第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末总结-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教A版）

该高中数学导学案聚焦不等式单元，围绕不等关系性质、基本不等式应用、一元二次不等式解法等核心内容，设计“概念理解-方法掌握-综合应用”的递进式学习路径，通过典例解析与素养训练的关联任务，构建系统的知识网络与能力培养体系。 亮点在于“情境问题-逻辑推理-实际建模”的探究设计，如通过宣传单排版、水库抢修等实例，引导学生用数学思维分析不等关系，用数学语言表达解题过程，发展运算能力与应用意识。每模块配套分层训练，为教师实施单元复习提供清晰教学路径，有效支持学生深度学习与能力提升。

数学 必修 第一册 RJA 一、不等关系与不等式的性质 当两个代数式的大小不确定且为多项式形式时，常用作差法比较大小，当两个代数式均为正且均为幂的乘积形式时，常用作商法比较大小． 作差法的步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④结论． 作商法的步骤：①作商；②变形；③判断商与1的关系；④结论． 典例1　(1)下列结论正确的是(　　) A．若ac>bc，则a>b B．若a2>b2，则a>b C．若a>b，c<0，则a＋c<b＋c D．若<，则a<b [解析]　对于A，当c>0时才成立，故A错误；对于B，结论应该为|a|>|b|，故B错误；对于C，不等式的两边同时加上一个数，不等号的方向不变，故C错误；D项显然正确．故选D. [答案]　D (2)已知a>0，b>0，且a≠b，试比较＋与a＋b的大小． [解]　因为－(a＋b) ＝－b＋－a＝＋ ＝(a2－b2) ＝(a2－b2)＝， 又a>0，b>0，且a≠b，所以(a－b)2>0，a＋b>0，ab>0， 所以－(a＋b)>0，即＋>a＋b. (3)已知a>b>0，试比较与的大小． [解]　因为a>b>0，所以a＋b>0，a－b>0， 所以＝>0，>0， 所以＝＝1＋>1， 所以>. [素养训练1]　(1)已知a＋b<0，且a>0，则(　　) A．a2<－ab<b2 B．b2<－ab<a2 C．a2<b2<－ab D．－ab<b2<a2 答案：A 解析：解法一：令a＝1，b＝－2，则a2＝1，－ab＝2，b2＝4，所以a2<－ab<b2.故选A. 解法二：由条件a＋b<0，且a>0可得b<0，0<a<－b.因为a2－(－ab)＝a(a＋b)<0，所以0<a2<－ab，又0<a<－b，b<0，所以0<a(－b)<(－b)2，即0<－ab<b2，所以0<a2<－ab<b2.故选A. (2)已知c>1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是________． 答案：x<y 解析：由题设，易知x，y>0，又＝＝<1，所以x<y. (3)已知a<b<c，试比较a2b＋b2c＋c2a与ab2＋bc2＋ca2的大小． 解：a2b＋b2c＋c2a－(ab2＋bc2＋ca2) ＝(a2b－ab2)＋(b2c－bc2)＋(c2a－ca2) ＝ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca(c－a) ＝ab(a－b)＋bc[(b－a)＋(a－c)]＋ca(c－a) ＝ab(a－b)＋bc(b－a)＋bc(a－c)＋ca(c－a) ＝b(a－b)(a－c)＋c(a－c)(b－a) ＝(a－b)(a－c)(b－c)． ∵a<b<c，∴a－b<0，a－c<0，b－c<0， ∴(a－b)(a－c)(b－c)<0. ∴a2b＋b2c＋c2a<ab2＋bc2＋ca2. 二、基本不等式的应用 基本不等式的主要应用是证明不等式、求最值或范围，既适用于一个变量的情况，也适用于多个变量的情况，常用方法有：配凑法、消元法、常数代换法等．含有多个变量的条件最值问题，一般方法是消元法，将问题转化为只含一个变量的最值问题；如果条件等式中含有两个变量的和或积的形式，可以直接利用基本不等式对两个数的和或积进行转化，然后求解． 典例2　已知正数a，b满足a＋b＝1. (1)求a2＋b－1的最小值； (2)若正数c满足2c－a＝2，证明：a＋c与2b＋c之和为定值，且＋≥1. [解]　(1)因为a＋b＝1，所以b－1＝－a， 所以a2＋b－1＝a2－a＝－≥－， 当且仅当a＝b＝时，等号成立， 所以a2＋b－1的最小值为－. (2)证明：因为2c－a＝2，所以2c＝a＋2， 则a＋c＋2b＋c＝2a＋2b＋2＝4， 所以a＋c与2b＋c之和为定值， 所以＋ ＝(a＋c＋2b＋c) ＝ ≥＝1， 当且仅当＝，即c＝2a＝4b＝时，等号成立，故＋≥1得证． [素养训练2]　(1)若x，y是正数，则＋的最小值是(　　) A．3 B. C．4 D. 答案：C 解析：∵＋＝x2＋＋＋y2＋＋＝＋＋＋≥2＋2＋2＝4，当且仅当x＝y＝时，等号成立，故＋的最小值是4. (2)已知x<－1，则的最大值为________． 答案：1 解析：∵x<－1，∴x＋1<0，∴－(x＋1)>0，∴＝＝＝(x＋1)＋＋5＝－＋5≤－2＋5＝1，当且仅当(x＋1)2＝4，即x＝－3时，等号成立．故的最大值为1. 三、一元二次不等式的解法 (1)对于不含参数的一元二次不等式(分式不等式)首先转化成标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集． (2)对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏．若二次项系数含有参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；其次，对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集． 典例3　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0. (1)当a＝－1，b＝2，c＝1时，求该不等式的解集； (2)从下面两个条件中任选一个，并求出此时该不等式的解集． ①a＝1，b＝－2－m，c＝2m； ②a＝m，b＝m－2，c＝－2. [解]　(1)当a＝－1，b＝2，c＝1时，不等式为－x2＋2x＋1≥0，可化为x2－2x－1≤0，解得1－≤x≤1＋，所以不等式的解集为{x|1－≤x≤1＋}． (2)若选①a＝1，b＝－2－m，c＝2m， 不等式为x2－(2＋m)x＋2m≥0， 即(x－2)(x－m)≥0， 当m>2时，不等式的解集为{x|x≤2，或x≥m}； 当m＝2时，不等式的解集为R； 当m<2时，不等式的解集为{x|x≤m，或x≥2}． 若选②a＝m，b＝m－2，c＝－2， 不等式为mx2＋(m－2)x－2≥0， 若m＝0，则－2x－2≥0，不等式的解集为{x|x≤－1}； 若m≠0，不等式可化为(mx－2)(x＋1)≥0， 当m>0时，不等式的解集为； 当m<－2时，不等式的解集为； 当m＝－2时，不等式的解集为{x|x＝－1}； 当－2<m<0时，不等式的解集为. 综上所述，当m<－2时，不等式的解集为；当m＝－2时，不等式的解集为{x|x＝－1}；当－2<m<0时，不等式的解集为；当m＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；当m>0时，不等式的解集为. [素养训练3]　(1)若不等式ax2＋5x－2>0的解集是，求不等式>a＋5的解集． 解：依题意，可得方程ax2＋5x－2＝0的两个实数根为，2，且a<0. 由根与系数的关系，得解得a＝－2. 将a＝－2代入不等式，得>3，整理，得>0，即(x＋1)(x＋2)<0，解得－2<x<－1，则原不等式的解集为{x|－2<x<－1}． (2)设集合A＝{x|x2－2mx＋m2－1≤0}，B＝{x|x2－4x－5≤0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 解：由A＝{x|x2－2mx＋m2－1≤0}可得A＝{x|[x－(m－1)][x－(m＋1)]≤0}， 即A＝{x|m－1≤x≤m＋1}， 由B＝{x|x2－4x－5≤0}可得B＝{x|－1≤x≤5}． 由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，可得AB， 需满足 解得0≤m≤4，显然两端等号不会同时成立， 所以实数m的取值范围为{m|0≤m≤4}． 四、不等式恒(能)成立问题 对于不等式恒(能)成立求参数范围问题，常见类型及解法有以下几种： (1)判别式法 一元二次不等式对任意实数x恒成立的问题，常常用判别式法． (2)数形结合法 利用不等式与函数的关系将恒(能)成立问题通过函数图象直观化． (3)变更主元法 根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元． (4)分离参数法 将参数分离转化为求解最值问题． 典例4　(1)若对一切实数x，不等式mx2－3mx－2<0恒成立，求m的取值范围． [解]　要使mx2－3mx－2<0恒成立， 若m＝0，显然－2<0，满足题意； 若m≠0，则⇒－<m<0， 综上，m的取值范围是. (2)若当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求m的取值范围． [解]　令y＝x2＋mx＋4. ∵当1≤x≤2时，y<0恒成立， ∴x2＋mx＋4＝0的根一个小于1，另一个大于2. 如图， 得∴ 解得m<－5. ∴m的取值范围是{m|m<－5}． (3)若当1≤x≤4时，不等式x2－(m＋1)x＋9≤0有解，求实数m的最小值． [解]　因为当1≤x≤4时，不等式x2－(m＋1)x＋9≤0有解， 所以m＋1≥x＋有解， 又因为x＋≥2＝6，当且仅当x＝，即x＝3时，等号成立， 所以当1≤x≤4时，x＋的最小值为6，所以m＋1≥6，即m≥5，故实数m的最小值为5. (4)若存在1≤a≤3，使得不等式ax2＋(a－2)x－2>0成立，求实数x的取值范围． [解]　令y＝ax2＋(a－2)x－2＝(x2＋x)a－2x－2，则y是关于a的一次函数， 当1≤a≤3时，y>0能成立，则(x2＋x)－2x－2>0或(x2＋x)·3－2x－2>0， 则x2－x－2>0，① 或3x2＋x－2>0，② 解①可得x<－1或x>2，解②可得x<－1或x>. 所以实数x的取值范围为. [素养训练4]　(1)若关于x的不等式ax2＋ax＋3>0恒成立，求实数a的取值范围． 解：当a＝0时，3>0恒成立，满足题意； 当a≠0时，只需解得0<a<12. 综上所述，实数a的取值范围为{a|0≤a<12}． (2)已知y＝mx2－mx－6＋m，若对1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取值范围． 解：解法一：y<0⇔mx2－mx－6＋m<0⇔(x2－x＋1)m<6. ∵1≤m≤3， ∴x2－x＋1<恒成立，只需x2－x＋1小于的最小值，即x2－x＋1<⇔x2－x－1<0⇔<x<. ∴实数x的取值范围为. 解法二：关于m的函数y＝mx2－mx－6＋m＝(x2－x＋1)m－6. 由题意知y<0对1≤m≤3恒成立． ∵x2－x＋1>0，∴y是关于m的一次函数，且在1≤m≤3上y随m的增大而增大， ∴y<0对1≤m≤3恒成立等价于y的最大值小于0， 即(x2－x＋1)·3－6<0⇔x2－x－1<0⇔<x<， ∴实数x的取值范围为. (3)若正实数x，y满足x＋2y＝4，不等式m2＋m>＋有解，求实数m的取值范围． 解：由＋＝[x＋2(y＋1)]＝× ≥×＝， 当且仅当即x＝3，y＝时，等号成立， 要使不等式m2＋m>＋有解，只需m2＋m>， 即3m2＋m－4＝(3m＋4)(m－1)>0， 所以m<－或m>1， 即实数m的取值范围为. 五、不等式的实际应用 解决基本不等式的实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，解题时要注意应用基本不等式的条件是否具备，还要注意有关量的实际含义． 典例5　如图，一份纸质宣传单的排版面积(矩形ABCD)为P，它的左、右两边留有宽为a的空白，上、下两边留有宽为2a的空白． (1)若AB＝20 cm，BC＝30 cm，且该宣传单的面积不超过1000 cm2，求a的取值范围； (2)若a＝2 cm，P＝800 cm2，当边AB多长时，纸的用量最少？ [解]　(1)由宣传单的面积不超过1000 cm2，可得(20＋2a)(30＋4a)≤1000， 化简，得2a2＋35a－100≤0，即(2a－5)(a＋20)≤0，解得－20≤a≤， 又a>0，所以0<a≤， 即a的取值范围为. (2)设AB＝x cm，则BC＝ cm，设宣传单的面积为S， 则S＝(x＋4) ＝8x＋＋832 ≥832＋2＝1152， 当且仅当8x＝(x>0)，即x＝20时，等号成立． 所以当AB＝20 cm时，纸的用量最少． [素养训练5]　某水库堤坝因年久失修，发生了渗水现象，当发现时已有200 m2的坝面渗水．经测算知渗水现象正在以每天4 m2的速度扩散，当地政府积极组织工人进行抢修．已知每人平均每天可抢修渗水面积2 m2，每人每天所消耗的维修材料费为75元，劳务费为50元，每渗水1 m2的损失为250元．政府还给每人发放了50元的服装补贴．现在共派去x名工人，抢修完成共用n天． (1)写出n与x之间的关系式； (2)要使总损失最小，应派多少名工人去抢修？(总损失＝渗水损失＋政府支出) 解：(1)由题意，得2nx＝200＋4n， 所以n＝(x≥3，x∈N＋)． (2)设总损失为y元， 则y＝(75＋50)nx＋50x＋250×2nx ＝625nx＋50x＝625×＋50x ＝50 ＝50 ≥50×(2×50＋1252) ＝67600， 当且仅当＝x－2，即x＝52时，等号成立． 所以要使总损失最小，应派52名工人去抢修． 10 学科网（北京）股份有限公司 $