1.5.1 全称量词与存在量词-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

素养演练·提升技能 2.解 令y=x2十4x-1,x≥1，则y=(x+1 a-4xa十5}， 1.AB 易知card(AUB)=card(A) 2)2 5≥(1+2)2 -5=4,因为Hx≥1，不！ card(B) card(A∩B).A∩B 也就 是 ∫a 等式x2十4x -1>m恒成立，所以只要m< 4≤一3解得-3≤a≤1， 1a十5≥2， 集合A与集合B没有公共元素，A 是真命 4即可.所以所求m的取值范周是{nn 即实数a的取值范周是{a一3a1}. 题：A二B,也就是集合A中的元素 都是 :素养演练·提升技能 合B中的元素B是真命题：A华B, 对点训练 [将“]”改写成“”，“>”改写为“” A中至少有 个元素不是集合B 的 解 命题“3x∈R,x2 即可，故选C.门 元素，因此A中的元素的个数有可能多 命题， B中的元素的个数，C 是假命题；A 4r十a=0”为真2.D将”改写为“3”3”改写为“ 再否定结论可得命题的否定为“]x∈R, 就是集合A中的元素与集合B中的元素完 ∴.方程x2一4x十a=0存在实数根， 则△=（一4）2 4a≥0，解得a4. Hn∈N”,使得nx2”.故选D.] 全相同，但两个集合中的元素个数相同，并 来养餐整：提野接酯四是0 3.C 不意味着它们的元素相同，D是假命题. 14.D「若命题力：/x∈{x1x2},x2一a 2.C a+a2b-a2 一a方+0+力=a“（a十b) ,1.D「①真命题，如当x=一1时，x0:②真 ≥0为真命题，则ax2在x∈{x1x a(a+b)+(a+b)=(a+b)(a2 -a+1). 命题，1既不是合数，也不是素数：③真命 +1= 2}时恒成立，a1 因为对任意的a∈R,a a 题，如x=,x2=√5为无理数，故远D.] 若命题q:3x∈R,x2+2ax+4=0为真命 (a-)+>0, 2.A [对于p,由于是存在量词命题，当x一1 题，则△=(2a)2一16≥0，解得a一2或 a≥2.，命题一p和命题g都是真命题， 所以a3十a2b-a2 时，x一x十1=1≥0成立，故p是真命题；i -ab-a-b= 对于g,(-2)2<(-3)2,但一2<一3不成 解得a≥2.] 立，故q是假命题. 1a一2或a≥2， 因此：“a士b-0”是"a3+a6-a2-ab十a十3.C'[B,D是存在量词命题，故应排除；对于5.{aa≥1} [由题意得，p:一3x1 b=0”的充要条件.] 3.C[由已知，p:{x-2x≤10}，由p是q A,二次函数y=ax2+bx十c(a<0)的图象 g:xa.因为一g的一个充分不必要条件 的充要条件得{x 开口向下，也应排除，故远C 是一p,所以{x 一3x1}年{xx≤a}, -2x≤10} m≤x≤4+m,m>0},因此4.A ,p是假命题，.方程x2十4x十a=0i 所以a≥1.故答案为{aa≥1}.」 ,2,解得m=6.] 没有实数根，即△=16-4a0,.a>4] 5.aa3 24+m=10, 4,B若“xa-1或x>a+1”是“r>2或x 对于任意3，工4恒成立，题型 章末综合提升 即大于3的数恒大于a,所以a3.门 1”的必要不充分条件，则 「.'a∈A,b∈A,x=a十b 1.5.2 全称量词命题和存在 所以x=2,3,4,5,6,8,.B中有6个 {81,且等号不同时成主，即0 量词命题的否定 元素 必备知识·自主梳理 2. 易知A={1,2},又AUB={0,1,2}, a1. 5.m=-2[函数y=x2+mx+1的图象关3x∈M,7(x)Hx∈M,p(x) 存在 所以集合B可以是：{0}，{0,1}，{0,2}，{0， 量词命题 全称量词命题 .2. 于直线工=1对称，则-公=1，即m=一2即学即练 3.3或 L当n+2=5时，m=3,M={1,5, 反的当”2时，则函数y2+mx+ 写量词，否定结论，变为存在量词 13},符合题意： 命题. 当n2十4=5时，n=1或n=一1. 1的图象关于直线x一1对称，] 2.A 存在量词命题的否定是全称量词！ 若m=1,M={1,3,5},符合题意；若m 1.5.1 全称量词与存在量词 命题. 一1，则m十2=1，不满足元素的互异性，故 必备知识·自主梳理 :3.所有的三角形都不是直角三角形 命题： m=3或1.] x∈M,p(x) “有的三角形是直角三角形”是存在量词命14.5[当x=0,y=0时，x一y=0:当x=0,y=1 1.H 全称量词 2.3 存在量词 3x∈M,p(x) 题，其否定是全称量词命题，即所有的三角 时，x一v= 1:当x=0,y=2时，x一v= -21 即学即练] 形都不是直角三角形.门 当x=1,y=0时，x-y-1;当x=1,y=1时， 1. 「命题①Q含有全称量词，命题③可以：关键能力·合作探究 -v=0:当x=1,y=2时，x一y 1:当x= 叙述为“任意一个三角形的内角和都是：典例 解(1)存在一个能被2整除的整， 2,y=0时，x一y=2:当x=2,y=1时，x一y 180”,故三个都是全称量词命题.门 数不是偶数： 1:当x一2，y一2时，x一y=0.根据集合中元 (2)存在一个三角形，它的三个顶，点不在同 2.①②③ ④ 素的互异性知，B中元素有0， 1, -2,1,2, 一个圆上 关能舅容探哭 5个，」 (3)存在实数x不是方程5.x-12-0的根，：题型 [典例的，解可以改写为“所有的凸多对点训练 1.D「因为P={xx>4},则CRP={xx 1.C「厂根据全称量词命题的否定是存在量词 边形的外角和等于360°”，故为全称量词 4},所以Q三(CRP).] 命题 命题，所以“Hx∈R,x x+1=0”的否定2.D (2)含有存在量词“有的”，故是存在量词 为“]x∈R,x -x+1≠0”. 「由x2-3x十2=0得x=1或x=2, A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4}, 命题 2.C[命题“对任意的x∈R,x3-2x十1≤0” .满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}， (3)含有全称量词“任意”，故是全称量词 的否定是“存在x∈R,x3一2x十1>0”. {1,2,4},{1,2,3,4}. 命题 [典例2] 解 (1)任意一个梯形的对角线都：3.A「因为全集U-{x0<x<9},A={x1 对点训练 不互相平分，命题的否定为真命题， <xa},若非空集合A二U,则只需 解(1)全称量词命题.表示为Hn∈N, (2)对任意k∈R,函数y kx十b不随x值 712≥0. 的增大而减小，命题的否定为假命题， al即1<a≤9.] a9, (2)存在量词命题，月一次函数，它的图象： (3)命题的否定是“Hx,y∈Z,W√2x十y≠ 过原，点 3”.当x=0,y=3时，W2x+y=3,因此命 4.aa<-2,或2≤a<1}[因为a<1,所 (3)全称量词命题.H二次函数，它的图象！ 的否定是假命题 以2aa十1，所以B≠⑦.画数轴如图 的开口都向上 点训练 所示 「典例21 解(1)是全称量词命题，因为1.B 命题“存在x∈R,使得x2十2x1”为 Hx∈N,2x十1都是奇数，所以该命题是真： 在量词命题，该命题的否定为对任意x∈ 命题 2aa+1-012aa+1d (2)是存在量词命题.因为不存在x∈R,使！ R,都有x十2x≥1.] 由BA知，a十1-1或2a≥1 2群 (1)b:/x>1,x”-2x-3≠0.（假） 二1=0成立，所以该命题是假命题 (2)p:所有的素数都不是奇数.（假）. 解之得a<-2或a≥2· 对点训练 (3)一：所有的平行四边形都是矩形. 由已知a<1,所以a<-2或，≤a<1, 解(1)因为一1∈Z,且(-1)3=一1<1， (假) [典例3]解若命题p:]x∈R,x2十2x十 所以“]x∈Z,x3<1”是真命题. 即所求a的取值范周是{aa<一2，或1 (2)由有序实数对与平面直角坐标系中的 a=0为真命题，则△=22-4a≥0，∴.a≤1. 点的对应关系知，它是真命题， 若命题q:Hx∈ 0≤x≤立}i a<1}. (3)因为0∈N,02=0,所以命题“Hx∈N, !题型三 x2>0”是假命题. 0为真命题，则a≥x,即a≥(x2)mx1.AC 全集U={0,1,2,3,4},A={0, [典例3]解令y=x2十4x1,x∈R,则 .a24 y=(x十2)一5≥-5，因为Hx∈R,不等 式x2十4x-1>m恒成立，所以只要m 的真子集个数为2一1=7，故远A、C,] ∴p,g均为假命题时 1 无解即⑦，2. 「由集合P={x2x4},Q={x1 一5即可.所以所求m的取值范是{nn 4 x<3},可得(CRP)∩Q={xx2或x 其补集为R, 属 4}∩{x1x<3}={x1<x2},故 远C 1.解令y=一x2十4x一1，因为y=一x2十1 p,q至少有一个为真命题时，实数a的取 值范图为R 4x-1=-(x-2)2+3≤3，又因为3x∈对点训练 3.B[由题意，集合M-{x∈Z一1d 2}={x∈Z0x3}={0,1,2,3},N R,-x4x-1>n有解，所以只要n小 解因为一力是假命题，所以力是真命题，， {xx=2k十1，k∈N},所以阴影部分表示 y的最大值即可，所以所求n的取值范！ 又Hx∈{x -3≤x≤2}，都有x∈{xa-4! 图是{mm<3}. ≤x≤a+5},所以{x-3≤x≤2}二{x 的集合为(CN)∩M={0,1,2},有3个 元素。 258第一章集合与常用逻辑用语 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.(多选)有限集合S中元素的个数记作card(S).:3.已知p:{x|x+2≥0且x-10≤0}，q:{x|4- 设A,B都为有限集合，则下列命题中是真命题； m≤x≤4十m,m>0},若p是q的充要条件，则 的有 ( 实数m的值是 () A.A∩B=的充要条件是card(AUB)= A.4 B.5 card(A)+card(B) C.6 D.7 B.ACB的必要条件是card(A)≤card(B) :4.已知“x<a-1或x>a+1”是“x>2或x< C.A车B的必要条件是card(A)≤card(B) 一1”的必要不充分条件，则实数a的取值范 D.A=B的充要条件是card(A)=card(B) 围是 () 2.若a,b∈R,则“a+b=0”是“a3+a2b-a2-ab+ A.{a|0a<2} B.{a0≤a≤1} a十b=0”的 C.{a0<a≤2 D.{a1<a≤2} A.充分不必要条件 5.函数y=x2十m.x十1的图象关于直线x=1对 B.必要不充分条件 称的充要条件是 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 温馨提示 请做课时分层检测（六）》 1.5.1全称量词与存在量词 明学习目标 知结构体系 1.理解全称量词、全称量词命题的意义」 课标 2.理解存在量词、存在量词命题的意义， 要求 3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会 全称量词 全称量词 命题 判断它们的真假 真假判断 存在量词 存在量词 命题 重点 重点：全称量词和存在量词的意义。 难点 难点：判定全称量词命题和存在量词命题的真假， 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 1.全称量词与全称量词命题 :2.存在量词与存在量词命题 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中 短语“存在一个”“至少有一个”在逻 定义 定义 通常叫做全称量词 辑中通常叫做存在量词 全称量词 存在量词 符号 符号表示 表示 定义 含有 的命题，叫做全称 含有 的命题，叫做存 定义 量词命题 在量词命题 全称量 一般 对M中任意一个x,p(x)成立（说 存在量 一般 存在M中的元素x,p(x)成立（说 词命题 形式 明：M表示变量x的取值范围) 词命题 形式 明：M表示变量x的取值范围) 符号 符号 表示 表示 15 数学必修第一册 [即学即练] ①菱形的四条边相等； 1.下列命题中全称量词命题的个数为 ②所有含两个60°角的三角形是等边三角形； ①任意一个自然数都是正整数； ③负数的立方根不等于0； ②所有的偶数都是合数； ④至少有一个负整数是奇数； ③三角形的内角和是180°. ⑤所有有理数都是实数吗？ A.0 B.1 C.2 D.3 3.命题p:3x∈R,.x2十2x十5=0是 (填 2.下列语句中，是全称量词命题的是 ,是 “全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是 存在量词命题的是 (填序号) 命题（填“真”或“假”）. 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一全称量词命题与存在量词命题的识别 题点二 全称量词命题与存在量词命题的真假 [典例1]判断下列命题是全称量词命题，还是 判断 存在量词命题： [典例2]指出下列命题是全称量词命题还是存 (1)凸多边形的外角和等于360°； 在量词命题，并判断它们的真假， (2)有的速度方向不定； (1)Hx∈N,2.x+1是奇数； (3)对任意直角三角形的两锐角∠A,∠B,都有 sin∠A=cos∠B. (2)存在一个x∈R,使， 听课记录 听课记录 /方法技巧/… ……/方法技巧/ 判断一个命题是全称量词命题还是存在量词 (1)要判定一个存在量词命题为真，只要在给 命题的方法 定的集合内找到一个元素x,使p(x)成立即 判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命 可，否则命题为假 题的关键是看量词.由于某些全称量词命题的 (2)要判定一个全称量词命题为真，必须对给定 量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判 集合内的每一个元素x,(x)都成立，但要判定 断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题. 二个全称量词命题为假时，只要举一个反例. 对点训练 对点训练 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命 判断下列命题的真假， 题，并用符号“”或“3”表示下列命题： (1)]x∈Z,x3<1: (1)自然数的平方大于或等于零； (2)在平面直角坐标系中，任意有序实数对 (2)有的一次函数图象经过原点； (x,y)都对应一点P; (3)所有的二次函数的图象的开口都向上. (3)Hx∈N,x2>0. 16 第一章集合与常用逻辑用语 题点三根据含量词命题的真假求参数问题 /方法技巧/ [典例3]已知命题p:Vx∈R,不等式x2+4x 求解含有量词的命题中参数范围的策略 1>m恒成立.求实数m的取值范围. (1)对于全称量词命题“Vx∈M,a>y(或a< 听课记录 y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问 题，通常转化为求函数y的最大值（或最小 值)，即a>ymax（或a<ymin). (2)对于存在量词命题“]x∈M,a>y(或a< y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问 题，通常转化为求函数y的最小值（或最大 [拓展] 值)，即a>ymin(或a<ymax). 1.把本例中的条件变为：“存在实数x,使不等 式一x2+4x一1>m有解”，求实数m的取值 对点训练 范围 若命题“]x∈R,x2-4x十a=0”为真命题，求 实数a的取值范围. 2.把本例中的条件“Hx∈R”改为“Hx≥1”，求 实数的取值范围. 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.下列存在量词命题中真命题的个数是( A.每个二次函数的图象都开口向上 ①]x∈R,x≤0； B.存在一条直线与已知直线不平行 ②至少有一个整数，它既不是合数，也不是： C.对任意实数a,b,若a-b≤0，则a≤b 素数； D.存在一个实数x,使等式x2一2x十1=0成立 ③了x∈{xx是无理数}，x2是无理数. 4.已知命题p:了x∈R,x2十4x十a=0,若命题p A.0 B.1 C.2 D.3 是假命题，则实数a的取值范围是 ( ) 2.已知命题p:习x∈R,x2-x+1≥0；命题q:若！ A.ala>4) B.{aa<4》 a2<b2,则a<b.下列说法正确的是 C.{ala≥4} D.{aa≤4} A.p真q假 B.p真q真 :5.若对任意x>3,x>a恒成立，则实数a的取值 C.力假q假 D.p假q真 范围是 3.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是 温馨提示 请做课时分层检测（七） 17