第26章二次函数基础诊断卷（A卷） 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 第26章二次函数基础诊断卷（A卷），90分钟120分，覆盖二次函数定义、图像性质、实际应用等核心知识，通过基础巩固与能力提升题梯度设计，适配单元复习诊断，培养抽象能力、几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数定义（题1）、顶点坐标（题2）、图像平移（题5）|题4结合GGB软件探索方程根，体现创新意识| |填空题|6/24|解析式确定（题11）、函数值比较（题12）、投壶轨迹应用（题15）|题15以传统游戏为情境，培养数学眼光观察现实世界| |解答题|6/66|解析式求解（题17）、梯形面积最值（题19）、利润问题（题21）|题21通过销售数据建立函数模型，强化模型意识与应用能力|

第26章二次函数基础诊断卷（A卷） （时间:90分钟 满分120分） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选项中只有一个选项符合题意） 1．下列函数中，是关于x的二次函数的是（　　） A．y＝x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C． D．y＝﹣x（x+3） 【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论． 【解答】解：A、y＝x﹣1是一次函数，不是二次函数，不符合题意； B、当a＝0时，y＝bx+c不是二次函数，不符合题意； C、y不是二次函数，不符合题意； D、y＝﹣x（x+3）＝﹣x2﹣3x是二次函数，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键． 2．抛物线y＝3（x+1）2+2的顶点坐标为（　　） A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（1，2） D．（2，1） 【分析】二次函数的顶点式为：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），其中顶点坐标为（h，k），a＞0开口向上，a＜0开口向下；对称轴为：x＝h，最值为k．据此解答即可． 【解答】解：抛物线的顶点坐标为（﹣1，2）． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的顶点式． 3．若抛物线y＝ax2+2x﹣10的对称轴是直线x＝2，则a的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣0.5 D．0.5 【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴方程得到x，然后求出a即可． 【解答】解：抛物线y＝ax2+2x﹣10的对称轴是直线x＝﹣＝﹣， ∴x2， ∴a＝﹣0.5． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0；对称轴为直线x；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac＝0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点． 4．小明用GGB探索方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x＝﹣3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（　　） A．2.4 B．2.6 C．1.4 D．1.6 【分析】根据一元二次方程的一个近似根，得到抛物线与x轴的一个交点，根据抛物线的对称轴，求出另一个交点坐标，得到方程的另一个近似根． 【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣3.4，0），又抛物线的对称轴为：x＝﹣1， ∴另一个交点坐标为：（1.4，0）， 则方程的另一个近似根为1.4， 故选：C． 【点睛】本题考查的是用图象法求一元二次方程的近似根，掌握二次函数的对称性和抛物线与x轴的交点与一元二次方程的解的关系是解题的关键． 5．二次函数y＝﹣（x﹣1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y＝﹣（x﹣2）2+3的图象（　　） A．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 B．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 【分析】根据“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律判断即可． 【解答】解：∵y＝﹣（x﹣2）2+3＝y＝﹣（x﹣1﹣1）2+3， ∴二次函数y＝﹣（x﹣1）2的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位可得到函数y＝﹣（x﹣2）2+3的图象． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握其相关知识点是解题的关键． 6．若点A（﹣1，y1），B（0，y2），C（1，y3）都在二次函数y＝2x2﹣x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1 【分析】把点A（﹣1，y1），B（0，y2），C（1，y3）代入二次函数y＝2x2﹣x，求出y1，y2，y3的值，再比较大小即可． 【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（0，y2），C（1，y3）都在二次函数y＝2x2﹣x的图象上， ∴y1＝2×（﹣1）2﹣（﹣1）＝2×1+1＝2+1＝3； y2＝2×02﹣0＝0； y3＝2×12﹣1＝2﹣1＝1， ∵0＜1＜3， ∴y2＜y3＜y1． 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+a与二次函数y＝ax2﹣a（a为常数，且a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数与二次函数的图象与性质逐一判断即可． 【解答】解：A、根据图象可得一次函数y＝﹣x+a中a＞0，由此判断需经过第一、二、四象限，不符合题意；二次函数y＝ax2﹣a中a＜0，﹣a＞0，不符合题意； B、根据图象可得一次函数y＝﹣x+a中a＞0，经过第一、二、四象限；二次函数y＝ax2﹣a中a＜0，﹣a＞0，不符合题意； C、根据图象可得一次函数y＝﹣x+a中a＜0，经过第二、三、四象限；二次函数y＝ax2﹣a中a＞0，﹣a＜0，不符合题意； D、根据图象可得一次函数y＝﹣x+a中a＞0，经过第一、二、四象限；二次函数y＝ax2﹣a中a＞0，﹣a＜0，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的图象与性质，掌握一次函数与二次函数的图象与性质是解题的关键． 8．某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年第一季度新产品的研发资金y（万元）关于x的函数关系式为（　　） A．y＝9（1+x）3 B．y＝9+9x+9x2 C．y＝9+9（1+x）+9（1+x）2 D．y＝9（1+x）2 【分析】根据该厂今年一月份新产品的研发资金及以后每月新产品的研发资金与上月相比的增长率，可得出该厂今年二月份、三月份新产品的研发资金，将该厂今年一、二、三月份新产品的研发资金相加，即可得出y关于x的函数关系式． 【解答】解：∵该厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x， ∴该厂今年二月份新产品的研发资金为9（1+x）万元，三月份新产品的研发资金为9（1+x）2万元． 根据题意得：y＝9+9（1+x）+9（1+x）2． 故选：C． 【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键． 9．如图，A、B分别为y＝2（x﹣2）2﹣1图象上的两点，且直线AB垂直于y轴，若AB＝2，则点B的纵坐标为（　　） A． B．1 C．2 D．7 【分析】根据抛物线的对称性可知B点的横坐标为3，代入抛物线解析式可求B点的纵坐标． 【解答】解：∵y＝2（x﹣2）2﹣1， ∴对称轴为直线x＝2， ∵直线AB垂直于y轴，若AB＝2， ∴由抛物线的对称性可知，B点横坐标为3， 当x＝3时，y＝2（x﹣2）2﹣1＝2（3﹣2）2﹣1＝1， ∴B点的纵坐标为1． 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线的对称性与点的坐标的关系，关键是根据对称性求B点的横坐标． 10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1）．其中正确结论的有（　　） A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤ 【分析】依据题意，由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①∵对称轴在y轴的右侧， ∴ab＜0， 由图象可知：c＞0， ∴abc＜0， 故①不正确； ②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∴b﹣a＞c， 故②正确； ③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0， 故③正确； ④∵对称轴是直线x1， ∴b＝﹣2a， ∵a﹣b+c＜0， ∴a+2a+c＜0， 3a＜﹣c， 故④不正确； ⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c， 而当x＝m时，y＝am2+bm+c， 所以a+b+c＞am2+bm+c（m≠1）， 故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b）， 故⑤正确． 故②③⑤正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键． 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11．写出经过点（0，0），（﹣2，0）的一个二次函数的解析式y＝x2+2x（答案不唯一）　 （写一个即可） 【分析】设此二次函数的解析式为y＝ax（x+2），令a＝1即可． 【解答】解：∵抛物线过点（0，0），（﹣2，0）， ∴可设此二次函数的解析式为y＝ax（x+2）， 把a＝1代入，得y＝x2+2x． 故答案为y＝x2+2x（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，此题属开放性题目，答案不唯一． 12．已知A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝x2+c上的两点，若x1+x2＞0且x1＞x2，则y1　＞　 y2．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【分析】根据点在抛物线上得到y1与y2的表达式，对y1和y2作差，结合已知条件x1+x2＞0和x1＞x2判断差的符号，即可比较y1和y2的大小． 【解答】解：由题意可得：，， ∴， ∵x1＞x2， ∴x1﹣x2＞0， 又∵x1+x2＞0， ∴（x1﹣x2）（x1+x2）＞0，即y1﹣y2＞0， ∴y1＞y2． 故答案为：＞． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，正确记忆相关知识点是解题关键． 13．如图，在同一平面直角坐标系中，作出二次函数①y＝3x2；②；③y＝x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是　①③②　 ．（填序号） 【分析】抛物线的形状与|a|有关，根据|a|的大小即可确定抛物线的开口的宽窄． 【解答】解：①y＝3x2，②yx2，③y＝x2中，二次项系数a分别为3、、1， ∵3＞1， ∴抛物线②yx2的开口最宽，抛物线①y＝3x2的开口最窄． 故答案为：①③②． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，抛物线的开口大小由|a|决定，|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽． 14．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，2）两点，则关于x的不等式ax2+bx+c≤kx+m的解集是x≤﹣3或x≥0　 ． 【分析】比较两图象的位置关系得出答案即可． 【解答】解：观察图象可知不等式ax2+bx+c≤kx+m的解集是x≤﹣3或x≥0． 故答案为：x≤﹣3或x≥0． 【点睛】本题考查二次函数与不等式（组），解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 15．投壶是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏．顾名思义，投壶就是由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分的游戏，其中箭头的运动轨迹可以看作一条抛物线．如图是小西在投壶时，箭头行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系图象，投出时箭头距地面的高度OA为，当箭头行进的水平距离为1m时，箭头行进至最高点处．已知BC是壶的最左侧（厚度忽略不计，可看作垂直于x轴的线段），且OB＝3m．若小西投壶恰好投中，则BC的长为　0.3　 m． 【分析】用待定系数法求出二次函数解析式，再令x＝3求出y的值即可． 【解答】解：由题意知，抛物线的顶点坐标为（1，），A（0，）， 设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2， 把点A坐标代入解析式得：a（0﹣1）2， 解得a， ∴抛物线解析式为y（x﹣1）2， 当x＝3时，y40.3， ∴小西投壶恰好投中，则BC的长0.3米， 故答案为：0.3． 【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是求出二次函数解析式． 16．对于一个函数，当自变量x取n时，其函数值y等于3n，我们称n为这个函数的“三倍数”．若二次函数y＝x2+7x+2c有且只有一个“三倍数”，则c的值为 　2　 ． 【分析】先设二次函数y＝x2+7x+2c的三倍点为（m，3m），然后即可得到方程m2+4m+2c＝0，再根据二次函数y＝x2+7x+2c有且只有一个“三倍数”，可知方程m2+4m+2c＝0有两个相等的实数根，从而可以求得c的值． 【解答】解：设二次函数y＝x2+7x+2c的三倍点为（m，3m）， 则3m＝m2+7m+2c， ∴m2+7m+2c﹣3m＝0， ∴m2+4m+2c＝0， ∵二次函数y＝x2+7x+2c有且只有一个“三倍数”， ∴Δ＝42﹣4×1×2c＝0， 解得c＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数的性质、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数与方程的关系解答． 三．解答题（共6小题，共66分） 17．（8分）二次函数y＝ax2+c（a≠0）的图象经过点A（1，﹣6），B（3，10）． （1）求二次函数的解析式． （2）求二次函数图象与y轴x轴的交点坐标． （3）若一次函数y＝4x﹣2与二次函数有交点，当一次函数的值大于二次函数的值时，求自变量x的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法，即可求解； （2）令x＝0，求得y的值即可得二次函数图象与y轴的交点坐标；令y＝0，求得x的值，即可得二次函数图象与x轴的交点坐标； （3）求得一次函数y＝4x﹣2与二次函数的交点为（﹣1，﹣6），（3，10），根据图象上点的坐标特征，即可得到结论． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+c（a≠0）的图象经过点A（1，﹣6），B（3，10）， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为y＝2x2﹣8； （2）令x＝0，则y＝2x2﹣8＝﹣8， ∴二次函数y＝2x2﹣8的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣8）； 令y＝0，则2x2﹣8＝0，解得x＝±2， ∴二次函数y＝2x2﹣8的图象与x轴的交点坐标为（2，0），（﹣2，0）； （3）由，解得或， ∴一次函数y＝4x﹣2与二次函数的交点为（﹣1，﹣6），（3，10）， ∴抛物线开口向上， ∴当一次函数的值大于二次函数的值时，自变量x的取值范围是﹣1＜x＜3． 【点睛】本题主要考查了待定系数法确定抛物线的解析式，二次函数图象上点的坐标的特征，利用待定系数法确定函数的解析式是解题的关键． 18．（10分）已知抛物线y＝x2﹣2x+2上有A（2，m），B（4，n）两点． （1）判断点（3，4）是否在该抛物线上，写出判断过程； （2）判断m和n的大小关系，并说明理由． 【分析】（1）代入x＝3，求出y值，再将其与4比较后，即可得出结论； （2）由抛物线的解析式，可得出抛物线开口向上且对称轴为直线x＝1，利用二次函数的性质，可得出当x≥1时，y随x的增大而增大，再结合2＜4，即可得出m＜n． 【解答】解：（1）当x＝3时，y＝32﹣2×3+2＝5，5≠4， ∴点（3，4）不在该抛物线上； （2）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴当x≥1时，y随x的增大而增大， 又∵抛物线y＝x2﹣2x+2上有A（2，m），B（4，n）两点，且2＜4， ∴m＜n． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）代入x＝3，求出y值；（2）利用二次函数的性质，找出当x≥1时，y随x的增大而增大． 19．（10分）如图，利用135°的墙角修建一个梯形ABCD的储料场，其中AD∥BC，且∠C＝90°．如果新建墙BCD总长15m． （1）设储料场面积为Sm2，DC的长为xm，则BC的长为　（15﹣x）　 m，AD的长为　（15﹣2x）　 m，S与x的函数关系式　　 ． （2）当x取何值时，才能使储料场的面积最大？ 【分析】（1）根据线段的和差关系求出BC，过A作AH⊥BC于H，证明四边形AHCD是矩形，得出AD＝HC，AH＝DC＝xm，求出∠ABH＝∠BAH＝45°，根据等角对等边得出BH＝AH＝xm，再根据线段的和差关系求出HC，最后根据梯形的面积公式求解即可； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）利用135°的墙角修建一个梯形ABCD的储料场，其中AD∥BC，且∠C＝90°．如果新建墙BCD总长15m．BC的长为（15﹣x）m， 过A作AH⊥BC于H， ∵AD∥BC， ∴AH⊥AD， 又∠C＝90°， ∴四边形AHCD是矩形， ∴AD＝HC，AH＝DC＝xm， ∵∠BAD＝135°， ∴∠BAH＝∠BAD﹣∠DAH＝45°， ∴∠ABH＝45°＝∠BAH， ∴BH＝AH＝xm， ∴AD＝HC＝BC﹣BH＝（15﹣2x）m， ∴， 故答案为：（15﹣x），（15﹣2x），； （2）由（1）可知：， ∵抛物线开口向下， 抛物线的对称轴为直线， ∴当x＝5时，储料场的面积最大． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是正确进行计算． 20．（12分）已知抛物线y＝x2﹣（m+2）x+2m﹣1． （1）求证：不论m取何值，该抛物线与x轴总有两个公共点； （2）若该抛物线与y轴交于点（0，3），求当y＞0时，x的取值范围． 【分析】（1）先根据根的判别式的值，再利用非负数的性质判断Δ＞0，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）先把已知点的坐标代入y＝x2﹣（m+2）x+2m﹣1中求出m得到抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3，再解方程x2﹣4x+3＝0得抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0），然后写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（m+2）]2﹣4（2m﹣1） ＝m2﹣4m+8 ＝（m﹣2）2+4， ∵（m﹣2）2≥0， ∴（m﹣2）2+4＞0，即Δ＞0， ∴不论m取何值，该抛物线与x轴总有两个公共点； （2）解：把（0，3）代入y＝x2﹣（m+2）x+2m﹣1得2m﹣1＝3， 解得m＝2， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3， 解方程x2﹣4x+3＝0得x1＝1，x2＝3， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）， ∵抛物线开口向上， ∴当y＞0时，x的取值范围为x＜1或x＞3． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征． 21．（14分）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/件） 60 65 70 销售量y（件） 1400 1300 1200 （1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围） （2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？ （3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？ 【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以得到y与x之间的函数表达式； （2）根据题意，可以得到相应的方程，从而可以得到如何给这种衬衫定价，可以给客户最大优惠； （3）根据题意，可以得到w与x之间的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可得到售价定为多少元可获得最大利润，最大利润是多少． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b， ， 解得，， 即y与x之间的函数表达式是y＝﹣20x+2600； （2）（x﹣50）（﹣20x+2600）＝24000， 解得，x1＝70，x2＝110， ∵尽量给客户优惠， ∴这种衬衫定价为70元； （3）由题意可得， w＝（x﹣50）（﹣20x+2600）＝﹣20（x﹣90）2+32000， ∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，每件售价不低于进货价， ∴50≤x，（x﹣50）÷50≤30%， 解得，50≤x≤65， ∴当x＝65时，w取得最大值，此时w＝19500， 答：售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元． 【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答． 22．（14分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B． （1）若直线y＝mx+n经过B，C两点，求直线BC解析式； （2）在抛物线的对称轴为直线x＝﹣1上找一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标； （3）设P为对称轴为直线x＝﹣1上的一个动点，直接写出△BPC为直角三角形的点P的坐标． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）设直线BC与对称轴为直线x＝﹣1的交点为M，根据轴对称性质可知MA＝MB，由此可知MA+MC＝MB+MC，即MB+MC最小时MA+MC的值最小，进而求解； （3）分点B为直角顶点、点C为直角顶点、P为直角顶点三种情况，利用勾股定理列方程求解即可． 【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0）， ∴B（﹣3，0）， 直线y＝mx+n经过B，C两点，把B（﹣3，0），C（0，3）代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为y＝x+3； （2）设直线BC与对称轴直线x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC＝MB+MC的值最小， 把x＝﹣1代入直线y＝x+3得：y＝2， 故M（﹣1，2）， ∴当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）； （3）△BPC为直角三角形的点P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或或．理由如下： 设P（﹣1，t）， ∵B（﹣3，0），C（0，3）， ∴BC2＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝4+t2，PC2＝（t﹣3）2+1， 若点B为直角顶点时，则BC2+PB2＝PC2， 即18+4+t2＝（t﹣3）2+1， 解得：t＝﹣2； 若点C为直角顶点时，则BC2+PC2＝PB2， 即18+（t﹣3）2+1＝4+t2， 解得：t＝4， 若P为直角顶点时，则PB2+PC2＝BC2， ∴4+t2+（t﹣3）2+1＝18， 解得：， 综上所述，点P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的图象与性质，一次函数的性质，直角三角形的性质，点的对称性等，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26章二次函数基础诊断卷（A卷） （时间:90分钟 满分120分） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选项中只有一个选项符合题意） 1．下列函数中，是关于x的二次函数的是（　　） A．y＝x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C． D．y＝﹣x（x+3） 2．抛物线y＝3（x+1）2+2的顶点坐标为（　　） A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（1，2） D．（2，1） 3．若抛物线y＝ax2+2x﹣10的对称轴是直线x＝2，则a的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣0.5 D．0.5 4．小明用GGB探索方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x＝﹣3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（　　） A．2.4 B．2.6 C．1.4 D．1.6 5．二次函数y＝﹣（x﹣1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y＝﹣（x﹣2）2+3的图象（　　） A．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 B．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 6．若点A（﹣1，y1），B（0，y2），C（1，y3）都在二次函数y＝2x2﹣x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1 7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+a与二次函数y＝ax2﹣a（a为常数，且a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年第一季度新产品的研发资金y（万元）关于x的函数关系式为（　　） A．y＝9（1+x）3 B．y＝9+9x+9x2 C．y＝9+9（1+x）+9（1+x）2 D．y＝9（1+x）2 9．如图，A、B分别为y＝2（x﹣2）2﹣1图象上的两点，且直线AB垂直于y轴，若AB＝2，则点B的纵坐标为（　　） A． B．1 C．2 D．7 10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1）．其中正确结论的有（　　） A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤ 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11．写出经过点（0，0），（﹣2，0）的一个二次函数的解析式　 　 （写一个即可） 12．已知A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝x2+c上的两点，若x1+x2＞0且x1＞x2，则y1　 　 y2．（填“＞”、“＜”或“＝”） 13．如图，在同一平面直角坐标系中，作出二次函数①y＝3x2；②；③y＝x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是　 　 ．（填序号） 14．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，2）两点，则关于x的不等式ax2+bx+c≤kx+m的解集是　 　 ． 15．投壶是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏．顾名思义，投壶就是由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分的游戏，其中箭头的运动轨迹可以看作一条抛物线．如图是小西在投壶时，箭头行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系图象，投出时箭头距地面的高度OA为，当箭头行进的水平距离为1m时，箭头行进至最高点处．已知BC是壶的最左侧（厚度忽略不计，可看作垂直于x轴的线段），且OB＝3m．若小西投壶恰好投中，则BC的长为　 　 m． 16．对于一个函数，当自变量x取n时，其函数值y等于3n，我们称n为这个函数的“三倍数”．若二次函数y＝x2+7x+2c有且只有一个“三倍数”，则c的值为 　 　 ． 三．解答题（共6小题，共66分） 17．（8分）二次函数y＝ax2+c（a≠0）的图象经过点A（1，﹣6），B（3，10）． （1）求二次函数的解析式． （2）求二次函数图象与y轴x轴的交点坐标． （3）若一次函数y＝4x﹣2与二次函数有交点，当一次函数的值大于二次函数的值时，求自变量x的取值范围． 18．（10分）已知抛物线y＝x2﹣2x+2上有A（2，m），B（4，n）两点． （1）判断点（3，4）是否在该抛物线上，写出判断过程； （2）判断m和n的大小关系，并说明理由． 19．（10分）如图，利用135°的墙角修建一个梯形ABCD的储料场，其中AD∥BC，且∠C＝90°．如果新建墙BCD总长15m． （1）设储料场面积为Sm2，DC的长为xm，则BC的长为　 　 m，AD的长为　 　 m，S与x的函数关系式　 　 ． （2）当x取何值时，才能使储料场的面积最大？ 20．（12分）已知抛物线y＝x2﹣（m+2）x+2m﹣1． （1）求证：不论m取何值，该抛物线与x轴总有两个公共点； （2）若该抛物线与y轴交于点（0，3），求当y＞0时，x的取值范围． 21．（14分）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/件） 60 65 70 销售量y（件） 1400 1300 1200 （1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围） （2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？ （3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？ 22．（14分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B． （1）若直线y＝mx+n经过B，C两点，求直线BC解析式； （2）在抛物线的对称轴为直线x＝﹣1上找一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标； （3）设P为对称轴为直线x＝﹣1上的一个动点，直接写出△BPC为直角三角形的点P的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $