，可得， 又由直线，且，可得， 即，解得， 所以实数的值为或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 两条直线的平行与垂直 （知识详解+6典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：两条直线平行的判定 知识点02：与已知直线平行的直线方程 知识点03：直线平行的应用 知识点04：两条直线垂直关系的判定 知识点05：与已知直线垂直的直线方程 知识点06：两直线垂直的应用 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：两条直线平行的判定 题型02：求与已知直线平行的直线方程 题型03：直线平行的应用（求参数值） 题型04：两条直线垂直的判定 题型05：求与已知直线垂直的直线方程 题型06：两直线垂直的应用（求参数值） 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】两条直线平行的判定 不重合的两条直线l1,l2平行的等价条件: (1)当两条直线l1,l2的斜率均存在时,方程分别为l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1与l2平行⇔k1=k2且b1≠b2. (2)当直线l1,l2的斜率都不存在时,l1∥l2⇔它们都与x轴垂直,且在x轴上的截距不相等. 温馨提示　(1)l1∥l2⇔k1=k2成立的前提条件是:①两条直线的斜率都存在;②l1与l2不重合. (2)k1=k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在). (3)l1∥l2⇒k1=k2或两条直线的斜率都不存在. 【例1】判断下列两条直线是否平行：（1），；（2），；（3），。 【知识点02】与已知直线平行的直线方程 与已知直线平行的直线，斜率与已知直线相等（斜率存在时），仅截距不同（避免重合），可根据已知条件设方程求解。 常见设法： （1）已知直线为斜截式（斜率存在），则与之平行的直线方程可设为（，为待求常数）； （2）已知直线为一般式（不同时为0），则与之平行的直线方程可设为（，为待求常数）。 【例2】求经过点，且与直线平行的直线方程。 【知识点03】直线平行的应用 利用直线平行的判定条件，求参数值、求直线方程、判断图形形状（如平行四边形）等，核心是抓住“斜率相等（不重合）”这一关键。 【例3】已知直线，，且，求实数的值。 【知识点04】两条直线垂直关系的判定 对应关系 l1与l2的斜率都存在,分别为k1,k2,则l1⊥l2⇔k1·k2=-1 l1与l2中的一条斜率不存在,另一条斜率为零,则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 温馨提示　(1)l1⊥l2⇔k1k2=-1成立的条件是两条直线的斜率都存在. (2)当直线l1⊥l2时,有k1k2=-1或其中一条直线垂直于x轴,另一条直线垂直于y轴;而若k1k2=-1,则一定有l1⊥l2. (3)当两条直线的斜率都存在时,若这两条直线垂直,则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率. 利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 (1)一看:就是看其中一条直线所过两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在;再看另一条直线所过两点的纵坐标是否相等,若相等,则垂直;若不相等,则进行第二步. (2)二代:就是将点的坐标代入斜率公式. (3)求值:计算斜率的值,进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时,应用斜率公式要对参数进行讨论. 【例4】判断下列两条直线是否垂直：（1），；（2），；（3），。 【知识点05】与已知直线垂直的直线方程 与已知直线垂直的直线，斜率与已知直线的斜率之积为（斜率存在时）；若已知直线斜率为0，则与之垂直的直线斜率不存在；若已知直线斜率不存在，则与之垂直的直线斜率为0。 常见设法： （1）已知直线为斜截式（），则与之垂直的直线方程可设为（为待求常数）； （2）已知直线为一般式（不同时为0），则与之垂直的直线方程可设为（为待求常数）。 【例5】求经过点，且与直线垂直的直线方程。 【知识点06】两直线垂直的应用 利用直线垂直的判定条件，求参数值、求直线方程、判断图形形状（如直角三角形）等，核心是抓住“斜率之积为”或“斜率一为0、一不存在”这一关键。 【例6】已知直线，，且，求实数的值；若直线与垂直且过点，求的方程。 【题型01】两条直线平行的判定 【典例1-1】（24-25高二上·江苏扬州·阶段检测）两直线与的位置关系是（　　） A．相交 B．平行 C．重合 D．平行或重合 【变式1-1】（25-26高二上·福建泉州·期末）已知直线，则与的位置关系为（    ） A．重合 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 【变式1-2】（24-25高二上·全国·单元测试）若直线的倾斜角为135°，直线经过点，，则直线与的位置关系是______． 【变式1-3】（24-25高二上·全国）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 【题型02】求与已知直线平行的直线方程 【典例2-1】（25-26高二上·江苏连云港·期末）过点且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·江苏扬州·阶段检测）已知直线过点且与直线平行，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知直线，过点且与直线平行的直线一般式方程为______． 【变式2-3】（25-26高二上·内蒙古通辽·阶段检测）已知直线经过点，求满足下列条件的直线方程： (1)直线与直线平行： (2)直线在两个坐标轴上的截距相等. 【题型03】直线平行的应用（求参数值） 【典例3-1】（25-26高二上·江苏常州·期末）若直线平行，则实数的值为（    ） A．1或2 B．2 C．1或2 D．1 【变式3-1】（25-26高二上·江苏南通·期末）已知直线.若，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【变式3-2】（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）若直线与直线平行，则实数_________. 【变式3-3】（25-26高二上·全国）已知直线l经过两点，，问：当取何值时： (1)直线与轴平行？ (2)直线与轴平行？ 【题型04】两条直线垂直的判定 【典例4-1】（24-25高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【变式4-1】（25-26高二上·江西宜春·期末）设直线和直线，则直线与直线的位置关系为（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．以上都不是 【变式4-2】已知直线l1：x＋2y＋1＝0，l2：﹣2x＋y＋2＝0，它们相交于点A．判断直线l1和l2是否垂直？请给出理由； 【变式4-3】解答下列各题： (1)已知四点，，，，求证：； (2)已知直线，，求证：． 【题型05】求与已知直线垂直的直线方程 【典例5-1】（24-25高二上·江苏镇江·期中）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】24-25高二上·江苏盐城·期中）过点且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）已知两点，，则线段AB的垂直平分线的一般式方程为______. 【变式5-3】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知的三个顶点的坐标分别为. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)求的平分线所在直线的斜截式方程. 【题型06】两直线垂直的应用（求参数值） 【典例6-1】（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式6-1】（25-26高二上·江苏·期末）已知直线与互相垂直，则（    ） A．或0 B． C．0 D． 【变式6-2】（25-26高二上·宁夏·阶段检测）已知直线与互相垂直，则实数的值为______． 【变式6-3】（24-25高二上·江苏常州·期中）已知点，直线，且点均在直线上，， (1)求点的坐标： (2)若，求直线的方程. 知识点1：直线的斜率（核心基础） 1. 定义 斜率是描述直线倾斜程度的代数量，常用字母 表示，是研究直线位置关系的核心工具。 2. 核心计算公式（必考） 已知直线上任意两点 、，直线斜率公式： 3. 特殊直线斜率情况 当 时，直线垂直于轴（竖直线），斜率不存在； 当 时，直线平行于轴（水平线），。 4. 关键性质 直线斜率与两点选取顺序无关： 知识点2：斜率的核心应用——判定直线位置关系（重点考点） 本知识点核心用于判定两条直线平行、垂直的位置关系，分斜率存在、斜率不存在两种情况讨论。 1. 两条直线平行判定 ① 两直线斜率均存在：设 斜率为 ② 两直线斜率均不存在：两直线均为竖直线 ，则 。 ③ 补充区分： 包含平行或重合两种情况，解题需排除重合。 2. 两条直线垂直判定 ① 两直线斜率均存在： ② 特殊垂直情况：一条直线斜率为0（水平线），一条直线斜率不存在（竖直线），两直线天然垂直。 3. 斜率辅助应用（判断直线趋势） ：直线从左到右上升 ：直线从左到右下降 ：直线水平无倾斜 知识点3：一般式万能判定公式（补全考点） 设两直线 1. 平行万能判定 2. 垂直万能判定 知识点4：常用直线系方程（解题速用） 1. 与 平行的直线： 2. 与 垂直的直线： 知识点05：易错点总结 1.斜率相等仅代表直线倾斜程度相同，不能直接判定平行，必须排除直线重合情况； 2. 判定垂直的前提是两直线斜率均存在，不可用于横竖直线垂直判定； 3.遇到含竖直线、水平线的题型，优先使用一般式万能公式，避免漏解、错解。 一、单选题 1．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知直线垂直于直线，则实数（   ） A． B．2 C． D． 2．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知直线：，：，若，则（   ） A．-1 B．3 C．-1或-3 D．-1或3 3．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）若的顶点，，，则边上的高所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知直线，，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或2 5．（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知直线l过点且与直线垂直，则直线l方程为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·河南·阶段检测）已知直线过点，且直线与直线平行，与直线垂直，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）设，则“”是“直线与直线平行”的（　　） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．直线与直线互相垂直，则 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．直线过点，且与点的距离最远，则直线的方程是: D．直线与直线互相平行，则 二、多选题 9．（25-26高二上·贵州黔南·阶段检测）同一平面内的直线与直线，下列选项中满足的直线是（   ） A． B．经过点和 C．的斜率为2，且过点 D．与没有公共点 10．（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）已知直线与直线，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．存在，使得与重合 11．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知正方形中心的坐标为，若直线的方程为，则与边垂直的两条边所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）直线l过点且与直线平行，则l的方程为____________ 13．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线与直线互相垂直，则的值为___________． 14．（25-26高二上·云南曲靖·期末）已知直线，若，则___________ 四、解答题 15．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知的顶点. (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程. 16．（25-26高二上·广东广州·期中）给出两条直线，，其中． (1)当为何值时，与重合？ (2)若，求； (3)求的值，使得． 17．（25-26高二上·青海·阶段检测）已知直线经过点，． (1)若直线经过点且平行于直线，求直线的一般式方程； (2)若直线经过点且垂直于直线，求直线的一般式方程． 18．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）求出满足下列条件的直线方程： (1)经过点，且与直线平行； (2)经过点，且与直线垂直； 19．（25-26高二上·湖南永州·期中）已知点.求： (1)过点P且在y轴上截距的直线的方程； (2)已知直线，直线经过两点，若，求实数m的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $