第二章一元二次函数、方程和不等式章末综合测试-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第二章《一元二次函数、方程和不等式》章末综合测试 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B A D B B A D ACD BCD AC 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解析】C 由题意得，解得，即， 则. 2. 若实数a，b满足，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【解析】B 由，， ，故A错； ，故C错； ，故D错； 由不等式的性质易知B正确. 3. 设，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】A 由，解得，由，解得或， 若成立，则或也成立， 反之，若或成立，则不一定成立， ∴“”是“”的充分不必要条件. 4. 若，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．7 【解析】D 因为，所以，故， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为7． 5. 已知且，求的取值范围（    ） A． B． C．或 D．或 【解析】B 设 因为， 所以， 又因为，将与的取值范围相加， 所以， 即. 6. 对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a取值范围（ ） A. B. C. D. 【解析】B 当即时，原不等式可化为，对任意实数恒成立，符合题意； 当时，由二次不等式恒成立可知，， 即，解得， 综上，实数a取值范围. 7. 已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【解析】A 由得：，，解得：，； 由得：； “”是“”的充分不必要条件，， 当时，，不满足；当时，，不满足； 当时，，若，则需； 综上所述：实数的取值范围为. 8. 已知对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 4 【解析】D 由 可得：，则， ， 又，且， 可得， 令，则原题意等价于对一切恒成立， 的开口向下，对称轴， 则当时，取到最大值， 所以故实数的最小值是4. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于给定实数，关于的不等式的解集可能是（ ） A. B. C. R D. 【解析】ACD 时，不等式化为，，解集为， 时，不等式化，解集为， 时，不等式化，，即解集为， 时，不等式化为， 时，或，解集为或， 时，或，解集为或. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C．关于的不等式的解集为或 D． 【解析】BCD 由题可知，，，，对称轴 所以有，，故A错误； 因为，，，所以，故B正确； 因为，当时，显然不成立； 当时， 由题可知，的解为 所以的解为，因为，得或 即的解集为或，故C正确； 由韦达定理可知，， 所以，故D正确. 11. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 的最小值是 D. 的最小值为 【解析】AC 对于A，因为， 所以，当且仅当时取等号 由， 即，解得， 即，A正确； 对于，由，当且仅当时取等号， 得， 所以， 又 所以，即，故B错误； 对C选项，因为，则， 得，结合，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立，C正确； 对于D选项知:， 当且仅当时，即， 但由于，因此等号不成立，故D不正确. 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集是 ． 【解析】由等价于，解得或， 故解集为或. 13. 若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是 ． 【解析】因为正实数满足，即，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号． 因此的最小值为4， 又恒成立，所以，解得， 即实数的取值范围是． 14. 若对任意， 恒成立，则的最大值为_________． 【解析】令，则，故， 对任意，，则恒成立， ∴ ∴，此时， ∴，当时取等号， 此时成立， ∴的最大值为. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知不等式的解集. （1）求实数a，b的值； （2）若集合，求，. 【解析】（1）因为不等式的解集为， 所以，是方程的两个实数根. 则有解得a=-1，b=-2. （2）因为，， 所以，， 16. （1）若 ，求 的最大值； （2）已知 ，求 的最小值． 【解析】（1）由， 则， 当且仅当时，等号成立， 故最大值为1． （2）当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为6． 17. 经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆小时）与汽车的平均速度（千米小时）之间的函数关系为：. （1）若要求在该时间段内车流量超过10千辆小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ （2）该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千辆小时） 【解析】（1）由题意得，整理得， 即.解得. 所以如果要求在该时段内车流量超过10千辆时， 则汽车的平均速度应大于且小于. （2）由题意得， 当且仅当，即时取等号，所以（千辆时）. 故当时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆时. 综上所述得.故的取值范围是. 18. 已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)求不等式的解集； (3)若不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，， 所以方程的根为或－3， 所以不等式的解集为． （2）若，即，此时二次函数的图象在轴上方， 不等式的解集为； ②若，即，此时方程为， 只有一个根，不等式的解集为； ③若，即， 此时方程的两根分别为，， 不等式的解集为． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （3）因为，故抛物线的对称轴为且开口向上， 而不等式的解集中恰有三个整数解， 故且，在不等式的解集中（、关于对称）， ，不在不等式的解集中（、关于对称）， 故， 故. 19. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 例如，已知，求证：． 证明：原式． 波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征． 请根据上述材料解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，解方程； (3)若正数满足，求的最小值． 【解析】（1）． （2） 原方程可化为： 即： ，即，解得：． （3） ，当且仅当，即时，等号成立， 有最小值，此时有最大值， 从而有最小值，即有最小值． ( 第 1 页 共 10 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章《一元二次函数、方程和不等式》章末综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2. 若实数a，b满足，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4. 若，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．7 5. 已知且，求的取值范围（    ） A． B． C．或 D．或 6. 对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a取值范围（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 已知对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 4 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于给定实数，关于的不等式的解集可能是（ ） A. B. C. R D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C．关于的不等式的解集为或 D． 11. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 的最小值是 D. 的最小值为 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集是 ． 13. 若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是 ． 14. 若对任意， 恒成立，则的最大值为_________． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知不等式的解集. （1）求实数a，b的值； （2）若集合，求，. 16. （1）若 ，求 的最大值； （2） 已知 ，求 的最小值． 17. 经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆小时）与汽车的平均速度（千米小时）之间的函数关系为：. （1）若要求在该时间段内车流量超过10千辆小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ （2）该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千辆小时） 18. 已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)求不等式的解集； (3)若不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围． 19. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 例如，已知，求证：． 证明：原式． 波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征． 请根据上述材料解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，解方程； (3)若正数满足，求的最小值． ( 第 1 页 共 10 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $