2.3 第1课时一元二次不等式的解法-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

第二章一元二次函数、方程和不等式 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 第一课时 一元二次不等式的解法 明学习目标 知结构体系 1.从函数观点看一元二次方程.了解函数的零点与方程根的关系. 一元二次 课标 2.从函数观点看一元二次不等式.经历从实际情境中抽象出一元二次不 元 不等式的概念 要求 等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义. 二次 不等 元二次 3.借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系， 式的 不等式的解法 重点 重点：一元二次不等式的解法。 解法 “三个二次” 难点 难点：二次函数与一元二次方程、不等式的联系. 的关系及应用 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)一元二次不等式的概念 ; (二)二次函数与一元二次方程、不等式的解的 对应关系 只含有一个 ,并且未知数的最高次 定义 数是 判别式 的不等式，称为一元二次不等式 △>0 △=0 4<0 △=b2-4ac 二次函数y= a.x2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b, \y 般形式 ax2+bx+c(a c均为常数，a≠0 >0)的图象 可x元 [即学即练] 有两个不 一元二次方程 有两个相等 1.判断正误 相等的实 ax2+bx+c= 的实数根x 数根x1,c2 没有实数根 (1)不等式a.x2+x-1<0是一元二次不等式. 0(a>0)的根 b (x1<x2) =x2= 2a ( (2)不等式x2-5y<0是一元二次不等式. ax2+bx+c>0 {≠ ) 2a R (a>0)的解集 ( (3)不等式-x2-2x十3>0是一元二次不 ar2+br+c<0 (a>0)的解集 等式 [即学即练] 2.二次函数y=x2-4的零点是什么？ 1.不等式2x2一x一1>0的解集是 2.不等式-3.x2+5.x一4>0的解集为 3.若不等式ax2十bx十c>0的解集为{x-2< x<3},则方程ax2十bx十c=0的两根分别为 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一不含参数的一元二次不等式的解法 /方法技巧/ [典例1]解下列不等式： 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)x2-5.x-6>0;(2)(2-x)(x+3)<0; (1)化标准.通过对不等式的变形，使不等式右 (3)4(2x2-2x+1)>x(4-x). 侧为0，使二次项系数为正. 听课记录 (2)判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分 解，则计算对应方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或 根据判别式说明方程有无实根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出 对应的二次函数的草图. (5)写解集.根据图象写出不等式的解集. 31 数学 必修第一册 对点训练 题点三 二次函数与一元二次方程、不等式间 的关系及应用 解下列不等式： [典例3]已知关于x的不等式a.x2+bx十c>0 (1)-2x2+x-6<0; 的解集为{x|2<x<3},求关于x的不等式 (2)-x2+6.x-9≥0； cx2十bx十a<0的解集. (3)x2-2x-3>0. 听课记录 [拓展] 题点二含参数的一元二次不等式的解法 若将本例中的条件“关于x的不等式a.x2十bx十c [典例2]解关于x的不等式a.x2-2≥2x-a.x >0的解集为{x2<x<3}”变为“关于x的不等式 (x∈R). ar2+hx十c≥0的解集为{r 2求不 听课记录 等式cx2+bx+a<0的解集， /方法技巧/… 解含参数的一元二次不等式的步骤 /方法技巧/ (1)讨论二次项系数：二次项系数若含有参数， 应讨论是小于0，还是大于0，若小于0，则将 (1)-元二次不等式a.x2十bx十c>0(a≠0， 不等式转化为二次项系数为正的形式； △>0)的解集的端点值是一元二次方程a.x2十 (2)判断方程根的个数：判断方程根的个数，讨 bx十c=0的根，也是函数y=ax2十bx十c的 论判别式△与0的关系； 图象与x轴交点的横坐标. (3)写出解集：确定无根时可直接写出解集，确 (2)二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0)的图象在 定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系， x轴上方的部分，满足不等式ax2+bx十c>0: 从而确定解集形式. 图象在x轴下方的部分，满足不等式a.x2十bu 汇提醒]对应方程的根优先考虑用因式分解 十c<0,一元二次不等式与对应函数、方程之 确定，分解不开时再求判别式△，用求根公式 间相互依存、相互转化。 计算. 对点训练 对点训练 1.若不等式4.x2一12.x一7>0与关于x的不等式 设a∈R,解关于x的不等式ax2+(1-2a)x- x2十px十q>0的解集相同，则x2-px十q<0 2>0. 的解集是 A{>或x<-} D{<<} 32 第二章一元二次函数、方程和不等式 2.已知关于x的不等式ax2+5.x+c>0的解集：(2)解关于x的不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0. 为<} (1)求a,c的值； 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.已知a>2,关于x的不等式ax2-(2+a)x+ 2>0的解集为 ) {-1<<或<<}则关于x的不 A<或x>B{层<} 等式x ax十1千7≤0的解集为 C女1或>}n1<} A.{x|-2<x<1或1<x<3 B.{x|-3<x<-1或1<x<2} 2.(多选)已知关于x的不等式a.x2+bx+>0的： C.{x|-3<x<-2或-1<x<1 D.{x|-2<x<-1或1x<2} 解集为{女一<<2}则下列结论正确的是 4.（多选》若函数y=2十bx十c的图象与x轴的 ( 两个交点是A(一2,0)，B(1,0),则下列结论正 A.a>0 B.b>0 : 确的是 ( C.c>0 D.a+6+c>0 A.b+c=-1 3.对于问题：“已知关于x的不等式a.x2+bx+c B.方程x2十bx十c=0的两根是一2,1 >0的解集为{x-1<x<2},解关于x的不等 C.不等式x2+bx+c>0的解集是{x|-2< 式a.x2-bx十c>0.”给出如下一种解法：由 x<1} D.不等式x2十bx十c≤0的解集是{x|一2≤ a.x2十bx+c>0的解集为{x|-1<x<2),得 x≤1} a(-x)2+b(-x)十c>0的解集为{x|-2<5.设关于x的不等式ar2+8(a+1)x十7a十16≥ x<1〉，即关于x的不等式a.x2-b.x十c>0的解 0(a∈Z)只有有限个整数解，且0是其中一个 集为{x|一2<x<1.参考上述解法，若关于x 解，则全部不等式的整数解的和为 的不等式车。+的<0的解集为 温馨提示 请做课时分层检测（十二） x+c 第二课时 一元二次不等式的应用 明学习目标 知结构体系 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程.了解一 课标 元二次不等式的现实意义. 简单的分式不等式 要求 2.能够构建二次函数模型，解决实际问题 一元二次不 等式的应用 元二次不等式的恒成立问题 重点 重点：一元二次不等式的应用. 元二次不等式的实际应用 难点 难点：应用一元二次不等式解决实际问题， 33又2a+(径)=4什2牛+1 ∴.原不等式等价于9x2-12x+4>0. 解方程9x2一12.x十4-0， 故原不等式的解集为{心日} 5十4=9，当且仅当a=b时，等号成立，所： 2 以n9.」 得x1=x2一 ④当。>0时，解不等式得<-1或≥2， 3 2.{aa≤0}[因为x>-1,所以x十1>0， 结合二次函数y=9x2-12x十4的图象知，1 综上所述，故原不等式的解集 则x十市一1=x十1+ x+72≥ 源不等式的解集为{≠号} 为{x<-1或>2. 2/(x+1)X1 一2=2-2=0，当且仅当对点训练 :[典例3]解由不等式a2+十c>0的解 解(1)原不等式可化为2x2一x十6>0. 集为{x2x3}可知a0,且2和3是方程 x+1= ,即x=0时等号成立，由题意可 1 因为方程2x2 x十6=0的判别式△=： a.zx2十bx十c-0的两根，由根与系数的关系可 (-1)2-4×2×6<0, -5, =6.由a<0知c0, 所以函数y一2x2一x十6的图象开口向上， c =0,即a≤0.] 与x轴无交点（如图1所示） 令故不等式c2+b+a<0,即x+6 素养演练·提升技能 观察图象可得，原不等式的解集为R 1.D2+6=(2+)(2a+) (2)原不等式可化为x2一6.x+90,即 +4>0,即2-5 (x-3)2≤0， c >0，解得<号 2 2 函数y=(x一3)2的图象如图2所示， =5+ +2ab≥5+2√品·2ab=9, 根据图象可得，原不等式的解集为{3}， 或x2 ab 所以不等式cx2十b.x十a0的解集 当且仅当 ab=1, 1 (3)方程x2-2x一3=0的两根是西=一1,1 1 2a+工=1，即，3时取等！ x2=3. 函数y=x一2x一3的图象是开口向上的 为{红<写>号} 抛物线， 「拓展 号，则2+b的最小值为9.] 与x轴有两个交点（一1,0）和(3,0)，如图3 解由a.x2十bx十c≥0的解集为 2A[因为合+是-V瓜，所以 所 a 观察图象可得不等式的解集为(xx<一1 {-3≤2} 或x>3} =ab,且ab>0,两边同来ab,得b 人4a 知a<0,且-3,2为方程a亡+br十c=0 ab 的两个根， 十4=a2b2,则ab2≥24+4=8，所以ab 2 2，当且仅当-，即6=2a时取等 b-3 a 5 2 b=-3ac=-3a 号，即ab的最小值为2√2，故选A.] 图1 图2 图3 3.C[设直角三角形两直角边长分别为xm,[典例2]解原不等式可化为a.2+(a-2)xi .不等式cx2十bx十a<0变为 ym,则与xy=1,即xy-2.周长1-x十 一220 -3a）r2+(-3a）r+a<0, ①当a=0时，原不等式化为x十10，解得 即2a.x2+5a.x-3a>0. y十√/x2+y≥2√Wxy+√2xy=2√2+2 x一1. ②当a>0时，原不等式化为（名）十1明 又a0,.2x2+5x-3<0, ≈4.83(m),当且仅当x=y时等号成立. 结合实际问题，可知选C门 故所求不等式的解集为{-3K<受} 4,30[由题意，一年购买600次，则总运费与； 解得≥名或x≤-1. 对点训练 1.D[由4x2-12x-7>0得(2x-7)(2x+1) 总存储费用之和为600×6十4虹= ③当a<0时，原不等式化为(x一 )+明 >0,则>子或<-由题唐可 4(900+≥8，√/00.x=240,当且仅当 0. 7 1 得 =30时取等号，故总运费与总存储费用： 当2>一1，即a<-2时，解得-1≤ 7 之和最小时x的值是30. 5.16[如图所示，连接C 2 =子×() 设OB=x(0<x<4),则 D 、 当2=-1，即4=-2时，解得工=一1满 x2一p.x十q<0对应 BC=√COC-OB2= √16-x2,AB=20B= A 足题意： 。-×() 当2<-1，即一2<a<0时，解得2≤ 7 2x,所以由基本不等式可得，矩形ABCD的！ 方程-：十g=0的两根分别为号，-子， a 面积为S-AB·BC=2x·√16-x2- 故x2 p.x十 <0的解集 2√(16-x2)x2≤(16-x2)+x2=16,当： 综上所述，当a=0时，不等式的解集为{xz -1}； 是{x 且仅当16一x2=x2,即x=2√2时等号成！ <} 2 当 立，所以矩形ABCD面积的最大值为16.门]· a>0时，不等式的解集2.解(1)由题意知不等式对应的方程a2十5u 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 为了x a 。一0的两个实数根为号和，且<0， 当一2a0时， 1 第一课时一元二次不等式的解法 不等式的解集为了x 2≤x一 由根与系数的关系，得) a 必备知识·自主梳理 1 1 当a=一2时，不等式的解集为{一 (一)1.未知数2 X3, 一2时，不等式的解 集 即学即练] 当a< 解得a=-6,c=-1. 1.(1)×(2)×(3)/ 为x -1x 2) (2)由a=-6,c=-1知不等式a.x2十(ac十2) a 2.2和一2 x十2c0可化为-6.x2+8.x-20, 对点训练 (二){xxx1,或x>x2} r<x< 解 1)当a=0时，不等式可化为x-2: 则3x2一4x十1≤0， >0. 「即学即练] .原不等式的解集为{xx2}, 解得3≤r≤1， 1.{<-或x⊙1} 2.3.-2,31 (2)当a≠0时，方程a.x2十(1-2a)x-2=0; 所以不等式的解条为{红号≤≤} 关键能力·合作探究 的两根分别为2和一1 素养演练·提升技能 a T典例1]解(1)方程x2一5x一6=0的两！ :1.A[不等式a.x2一(2十a)x+2>0化为 根为x1=一1，x2=6. ①当a<-2时，解不等式得 1<<2, (a-2)(x-1)>0,a>2,2<1,故 原不学式的解为{。<}： a 结合二次函数y一x2一5x一6的图象知，原！ 不等式的解集为{xx<一1或x>6}. 不等式的解集为{xx<2或x>1}.] a (2)原不等式可化为(x一2)(x十3)>0. 方程(x一2)(x十3)=0的两根为x1=2, ②当a=一时，不等式无解， :2.BCD,[因为不等式ax2+bx十c>0的解集 x=-3. 故原不等式的解集为⑦； {一2<<2}所以相应的二次函 为了x 结合二次函数y=(x一2)(x十3)的图象知，原 不等式的解集为{xx<一3或x2}. ③当-之<口<0时，解不等式得2<x; 数y=a.x十bx十c的图象开口向下，所以 (3)由原不等式得82-8.x十4>4x-x2. a, a<0,故A错误：易知2和-7是方程ax 261 十b1十c=0的两个报，则有合=-1<0 显解集不同；对于C,一3)（十1）>0的解 所以投入成本增加的比例x的取值范圆 b=3>0,又a<0,故b>0,c>0,故 集为{xx>3},故两个解集相同；对于D,i 为{0<<号} B、C正确：由二次函数的图象可知，当x=1 二D0的解条为z>-1且表卷清专入提升技能≤：≤1，B=江0< 一3 时，y=a十b+c>0,故D正确. ≠3}，与x十1>0的解集不同.故远C.] x≤2}，∴A∩B={x0<x≤1}.] 3.B[若关于x的不等式 +<0的2.解 ,不等式ax-b>0的解集是 x十ax十c >}a>0.且a=2 2.B[不等式1移项得 2一x 1≥0，即 解集为{x -1<<-或2<<1} 3 则不等式二>0等价于一L>0. x4 年+ (一2)0，解 则关于x的不等式 cx十i<0可看 x十5 -x十5 0,可化为 ∴.(x-1)(x-5)<0,解得1<x<5. x-2 x-2≠0 成前者不等式中的x用上代替得到的，则典例2不解若m0,显然-1之6恒成 因此原不等式的解集为{x1<x5}. 得 x<2,则原不等式的解集 1 ∈ -1x<- 号<<} 立；若m≠0，则{n0; 1△=n+4n0, 则x∈(x-3<x<-1或1之x<2},故 解得一4n0. 13.D[因为不等式ax2十bx十c>0的解集为 选B. 综上，n的取值范为{n一4n0}. {x一2<x<1},所以a<0,且一2和1是 4明以方程上士9的两根是2 一元二次方程ax2十bx十c=0的两个实 1,所以一b= -2+1= -1,即b=1,c (-2)×1=一2，所以b十c= -1.不等式2+ 家不中兴酵尚不呼剂 根，所以一2十1=一 ,-2X1=￡，即 bx+c>0的解集是{xx<-2或x>1}, ∫n>0, △=n2+4m0, 解得n∈，所以不存在 c=一2a,b=a,所以不等式c.x2-a.x十b>0 不等式x2十b.x十c0的解集是{x一2 x≤1}，所以远项A,B,D正确.」] m∈R,使得Hx∈R,不等式mx2-m.x-1i 可化为一2a.x2一a.x十a>0,因为a0,所以 -10 [设y=a.x2+8(a+1)x+7a+16, 20 2x2+x-1>0,即(2x-1)(x+1)>0,解得 其图象为抛物线，对于任意一个给定的2：2.解由不等式mx2一x一1<0得 值，其抛物线只有在开口向下的情况下才： n(x2x)1, >2或x<-1.] 能满足y≥0，而整数解只有有限个，所以： 因为x∈{x2x3},所以x2-x>0, 4.{t10t15,t∈Ny [z=(t+10)(-t a<0,因为0为其中一个解，所以可以求得！ 35),依题意有(t十10)·(-t+35)≥500， 6 解得10≤≤15，t∈N,所以解集为{t10 a≥ ,又a∈Z,所以a=-2或a=-1, 所以m(x-x)<1可化为m<2 1 I15N 则不等式为一2x2一8x十2≥0和一x2十9 因为x2-x=（x一2) 一4 ≤6， 5.解设DN的长为x(x>0)m, ≥0，可分别求得一2一√x≤√5一2和 1 则AN的长为(x+2)m. 一3≤x≤3，因为x为整数，所以x=一4， 所以2一x 行，所以m<行 因 ANAM,所以AM=3(x+2) DN DC -3,-2,-1,0和x=-3,-2,-1,0,1,2, 3,所以全部不等式的整数解的和为一10.] 即m的取值范是{K言} 所以SE形AwPN=AN·AM=3(x十2) 第二课时一元二次不等式的应用 :对点训练 、A [,2x2一k.x一k>0对于一切实数恒成{ 必备知识·自主梳理 由SE形AwPN>32,得3(x十2 ->32 立，.△=(-k)2-4X2×(-k)=k2+8k (一)(a.x+b)(cx+d)>0(0} ! 0,解得一8k0. 又x>0,得3.x2-20.x+12>0. 即学即练] 1解2原不等式→(x-1)(x-2)<2.解 (1)若m=0,显然-1<0恒成立： m≠0，则m<0； 解得0<<号或x>6, 0,解得1<<2. [≤1,1 △=m2十4n0 4< 即DN的长的取值范围是 2.{xx≥1或x0} 0. 0,{z1)20≥1或<0.] ,∴.n的取值范圆为{m一4<m0}. K号或} (2)y -n十5恒成立， 1x≠0， 章末综合提升 (二)1.a>0 △0a<0△<0 即n(x2一x+1)一6<0恒成立， 题型 「即学即练 11,C[因为c<a,且ac0,所以c<0,a>0 1.{a -2<a<2}[由题意可得△=a2一4< A成立，因为ba,ba0,所以c(b一a) 0,所以-2<a2.] 6 >0,B成立.C不一定成立，当b=0时，cb 2.{mn>1} 「由题意可得△=2一4m<0, <ab不成立.D成立，因为c<a,所以a一c 所以m>1 6 关键能力·合作探究 ,函数y 在 >0,所以ac(a-c)<0.] x-x+1 3 [典例1] 解(1)2x十1 2 2.C[0<a<1,∴.0a21, 1>1,-1 1-x 0→(2x+1)(1一x)i 0, 1≤x≤3时的最小值为7， <-a<0,0<a2<a,因此，1 >a>a2> 不等式等价于(+2)(x-1)>0,解得 小只需m<号即可 -a.故远C. :3.BC[若a>0>b,0>c>d,则ac<bd,故 x>1或x m的取值范国为{mm<号} A错；若ab>0,bc-al>0,则cad>0, ab 故原不等式的解集为{红x>1或<-立} 1 ·「典例37 解(1)降低税率后的税率为！ (10-x)%,农产品的收购量为a(1 化简得￡一4>0，故B对；若c>d,则 (2)因为十 ≤1，所以十1 -10, 2x%)万担，收购总金额为200a(1十2x%)! 一d>一c,又a>b,则a一d>b一c,故C对： 2x- 2.x-3 万元 所以4≤0 依题意得y=200a(1十2.x%)(10一x)% 若a=-1,b=-2,c=2,d=1,则4=b 2.x-3 则(4-x)(2x一3)0且2x≠3. 50a(100+2.x)(10-x)(0<x<10). =一1，故D错.] (2)原计划税收为200a×10%-20a(万元). 4 -1≤a-b≤6 [,-1b2,∴.-2≤-b ∴.(x-4)x- 2)≥0且x≠ 1,又1a5,,.-1a-b6.] 2 从而 或≥4. 依题意得0a(100+2x)(10-x)≥20a×;题型三 1.B[x+y=2 83.2%,化简得x2+40.x一840， 解得42≤x≤2 2x于2y_(x十3v)+(x一2=1， 故原不等式的解集为) 又因为0<x10,所以0r2. 对点训练 即x的取值范固为{x0x2}. x>y>0,∴x-y>0, 1.C[对于A,x2-2x<3的解集为{x-1<对点训练 3},由-2 3 解 1)由题意得 所以，3yy T- y-[12(1+0.75x)-10(1+x)]×10000 x-1 =x+3v)+(x-y2(2 ×(1+0.6x)(0x<1),整理得y= x+3v-v (红十1)(，一3》<0，解集为{x<-1或1< -6000.x2+2000.x+20000(0<x<1). 无一1 3+ 2(x-y)1x十3y1 3},所以解集不同：对于B,x十2-3x+2 1 (2)要保证本年度的年利润比上年度有所} 4 x+3yx-y」 增加，必须有2红0x10000≥0， 74 3+2 /2(x-y).x+3y V 3y I-y <5 x2-3.x+2 →{x<5,.x2-3x十2≠0，明 即60002 1 {0x1, 20>0,解得0<1<3 3+2W2 4 262