第2章 一元二次函数、方程和不等式章末综合提升-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

数学必修第一册 3.已知不等式a.x2+bx十c>0的解集为{x|-2<:5.某小区内有一个矩形花坛 x<1},那么不等式cx2一ax+b>0的解集为 ABCD,现将这一矩形花坛 D 拆建成一个更大的矩形花 A. 坛AMPN,要求点B在AM B M 上，点D在AN上，且对角线MN过点C,如图 B{K-或x> 所示.已知AB=3m,AD=2m. 要使矩形AMPN的面积大于32m2,则DN的 c{知 长应在什么范围内？ D{-1或心2} 4.某商品在最近30天内的价格y1与时间1（单 位：天)的关系式是y1=t+10(0<t≤30，t∈ N);销售量y2与时间t的关系式是y2=一t十 35(0<t≤30，t∈N),则使这种商品日销售金额 之不小于500元的t的取值范围为 温馨提示 请做课时分层检测（十三） 章末综合提升 【知识网络构建】 比较两个实数大小的依据 等式 a>b→b<a 性质 等式的性质 a>b,b>c→a>c 等式 a>b→a+c>b+c 性 不等式的性质 a>b,c>0→ac>bc;a>b,c<0→ac<bc a>b,c>d→a+c>b+d a>b>0,c>d>0→ac>bd a>b>0→a>b"(n∈N,n≥2) 基本不等式的 元二次 变式与拓展 +6≥2(a>0,b>0) a+b≥2a;ab≤+b+ 若a+b=S(定值)，则当a= 数 基本不等式 ab≤a+b 最值定理 b时，ab取得最大值S2 求最值的常用方法」 (a>0,b>0) 若ab=P(定值)，则当a=b (a>0,b>0) 时，a+b取得最小值2P 不等 求实际应用问题的最值 基本不等 比较实数的大小 式的应用 证明不等式 元二次不等式的概念 二次函数 四个“二次”（二次函数的零点、一元二次方程的根 与一元二 二次函数的图象、一元二次不等式的解集)之间的关系 次方程、 不等式 元二次不等式的解法厂 ·元二次不等式在实际中的应用 36 第二章一元二次函数、方程和不等式 要点聚焦·类型突破◆ 题型一不等式的性质及应用 :2.若实数x,y满足x2+4y2=1,则xy的最大 1.如果a,b,c满足c<b<a且ac<0,那么下列选 值是 ( 项中不一定成立的是 ( 1 A.ab-ac B.c(b-a)>0 A.2 R C.cb2<ab2 D.ac(a-c)<0 c号 n号 2.已知实数0<a<1,则以下不等关系正确的是 ( ) 3.已知正实数a,b满足a十b=1,则 A.a2>1>a>-aB.a>a2>1>-a 3+01+8 的最小值为 C.d>d>a'z-a D.i>a>a>-a A.14+4√6 B.25 C.24 D.12√3 3.(多选)已知a,b,c,d均为实数，则下列命题正 确的是 ( 4.已知正实数x,y满足x十4y-xy=0,若x 十y≥m恒成立，则实数m的取值范围为 A.若a>b,c>d,则ac>bd ( R若ob>0.6c-aP0.则后-号>0 A.{m0<m<9》 B.{ml0≤m≤9y C.若a>b,c>d,则a-d>b-c C.{mlm<9》 D.{mm≤9} D.若a>6c>d0,则号>名 /题型技法/ 利用基本不等式求最值的关注点 4.若1≤a≤5，-1≤b≤2，则a-b的取值范围为 (1)注意寻求已知条件与目标函数之间的 联系 /题型技法/ (2)利用添项和拆项的配凑方法，使积（或和） 不等式性质的应用方法 产生定值.特别注意“1”的代换 (1)作差法比较大小的关键是对差式进行变 形，变形的方法一般是通分、分解因式、配 题型三一元二次不等式的解法 方等 1.已知不等式a.x2+bx+2>0的解集是 (2)不等式真假的判断，要依靠其适用范围 {-<<号}则a的值等于（ 和条件来确定，举反例是判断命题为假的一 A.-14 B.-10 个好方法，用特例法验证时要注意，适合的 C.10 D.14 不一定对，不适合的一定错，故特例只能否 2.已知不等式(a2-9)x2+(a+3)x-1≥0的解 定选择项 集是空集，则实数a的范围为 () 题型二基本不等式及应用 1.已知实数x,y满足x>y>0,且x+y=2,则 A. -3a} 一十1一的最小值为 x+3y x-y B.a -3a<号} A.3+2√2 B.3+22 4 c{a-3a≤} C.3-2√2 D.3-22 4 D.a -3<a<号或a=3} 37 数学必修第一册 3.若不等式ax2十5.x一2>0的解集是：2.某厂经调查测算，某种商品原来每件售价为 {2<以 25元，年销售量8万件， (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将 (1)求a的值； 相应减少2000件，要使销售的总收入不低于 (2求不等式片>a十5的解集. 原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量， 公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营 销策略改革，并将定价提高到x元.公司拟投入 6(2一600)万元作为技改费用，投入50万元 作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣 传费用.试问：该商品明年的销售量a至少应达 到多少万件，才可能使明年的销售收入不低于 …/题型技法/… 原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的 (1)对于实数的一元二次不等式（分式不等式） 定价 首先转化为标准形式（二次项系数为正），然后 能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到： 不等式的解集， (2)对于不等式的恒成立问题要考虑二次项的： 系数、判别式及分离参数法， (3)对于含参数的一元二次不等式，若二次项 系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数 进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分 类讨论，分类要不重不漏. 题型四不等式在实际问题中的应用 1.某汽车租赁公司有200辆小汽车.若每辆车一 天的租金为300元，可全部租出；若将出租收费 标准每天提高10x元(1≤x≤50，x∈N*),则 租出的车辆会相应减少4x辆. (1)求该汽车租赁公司每天的收入y(元)关于x: 的关系式； (2)若要使该汽车租赁公司每天的收入超过 63840元，则每辆汽车的出租价格可定为多 少元？ /题型技法/ 解决与不等式有关的实际应用问题的关注点 (1)审题要准，初步建模， (2)设出变量，列出函数关系式. (3)根据题设构造应用不等式的形式并解决问题 38十b1十c=0的两个报，则有合=-1<0 显解集不同；对于C,一3)（十1）>0的解 所以投入成本增加的比例x的取值范圆 b=3>0,又a<0,故b>0,c>0,故 集为{xx>3},故两个解集相同；对于D,i 为{0<<号} B、C正确：由二次函数的图象可知，当x=1 二D0的解条为z>-1且表卷清专入提升技能≤：≤1，B=江0< 一3 时，y=a十b+c>0,故D正确. ≠3}，与x十1>0的解集不同.故远C.] x≤2}，∴A∩B={x0<x≤1}.] 3.B[若关于x的不等式 +<0的2.解 ,不等式ax-b>0的解集是 x十ax十c >}a>0.且a=2 2.B[不等式1移项得 2一x 1≥0，即 解集为{x -1<<-或2<<1} 3 则不等式二>0等价于一L>0. x4 年+ (一2)0，解 则关于x的不等式 cx十i<0可看 x十5 -x十5 0,可化为 ∴.(x-1)(x-5)<0,解得1<x<5. x-2 x-2≠0 成前者不等式中的x用上代替得到的，则典例2不解若m0,显然-1之6恒成 因此原不等式的解集为{x1<x5}. 得 x<2,则原不等式的解集 1 ∈ -1x<- 号<<} 立；若m≠0，则{n0; 1△=n+4n0, 则x∈(x-3<x<-1或1之x<2},故 解得一4n0. 13.D[因为不等式ax2十bx十c>0的解集为 选B. 综上，n的取值范为{n一4n0}. {x一2<x<1},所以a<0,且一2和1是 4明以方程上士9的两根是2 一元二次方程ax2十bx十c=0的两个实 1,所以一b= -2+1= -1,即b=1,c (-2)×1=一2，所以b十c= -1.不等式2+ 家不中兴酵尚不呼剂 根，所以一2十1=一 ,-2X1=￡，即 bx+c>0的解集是{xx<-2或x>1}, ∫n>0, △=n2+4m0, 解得n∈，所以不存在 c=一2a,b=a,所以不等式c.x2-a.x十b>0 不等式x2十b.x十c0的解集是{x一2 x≤1}，所以远项A,B,D正确.」] m∈R,使得Hx∈R,不等式mx2-m.x-1i 可化为一2a.x2一a.x十a>0,因为a0,所以 -10 [设y=a.x2+8(a+1)x+7a+16, 20 2x2+x-1>0,即(2x-1)(x+1)>0,解得 其图象为抛物线，对于任意一个给定的2：2.解由不等式mx2一x一1<0得 值，其抛物线只有在开口向下的情况下才： n(x2x)1, >2或x<-1.] 能满足y≥0，而整数解只有有限个，所以： 因为x∈{x2x3},所以x2-x>0, 4.{t10t15,t∈Ny [z=(t+10)(-t a<0,因为0为其中一个解，所以可以求得！ 35),依题意有(t十10)·(-t+35)≥500， 6 解得10≤≤15，t∈N,所以解集为{t10 a≥ ,又a∈Z,所以a=-2或a=-1, 所以m(x-x)<1可化为m<2 1 I15N 则不等式为一2x2一8x十2≥0和一x2十9 因为x2-x=（x一2) 一4 ≤6， 5.解设DN的长为x(x>0)m, ≥0，可分别求得一2一√x≤√5一2和 1 则AN的长为(x+2)m. 一3≤x≤3，因为x为整数，所以x=一4， 所以2一x 行，所以m<行 因 ANAM,所以AM=3(x+2) DN DC -3,-2,-1,0和x=-3,-2,-1,0,1,2, 3,所以全部不等式的整数解的和为一10.] 即m的取值范是{K言} 所以SE形AwPN=AN·AM=3(x十2) 第二课时一元二次不等式的应用 :对点训练 、A [,2x2一k.x一k>0对于一切实数恒成{ 必备知识·自主梳理 由SE形AwPN>32,得3(x十2 ->32 立，.△=(-k)2-4X2×(-k)=k2+8k (一)(a.x+b)(cx+d)>0(0} ! 0,解得一8k0. 又x>0,得3.x2-20.x+12>0. 即学即练] 1解2原不等式→(x-1)(x-2)<2.解 (1)若m=0,显然-1<0恒成立： m≠0，则m<0； 解得0<<号或x>6, 0,解得1<<2. [≤1,1 △=m2十4n0 4< 即DN的长的取值范围是 2.{xx≥1或x0} 0. 0,{z1)20≥1或<0.] ,∴.n的取值范圆为{m一4<m0}. K号或} (2)y -n十5恒成立， 1x≠0， 章末综合提升 (二)1.a>0 △0a<0△<0 即n(x2一x+1)一6<0恒成立， 题型 「即学即练 11,C[因为c<a,且ac0,所以c<0,a>0 1.{a -2<a<2}[由题意可得△=a2一4< A成立，因为ba,ba0,所以c(b一a) 0,所以-2<a2.] 6 >0,B成立.C不一定成立，当b=0时，cb 2.{mn>1} 「由题意可得△=2一4m<0, <ab不成立.D成立，因为c<a,所以a一c 所以m>1 6 关键能力·合作探究 ,函数y 在 >0,所以ac(a-c)<0.] x-x+1 3 [典例1] 解(1)2x十1 2 2.C[0<a<1,∴.0a21, 1>1,-1 1-x 0→(2x+1)(1一x)i 0, 1≤x≤3时的最小值为7， <-a<0,0<a2<a,因此，1 >a>a2> 不等式等价于(+2)(x-1)>0,解得 小只需m<号即可 -a.故远C. :3.BC[若a>0>b,0>c>d,则ac<bd,故 x>1或x m的取值范国为{mm<号} A错；若ab>0,bc-al>0,则cad>0, ab 故原不等式的解集为{红x>1或<-立} 1 ·「典例37 解(1)降低税率后的税率为！ (10-x)%,农产品的收购量为a(1 化简得￡一4>0，故B对；若c>d,则 (2)因为十 ≤1，所以十1 -10, 2x%)万担，收购总金额为200a(1十2x%)! 一d>一c,又a>b,则a一d>b一c,故C对： 2x- 2.x-3 万元 所以4≤0 依题意得y=200a(1十2.x%)(10一x)% 若a=-1,b=-2,c=2,d=1,则4=b 2.x-3 则(4-x)(2x一3)0且2x≠3. 50a(100+2.x)(10-x)(0<x<10). =一1，故D错.] (2)原计划税收为200a×10%-20a(万元). 4 -1≤a-b≤6 [,-1b2,∴.-2≤-b ∴.(x-4)x- 2)≥0且x≠ 1,又1a5,,.-1a-b6.] 2 从而 或≥4. 依题意得0a(100+2x)(10-x)≥20a×;题型三 1.B[x+y=2 83.2%,化简得x2+40.x一840， 解得42≤x≤2 2x于2y_(x十3v)+(x一2=1， 故原不等式的解集为) 又因为0<x10,所以0r2. 对点训练 即x的取值范固为{x0x2}. x>y>0,∴x-y>0, 1.C[对于A,x2-2x<3的解集为{x-1<对点训练 3},由-2 3 解 1)由题意得 所以，3yy T- y-[12(1+0.75x)-10(1+x)]×10000 x-1 =x+3v)+(x-y2(2 ×(1+0.6x)(0x<1),整理得y= x+3v-v (红十1)(，一3》<0，解集为{x<-1或1< -6000.x2+2000.x+20000(0<x<1). 无一1 3+ 2(x-y)1x十3y1 3},所以解集不同：对于B,x十2-3x+2 1 (2)要保证本年度的年利润比上年度有所} 4 x+3yx-y」 增加，必须有2红0x10000≥0， 74 3+2 /2(x-y).x+3y V 3y I-y <5 x2-3.x+2 →{x<5,.x2-3x十2≠0，明 即60002 1 {0x1, 20>0,解得0<1<3 3+2W2 4 262 当且仅当x十3y=√2(x-y)时，等号成立，：(2)由题意可得-40.x2十800x十60000> 因此3十的最小值为32] 2 63840,即x2-20.x+960,解得8<x12. ②委优品数有老又，只务{一0 因为x∈N,所以x=9或x=10或x= 解得x≥4且x≠5， 2.B「因为实数x,y满足x2十4y2=1,为使！ 11,则300十10.x=390或400或410. .函数的定义域为(xx≥4且x≠5} xy取得最大值，必有x,y同号，因为x2十 故每辆汽车的出租价格可定为390元或： ,2x+3≥0， 400元或410元 4y-1≥2√2·4y=4xy,当且仅当x=:2.解(1)设每件定价为t元， ③要使函数有意义，则2一x>0, (x≠0， I= 2y,即 2, 时，等号成 依题意得(8-气5×0.2）≥25×8，整型 解得-受<<2，且x≠0， 得t一65十1000≤0，解得25≤140，所 y= 4 y= 4 以要使销售的总收入不低于原收入，每件： 故定义城为[-号0）U0,2》. 定价最多为40元， 立，所以xy≤ ,因此xy的最大值 (2)依题意知当x>25时，不等式ax≥25X (2)①f(x十1)的定义域为(2,4)， ,.2<x<4,则3<x十1<5，即f(x)的定义 为子 8+50+ 6(x2-600)+5x成立， 城为(3,5) 学价于>25时≥0+合叶号有解， ②.f(x)的定义域为(3,5)， 3.A(3+日)(1+号) 2 3a+a十b 5 由3<2<5得号<<号， +2a+2b_4a+b.2a+3b 由于150+1 b 6x=10, 8a2+3b2+14ab 即f(2)的定义城为（号，） ab 当且仪当=言，即工=30时等号成立对怎训续 =14+8·+3b 所以a≥10.2. 1.C [要使函数有意义，自变量工的取值必 b ! 故当该商品明年的销售量a至少达到10.2 须满足2二10：解得≥立·即x≥ ≥14+28·3 x2-1≠0， x≠土1， b 价为30元. =14十46.当且仅当8-时取等号.] 1 第三章函数的概念与性质 且x≠1，故选C] 4.D[由于x十4y-xy=0,即x十4y=xy,! 3.1.1函数的概念 2.解(1)要使函数有意义 等式两边同时除以y得4+】 =1,由基必备知识，自主梳理 一1≠0， (一)实数集任意一个数x唯一x 当且仅当 2 本不等式可得x+y=(x+y)fxEA} 千行≥0，解得>-1且x≠1， y·之[即学即练 x十1≠0 3 所以这个函数的定义域为{xx>一1 且x≠1}. +5=9,当且仅当4y=工，即当x=2y时 (2)要使函数有意义，自变量x的取值必须 等号成立.因此m≤9.] .{xx≥1}[只需满足x-1≥0，∴x≥1.] 题型三 3.提示：(1)确定，一一对应. 满足{8：解得≤1且≠-1， 1.C[,不等式a.x2十bx十2>0的解集是 (2)不确定，例如函数的定义域为A一 即函数定义域为{xx1且x≠一1}， { 日<}号是方树 {-1,0,1},值域为B-(0,1},则对应关系：[典例3]解(1)①因为f(x)=2x2+2, f(x)=x2或f(x)=x均可. 所以f(2)=2×22+2=10, .x2十bx十2=0的两个实数根，且a<0. (a,b)La,b)(a,b b 即学即练] f(a+3)-2(a+3)2+2-2a2+12a+20. 2 3 a '解得=-12,1.12 [根据区间的定义，可表示 因为g(x) x+2 2、 1 2 1b=-2, 为{x1x2}, 1 a 2.(0,1)U[2:41 :(三)1.(1)相同相同 ∴.b-a=10,] 所以g(a)十g(0)=a千20十2a+2 [即学即练 2.B[令a2一9=0，解得a=士3. 当4=3时，不等式化为6证-0，解得≥ [对于第一组，定义域不同：对于第三 2 (a≠-2)， 组，对应关系不同；对于第二、四组，定义域 6,不合题意，舍去；当a=-3时，不等式 与对应关系都相同. g(f(2)=(10)=10+2-12 2.D[由表格知，对应的y的值为-一1,0,1， 化为一1≥0，无解，符合题意.当a2一9≠0，！故选D.1 即a≠士3时，因为(a2-9)x+(a十3)·关键能力·合作探究 ②g(f(x)=f)+2= 2x2+2+2 x-1≥0的解集是室集，所以(a一9)x2+典例1了解(1)A中的元素0在B中没有 (a+3)x 1<0恒成立，所以对应元素，故不是集合A到集合B的函数. 2.x2+4 (a2-90, (2)对于集合A中的任意一个整数x,按照 > △=(a十3)2+4(a2-9)<0 对应关系f:→y=x2在集合B中都有唯 (2)设1=√1-3x(≥0)，则x=1一1 3 3<a3, 一3<a<号，解得-3<a<号综上得， 9 个确定的整数x2与其对应，故是集合 A到集合B的函数 所以21与+=-号(-是-） 3 ( (3)集合A中的负整数没有平方根，在集合！ 实数a的取值范周是a -3a<号}月 B中没有对应的元素，故不是集合A到集！ 合B的函数 号[-子)] 3.解(1)依题意，可得方程ax2+5x-2=0; (4)对于集合A中任意一个实数x,按照对 应关系f:x→y=0在集合B中都有唯一 因为20，且-3 <0, 的两个实数根为 2 和2，且a<0. 个确定的数0和它对应，故是集合A到集！ 所以当1是时，y取最大值为引，即 由根与系数的关系，得 22- -2 合B的函数 :对点训练 1.ABD [选项A,B,D中对A中任意实数 +2= 5 x,按给定的对应关系，在集合B中都有！ 解得a=-2. 唯一实数y与之对应，因此远项A,B,D符！ 合函数的定义 所以画教的值城为（一] (2)将a=-2代入不等式，得中2>3， x+1 产中有对点调练 即1女2 之对应，不符合函数的定义 -3>0, 2. [根据题意，依次分析选项.对于A,其对， .C[令日-2，则x=-10,选C] x+1 整理得（2>0，即(z+1)(红+2)<0. 应函数的值域不是N=(y0≤y≤1)，A错2.解(1)（直接法）√≥0， 误：对于B,其对应函数的定义域不是{x x+1 0≤r≤1，B错误；对于C,其对应函数的定： ∴.√x-1≥-1， 解得一2<x< 一1 义城为M=x0x1,值城是N= ∴.y=√-1的值战为[-1，十∞). 则不等式的解集为{x一2<x<一1}. (y0≤y≤1}，C正确；对手D,图象不满足 题型四 个工对应唯一的y,该图象不是函数的图！ (2)(分离常数法)y-2士1-2(x-3)+7 x-3 x-3 1.解(1)由题意可得每辆车一天的租金为 象，D错误.故远C」 故该汽车租贫公司每天的收入v80+典例2) (300十10x)元，租出的车辆为(200一4x)辆， 解(1)①要使函数有意义，只需 =2+7 x3' 10x)(200-4x)=-40x2+800.x十60000(1： {8:解得2一2，品餐的定义盟 x50,x∈N). 为xx≥-2}. 显然30，所以≠2： 故函数的值域为（一∞，2）U(2,十∞). 263