2.1 等式性质与不等式性质-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

第二章 a P=20+2w 一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质 明学习目标 知结构体系 1.理解不等关系与不等式的概念 课标 2.理解实数大小比较的依据. 比较两个实数大小的依据 要求 3.理解等式、不等式的性质， 等式性质与 不等式性质 等式及等式的性质 重点 重点：用作差法比较两实数的大小、不等式的性质。 不等式的性质及应用 难点 难点：不等式性质的应用， 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)不等关系与不等式 :(二)等式性质与不等式性质 1.实数a,b的比较大小 1.等式的基本性质 文字语言 数学语言 等价条件 性质 性质内容 a-b是正数 a-b>0 a=b 1 如果a=b,那么 a-b等于零 a-b=0 a=b a-b是负数 a-b<0 a<b 2 如果a=b,b=c,那么 2.重要不等式 如果a=b,那么a士c=b士c 般地，Va,b∈R,有a2十b2≥2ab,当且仅当 如果a=b,那么ac=bc 时，等号成立 [即学即练] 5 如果a=b,c≠0，那么4=b 1.若x<0,则x-2与2x-2的大小关系是 不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 2.如图，在日常生活中，我们经常看到下列标志： 1 对称性 ab a 台 50 10t 3.5m 2 传递性 a>b,b>c→a 不可逆 ① ② ③ ④ 可加性 a>b台a+c b+c 可逆 其含义分别为 a>b,c>0→ ①最低限速：限制行驶速度v不得低于50km/h; 可乘性 c的符号 a>b,0→ ②限制质量：装载总质量m不得超过10t; ③限制高度：装载高度h不得超过3.5m; 同向可 a>b,c>d→ 同向 加性 ④限制宽度：装载宽度a不得超过3m. 你能用数学式子表示上述关系吗？ 同向同正 同向， 6 >b>0,c>d>0→ 可乘性 同正 a>b>0→a" b 7 可乘方性 同正 (n∈N,n≥2) 23 数学必修第一册 [即学即练] (3)Hx∈R,都有x2>x-1. ( 1.判断正误 (4)a,b,c为实数，在等式中，若a=b,则ac= bc;在不等式中，若a>b,则ac>bc. ( (1)若8>1，则a>6. ）:2.与a>b等价的不等式是 ( (2)a与b的差是非负实数，可表示为a->0. A.lal> B.a2>62 ( c>1 D.a3>63 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一作差法比较大小 ③对于正数a6加，若a<6.则号<+册 [典例1]已知a>0,试比较a与的大小. 其中是真命题的序号是 听课记录 听课记录 :…/方法技巧/ /方法技巧/ 1.作差法比较两个实数（代数式）大小的步骤 利用不等式的性质判断命题真假的注意点： 第一步：作差并变形，通常将差化为完全平 (1)要注意不等式成立的条件，不要弱化条件， 方和或多个因式积的形式： 尤其是不能想当然随意捏造性质 第二步：判断差值与零的大小关系. (2)采用特殊值法进行排除，注意取值一是满 第三步：得出结论. 足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算， 2.对于两个正值，也可采用作商的方法，比较 商与1的大小. 对点训练 对点训练 1.若x>y,m>n,下列不等式正确的是 ( A.x-m>y-n B.xm>yn 已知x∈R且x≠-1，试比较十，与1-x的 C.na>my D.m-y>n-x :2.已知a+b<0,且a>0,则 ( 大小 A.a2<-ab<62 B.62<-ab<a2 C.a2<62<-ab D.-ab<62<a2 题点三利用不等式的性质证明简单的不等式 [典例3]若a>b>0,c<d<0,e<0, 求证a-c)>-d e e 听课记录 题点二利用不等式的性质判断命题的真假 [典例2】1)（多选）若<<0，则下面四个不 等式成立的有 A.la>b B.a<b C.a+b<ab D.a3>63 (2)给出下列命题： ①若a>则a>≥06c0: ②若a>b,c>d,则ac>bd; 24 第二章 一元二次函数、方程和不等式 /方法技巧/ 题点四利用不等式的性质求范围 利用不等式的性质证明不等式的注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些 [典例4]已知1<a<6,3<b<4,求a-b,分的 不等式.解决此类问题一定要在理解的基础 取值范围。 上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中 听课记录 灵活准确地加以应用 (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧 扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件 或跳步推导，更不能随意构造性质与法则： 对点训练 已知a>b>0,c<d<0,|b>|c|,求证： /方法技巧/ (1)b+c>0: 1.利用不等式的性质求取值范围，要建立待求范 围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用 一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围. 2.同向不等式的两边可以相加，这种转化不是 等价变形，如果在解题过程中多次使用这种 转化，就有可能扩大其取值范围. 对点训练 :1.已知-1≤a≤3,2≤b≤4，则2a-b的取值范 围是 ( A.-6≤2a-b≤4 B.0≤2a-b≤10 C.-4≤2a-b≤2 D.-5≤2a-b≤1 2.已知0<a十b<2,-1<b-a<1,则2a-b的取 值范围是 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.已知a,b,c满足a>b>c,且ac>0,则下列选项 之和.那么这四名同学中阅读量最大的是 中一定能成立的是 ) A.ab-ac B.c(b-a)>0 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 C.ab(a-c)>0 D.cb2>ca2 4.某花店搞活动，6支红玫瑰与3支黄玫瑰的价 2.若实数a,β满足一 <a<-，则a-的 格之和大于24元，而4支红玫瑰与5支黄玫瑰 的价格之和小于22元，那么2支红玫瑰与3支 取值范围是 ( ) 黄玫瑰的价格比较的结果是 ( A.-<a-K- A.2支红玫瑰贵 B.3支黄玫瑰贵 C.相同 D.不能确定 C.-2a-K D.言。A0 5.已知三个不等式：ab>0,bc-ad>0,￡-4>0 'a b 3.在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量 (其中a,b,c,d均为实数)，用其中两个不等式 有如下关系：甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅 作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一 读量之和相同，丙、丁的阅读量之和大于甲、乙 个命题，可组成正确命题的个数是 的阅读量之和，乙的阅读量大于甲、丁的阅读量 温馨提示 请做课时分层检测（九） 254.-1 2[BUC={x一3<x≤4}，.A:关键能力·合作探究 [典例4]解3b<4,∴.一4<-b< BUC,An(BUQ人由题意c典例1门解因为a-。=。 xb}={x一1x2},,.a= a =!i-4<a-b<6-3,即-3<a-b3. -1,b=2.] 题型四 a-a+Da>0,所以当。>1时又子<六<分 1.B[由a>b十1>b,得“a>b十1”可推出 “a>b,而“a>b”不能推出“a>b士1 ,所 (a-1)(a十12>0，有a>】 <号<号，即<2 以a>b是a>b十1的必要不充分条件，故 对点训练 选B. 2.A[若x>2且y3,则x十y>2十3=5，· 当a=1时，a-a=0,有a=,尽因为21a≤324 可得-2≤2a6,-4-b≤一2， 所以p是q成立的充分条件，当x1，y一5 当0<a<1时，a-D(a+D<0,有所以-2会42866-2。 时，满足x十y>5,但是不满足x>2且y> 即一62a一b4.故选A.] 3,所以p不是q成立的必要条件，综上所 42.- 3 述，p是q成立的充分不必要条件.] <2a-b<号 [因为0<a十b<2, 3. 7或 [p:x2+x-6=0,即x=2或 综上，当a>1时，a>1 -1<-a十b<1, 3 x=一3.q:ax+1=0,当a=0时，方程无 当a=1时，a= 1 且2a-b=2(a+b)-2（-a+b), 解：当a≠0时，x= ,由题意知pPq, 结合不等式的性质可得，一 3 <2a-b qP,故a=0舍去；当a≠0时，应有一 当0<a<1时，a<a 2 a对点训练 2.7 =2或一 1 a =一3，解得a=一 1或a= 解 启踪上可知a=之或a=宁】 1千 -(1-)=1-(1-2) x2 1十x 1十x’:素养演练·提升技能 1 G L取a=一1，b=-2,c=一3， : 4.解(1)A={x-1x<3}. 当x=0时千x1-x 则ab=2<ac=3,c=-12<c2=-3,排除 A、D:取a=3,b=2,c=1,则c(b一a)=一1 因为a=2,所以B={x0x4}, 2 所以AUB={x一1<x<4},A∩B={x0i 当1十x<0,即<-1时，千z<0, 0,排除B:因为a>b>c,且ac>0,所以a,b,c 同号，且ac,所以ab(a一c)>0,故远C, 3 (2)因为力是9成立的必要不充分条件，所： 1x <1一x 2.D[因为一 2<a<3< ,所以一 3 2 以B三A, 当1十x>0且x≠0，即一1<x0或x>0i 当B-☑时，2一a≥2十a,得a0: 时，1十x 0，…1+x >1-x <a<-3,3<一B<立a一B<0,所以 2-a2+a, 当B≠时，2-a≥一1，等号不能同时 <a3<0.] [典例2](1)CD(2)①③ 6 (2十a3, 取到，解得0a1 [()由女3.C设甲、乙，丙、丁的阅读量分别为」 a 所以实数a的取值范圆是{aa1}. ! 0可得b<a<0,从而ab,A,B x2,西x,则≥0，x2≥0，xg≥0，x≥0 题型五 由甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之 1.A[因为命题“Hx>0,x2一2x+1≥0”是， 均不正确；a十b<0,ab>0,则a十b<ab成： 和相同，可得x1十x3 ①，由丙、 全称量词命题，全称量词命题的否定是存} 立，C正确：a3>,D正确， 丁的阅读量之和大于甲、乙的阅读量之和 在量词命题，所以命题“Hx>0,x2x十1！ a>b→b-a0， .1 可得x十x ②，由乙的阅读量 ≥0”的否定是“3x>0,x2一2x十1<0”.故1 (2)11 b0→ → 大于甲、丁的阅读量之和，可得x>x1十 远A.] a>7 a ③，由②一①得，x2一x3r x2> 2.ACD[对于A,当x≥0时，x十1一x=11 ab0. 2(x-x3)<0>x2<x3,由②十①得，2x1十 ≠0：当x<0时，x十1一x=一2x十1=0， .a>b,a>0且b0,故①为真命题 x2十xg<x2十x3十2x1>x1x4,由③得 对于②，若a=0,b=一1，c=2,d=一2，则1 即x= >0,不满足题意，故方程无解，故！ x2>x1 12 >工·x3>xx>x1,即阅 ac=0bl=2,②错误； 量最大的是丙.] A是假命题： 对于③，对于正数a,b,n, 4.A [设1支红玫瑰和1支黄玫瑰的价格分 对于B,当-√2<x<2时，x2<0,故B 若ab,则anbn, 为x元，y元，由题意可得 正确：对于C,若平行四边形对角线相等，！ 所以an十abbn十ab, 了6x+3v>24(*) 则该平行四边形是矩形，本题并不是平行！ 所以0a(b十n)b(a十m), 14x十5y22, 四边形而是一般四边形，故不一定为矩形， 令2x-3y=m(6.x十3y)+n(4x十5y)= 故C是假命题；对于D,2是素数，但不是奇 又汉之>0所以号正确， (6m十4n)x+(3n十5n)y,则 数，故D是假命题.故选A、C、D.门 综上，真命题的序号是①③.] 11 3.{mm≥3}Hx∈R,Wx十3≠n [依题意，对点训练 6n十41=2， ,解得∫m= 9 关于x的方程G+3=m有实根，√元十3≥1D[取m=1,n=一2，x=2,y=1,则有x一 3n十51= —3 4 3,∴.m3.即实数n的取值范图是{nm≥ <y一，故A错；取m=0,n=-1,x=-1,y 3， -2,则有<y,故B错：取n1,n 6x+3-(4r+5 11 4 3}.7p:Hx∈R,√x+3≠m.] 所以2x-3y= 4.解 关于x的一元二次方程x2十(2a十1).xi 2,x=2,y=1,则有.z<y,故C错.x>y,故i 一y,故n一rm一y,故D对.] 十a2十2=0的解集非空， 2.A[由a十b0,且a>0可得b<0,且a<-b. .△=(2a+1)2-4(a+2)≥0， 由()得 (6+)>号×24 9 即4a-7≥0， 因为a2-（-ab)=a(a十b)<0,所以0<a2: 4(4.x十5y)> 3 ×22, 3 解得a≥ 4 又0<a<-b,所以0<-ab<(-b)2, 号(6x+3)-专(4x+0>号×24 所以 4 实数a的取值范國为{aa≥子} 所以0a”< ab<b,远A.] [典例3]证明c<0,. -c>-d0. 4 又a>b>0,.a-c>b-d>0. 3 -×22=0,所以2x-3y>0,所以2x≥ 第二章 一元二次函数、方程 .(a-c)>(h-d02>0. 3y,所以2支红玫瑰贵，故选A] 15.3[若ab>0,br-ad>0成立，不等式bc- 和不等式 两边同乘以 (a-c)(b-d1 ad>0两边同除以b可得仁-4>0，即 2.1 等式性质与不等式性质 得 a-c)(b-d) ab0,r-ad≥0→一6>0：若ab>0, a 必备知识·自主梳理 (一)2a= 「即学即练 又eK0心a- e (b-d)2 >0成立，不等式C 4>0两边 :对点训练 1.x-2>2x-2[因为x-2-(2.x-2) -x>0,所以x 证明(1).b>c且b>0,c0, 同来ab,可得c-ad>0,即ab>0,合 -2>2x-2 2.解①w≥50；②n10:③h3.5;④a3.1 ..0> -c,即b+c>0. 名>0>ic-a>0:若6-4>0，bc-ad (二)1.b=a a=c ac>be (2).'c<d0,.-c>-d0, a ac<bc a-c>b-+d ac>bd> 又a>b>0,.∴.a-c>b-0, 「即学即练] 1 0成立，则C一=ab2>0,又x a b 1.(1)×(2)×(3)/(4)× a-c0, >0,bc-ad-0 2.D[可利用赋值法.令a=1,b=一2，满足！ ad>0,则ab>0,即￡ a>b,但a<b,u<b,方 a-cb-d b-d'a-cb-d ab⊙>0.综上可知，以三个不等式中任意 故A,B,C都不正确.] 即6 两个为条件都可推出第三个不等式成立， a-cb-d 故可组成的正确命题有3个，] 259