1.4.1 充分条件与必要条件-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

「拓展] (3)法一：由x>1Px>2,所以p不是q的： 2)B因为2x一3|<2，所以)9 1.n-4n 3 [因为(CA)i 充分条件 2 法二：设集合A={xx>1},B={xx>1 心B=B,所以(CA)二B,所以 2},所以B二A,所以p不是q的充分条件. x<2 5 /2m+1<n+7 对点训练 12n十1一2，解得一4n 3 则{号<<5x0<<31, 2， 1.A [b=0时，直线y=kx过原点，故！ 2 (n十7≥3 选A ∴.0x<3”是“2-3<2”的必要不充 故实数n的取值范围为 2.CD[从集合观点看，求0<x3成立的 分条件.」 一个充分条件，就是从A、B、C,D中选出集对点训练 合{x0x<3}的子集.由于(x0<x≤21.B [由A∩B=A∩C,不一定有B=C,反 2.{mn-9或n≥1} [当B=1 ，由B=C,一定可得A∩B=A∩C. 时，m ≥6 ∈{x0x<3},{x1<x2}三{x0 “A门B=A∩C”是“B=C”的必要不充分 当B≠时m<6,且十≤二2或2m[典例2订解)因为矩形的对角线相等，2.AD对于结论A,由<一821一2？士 r3},故选C、D.] 条件， 十1≥3，解得n-9或1≤n<6. 故实数m的取值范固为{nn≤一9或！ 所以9是力的必要条件， (2)因为p→g,所以g是p的必要条件. >4,但x2>4→<-2或x>2>x3<-8或 n≥1 x3>8,不一定有x3<一8，故A正确：对于结 点训练 (3)因为户q,所以q不是p的必要条件 论B,由AB+AC=BC→△ABC为直角三 (1)当m=1时，B-{x1x<4}, 对点训练 UB=(r-1<x<4). 1.A[只有x>1→x0,其他选项均不可由 角形，但在直角△APC中，不一定角A是直 (2)bRA={xx-1或x>3}, 1x>1推出.] 角，故B不正确：对于结论C,a2十=0→a 当B-☑，即n≥1十3n时， :2.B[因为正方形的四条边相等，但四条边： b=0,故C不正确：对于结论D,由十≠0 →a,b不全为0，反之，由a,b不全为0>a2十 得m一 之，满足BECRA; 相等的四边形不一定是正方形，所以“四边 ≠0，故D正确.] 当B≠⑦，要使B二CRA成立， 形的四条边相等”是”四边形是正方形”的典例2] 必要条件.门 证明先证必要性： 即{m3支m十3m 3.充分必要[因为p→g,所以p是g的充 .a+b=1,∴.b=1-a 11+3n-1 n>3, 分条件，9是p的必要条件. a+b+ab-a-b 解得m≥3， 综上所述，实数m的取值范围是 :典例3]解因为“x∈P”是“x∈Q”的必要 =a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2 条件，所以Q二P, =a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1十 {nm>3或m≤-号} 2 ! 所以{即{a≤5 2 2=0. a十4≥3， 1a≥-1， 再证充分性：，a3十b3十ab-a一b2=0, 素养演练·提升技能 所以-1a5. .(a+b)(a -ab+b)-(a2-ab+) 1.BD[由CA={xx<1或3<x4或 x≥6}知选项A错误；由A∩(CB)={x 即a的取值范圆为「一1,5 =0. :对点训练 即(a2-ab+)(a十b-1)=0, 1x3或4x6}∩{xx<2或x≥5} 2或5x<6}知选项B正确： 1.解p:3a<xa,即集合A={x3a<r<a} ab0，c-ab+=a-) +3 由(C,A)UB={xx1或3<x4或！ q:一2x3,即集合B={x一2x3}. A x≥6}U{x2x5}={xx1或21 因为p→q,所以A二B, >0, ,∴.a十b-1=0,即ab=1 x<5或x≥6}知选项C错误；由Cu(CuB) 3a≥-2， 所以a≤3， 2 ≤a<0, 综上所述，a十b一1的充要条件是 3 2.B[由(CRM)口(CN)可得M二N,又！ (a0, a3+b+ab-a2-=0. 2 对点训练 N={xx十k≥0}={xx≥一k},.一k 所以a的取值范图是{a 证明必要性：由于方程ax十bx十c-0(a≠0) 一1.解得k≥1，则k的取值范图为{kk≥ -号<a<0} 有一正实根和一负实根， 1} 12.解令A={xx>2或x<-1}. 3.D [CB=(xx<2或x≥5}，A∩ 由4x+p<0,得B={x<-个} .△=-4ac>0,且x1x2= C<0, (CB)={x1<x<2}. ∴ac0. 4.A[如图，因为N∩(CM)=0, 当B二A时，即一 卫≤-1，即p≥4， 充分性：由ac<0可推出△=b-4ac>0及 4 此时<-力≤-1>x>2或<-1， x1xg= -0 N 名 ∴.方程ax2十bx十c=0(a≠0)有一正一负 .当p≥4时，4x十p<0是x>2或x<-1 两实根 所以N二M,所以MUV=M. 的充分条件 [典例3]解设p代表的集合为A={x一2 5.2 2 2 设全集U {某班26名同：素养演练·提升技能 x10},q代表的集合为B={x1一n 学}，集合A=(数学取得优秀的同学}，集1.B[因为p是q的充分条件，所以p>q,所 x1十n}, 合B={英语取得优秀的同学} 以9是力的必要条件.] 因为p是q的必要不充分条件，所以B军A, 设任意集合X中的元素个数为card(X)2.A[返回家乡→攻破接兰，故选A.] 则card(U)=26,card(AnB)=8,card[A∩：3.C当x<0或x>4时，一定有x<0或x 故有二m≥2或二m之2，解得 1+m10 1十n≤10， (CuB)]=12,card[B(CA)]=4. >2.」 n3. 数学取得优秀的有card(A)=card(AnB)4.aa≤1}[因为x>1→x>a,所以： 又m>0,所以实数m的取值范围为{m0 +card A∩(CB)]=8+12=20(人). n3}. 英语取得优秀的有card(B)=card(AnB)5.必要 a1.」 汇拓展] +card_B∩(CA)]=8+4=12(人) :1.解设p代表的集合为A,q代表的集合 两科均未取得优秀的有card(Cu(AUB)川 1.4.2充要条件 为B, card(U)-(card(A∩B)十card[A:必备知识·自主梳理 因为p是q的充分不必要条件，所以A三B. (CB)]+card[B(CA)])=26-(8+ (1)p之g p台g充要 (2)充要 所以{二m≤，2，或二m2,解不等 12+4)=2(人).] 1+m>10 {1十n≥10. :「即学即练 式组得m>9或n≥9，所以m≥9， 1.4.1充分条件与必要条件 :1.A[设A={x1≤x<2},B={xx≤2} 即实数m的取值范国是{mn≥9} 必备知识·自主梳理 A至B.故“1x<2”是“x≤2”的充分不必1 2.解若p是q的充要条件，则了 2=1-m 必要充分必要 要条件. 10-1+7, 「即学即练] :2.充要[当x>1时，x十2>3当x十2>3时， 此方程组无解，所以n不存在.故不存在实 1.(1)(2)→[(1)命题“若x2>1,则x> x>1,所以“x>1”是“x十2>3”的充要条件.} 数m,使得p是q的充要条件 1”是假命题，故x2>1x>1. 3.充分不必要 [若△ABC是锐角三角形，则对点训练 (2)命题“若a,b都是偶数，则a十b是偶数"1 其三个角都是锐角：若∠ABC为锐角，则， 解 设A= 是真命题，故a,b都是偶数>《十b是： △ABC可能是锐角三角形，也可能是直角 工≤x≤1 偶数， 或纯角三角形，所以是充分不必要条件，] B=x ax a+1}, 2.提示：不唯一.例如“x>1”是“x>0”的充分！关键能力·合作探究 由p是q的充分不必要条件，可知A至B, 条件，p可以是“x>2”“x>3”或“2<x<:[典例1] (1)解①在△ABC中，显然有： 3”等 ∠A>∠B台BCAC 关键能力·合作探究 a+1>1a+1≥1， 所以D是q的充要条件 典例1]解(1)在△ABC中，由大角对大 边知，∠B>∠C→ACAB,所以p是q的： ②若a2十b=0,则a=b=0,即p→q: 解得0≤a≤2， 充分条件 若a=b=0,则a十b=0,即g→p, 故所求实数a的取值范周是 (2)由x=1→(x-1)(x-2)=0, 故台q 1 故p是q的充分条件 所以p是q的充要条件 257第一章集合与常用逻辑用语 1.4.1充分条件与必要条件 明学习目标 知结构体系 1.理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系 判定定理 课标 2.理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系， 要求 充分条件 3.能通过充分性、必要性解决简单的问题. 概念 应用 必要条件 重点 重点：充分、必要条件的概念 难点 难点：充分、必要条件的判断 :性质定理 必备知识·自主梳理 预习新知夺实基础 充分条件与必要条件 :2.若p是q的充分条件，这样的条件p唯一吗？ “若p,则g”为真命题 “若p,则g”为假命题 : 举例说明. 推出 关系 pq 条件p是g的 条件 p不是g的 条件 关系g是p的 条件 q不是力的 条件 定理判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 关系 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 [即学即练] 1.用符号“→”与“羚”填空. (1)x2>1 x>1; (2)a,b都是偶数 a十b是偶数. 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一充分条件的判断 [典例1]指出下列哪些命题中p是q的充分 对点训练 条件？ 1.直线y=kx十b过原点的充分条件是( (1)在△ABC中，p:∠B>∠C,q:AC>AB; A.b=0 B.b>0 (2)已知x,y∈R,p:x=1,q:(x-1)·(x-2)=0; C.b<0 D.b∈R (3)已知x∈R,p:x>1,q:x>2. :2.(多选)使0<x<3成立的一个充分条件是( 听课记录 : A.2<x≤3 B.0≤x<1 C.0<x≤2 D.1<x<2 题点二必要条件的判断 [典例2]指出下列哪些命题中q是p的必要条件？ (1)p:一个四边形是矩形，q:四边形的对角线相等； (2)p:A二B,q:A∩B=A; (3)p:a>b.q:ac-bc. /方法技巧/ 听课记录 充分条件的判断方法 (1)判定p是q的充分条件要先分清什么是 论，什么是q,即转化成p→q问题. (2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合 间的关系判断，若p构成的集合为A,q构成 的集合为B,A三B,则p是g的充分条件： -11 数学必修第一册 /方法技巧/ /方法技巧/ 必要条件的判断方法 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成 时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的 立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时， 关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包 能否推出p成立；若p→q为真，则p是g的充 含关系，然后建立关于参数的不等式（组）进行 分条件，若q→p为真，则p是q的必要条件. 求解 (2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A” 条件乙“x∈B”,若A已B,则甲是乙的必要条件. 对点训练 对点训练 1.已知p:实数x满足3a<x<a,其中a<0;q:实 数x满足一2≤x≤3.若p是q的充分条件，求 1.使x>1成立的一个必要条件是 实数a的取值范围. A.x>0 B.x>3 C.x>2 D.x<2 2.“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的 A.充分条件 B.必要条件 C.既是充分条件又是必要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 3.已知命题p:a是末位是0的整数，q:a能被5整： 除，则p是q的 条件；q是p的 2.是否存在实数p,使4x十p<0是x>2或x< 条件.（用“充分”“必要”填空） 一1的充分条件？如果存在，求出p的取值范 题点三充分条件与必要条件的应用 围；否则，说明理由 [典例3]已知P={xa-4<x<a+4,Q= {x1<x<3},若“x∈P”是“x∈Q”的必要条 件，求实数a的取值范围. 听课记录 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.若p是q的充分条件，则q是p的 C.既是充分条件又是必要条件 A.充分条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 B.必要条件 3.“x<0或x>4”的一个必要条件是 C.既不是充分条件也不是必要条件 A.x<0 B.x>4 D.既是充分条件又是必要条件 C.x<0或x>2 D.x<-1或x>5 2.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，4.若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范 其《从军行》传诵至今.“青海长云暗雪山，孤城遥望 围是 玉门关黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推5.若条件：两个三角形相似，9：两个三角形全 断，最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的 ( 等，则p是g的 条件」 A.必要条件 温馨提示 请做课时分层检测（五） B.充分条件 12