2.2 第1课时基本不等式-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

2.2基本不等式 :对点训练 :对点训练 第一课时 基本不等式 证明+y≥2yf+≥2+.25[+号=（+）a+0)=4 x2≥2yz, 必备知识·自主梳理 ∴.2x2+2y2+2z2≥2xy+2xz+2y2, 1.≤a=b4+b 3x2+3y2+3x2≥x2+y2+x2+2.xy+ 9++>18+2√.-25，当 2 ab 「即学即练] 2xz+2yz, 1.(1)/(2)×(3)×(4)× 即3(x2+y2+x2)≥(x十y十). 仅当a=号6=号时等号成主] x十y+z=1,∴(x+y十z)2=1, 83 2.ABD [由a>b>0,得a而<a,即4+b 2 21 ∴.3(x2十y2+x2)≥1， 2.解号(2x-3)十2z3十之 >瓜所以受<1中画 即+y+≥3 -(+) 3 a+b 故选项ABD均成立.] 素养演练·提升技能 当<时，有3-2x>0, 3.A 关键能力·合作探究 1.A["a+b≥2√a而，ab≤(b 2 =4, 32+,8 ≥2./月2x 8 23-2.x 3-2=4, [典例1门A[若0<a<b,由基本不等式可！当且仅当a=b=2时取等号.，d-4, 当且仅当32=32即一 8 以得出√a<a(因为a≠b,所以取不到 ∴.c十d≥2√cd=4,当且仅当c=d=2时1 2 时取 2 取等号， 等号， 等号)：反之若a<“,可得>0，b>01 故c十d≥ab,当且仅当a=b=c=d=2时： 3 =一 取等号.] +2x°3≤-4+ 之，故所求最 且(V函<（安），化商得a>0,6>2,DA选项，。82aDa 大值为-号 且(a-b)2>0,即a>0,b>0且a≠b,得不1 到0<a<b,所以是充分不必要条件.] 1)十6-1)≥0，故A不正确：B,C选项典例2]解(1)设休闲区的宽为a米，则 的不等式，只有当a>0,b>0时才成立，所： 长为ax米， 对点训练 以不正确：D选项， 2 -ab =} AC[A中，：a,6为正实数名，号为 由ax=4000,得a=20V0 正实数，符合基本不等式的条件，故A正 ≥0，脚（安） 4 ≥ab,当且仅当： 则S=(a十8)(a.x十20)=a2x十(8x十20)a 确：B中，，a∈R,a≠0，不符合基本不等式 +160 a=b时取等号，故远D.」 的条件，4 十a≥2/ ·a=4是错误3.C若a>a:>4,则透项A.B都不-定 =4000+8x+20).20+160 N a 正确.若a1一ae=a,则远项D不正确。 的：C中，由0，得子，兰均为负数，包 对于C远项，由a1十a3一2a2得ag一ae一ag】 在粮导过程中特整你（仁十亡）提出负号 a>0,所以a>a>0,又a,=04 -80V而(+)十4160>0 2 2)周为0V而(+)+4160≥ 后， 义均变为正数，符合基本不等式！ 由基本不等式得>√a1a,所以G 2 的条件，故C正确：D中，对任意的a,b∈R,都 正确.] 80V0×2,/2F×三+4160=1600+ 有d+6≥2ah,即≥d山，故D错误.] 4.A[设左、右两臂长分别为b,a,两次放入 4160=5760, 2 的黄金的克数分别为x,y,依题意有ax=! 当且仅当2√x= 5 ,即x=2.5时，等号成 [典例2](1)B(2)V√(a-b)(b-c≤“，9 2 56.6y=0∴y=25号V, 立，此时a一40，a.x一100，所以要使公园所 占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为 [(1).ab< a十b x十y≥10，当且仅当x=y时取等号， 2月 又a≠b,.x≠y,∴.x十y>l0,即两次所得： 长100米，宽40米 黄金大于10g,故远A. ·对点训练 i5.36[y=4x+4(x>0,a>0), ，解设该长方体容器底面的长和宽分别为 am,bm,成本为y元， 2 由于长方体容器的容积为4m3,高为1m, y=4x+g≥24x·g=4a,当且仅 所以底面面积S=ab=4,y=20S十10[2(a x b)=20(a+b)+80. 由基本不等式可得v=20(a十b)+80≥20 b-(a2+)=(b-b)-a2=b(1-b) 当4红=即工=时，等号成立. 2 a2=ab-a2=a(b-a)>0,∴.b>a2+,1 ×2√ab+80=160(元)， 又y=4x十2(x>0,a>0)在x=3时取 当且仅当a=b=2时，等号成立， .b最大 因此，该容器的最低总造价为160元 (2)因为a>bc,所以a-b>0,b一c>0, 所以4一-（a一)十(b-c) :[典例3](1)C[因为a>0,b>0, 2 得最小值受-3a=36] 1 所以m≤(a+合)2a+b, V(a-b)(b-c), 当且仅当a一b=b-c时，等号成立.] 第二课时基本不等式的应用 对点训练 两（合+）2a+0=4++>4+ ,必备知识·自主梳理 1.C[0<a<b,26>a+bb>4中(1)正数(22Vp 1 b×4=8, 2 b √a6.又b>a>0,∴ab>a2,∴ab>a.[即学即练] 当且仅当2=e,即b=2a时等号成立， 故6>生V团a] 11.B2.2103.50 要使不等式恒成立，m≤8，所以实数n的 关键能力·合作探究 2x<y[d-中2画，y=a+6=奥例解"x>2x-2>0. 最大值为8.门 2 4 (2)解若9x+4≥a+1(常数a>0)对一切 a+b+a+b:a+b>2√品(a≠b),∴r< 小-21-2+ -2+2≥ x 正实载r性成立，则a中1≤(3+)m v2,又x,v0,y] 2/x-2)4 「典例3]证明 -2+2-6, 因为a,b,c均为正实数， -=6a, a十b+c=1, 当且仅当x一2= x一2，即x=4时，等号 4 又9+>20 所以-1=二-≥2 成立， 当且仅当9虹=二，即=号时，等号成立， a a 4 同理方-1≥2@c,上-12画 x十 -2的最小值为6。 故60>a+1,解得。>行 (2)x>0,y≥0， 上述三个不等式两边均为正，分别相乘， ∴x十y=(x十y)· 22 所以实数a的取值范因为{知≥行} 得（日--）（-≥2 对点训练 a 2c.2a=8. =4+2(+)≥4+4√号 y=8. 11.BL因为a>0,b>0,所以2a十b>0, b 所以要使十>成立， 当且仅当a=b=c=号时，等号成立， 当且仅当=兰， y 即x=y=4时取等号，x十y的最小值为8. 只需m≤(2a+(名+方)恒成立， 260数学 必修第一册 2.2 基本不等式 第一课时基本不等式 明学习目标 知结构体系 1.了解基本不等式的证明过程. 课标 2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的 基本不等式 要求 及其变形 大小 本不等式 基本不等式 比较大小 重点 重点：基本不等式的证明及简单应用 的应用 证明不等式 难点 难点：对基本不等式的理解， 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 1.基本不等式 (2)6和8的几何平均数为2√. () 如果a>0,b>0,则√/ab 当且仅当 (3)对任意a,b∈R,a2+b2≥2ab,a+b≥2√ab 时，等号成 均成立 () 其中 叫做正数a,b的算术平均数， 4)若a≠0，则a+>2a·a=2.（ 1 叫做正数a,b的几何平均数. a a 2.常用变形 2.(多选)若a>b>0,则下列不等式成立的是 (1)ab≤ 2 ,a,b∈R,当且仅当a=b时，等 A.Q十b 2 /ab B.2ab-atb 号成立. a+6 2 (2)a十b≥2√ab,a,b都是正数，当且仅当a=b: C. 2ab、a+b 时，等号成立. a+b 2 D.Vab-2ab atb [即学即练] 3.已知a,b∈R,则a2+b2与2|ab1的大小关系是 1.判断正误 ( ) (1)若a>0,b>0且a≠b,则a十b>2√ab A.a2+b2≥2abl B.a2+62=2abl C.a2+b2≤2|ab D.a2+62>2abl 关键能力·合作探究 讲练设计探究重，点 题点一 对基本不等式的理解 /方法技巧/ [典例1]“0<a<b”是“√ab<ab"的 对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个 2 A.充分不必要条件 方面 B.必要不充分条件 (1)不等式成立的条件是a,b都是正数. C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)“当且仅当”的含义：当a=b时，Wab≤a十b 2 听课记录 的等号成立，即a=b→a0=√ab;仅当a=b 2 时，a十b≥√ab的等号成立，即a十b=√ab→ 2 2 a=b 26 第二章一元二次函数、方程和不等式 对点训练 2.已知a,b是不相等的正数，x=a十 ,y= √2 (多选)下面四个推导过程正确的有 √a+b,则x,y的大小关系是 A.若a,b为正实数，则2+只≥2 ba=2 题点三利用基本不等式证明不等式 [典例3]已知a,b,c均为正实数，且a十b十c B.若u∈R,a≠0，则4十a≥2，·a=4 =1 N a C.若x,y∈R,xy<0,则+义 求证：（日-1店-（日-≥8 听课记录 (-)+(￥〗≤-2-》 =-2 D.若a<0,b<0,则a2十b≤ab 2 题点二 利用基本不等式比较大小 [典例2](1)设0<a<b,且a十b=1,在下列四 个数中最大的是 ( A号 B.b C.2ab D.a2+62 ……/方法技巧/ (2)已知a>b>c,则，a-b)b-a与2的大 用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出 小关系是 发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步 听课记录 的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是 以“已知”看“可知”，逐步推向“未知” (2)注意事项：①多次使用基本不等式时，要注 意等号能否成立；②巧用“1”的代换证明不等 式；③对不能直接使用基本不等式的证明可重 新组合，创造使用基本不等式的条件再使用. /方法技巧/ 对点训练 运用基本不等式比较大小的注意点 (1)要灵活运用基本不等式，特别注意其变形， 已知x十y+之=1，求证：x2+y2+2≥ (2)应注意成立的条件，即a十b≥2√ab成立的 条件是a>0,b>0,等号成立的条件是a=b: a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R,等号成立 的条件是a=b. 对点训练 1.若0<a<b,则下列不等式一定成立的是 ( A.a>atb-/ab-b 2 B.b>√ab>a十ba C. D.6>a 27 数学必修第一册 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.如果正数a,b,c,d满足a十b=cd=4,那么 A.若a1十a2>0,则a2十a3>0 ( ! B.若a1十a3<0,则a1十a2<0 A.ab≤c十d,且等号成立时，a,b,c,d的取值： C.若0<a1<a2,则a2>√Ja1a3 唯一 D.若a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0 B.ab≥c十d,且等号成立时，a,b,c,d的取值4.某金店用一台不准确的天平（两边臂长不相等） 唯一 称黄金，某顾客要购买10g黄金，售货员先将 C.ab≤c+d,且等号成立时，a,b,c,d的取值不 5g的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡 唯一 后给顾客，然后又将5g的砝码放人右盘，将另 D.ab≥c十d,且等号成立时，a,b,c,d的取值不 黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客 唯一 实际所得黄金 2.a,b∈R,下列不等式始终成立的是 A.大于10g B.小于10g A.a2+b2>2(a-b-1) +2a C.大于等于10g D.小于等于10g C.utb /b :5.已知y=4x+a(x>0,a>0)在x=3时取得最 小值，则a的值为 3.若实数a1,a2,a3满足a1十a3=2a2,则下列结 论中正确的是 温馨提示 请做课时分层检测（十） 第二课时 基本不等式的应用 明学习目标 知结构体系 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用. 课标 2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题， 要求 利用基本不等式 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题. 求最值 基本不等式 的应用 利用基本不等式 重点 重点：利用基本不等式求最值 解决实际应用题 难点 难点：基本不等式的灵活应用. 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 用基本不等式十≥√y求最值应注意： :[即学即练] 2 (1)x,y是 1.已知a>0,则a+4二的最小值为 a (2)①如果积xy等于定值P,那么当x=y时， A.2 B.3 C.4 D.5 和x十y有最小值 :2.已知正数a,b满足ab=10,则a十b的最小值是 ②如果和x十y等于定值S,那么当x=y时，积 xy有最大值 3.己知m,n∈R,m2十n2=100,则n的最大值是 (3)讨论等号成立的条件是否满足： 28