2.3 第2课时一元二次不等式的应用-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

第二章一元二次函数、方程和不等式 2.已知关于x的不等式ax2+5.x+c>0的解集：(2)解关于x的不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0. 为<} (1)求a,c的值； 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.已知a>2,关于x的不等式ax2-(2+a)x+ 2>0的解集为 ) {-1<<或<<}则关于x的不 A<或x>B{层<} 等式x ax十1千7≤0的解集为 C女1或>}n1<} A.{x|-2<x<1或1<x<3 B.{x|-3<x<-1或1<x<2} 2.(多选)已知关于x的不等式a.x2+bx+>0的： C.{x|-3<x<-2或-1<x<1 D.{x|-2<x<-1或1x<2} 解集为{女一<<2}则下列结论正确的是 4.（多选》若函数y=2十bx十c的图象与x轴的 ( 两个交点是A(一2,0)，B(1,0),则下列结论正 A.a>0 B.b>0 : 确的是 ( C.c>0 D.a+6+c>0 A.b+c=-1 3.对于问题：“已知关于x的不等式a.x2+bx+c B.方程x2十bx十c=0的两根是一2,1 >0的解集为{x-1<x<2},解关于x的不等 C.不等式x2+bx+c>0的解集是{x|-2< 式a.x2-bx十c>0.”给出如下一种解法：由 x<1} D.不等式x2十bx十c≤0的解集是{x|一2≤ a.x2十bx+c>0的解集为{x|-1<x<2),得 x≤1} a(-x)2+b(-x)十c>0的解集为{x|-2<5.设关于x的不等式ar2+8(a+1)x十7a十16≥ x<1〉，即关于x的不等式a.x2-b.x十c>0的解 0(a∈Z)只有有限个整数解，且0是其中一个 集为{x|一2<x<1.参考上述解法，若关于x 解，则全部不等式的整数解的和为 的不等式车。+的<0的解集为 温馨提示 请做课时分层检测（十二） x+c 第二课时 一元二次不等式的应用 明学习目标 知结构体系 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程.了解一 课标 元二次不等式的现实意义. 简单的分式不等式 要求 2.能够构建二次函数模型，解决实际问题 一元二次不 等式的应用 元二次不等式的恒成立问题 重点 重点：一元二次不等式的应用. 元二次不等式的实际应用 难点 难点：应用一元二次不等式解决实际问题， 33 数学必修第一册 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)简单的分式不等式的解法 :(二)一元二次不等式恒成立问题 :1.转化为一元二次不等式解集为R的情况，即 >0(<0 ax2+bx十c>0(a≠0)恒成立台 可转化为 简单分式不等式 →一元二次不等式 求解 a.x2十bx十c<0(a≠0)恒成立台 培≥0（≤0 (ax+b)(cx+d)≥0（≤0）且cx+d≠0 2.分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题. [即学即练] [即学即练] 1.若方程x2十a,x十1=0的解集是⑦，则实数a的 1不等式二号0的解集为 取值范围是 :2.对Hx∈R,不等式x2十2x十m>0恒成立，则实 2.不等式≤1的解集为 数m的取值范围是 : 关键能力·合作探究 讲练设计探究重，点 题点一 简单的分式不等式的解法 题点二不等式恒成立问题 [典例1] 解不等式：10,2g. [典例2]对Hx∈R,不等式m.x2-mx-1<0, 2x-3 求m的取值范围. 听课记录 听课记录 ……/方法技巧/ 简单分式不等式的解法：先通过移项、通分整 理，再化成整式不等式来解.如果能判断出分 [拓展] 母的正负，也可以直接去分母 1.在本例中，是否存在m∈R,使得Hx∈R,不等 对点训练 式m.x2一mx-1>0?若存在，求m的取值范 围；若不存在，请说明理由. 1.下列不等式中，解集相同的是 A.x2-2x<3与2-2x<3 x-1x-1 B.<5与x+2-3x+2 1 5 x2-3.x+2 C.x-3)+D>0与x-3>0 x+1 D.x-3)(g+D>0与x+1>0 x-3 2.在本例中，把条件“Vx∈R”改为“x∈{x2≤ 2.关于x的不等式u->0的解集是{>} x≤3}”，其余不变，求m的取值范围. 求关于：的不等式0的解集 34 第二章一元二次函数、方程和不等式 /方法技巧/ (1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式； 一元二次不等式恒成立问题的解法 (2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划 (1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点 税收的83.2%，试确定x的取值范围. 问题，考虑两个方面：x2的系数和对应方程的 听课记录 判别式的符号. (2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后， 求相应二次函数的最值，使参数大于（小于）这 个最值， 对点训练 1.若不等式2x2一kx一k>0对于一切实数恒成： 立，则k的取值范围为 ( ) /方法技巧/ A.{k|-8<k<0》 利用不等式解决实际问题的一般步骤如下： B.{k|0<k<8)》 (1)选取合适的字母表示题目中的未知数； C.{k|k<-8或k>0》 (2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知 D.{kk<0或>8} 数的不等式（组）； 2.设函数y=mx2一m.x-1. (3)求解所列出的不等式（组）； (1)若对于一切实数x,y<0恒成立，求m的取 (4)结合题目的实际意义确定答案， 值范围； 对点训练 (2)对于x∈{x1≤x≤3}，y<-m+5恒成立， 求m的取值范围. 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万 元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为 10000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产 品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本 增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应地提 高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比 例为0.6x (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增 加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则 投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 题点三一元二次不等式的实际应用 [典例3]某农贸公司按每担200元的价格收购 某农产品，并每100元纳税10元（又称征税率 为10个百分点)，计划可收购a万担.政府为了 鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税 率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加 2x个百分点. 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.若集合A={x-1≤2x+1≤3}，B {2y 2.不等式，1≥1的解集是 2-x 则A∩B等于 A.{x|-1≤x<0} B.{x|0x≤1) B{红≤<2} C.{x|0≤x<2} D.{x|0≤x≤1} C{女>2或≤}D.{≥} 35 数学必修第一册 3.已知不等式a.x2+bx十c>0的解集为{x|-2<:5.某小区内有一个矩形花坛 x<1},那么不等式cx2一ax+b>0的解集为 ABCD,现将这一矩形花坛 D 拆建成一个更大的矩形花 A. 坛AMPN,要求点B在AM B M 上，点D在AN上，且对角线MN过点C,如图 B{K-或x> 所示.已知AB=3m,AD=2m. 要使矩形AMPN的面积大于32m2,则DN的 c{知 长应在什么范围内？ D{-1或心2} 4.某商品在最近30天内的价格y1与时间1（单 位：天)的关系式是y1=t+10(0<t≤30，t∈ N);销售量y2与时间t的关系式是y2=一t十 35(0<t≤30，t∈N),则使这种商品日销售金额 之不小于500元的t的取值范围为 温馨提示 请做课时分层检测（十三） 章末综合提升 【知识网络构建】 比较两个实数大小的依据 等式 a>b→b<a 性质 等式的性质 a>b,b>c→a>c 等式 a>b→a+c>b+c 性 不等式的性质 a>b,c>0→ac>bc;a>b,c<0→ac<bc a>b,c>d→a+c>b+d a>b>0,c>d>0→ac>bd a>b>0→a>b"(n∈N,n≥2) 基本不等式的 元二次 变式与拓展 +6≥2(a>0,b>0) a+b≥2a;ab≤+b+ 若a+b=S(定值)，则当a= 数 基本不等式 ab≤a+b 最值定理 b时，ab取得最大值S2 求最值的常用方法」 (a>0,b>0) 若ab=P(定值)，则当a=b (a>0,b>0) 时，a+b取得最小值2P 不等 求实际应用问题的最值 基本不等 比较实数的大小 式的应用 证明不等式 元二次不等式的概念 二次函数 四个“二次”（二次函数的零点、一元二次方程的根 与一元二 二次函数的图象、一元二次不等式的解集)之间的关系 次方程、 不等式 元二次不等式的解法厂 ·元二次不等式在实际中的应用 36十b1十c=0的两个报，则有合=-1<0 显解集不同；对于C,一3)（十1）>0的解 所以投入成本增加的比例x的取值范圆 b=3>0,又a<0,故b>0,c>0,故 集为{xx>3},故两个解集相同；对于D,i 为{0<<号} B、C正确：由二次函数的图象可知，当x=1 二D0的解条为z>-1且表卷清专入提升技能≤：≤1，B=江0< 一3 时，y=a十b+c>0,故D正确. ≠3}，与x十1>0的解集不同.故远C.] x≤2}，∴A∩B={x0<x≤1}.] 3.B[若关于x的不等式 +<0的2.解 ,不等式ax-b>0的解集是 x十ax十c >}a>0.且a=2 2.B[不等式1移项得 2一x 1≥0，即 解集为{x -1<<-或2<<1} 3 则不等式二>0等价于一L>0. x4 年+ (一2)0，解 则关于x的不等式 cx十i<0可看 x十5 -x十5 0,可化为 ∴.(x-1)(x-5)<0,解得1<x<5. x-2 x-2≠0 成前者不等式中的x用上代替得到的，则典例2不解若m0,显然-1之6恒成 因此原不等式的解集为{x1<x5}. 得 x<2,则原不等式的解集 1 ∈ -1x<- 号<<} 立；若m≠0，则{n0; 1△=n+4n0, 则x∈(x-3<x<-1或1之x<2},故 解得一4n0. 13.D[因为不等式ax2十bx十c>0的解集为 选B. 综上，n的取值范为{n一4n0}. {x一2<x<1},所以a<0,且一2和1是 4明以方程上士9的两根是2 一元二次方程ax2十bx十c=0的两个实 1,所以一b= -2+1= -1,即b=1,c (-2)×1=一2，所以b十c= -1.不等式2+ 家不中兴酵尚不呼剂 根，所以一2十1=一 ,-2X1=￡，即 bx+c>0的解集是{xx<-2或x>1}, ∫n>0, △=n2+4m0, 解得n∈，所以不存在 c=一2a,b=a,所以不等式c.x2-a.x十b>0 不等式x2十b.x十c0的解集是{x一2 x≤1}，所以远项A,B,D正确.」] m∈R,使得Hx∈R,不等式mx2-m.x-1i 可化为一2a.x2一a.x十a>0,因为a0,所以 -10 [设y=a.x2+8(a+1)x+7a+16, 20 2x2+x-1>0,即(2x-1)(x+1)>0,解得 其图象为抛物线，对于任意一个给定的2：2.解由不等式mx2一x一1<0得 值，其抛物线只有在开口向下的情况下才： n(x2x)1, >2或x<-1.] 能满足y≥0，而整数解只有有限个，所以： 因为x∈{x2x3},所以x2-x>0, 4.{t10t15,t∈Ny [z=(t+10)(-t a<0,因为0为其中一个解，所以可以求得！ 35),依题意有(t十10)·(-t+35)≥500， 6 解得10≤≤15，t∈N,所以解集为{t10 a≥ ,又a∈Z,所以a=-2或a=-1, 所以m(x-x)<1可化为m<2 1 I15N 则不等式为一2x2一8x十2≥0和一x2十9 因为x2-x=（x一2) 一4 ≤6， 5.解设DN的长为x(x>0)m, ≥0，可分别求得一2一√x≤√5一2和 1 则AN的长为(x+2)m. 一3≤x≤3，因为x为整数，所以x=一4， 所以2一x 行，所以m<行 因 ANAM,所以AM=3(x+2) DN DC -3,-2,-1,0和x=-3,-2,-1,0,1,2, 3,所以全部不等式的整数解的和为一10.] 即m的取值范是{K言} 所以SE形AwPN=AN·AM=3(x十2) 第二课时一元二次不等式的应用 :对点训练 、A [,2x2一k.x一k>0对于一切实数恒成{ 必备知识·自主梳理 由SE形AwPN>32,得3(x十2 ->32 立，.△=(-k)2-4X2×(-k)=k2+8k (一)(a.x+b)(cx+d)>0(0} ! 0,解得一8k0. 又x>0,得3.x2-20.x+12>0. 即学即练] 1解2原不等式→(x-1)(x-2)<2.解 (1)若m=0,显然-1<0恒成立： m≠0，则m<0； 解得0<<号或x>6, 0,解得1<<2. [≤1,1 △=m2十4n0 4< 即DN的长的取值范围是 2.{xx≥1或x0} 0. 0,{z1)20≥1或<0.] ,∴.n的取值范圆为{m一4<m0}. K号或} (2)y -n十5恒成立， 1x≠0， 章末综合提升 (二)1.a>0 △0a<0△<0 即n(x2一x+1)一6<0恒成立， 题型 「即学即练 11,C[因为c<a,且ac0,所以c<0,a>0 1.{a -2<a<2}[由题意可得△=a2一4< A成立，因为ba,ba0,所以c(b一a) 0,所以-2<a2.] 6 >0,B成立.C不一定成立，当b=0时，cb 2.{mn>1} 「由题意可得△=2一4m<0, <ab不成立.D成立，因为c<a,所以a一c 所以m>1 6 关键能力·合作探究 ,函数y 在 >0,所以ac(a-c)<0.] x-x+1 3 [典例1] 解(1)2x十1 2 2.C[0<a<1,∴.0a21, 1>1,-1 1-x 0→(2x+1)(1一x)i 0, 1≤x≤3时的最小值为7， <-a<0,0<a2<a,因此，1 >a>a2> 不等式等价于(+2)(x-1)>0,解得 小只需m<号即可 -a.故远C. :3.BC[若a>0>b,0>c>d,则ac<bd,故 x>1或x m的取值范国为{mm<号} A错；若ab>0,bc-al>0,则cad>0, ab 故原不等式的解集为{红x>1或<-立} 1 ·「典例37 解(1)降低税率后的税率为！ (10-x)%,农产品的收购量为a(1 化简得￡一4>0，故B对；若c>d,则 (2)因为十 ≤1，所以十1 -10, 2x%)万担，收购总金额为200a(1十2x%)! 一d>一c,又a>b,则a一d>b一c,故C对： 2x- 2.x-3 万元 所以4≤0 依题意得y=200a(1十2.x%)(10一x)% 若a=-1,b=-2,c=2,d=1,则4=b 2.x-3 则(4-x)(2x一3)0且2x≠3. 50a(100+2.x)(10-x)(0<x<10). =一1，故D错.] (2)原计划税收为200a×10%-20a(万元). 4 -1≤a-b≤6 [,-1b2,∴.-2≤-b ∴.(x-4)x- 2)≥0且x≠ 1,又1a5,,.-1a-b6.] 2 从而 或≥4. 依题意得0a(100+2x)(10-x)≥20a×;题型三 1.B[x+y=2 83.2%,化简得x2+40.x一840， 解得42≤x≤2 2x于2y_(x十3v)+(x一2=1， 故原不等式的解集为) 又因为0<x10,所以0r2. 对点训练 即x的取值范固为{x0x2}. x>y>0,∴x-y>0, 1.C[对于A,x2-2x<3的解集为{x-1<对点训练 3},由-2 3 解 1)由题意得 所以，3yy T- y-[12(1+0.75x)-10(1+x)]×10000 x-1 =x+3v)+(x-y2(2 ×(1+0.6x)(0x<1),整理得y= x+3v-v (红十1)(，一3》<0，解集为{x<-1或1< -6000.x2+2000.x+20000(0<x<1). 无一1 3+ 2(x-y)1x十3y1 3},所以解集不同：对于B,x十2-3x+2 1 (2)要保证本年度的年利润比上年度有所} 4 x+3yx-y」 增加，必须有2红0x10000≥0， 74 3+2 /2(x-y).x+3y V 3y I-y <5 x2-3.x+2 →{x<5,.x2-3x十2≠0，明 即60002 1 {0x1, 20>0,解得0<1<3 3+2W2 4 262