1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教A版)

(4)命题是“过平面内任意两点有且只有一条直线”的简写，题，其否定是存在一个能被2整除的整数不是偶数 故为全称量词命题 2.B量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定 跟踪训练1：(1)可以改为：所有的凸多边形的外角和等于360°， 后为“它的平方不是有理数”，故选B. 故为全称量词命题 题型探究提技能 (2)可以改为：所有矩形的对角线不相等，故为全称量词 例1：(1)D（2)见解析 命题 【解析】(1)全称量词命题的否定是存在量词命题.VxeA, (3)含存在量词“有些”，故为存在量词命题 2x∈B的否定：]x∈A,2xB. (4)可改写为：存在一对整数x,y,使3x-2y=10成立.故为 (2)①该命题的否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平 存在量词命题 行.因为平行四边形的两组对边都平行，所以这是一个假 2:(1)真命题，因为≥0，所以2+1≥1,2+1>2恒成立. 命题 (2)真命题，例如a=0,B=1,符合题意 ②该命题的否定：]aeR,方程x2+aw+2=0没有实数根.当 (3)真命题，如数-2，-4等，既是偶数又是负数 a=0时，方程x2+2=0没有实数根，所以这是一个真命题」 ③该命题的否定：]a,b∈R,使方程x=b的解不唯一或不存在 (4)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为2，它的长 当a=0,b=1,方程x=b的解不存在，所以这是一个真命题. 度就不是有理数 ④该命题的否定：存在可以被5整除的整数，末位不是0；15 (5)假命题，因为该方程的判别式△=-31<0，故无实数解. 跟踪训练2：(1)全称量词命题.在平面直角坐标系中，任意有序 是可以被5整除的整数，但末位不是0.所以这是一个真 命题 实数对(x,y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以 该命题是真命题. 跟踪训练1：(1)该命题的否定：3x∈-2，-1,0,1,2}，1x-21 (2)存在量词命题.存在一个实数零，它的绝对值不是正数， <2 所以该命题是真命题 (2)该命题的否定：存在一个实数除以1，不等于这个数 (3)存在量词命题.取x=0,y=-5时，3×0-4×(-5)=20 (3)该命题的否定：存在一个分数不是有理数 成立，所以该命题是真命题 (4)该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似 (4)全称量词命题.0的0次方无意义，所以该命题是假命题 例2：(1)D(2)见解析 例3：(1)当1≤x≤2时，1+m≤x+m≤2+m,因为一次函数y= 【解析】 (1)命题p:]x>1,x2-4<0的否定是：Hx>1,x2 x+m的图象在x轴上方， -4≥0.故选D. 所以1+m>0,即m>-1,所以实数m的取值范围是mlm> (2)①HxeR,2x+1<0,为假命题.②VxeR,x2-x+1 -1}. (2)由题意得，关于x的方程ax2+2x-1=0有实数根， ≥0，所以是真命题.③一切分 当a=0时，方程为2x-1=0,显然有实数根，满足题意： 0因为2-x+人 当a≠0时，4=4+4a≥0，解得a≥-1，且a≠0. 数都是有理数，是真命题， 综上知，实数a的取值范围是ala≥-1}. 跟踪训练2：(1)该命题的否定：任意一个奇数都能被3整除.这 跟踪训练3：(1)C(2)m≥0 个命题是假命题，如5是奇数，但5不能被3整除 【解析】(1)依题意，方程x2-25x+m=0有实数解，则4 (2)该命题的否定：任意一个三角形的三个内角不都是60°， =(-25)2-4m≥0，所以m≤3，故选C. 这个命题是假命题，如等边三角形的三个内角都是60° (2)当xeR时，x2≥0，若“HxeR,mx2≥0”是真命题，则有m (3)该命题的否定：Vx∈R,有1x+11>1.这个命题为假命 ≥0. 题，如x=0时，不满足1x+11>1. 随堂检测 重反馈 3 (4)该命题的否定：任意xeR,x+x+子>0.因为x+x+ 1.B 2.ABA是真命题，由x3=3得x=5,是无理数，所以选项A 3 112 。11 =（x+2)+2≥2>0，这个命题是真命题 为真命题：B是真命题，当x=1时，3x+1=4是整数：C是假 例3：因为p为假命题，所以命题p:HxeR,m+x2-2x+5>0 命题，如x=2时，<3；D是假命题，如x=】, 2,2Z 为真命题，m+x-2x+5>0可化为m>-x2+2x-5=-(x 3.存在量词命题假命题P是存在量词命题，因为方程x2+ -1)2-4,即m>-(x-1)2-4对任意xeR恒成立，只需m 2x+5=0的判别式22-4×5<0，即方程x2+2x+5=0无实 >-4即可，故实数m的取值范围为{mlm>-4}. 根，所以命题P是假命题 (说明：本题也可利用二次函数y=x2-2x+5+m的图象恒在 4.1①由于Hx∈R,都有x2≥0，因而有x+2≥2>0，即x2+2 x轴上方，转化为对应方程△<0进行解题) >0,所以命题“Hx∈R,x2+2>0”是真命题.②由于0∈N, 跟踪训练3：A因为“了x∈R,使得不等式x2-4x-a-1<0” 当x=0时，x≥1不成立，所以命题“VxeN,x≥1”是假命 不成立，则不等式x2-4x-a-1≥0对Hx∈R恒成立，等价 题.③当x=y=0时，x2+y2=0,所以③是假命题 于xeR时a≤(x2-4x-1)mn恒成立，因为(x2-4x-1)n= -5,.a≤-5.故B、C、D不正确.故选A 1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 随堂检测重反馈 教材梳理 明要点 1.C命题p是存在量词命题，其否定形式为全称量词命题，即 新知初探 对任意的实数m,方程x2+mx+1=0无实数根。 知识点 2.D存在量词命题的否定是全称量词命题，故排除A;由命题 3xEM,-p(x) 的否定要否定结论，可排除C;由存在量词“3”应改为全称量 知识点二 词“V”,可排除B. VxEM,p(x) 3.至少有两个 预习自测 4.{ala≥1}因为p为假命题，所以p为真命题，所以Hx> 1.存在一个能被2整除的整数不是偶数原命题是全称量词命：0，x+a-1≠0，即x≠1-a,所以1-a≤0，即a≥1. 314025 1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定 教材梳理明要点 ©情境导入 “3+2=5”是可以判断真假的陈述句，是命题，是真命题；它的否定是 “3+2≠5”，是假命题.那么含有量词的命题“Hx∈R,x+1≥0”如何否定 呢？ [提示] [提示] ]x∈R,x+1<0 ⊙新知初探 知识点一全称量词命题的否定 1.对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论： 全称量词命题：Hx∈M,p(x),它的否定： 也就是说，全 称量词命题的否定是存在量词命题， 2.常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 [知识点反思] 至少有两个 一般命题的否定通常 大于 不大于 至少有n个 至多有(n-1)个 是在条件成立的前提 小于 不小于 至多有n个 至少有(n+1)个 下否定其结论，得到 真假性完全相反的两 任意的 某个 能 不能 个命题；含有一个量 所有的 某些 等于 不等于 词的命题的否定，是 在否定结论p(x)的同 知识点二存在量词命题的否定 时，改变量词的属 对于含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论： 性，即将全称量词改 为存在量词，存在量 存在量词命题：x∈M,p(x),它的否定： 也就是说， 词改为全称量词.一个 存在量词命题的否定是全称量词命题. [知识点反思] 命题和它的否定不能 同时为真，也不能同 预习自测 时为假，只能一真一 假 1.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是 2.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是 A.任意一个有理数，它的平方是有理数 B.任意一个无理数，它的平方不是有理数 C.存在一个有理数，它的平方是有理数 D.存在一个无理数，它的平方不是有理数 026 题型探究提技能 题型一 全称量词命题的否定 例 1.(1)已知A为奇数集，B为偶数集，命题p:Hx∈A,2x∈B,则（ A.p:Vx∈A,2xEB B.p:Hx庄A,2xEB [方法总结1] C.p:月x哇A,2x庄B D.7p:]x∈A,2xB /.对全称量词命题否 定的两个步骤 (2)写出下列全称量词命题的否定，并判断真假： ()改变量词：把全称 ①任何一个平行四边形的对边都平行； 量词换为恰当的存在 ②Ha∈R,方程x2+ax+2=0有实数根； 量词： ③Ha,b∈R,方程ax=b都有唯一解； 2)否定结论：原命题 中的“是”“成立” ④可以被5整除的整数，末位是0. ●[方法总结1] 等改为“不是”“不 成立”等 2.要说明一个全称量 词命题是假命题，只 需举一个反例即可. 》跟踪训练1 写出下列全称量词命题的否定： (1)Hx∈{-2，-1,0,1,2}，1x-2|≥2； (2)任何一个实数除以1，仍等于这个数； (3)所有分数都是有理数； (4)任意两个等边三角形都相似. ●027 题型二 存在量词命题的否定 例2(1)已知命题p:3>1,2-4<0,则p是 A.3x>1,x2-4≥0 B.3x≤1，x2-4<0 C.Hx≤1，x2-4≥0 D.Hx>1,x2-4≥0 (2)写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假. ①]x∈R,2x+1≥0： [方法总结2] 1.对存在量词命题否 ②]xeR,x-x+4<0; 定的两个步骤 ()改变量词：把存在 ③有些分数不是有理数. >[方法总结2] 量词换为恰当的全称 量词； (2)否定结论：原命题 中的“有”“存在” 等更改为“没有” “不存在”等. 2.要说明一个存在量 词命题是真命题，只 需要找到一个实例 即可 )跟踪训练2 写出下列命题的否定，并判断其真假， (1)有一个奇数不能被3整除； (2)有些三角形的三个内角都是60°； (3)3x∈R,使得Ix+11≤1； (4)3x∈R,2++子≤0， 028 题型三根据全称量词命题、存在量词命题的否定求参数 13.已知命题p:Hx∈R,m+x2-2x+5>0,若p为假命题，求实数m的 取值范围。 [方法总结3] 等价于命题p为真命题 ●[方法总结3] /命题p与p只能一 真一假，解决问题时 可以相互转化； 2.对求参数范围问 题，往往分离参数， 转化成求函数的最值 问题，如本题分离参 数后，转化成了求二 次函数的最值问题. )】跟踪训练3 已知“彐x∈R,使得不等式x2-4x-a-1<0”不成立，则实数a的取值范围 正确的是 () A.{ala≤-5 B.{ala≤-2} C.{ala>-5} D.{ala≥-5 随堂检测 重反馈 1.命题p:“存在实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根”，则p的否定是 A.存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实数根 B.不存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实数根 C.对任意的实数m,方程x2+mx+1=0无实数根 D.至多有一个实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根 2.命题“3x∈R,x3-2x+1=0”的否定是 A.3x∈R,x3-2x+1≠0 B.不存在x∈R,x3-2x+1≠0 C.Hx∈R,x3-2x+1=0 D.Vx∈R,x3-2x+1≠0 3.量词“至多有一个”的否定为 4.已知命题p:]x>0,x+a-1=0,若p为假命题，则实数a的取值范围是 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[9]