1.4.2 充要条件-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教A版）

该高中数学导学案聚焦“充要条件”核心知识点，通过复习充分、必要条件引入，以集合包含关系为学习支架，帮助学生理解充要条件的定义、等价性及传递性，构建逻辑关系知识脉络。 资料亮点在于从集合角度深化概念理解，设置判断、证明、探求三类题型，例题结合数学运算，跟踪训练与分层习题助力学生掌握方法，提升逻辑推理和数学运算素养，适合自主学习与教师教学评估。

数学 必修 第一册 RJA 1.4.2　充要条件 (教师独具内容) 课程标准：通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系． 教学重点：1.掌握充要条件的概念.2.理解充要条件的意义.3.会判断条件与结论之间的充要性． 教学难点：充要条件的证明与探求． 核心素养：1.通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养.2.借助充要条件的应用，培养数学运算素养． 知识点　充要条件 (1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． (2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件． (3)概括：如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． [拓展]　 1．从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A⊆B，则p是q的充分条件． (2)若B⊆A，则p是q的必要条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． (4)若AB，则p是q的充分不必要条件． (5)若BA，则p是q的必要不充分条件． (6)若A，B无包含关系，则p是q的既不充分也不必要条件． 2．“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 1．(充要条件的判断)“三角形全等”是“三角形面积相等”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 2．(探求充要条件)“x2＝1”的充要条件是________． 答案：x＝±1 3．(充要条件的传递性)若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案：充要 题型一　充要条件的判断 例1　　下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p：x≠0，q：x＋|x|>0； (2)p：关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，q：a>0； (3)p：c＝0，q：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点． [解]　(1)因为由x≠0推不出x＋|x|>0， 如当x＝－1时，x＋|x|＝0，所以pq， 所以p不是q的充要条件． (2)若关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解， 则a≠0，所以pq， 所以p不是q的充要条件． (3)当c＝0时，函数y＝ax2＋bx的图象经过原点；当y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点时，0＝a×02＋b×0＋c，所以c＝0，所以p⇔q， 所以p是q的充要条件． 【感悟提升】判断充分条件、必要条件及充要条件的方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：利用集合的包含关系判断． (3)等价法：利用p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． 【跟踪训练】 1．在下列各题中，试判断p是q的什么条件？ (1)p：M＝{2，4}，q：{2}M⊆{2，4，5}； (2)p：a＋5是无理数，q：a是无理数； (3)a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0. 解：(1)因为{2}M⊆{2，4，5}，所以集合M中一定含有元素2，且元素4，5至少有一个，则集合M可能为{2，4}，{2，5}，{2，4，5}三种情况，所以p是q的充分不必要条件． (2)因为a＋5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q的充要条件． (3)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，并且a＝b＝0⇒a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件． 题型二　充要条件的证明 例2　　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0. [证明]　假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0. ①证明p⇒q，即证明必要性． ∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根， ∴a×12＋b×1＋c＝0， 即a＋b＋c＝0. ②证明q⇒p，即证明充分性． 由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b. ∵ax2＋bx＋c＝0， ∴ax2＋bx－a－b＝0， 即a(x2－1)＋b(x－1)＝0， ∴(x－1)(ax＋a＋b)＝0. ∴x＝1是方程的一个根． 故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0. [条件探究]　将本例条件“有一个根是1”改为“有一个正根和一个负根”，“a＋b＋c＝0”改为“ac<0”，怎样证明？ 证明：①必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根，所以Δ＝b2－4ac>0，x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)，所以ac<0. ②充分性：由ac<0可推得Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)，所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根． 综上所述，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0. 【感悟提升】充要条件的证明策略 (1)要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真． (2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的． 提醒：证明时一定要注意分清充分性与必要性的证明方向． 【跟踪训练】 2．设a，b，c为△ABC的三边，求证：关于x的方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°. 证明：①充分性： 因为∠A＝90°，所以a2＝b2＋c2， 所以x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0. 即(x＋a)2－c2＝0，(x＋a＋c)(x＋a－c)＝0， 所以x1＝－a－c，x2＝－a＋c. 同理，x2＋2cx－b2＝0可化为x2＋2cx＋c2－a2＝0， 即(x＋c)2－a2＝0，(x＋a＋c)(x＋c－a)＝0， 所以x3＝－a－c，x4＝a－c. 所以两个方程有公共根－a－c. ②必要性： 设两个方程有公共根α， 则α2＋2aα＋b2＝0，α2＋2cα－b2＝0， 两式相加，得α2＋(a＋c)α＝0， 所以α＝0或α＝－a－c. 若α＝0，代入任一方程，得b＝0，这与已知a，b，c为△ABC的三边相矛盾， 所以α＝－a－c，代入题中的任何一个方程，均可得a2＝b2＋c2，所以∠A＝90°. 综上所述，关于x的方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°. 题型三　探求充要条件 例3　　求关于x的方程x2－2mx＋m2－m＋3＝0的两根都大于2的充要条件． [解]　设关于x的方程x2－2mx＋m2－m＋3＝0的两根为x1，x2. 依题意，得 不等式组等价于 即解得 所以m≥3. 即关于x的方程x2－2mx＋m2－m＋3＝0的两根都大于2的充要条件是m≥3. 【感悟提升】探求充要条件的两种方法 (1)等价法：将原命题进行等价转化，直至获得其成立的充要条件，因为探求过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证． (2)非等价法：先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从必要性和充分性两方面说明． 【跟踪训练】 3．求方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实根的充要条件． 解：若方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实根，设为x0，则 由②，得k＝－x－x0， 代入①，得x＝1， 解得x0＝1，因此k＝－2. 反过来，当k＝－2时，x2＋kx＋1＝x2－2x＋1＝0， 解得x1＝x2＝1. x2＋x＋k＝x2＋x－2＝0， 解得x3＝1，x4＝－2. 因此两个方程有公共实根1， 所以方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实根的充要条件是k＝－2. 1．设p：|x|≤3，q：－4<x<5，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A 解析：由题设，p：－3≤x≤3，q：－4<x<5，所以p是q的充分不必要条件．故选A. 2．“a＝b”是“＝”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：若a＝b<0，则<0，>0，此时＝不成立；若＝，则≥0，≥0，即a≥0，b≥0，由＝可得a＋b＝2，即(－)2＝0，所以＝，所以a＝b.所以“a＝b”是“＝”的必要不充分条件．故选B. 3．已知U为全集，集合A，B为U的两个子集，则“A⊆∁UB”的充要条件是(　　) A．B⊆∁UA B．A⊆B C．B⊆A D．∁UA⊆B 答案：A 解析：因为A⊆∁UB，则A，B的关系如图，由图可知A正确，B，C，D错误．故选A. 4．函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、三象限的充要条件是________． 答案：k>0，b>0 解析：当k>0时，函数y＝kx＋b的图象必经过第一、三象限．又函数图象经过第二象限，所以b>0. 5．已知p：4x－m<0，q：1≤3－x≤4，若p是q的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围为________． 答案：{m|m>8} 解析：由4x－m<0，可得x<，又由1≤3－x≤4，可得－1≤x≤2，因为p是q的一个必要不充分条件，所以>2，解得m>8，即实数m的取值范围为{m|m>8}． 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 充分不必要条件的判断 必要不充分条件的判断 充要 条件 的判 断　 充分不必要条件的判断 探求必要不充分条件 必要不充分条件的判断 充要条件的判断 由充分不必要条件求参数范围 探求充分不必要条件 充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的判断 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 探求必要不充分条件 充分不必要条件的判断 探求充 要条件 由必要不充分条件求参数值 充要条件 的判断　 探求充 要条件 充要条件 的判断　 充要条件的证明——与方程有关 探求充要条件 一、单项选择题 1．若x∈R，则“x＝－1”是“(x＋1)(x－2)＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：由(x＋1)(x－2)＝0，得x＝－1或x＝2，所以由x＝－1可推出(x＋1)(x－2)＝0，故充分性成立；由(x＋1)(x－2)＝0推不出x＝－1，故必要性不成立，所以“x＝－1”是“(x＋1)(x－2)＝0”的充分不必要条件．故选A. 2．“|x|＝|y|”是“x＝y”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：因为|x|＝|y|x＝y，但x＝y⇒|x|＝|y|.故选B. 3．“x≤0”是“＝－x”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：因为＝－x⇔x≤0，所以“x≤0”是“＝－x”的充要条件．故选C. 4．已知集合M＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，N＝{x|x＝4m＋1，m∈Z}，则“x∈N”是“x∈M”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：∵M＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，N＝{x|x＝4m＋1，m∈Z}，∴NM，∴“x∈N”是“x∈M”的充分不必要条件．故选A. 5．一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点在原点的必要不充分条件是(　　) A．b＝0，c＝0 B．a＋b＋c＝0 C．a＋c＝0 D．bc＝0 答案：D 解析：若一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点在原点，则－＝0，且c＝0，所以顶点在原点的充要条件为b＝0，c＝0.故A是充要条件，B，C是既不充分也不必要条件，D是必要不充分条件．故选D. 6．王安石在《游褒禅山记》中说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”．从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的(　　) A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充要条件 D．必要不充分条件 答案：D 解析：由题意知，“有志”不一定“能至”，但“能至”一定“有志”，所以“有志”是“能至”的必要不充分条件．故选D. 7．“三角形有两边上的高相等”是“这个三角形为等腰三角形”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：当三角形两边上的高相等时，由三角形的面积公式可得这两边也相等，所以这个三角形为等腰三角形；当三角形为等腰三角形时，同样由三角形的面积公式可知，两腰上的高相等，所以“三角形有两边上的高相等”是“这个三角形为等腰三角形”的充要条件．故选C. 8．已知a>0，设p：－a≤x≤3a；q：－1<x<6.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|1<a<2} B．{a|1≤a≤2} C．{a|0<a<1} D．{a|0<a≤1} 答案：C 解析：因为p是q的充分不必要条件，所以解得0<a<1.所以实数a的取值范围是{a|0<a<1}． 二、多项选择题 9．使不等式4x－3>1成立的一个充分不必要条件可以是(　　) A．0<x< B．x>1 C．x>2 D．1<x<3 答案：CD 解析：由4x－3>1，解得x>1，故不等式4x－3>1的解集为{x|x＞1}．则使不等式4x－3>1成立的一个充分不必要条件可以是x>2或1<x<3.故选CD. 10．下列结论中正确的是(　　) A．“x<－3”是“|x|>3”的充分不必要条件 B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件 C．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件 D．“x为无理数”是“x2为无理数”的必要不充分条件 答案：ACD 解析：x<－3⇒|x|>3，但|x|>3⇔x>3或x<－3，故A正确；AB2＋AC2＝BC2⇒△ABC为直角三角形，反之，若△ABC为直角三角形，当B或C为直角时，不能推出AB2＋AC2＝BC2，故B错误；a2＋b2≠0⇒a，b不全为0，反之，由a，b不全为0⇒a2＋b2≠0，故C正确；当x2为无理数时，x为无理数，反之不成立，故D正确．故选ACD. 11．已知集合A＝{x|a＋1<x<2a－3}，B＝{x|x≤2，或x≥7}，则A∩B＝∅的必要不充分条件可能是(　　) A．a<7 B．a<6 C．a<5 D．a<4 答案：AB 解析：因为A＝{x|a＋1<x<2a－3}，B＝{x|x≤2，或x≥7}，当A＝∅时，a＋1≥2a－3，解得a≤4，此时A∩B＝∅；当A≠∅时，a＋1<2a－3，解得a>4，若A∩B＝∅，则解得1≤a≤5，又a>4，则4<a≤5，则A∩B＝∅的充要条件为a≤5，所以A∩B＝∅的必要不充分条件可能是a<7，a<6.故选AB. 三、填空题 12．“x＝4”是“x－3＝”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”) 答案：充分不必要 解析：因为由x－3＝，得x＝3或x＝4，所以“x＝4”是“x－3＝”的充分不必要条件． 13．“方程x2－2x－a＝0无实根”的充要条件是________． 答案：a<－1 解析：方程x2－2x－a＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.反之，若a<－1，则Δ<0，方程x2－2x－a＝0无实根．故“方程x2－2x－a＝0无实根”的充要条件是“a<－1”． 14．已知集合A＝{x|x2－4＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则实数a的所有可能取值构成的集合为________． 答案：{－1，0，1} 解析：依题意，A＝{x|x2－4＝0}＝{2，－2}．若a＝0，则B＝∅，满足x∈A是x∈B的必要不充分条件；当a≠0时，B＝，由于x∈A是x∈B的必要不充分条件，所以＝2或＝－2，解得a＝1或a＝－1.综上所述，实数a的所有可能取值构成的集合为{－1，0，1}． 15．若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝－a－b，那么“φ(a，b)＝0”是“a与b互补”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：若φ(a，b)＝0，即＝a＋b，两边平方得ab＝0，若a＝0，则＝b，所以b≥0，若b＝0，则＝a，所以a≥0，所以a与b互补，故充分性成立；若a与b互补，则a≥0，b≥0，ab＝0，不妨设a＝0，则φ(a，b)＝－a－b＝－b＝0，故必要性成立．所以“φ(a，b)＝0”是“a与b互补”的充要条件．故选C. 16．设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合A＝{(x，y)|2x－y＋m>0，m∈R}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0，n∈R}，则(2，3)∈A∩(∁UB)的充要条件是(　　) A．m>－1，n<5 B．m<－1，n<5 C．m>－1，n>5 D．m<－1，n>5 答案：A 解析：由题意，可得A∩(∁UB)＝，因为(2，3)∈A∩(∁UB)，所以解得m>－1，n<5，反之亦成立，所以(2，3)∈A∩(∁UB)的充要条件是m>－1，n<5.故选A. 17．设x，y∈R，则“xy≥0”是“|x＋y|＝|x|＋|y|”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案：充要 解析：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况．当xy＝0时，x，y中至少有一个为0，易得|x＋y|＝|x|＋|y|.当xy>0时，x>0，y>0或x<0，y<0.又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y＝|x|＋|y|；当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)＝|x|＋|y|.即当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|，故充分性成立．若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，所以|xy|＝xy，所以xy≥0，故必要性成立．综上所述，“xy≥0”是“|x＋y|＝|x|＋|y|”的充要条件． 18．已知a，b是正实数，求证：＋＋2＝的充要条件是a＋b＝1. 证明：必要性：若＋＋2＝， 则＝， 即a2＋a＋b2＋b＋2ab＝2， 即(a＋b)2＋(a＋b)－2＝0， 即(a＋b－1)(a＋b＋2)＝0， 因为a，b是正实数， 所以a＋b＋2>0，所以a＋b－1＝0， 即a＋b＝1. 充分性：若a＋b＝1， 则＋＋2 ＝ ＝ ＝ ＝＝. 故＋＋2＝的充要条件是a＋b＝1. 19．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． 解：(1)当a＝0时，方程为2x＋1＝0，解得x＝－，符合要求． (2)当a≠0时，方程为一元二次方程，此时ax2＋2x＋1＝0有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4－4a≥0， 解得a≤1，所以a≤1且a≠0. 设方程ax2＋2x＋1＝0的两根分别为x1，x2， 则x1＋x2＝－，x1x2＝， ①方程ax2＋2x＋1＝0有一负根一正根的充要条件为解得a<0； ②方程ax2＋2x＋1＝0有两个负根的充要条件为解得0<a≤1. 综上所述，方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1. 13 学科网（北京）股份有限公司 $