精品解析：山东省东营市2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

2025－2026学年第二学期期末考试八年级数学试题 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 无理数的倒数是（　　） A. B. C. D. 2 2. 下列各式中，一定能成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 如图，，若，，，则的长为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 5. 已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为的黄金分割点，若，则长为（ ）． A. B. C. D. 7. 根据下列表格的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）一个解的范围是（ ） x 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.07 A. B. C. D. 8. 已知三个点在反比例函数的图象上，其中，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 10. 如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，其中∠ABC＝∠AED＝90°，CD与BE、AE分别交于点P、M．对于下列结论：①△CAM∽△DEM；②CD＝BE；③MP·MD＝MA·ME；④2CB2＝CP·CM．其中正确的是 ( ) A. ①② B. ①②③ C. ①②③④ D. ①③④ 二、填空题：本大题共8小题，其中11－14题每小题3分，15－18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果． 11. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是______． 12. 已知，则___________． 13. 关于x的一元二次方程的两根是、，若，则m= _____． 14. 已知，则______________． 15. 通信信号塔的总功率保持不变的情况下，信号强度（单位：）与距离（单位：）是反比例函数关系．其图象如图所示，若小秦同学在距离该通信信号塔处时，信号强度为______． 16. 如图，矩形的边在的边上，点在边上，点在边上，的面积是，的面积是，则的值为_____． 17. 如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，位似比为，，，若，则点的坐标为________． 18. 如图，直线交双曲线于点，过点作，交x轴于点；过点作，交双曲线于点，过点作，交x轴于点；……依次作下去，得到等腰直角三角形、、、……、，且点、、……都在双曲线的图象上，斜边、、、……、都在x轴上，则点的坐标为______． 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算与解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）设p是方程的一个实数根，且满足，求m的值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数的表达式： （2）点是轴上一点，若的面积为6，求点的坐标． （3）当时，直接写出的取值范围； 22. 【阅读理解】 爱思考的小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，． ，即． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：______； （2）计算：； （3）若，求的值． 23. 某大型果品批发商场经销一种高档坚果，原价每千克元，连续两次降价后每千克元． （1）若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）若该坚果每千克盈利元，每天可售出千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价元，日销售量将减少千克．现该商场要保证销售该坚果每天盈利元，且尽可能减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 24. 项目学习项目背景：某数学兴趣小组在太原市湿地公园围绕“利用相似三角形测高”开展项目性综合实践活动，形成了如下活动报告． 项目主题 利用相似三角形测高 活动过程 1．设计说明： ①是简易工具房前的一面围墙； ②是阳光恰好从围墙最高点经过窗户点处射到地面的光线； ③是阳光恰好从围墙最高点经过窗户点处射到地面的光线； ④为窗高．为窗户到地面的高度，点在同一条直线上，且． 2．数据测量：米，米，米，米． 3．计算…… 反思交流 ．．．．．． 请根据表中提供的信息，求围墙的高度． 25. 综合与探究 问题情境： 如图1，已知正方形外有一动点，是等腰直角三角形，，连接，，请探究，的位置关系． 问题解决： （1）请直接写出，的位置关系 ． （2）如图2，将图1中的正方形变为矩形，等腰直角三角形变为，其中，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 拓展探究： （3）在（2）中，若，，，将绕点逆时针旋转，使，，三点在同一条直线上，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第二学期期末考试八年级数学试题 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 无理数的倒数是（　　） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用倒数的定义分析和二次根式的化简即可得出答案；相乘为1的两个数即为倒数； 【详解】解：无理数 的倒数是： ＝ ． 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的化简、倒数的定义，正确化简二次根式是解题的关键； 2. 下列各式中，一定能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别利用二次根式的性质化简判断即可． 【详解】解：A. ，选项正确，符合题意； B. ，选项错误，不符合题意； C. ，选项错误，不符合题意； D. 当时，原式，选项错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．需注意二次根式的双重非负性，，． 3. 若关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，理解一元二次方程根的意义是解题的关键．能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，将已知根代入方程即可求出m的值. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为1， ∴将代入方程得：， 即， 整理得：， 解得：， 故选：A． 4. 如图，，若，，，则的长为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴，即， 解得． 5. 已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分和两种情况，进行讨论，判断即可. 【详解】解：当时，则，则双曲线过一、三象限， ∵，，则直线过一、二、四象限； 当时，则，则双曲线过二、四象限， ∵，，则直线过一、二、三象限； 观察可知，只有选项C的图象符合题意. 6. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为的黄金分割点，若，则长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割中的比例关系是解题的关键． 根据黄金分割点的定义，列出比例式，进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 7. 根据下列表格的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）一个解的范围是（ ） x 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.07 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用，，而，，则可判断方程，，，为常数）的一个解的范围是． 【详解】解：，， ，， 时，， 即方程，，，为常数）的一个解的范围是． 故选：C． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解． 8. 已知三个点在反比例函数的图象上，其中，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在象限，再根据题意即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小； ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 9. 在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，反比例函数，根据相似求出点A的坐标是解题的关键． 过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D，证明，根据相似三角形对应边长成比例求出点A的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D， 直角三角板中， ， 轴， ， 直角三角板中， ， ， 又， ， ， 点B坐标为， ，， ，， 点A坐标为， 点A在反比例函数的图像上， ， 故选：C． 10. 如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，其中∠ABC＝∠AED＝90°，CD与BE、AE分别交于点P、M．对于下列结论：①△CAM∽△DEM；②CD＝BE；③MP·MD＝MA·ME；④2CB2＝CP·CM．其中正确的是 ( ) A. ①② B. ①②③ C. ①②③④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】①根据两个三角形的两角相等证明相似三角形； ②根据两个三角形的两边比值相等证明△BAE∽△CAD即可的CD与BE的比值； ③根据△BAE∽△CAD，得∠BEA=∠CDA，再根据△PME∽△AMD， 得MPMD=MAME； ④根据△PME∽△AMD ，得∠MPE=∠MAD=45°，再根据MPMD=MAME得△PMA∽△EMD，又因为∠APC=∠MAC=90°，∠ACP=∠MCA，所以△APC∽△MAC，则AC2=MCPC，再根据AC=BC，得2CB2=CPCM. 【详解】①在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，∠CAB=∠EAD=45°， 所以∠CAM=90°， 又因为∠CMA=∠DME（对顶角），∠AED=∠CAM=90°， 所以△CAM∽△DEM，故①正确. ②在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，∠CAB=∠EAD=45°，AC=AB，AD=AE， 所以∠CAB+∠CAE=∠EAD+∠CAE，即∠BAE=∠CAD， 又因为=，所以△BAE∽△CAD. 则CD=BE，故②正确. ③由②中△BAE∽△CAD，得∠BEA=∠CDA， 又因为∠BEA=∠AMD，所以△PME∽△AMD， 所以=，即MPMD=MAME，故③正确. ④，由③中△PME∽△AMD ，得∠MPE=∠MAD=45°， 因为MPMD=MAME，所以=，所以△PMA∽△EMD， 所以∠APM=∠DEM=90°， 因为∠APC=∠MAC=90°，∠ACP=∠MCA， 所以△APC∽△MAC， 所以=，即AC2=MCPC， 又因为AC=BC， 所以2CB2=CPCM，故④正确. 故答案选C. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的性质与运用. 二、填空题：本大题共8小题，其中11－14题每小题3分，15－18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果． 11. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由反比例函数的图象位于第二、四象限得到，然后求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， 解得． 12. 已知，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】先把运用完全平方公式展开，再结合，得出，算出，最后代入计算，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵ ∴ 解得 ∴． 13. 关于x的一元二次方程的两根是、，若，则m= _____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系得，，则，然后解方程即可． 【详解】根据根与系数的关系得：，， ∴ 解得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数关系表达式，并会熟练计算． 14. 已知，则______________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0，据此可求出x的值，进而求出y的值，再代入求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：8． 15. 通信信号塔的总功率保持不变的情况下，信号强度（单位：）与距离（单位：）是反比例函数关系．其图象如图所示，若小秦同学在距离该通信信号塔处时，信号强度为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出反比例函数的解析式，再计算出时，的值． 【详解】解：设， 将点代入，得， ∴， 将代入，得． 16. 如图，矩形的边在的边上，点在边上，点在边上，的面积是，的面积是，则的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】由得，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求解． 本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是由平行线得到相似三角形，利用相利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出相似比． 【详解】解：∵矩形的边在的边上， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴整理得2， ∴的值是2， 故答案为：2． 17. 如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，位似比为，，，若，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】作于E，根据等腰三角形的性质求出，利用直角三角形的性质与等腰三角形的性质可求出点A的坐标，最后利用以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或即可求出点C的坐标． 【详解】解：作于E， ． ，，， ，． 与是以坐标原点为位似中心的位似图形， ，． ，． ． ，解得． 点A的坐标为． 与是以坐标原点为位似中心的位似图形，位似比为， 点C的坐标为，即． 18. 如图，直线交双曲线于点，过点作，交x轴于点；过点作，交双曲线于点，过点作，交x轴于点；……依次作下去，得到等腰直角三角形、、、……、，且点、、……都在双曲线的图象上，斜边、、、……、都在x轴上，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知，，，，，设，则，求出的值，表示出的坐标，设，则，求出的值，表示出的坐标， 设，则，求出的值，表示出的坐标，同理求出，的坐标，推导出一般性规律，进而可得答案． 【详解】解：由题意知，，，，，设，则， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴； 设，则， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴； 设，则， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴； 同理，可得， ∴可推导一般性规律为，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，等腰直角三角形的判定与性质，点坐标的规律探究等知识．解题的关键在于推导一般性规律． 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算与解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3）， （4）， 【解析】 【分析】（1）原式化简后，再合并同类二次根式即可； （2）原式根据平方差公式和完全平方公式将括号展开，再计算即可； （3）运用因式分解法解答即可； （4）运用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ， ，， 解得：， 【小问4详解】 解：， ， ， ， 解得：，． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）设p是方程的一个实数根，且满足，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由一元二次方程根的判别式计算即可得出结果； （2）将代入方程得，整理得出，再代入，计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵方程是一元二次方程，且有两个实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵p是方程的一个实数根， ∴将代入方程得：， 变形得， 将其代入得：， 解得：，， ∵， ∴． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数的表达式： （2）点是轴上一点，若的面积为6，求点的坐标． （3）当时，直接写出的取值范围； 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，得到； （2）设，则，过点P作于点F，根据勾股定理，得，结合三角形的面积得，求解即可； （3）根据交点的横坐标，求解即可． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． ， 故， 反比例函数的图象经过点， ， 解得， ； 【小问2详解】 解：根据题意，得， 整理，得， ， 解得， 当时，， ． ， 设直线与x轴的交点为E，与y轴的交点为D， 当时，；当时，； 则，， ， ， 设，则， 过点P作于点F， ， ， 根据勾股定理，得， ， ， 的面积为6， ， ， 或， 解得或， 故，． 【小问3详解】 解：，， 故不等式的解集为：或． 22. 【阅读理解】 爱思考的小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，． ，即． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：______； （2）计算：； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题参照例题方法，利用分母有理化、裂项相消和整体代入思想解题． （1）利用平方差公式对原式进行分母有理化即可得到结果； （2）先对每一项进行分母有理化，再通过裂项相消合并计算得到结果； （3）先将分母有理化，再变形得到的值，整体代入所求代数式计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：对原式中每一项分母有理化，可得， 原式 【小问3详解】 解：， ， 两边平方得，即， 整理得 代入得． 23. 某大型果品批发商场经销一种高档坚果，原价每千克元，连续两次降价后每千克元． （1）若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）若该坚果每千克盈利元，每天可售出千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价元，日销售量将减少千克．现该商场要保证销售该坚果每天盈利元，且尽可能减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（）设每次降价的百分率为，为两次降价的百分率，降至就是方程的平衡条件，列出方程求解即可； （）根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为，则 ∴，（不符合题意，舍去）， 答：每次下降的百分率为． 【小问2详解】 解：设每千克应涨价元，则 ∴ ∵要求尽可能减少库存：涨价越少，日销售量越大，剩余库存越少， ∴选择较小的涨价幅度， 答：每千克应涨价元． 24. 项目学习项目背景：某数学兴趣小组在太原市湿地公园围绕“利用相似三角形测高”开展项目性综合实践活动，形成了如下活动报告． 项目主题 利用相似三角形测高 活动过程 1．设计说明： ①是简易工具房前的一面围墙； ②是阳光恰好从围墙最高点经过窗户点处射到地面的光线； ③是阳光恰好从围墙最高点经过窗户点处射到地面的光线； ④为窗高．为窗户到地面的高度，点在同一条直线上，且． 2．数据测量：米，米，米，米． 3．计算…… 反思交流 ．．．．．． 请根据表中提供的信息，求围墙的高度． 【答案】围墙的高为米 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解答的关键． 证明，，利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴围墙的高为米． 25. 综合与探究 问题情境： 如图1，已知正方形外有一动点，是等腰直角三角形，，连接，，请探究，的位置关系． 问题解决： （1）请直接写出，的位置关系 ． （2）如图2，将图1中的正方形变为矩形，等腰直角三角形变为，其中，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 拓展探究： （3）在（2）中，若，，，将绕点逆时针旋转，使，，三点在同一条直线上，请直接写出的长． 【答案】（1）； （2）成立，理由如下： 如图，设与，的交点分别为点，， 四边形为矩形， ， ， ，即， 又， ， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练利用上述性质是解题的关键． （1）证明，即可解答； （2）证明，即可解答； （3）同（2）原理可得，利用勾股定理列方程，即可解答． 【详解】解：（1）如图，四边形为正方形， ， 是等腰直角三角形， ，， ，即， 在与中， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）略 （3）如图，当点，，在同一条直线上时，连接， 四边形为矩形， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， 同（2）可得， ， ， 由（2）可知， ，即， 解得或（舍去）， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $