1.3 第2课时补集-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

第一章集合与常用逻辑用语 第二课时补集 明学习目标 知结构体系 1.理解在给定集合中一个子集的补集的含义. 课标 2.理解补集的基本性质，能求给定子集的补集. 自然语言 要求 3.能使用Venn图表达集合子集的补集. 全 补 集 集 符号语言 应用 重点 重点：补集的运算. 图形语言 难点 难点：补集的概念与应用」 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 1.全集 :[即学即练] (1)定义：一般地，如果一个集合含有所研究问题1.设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2},则 中涉及的 ,那么就称这个集合为全集. CvA= ) (2)记法：全集通常记作 A.{1,2} B.{3,4,5} 2.补集 C.{1,2,3,4,5}》 D.0 对于一个集合A,由全集U中 自然语言 的所有元素组成的集合称为集合A 2.设U=R,A={x|一1<x≤0}，则CA等于 相对于全集U的补集，记作 () 符号语言 CvA= A.{x|x≤-1或x>0} B.{x|-1≤x<0) 图形语言 C.{x|x<-1或x≥0) D.{x|x≤-1或x≥0} AU(CUA)= :A∩(CuA)= ；CU= Cu必=U, 3.已知全集U为R,集合A={x一1≤x<2},则 运算性质 Cv(CvA)= CUA= 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一 补集的运算 /方法技巧/ [典例1](1)设集合U=R,M={x|x>2或x< 求解补集的方法 -2),则CM等于 ( (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的 A.{x|-2≤x≤2} 元素一一列举出来，再结合补集的定义来求 B.{x|-2<x<2} 解.另外，针对此类问题，在解答过程中也常常 C.{x|x<-2或x>2} 借助Venn图来求解.这样处理起来比较直 观、形象且解答时不易出错 D.{x|x≤-2或x≥2》 (2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，先 (2)设U={x∈Z-5≤x<-2或2<x≤5}， 把已知集合及全集分别表示在数轴上，再根据 A={x|x2-2x-15=0},B={-3,3,4},则 补集的定义求解，这样处理比较直观，解答过 CUA= CuB= 程中注意端点值能否取到， 听课记录 对点训练 :1.全集U={x|-1≤x<3},集合A={x-1≤ x≤2}，则CuA= A.{x|-1≤x<2y B.{x|2<x<3} C.{x2≤x<3} D.{xx<-1或x>2} 9 数学必修第一册 2.(I)已知全集U={x|x≥一3}，集合A={x|-3<:题点三根据补集的运算求参数 x≤4}，则CA= [典例3]己知全集U=R,集合A={x|x≤-2 (2)设U={0,1,2,3},A={xx2+mx=0},若 或x≥3}，B={x|2m十1<x<m+7},若 CUA={1,2},则实数m= (CUA)∩B=B,求实数m的取值范围. 题点二交、并、补集的混合运算 听课记录 [典例2]已知全集U={x|x≤4)，集合A= {x|-2<x<3},B={x|-3≤x≤2}，求CU(A∩ B),(CA)UB,A∩(CB). 听课记录 [拓展] 1.若把本例的条件“(CvA)∩B=B”改为 “(CUA)UB=B”,则实数m的取值范围为 /方法技巧/ 2.若将本例的条件“(CUA)∩B=B”改为 1.解决与不等式有关的集合问题时，画数轴 “(CuA)∩B=⑦”，则实数m的取值范围为 (这也是集合的图形语言的常用表示方式) 可以使问题变得形象直观，要注意求解时端 /方法技巧/ 点的值是否能取到. 利用补集求参数应注意两点 2.解决集合的混合运算时，一般先运算括号内 (1)与集合的交、并、补运算有关的参数问题 的部分，再计算其他部分。 般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉 空集的情形 对点训练 (2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引 1.如图所示，A={x0≤x<2}, 起重视，还要注意补集是全集的子集 B={xx>1},则阴影部分表示 对点训练 的集合为 ) A.{x|0<x<2} 已知A={x|-1<x≤3}，B={xlm≤x<1+3m以. B.{x|0x≤2} (1)当m=1时，求AUB: C.{x|0≤x≤1或x≥2} (2)若B二CRA,求实数m的取值范围. D.{x|0≤x≤1或x>2} 2.设全集U={0,1,2,3,4,5},集合A={2,4}, B--2)A(A) (CB)= 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.(多选)已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤3： A.{x|1≤x2} B.{xx<2} 或4<x<6},集合B={x2≤x<5},则下列集； C.{x|x≥5}》 D.{x|1<x<2} 合运算正确的是 ( ):4.已知M,N为集合I的非空真子集，且M,N不相 A.CUA={xx<1或3<x<4或x>6》 等，若N∩(CM)=,则MUN等于( B.A∩(CB)={x|1≤x<2或5≤x<6}》 A.M B.N C.I D.0 C.(CUA)UB={xx<1或2<x<5或x>6}5.某班共有26名同学参加了学校组织的数学、英 D.Cu(CuB)={x|2≤x<5} 语两科竞赛，其中两科都取得优秀的有8人，数 2.设集合M={x-1≤x<2),N={xx+k≥0}，若 学取得优秀但英语未取得优秀的有12人，英语 (CRM)2(CRN),则k的取值范围是 ( 取得优秀而数学未取得优秀的有4人.则数学 A.{k|k≤2} B.{k|k≥1} 取得优秀的人数、英语取得优秀的人数及两科 C.{k|k>-1} D.{k|k≥2} 均未取得优秀的人数分别为 3.设全集U=R,集合A={x1<x<4},集合B= 温馨提示 请做课时分层检测（四） {x|2≤x<5},则A∩(CUB)= ( ) 10(2)当B≠⑦时，如图所示. :[典例2](1)B(2)A[(1)由题意，集合 (m+1>-2, n>-3, A={x∈N1x9}={1,2,3,4,5,6,7, 2 15, 解得 》713, 8,9},B={x0x5},则A∩B={1,2, m+12m-1, (n≥2， 3.4 即2m3， (2)在数轴上表示出集合A与B,如图 综上可得，n的取值范图是{mm<3}.] 所行示 2. 当A二B时， 图所示，此时B≠⑦ A B 1>n十1， m+1-2 52m-1￥1 -2-101234x n十1-2， 即 则由交集的定义，知AB={x0x 2n-1≥5， 2}.1 n2. 对点训练 n一3，n不存在. 1.A 易知A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, n≥3， B={一3,2}，图中阴影部分表示的集合为， 即不存在实数m使A二B, A∩B={2},故进A.] 对点训练 2.D 求x=3n-1=6,8,10,12,14的整数 1. 当a =0时，A={0},满足A二B, 解，易知x=3n 1=8,14有整数解，此时， 当a≠0时，A={0,a},若A二B,.a=1 n=3,5,所以A∩B={8,14}有2个元素，1 或a=2,综上所述，a=0,1或2. 故远D.门 2.解(1)若AB,由图可知a>2, 3.(1)B(2)C[(1)A={-1,0,2,4}, 即a的取值范图为{aa>2}. B={x∈Rx≥1}， ①B .A∩B={2,4},故A∩B中有2个元素. 0124 (2)由{任y:得{： (2)若B二A,由图可知1a2 y=1, 即a的取值范图为{a1a2}. 故A∩B=(2,1).] :[典例3]解当B=,即k十1>2k-11 a 2 x 时，k<2 素养演练·提升技能 满足AUB=A.当B≠⑦时，要使AUB: 1. 当 =1,b=2时，x=6当a=1,b=3 =A, 时，x=12:当a=0,b=2时，x=4:当a=0, -3<k十1 解得2≤k≤2： 5 b=3时，x=9.故M={4,6,9,12}.故M的 只需)42k-1, 真子集的个数为24一1=15.故远D. k+12k-1, 2. L在集合A={a,b}中，由元素互异性可！ 综上可知，实数k的取值范固 知a≠b,在集合B={0,a1 一b}中，由元素 5 互异性可知a≠0，b≠0，因此，若A二B,则： 为{k≤2} 对点训练 有“或8。解得 （a=1. b=-1 1.DL由A∩B=⑦，得 1b=a, ①当B=时，即2n≥1一n 或{6=，故a-b=2或-2截选C] 解得m≥ 3时，符合题意； 3.BC[A选项，若x-2,y=1,而7年Z,故 ②当B≠时，即n< 3,由图可知 整数集不是“紧密集合”，A错误：B远项 根据“紧密集合”的性质，实数集是“紧密集 合”，B正确：C远项，集合{一1,0,1}是“紧 2m1m1 3 2m 1-m 密集合”，故“紧密集合”可以是有限集，C 正确：D远项，集合A={一1,0,1}是“紧密 3,或m<3'解得0≤n<3 集合 ,当x=1y=-1时，x-y=2年A,D (1-n1 (2m≥3， 错误，故选B、C 综上知m≥0，即实数n的取值范固为是！ 4.(2,4 集合U二(2,3,4：将全部的子集！ {nm≥0}. 按“势”从小到大的顺序排列，结果为：心 : {2},{3},{4},{2,3},{2,4},{3,4},{2,3, 2{o1,2} [A={xx2-3x+2=0}= 4},则排在第6位的子集是{2,4}.] 1,2},AUB=A台B二A,且易知集合B: 5.{-1,0}{-1,0} 由x十x=0,得x= 中至多有一个元素，因此集合B只能为： 1,.A={一1,0}.由于{0}B 单元素集或⑦ 二A,知B={一1,0}.」 (1)当B={1}时，即1∈B={xm.x-1=i 1.3 集合的基本运算 0},得n1同理，当B={2}时，得 n 第一课时 并集与交集 2 (2)当B=0时，n. -1=0无解，得n= 必备知识·自主梳理 0.综上可知，实数m构成的集合 (一)属于集合A或属于集合BAUB{xx∈ A,或.x∈B 为{0,1,2}] 即学即练] 素养演练·提升技能 i.D[MUN=(-1,0,1,2.] 2.{xx>0} TAUB=(>0U(1 1.B[因为A表示圆x2十y2=1上的，点的： x2}={xz>07 集合，B表示直线y=x上的点的集合， (二)属于集合A且属于集合BA∩B{.x: 直线yx与圆x十y2=1有两个交点， x∈A,且x∈B 所以A∩B中元素的个数为2， 2.B L即学即练] [由题意知集合M 定含有元素a1 B A={-1,0,1},B={x-1x ae,并且不含元素a,故M={a1,a2}或 1},.A∩B={-1,0}. M={a1,a2,a,7· 2.{x1x3} 「因为A={x1<x<4}, 3. 「因为8=7×1+1，则8C,选项A B=(x -2<x3},所以A∩B={x1} 错误：127=3×42十1，则127A,远项 3} B错误：37=3×12+1，则37在A,选项C 关键能力·合作探究 错误；23=3×7+2，故23∈A:23=5×4 典例1](1)A(2)C[(1)由定义知AUB: +3,故23∈B:23=7×3+2,故23∈C, ={1,2,3,4}. 则23∈A∩B∩C,远项D正确. (2)在数轴上表示两个集合，如图，可得 4.ACD 任取x∈A门B,y∈A∩B,因为集 PUQ={xx≤4.」 合A,B是优集，则x十y∈A, y∈B,则 y∈A,x y∈B,则x 0 x十y∈AB,x -01234 ∈A∩B,所以A正确：取A= =2k, 对点训练 k∈Z},B= {xx=3n,m∈Z},则AUB= 「因为集合A={1,2}, {xx=2k或x=3k,k∈Z} 集合B满足AUB=(1,2,3}, 2,则x =5AUB,B错误：任取 所以集合B={3},{1,3},{2,3},{1,2,3}.] xEA,y∈B,可得x,y∈AUB,因为AUB 2.D[因为M={x-3<x5}, 是优集，则x十y∈AUB,x y∈AUB,若 V={xxr-5或x5}, x十y∈B,则x=(x十y)一y∈B,此时A二 所以MUN={xx-5或x>-3},故远D.] B,若x十y∈A,则y=(x十)-x∈A,此时 256 B二A,C正确：AUB是优集，可得ACB,则 A∩B=A为优集，或B二A,则A∩B=B为 优集，所以A∩B是优集，D正确.] 5.{tt2} L由M ∩N=N,得N M故当N=,即221 2+15x 2t十12一t,t 号时，MnN=N 成立：当N≠⑦时，由图得 (2-t<21+1, 2+1≤5，“解得号<≤2.综上可 2-t≥-2， 知，所求实数t的取值范圆为{tt2}.] 第二课时补集 必备知识·自主梳理 1.(1)所有元素(2)U2.不属于集合A CrA{xx∈U,且x在A} 「即学即练] 1.B [(1)U={1,2,3,4,5},A={1,2}, CA=(3,4,5.] 2. [因为U=R,A={x一1<x0},所 以CA=(xx≤-1或x0.] 3.{xx< -1或x≥2} U=R,A= {x-1x<2},,CA={xx-1 或x≥2}.] 关键能力·合作探究 [典例1] (1)A (2){-5,-4,3, -2 4} -5,-4,5} [(1)如图，在数轴上表示出集合M,可 知C,M={x一2x2}. (2)法一：在集合U中，x∈Z,则x的 值为一5，一4， -3,3,4,5,∴.U={-5, -4,-3,3,4,5}.又A={xx2-2x 15=0} -3,5},.CA={-5,-4, 3,4},CB={-5, 4,5} 法二：可用Venn图 表示， 则0uA={-5,-4, 534 3,4}, -54 CB={-5,-4, 5}.] 对点训练 1.B「因为全集U={x一1≤x3},集合 A={x-1≤x2},则A={x2 x3}.J 2.(1){xx=-3或x>4}(2)-3 [(1)借助数轴得CuA={x|x=一3或 x>4}.(2).CA={1,2},.A={0, 3}.,∴.0,3是方程x2十nx=0的两个根， 3. [典例2]解利用数轴，分别表示出全集 U及集合A,B,如图. 3-2-101234克 则CuA={.xx -2或3x4}, 0uB={xx一3或2<x4}. 又A∩B={x-2x2}, 所以Cu(A∩B)={xx一2或2<x 4}: (CA)UB={xx2或3≤x≤4}： A∩(CB)={x2<x<3}. 对点训练 1.C [由题得U=AUB={xx≥0}，A∩B= {x1<x2},所以C(A∩B)={x0 r≤1或x≥2}.] 2.{3,5}[易知B={0,1},AUB={0,1, 2,4} ∴.(CA)∩(CB)=C(AUB)= {3,5}. [典例3]解因为A={xx≤一2或x≥ 37. 所以CA=(x-2<x<3}, 因为(CuA)∩B=B,所以BE(CuA) 当B=☑时，即2n1≥m十7， 所以n≥6，满足(CA)∩B=B. ,2n+1<m+7, 当B≠0时，可得)2m十1≥一2，无解. (m+7≤3 故m的取值范图是{mm≥6} 「拓展] (3)法一：由x>1为x>2,所以p不是q的 1.5m-4m- 3 (2)B图为2x一3<2，所以与 [因为(CA) 充分条件 法二：设集合A={xx>1},B={xx> 5 心B=B,所以(CA)二B,所以 2},所以B二A,所以p不是q的充分条件. x<2 2n+1<m+7 3 对点训练 12n十1一2，解得一4n 2， 1.A [b=0时，直线y=kx过原点，故！ 则x <<5}=x0<x<3, 2 2 十7≥3 选A ∴.“0<x<3”是“2x一3<2”的必要不充 故实数n的取值范围为 m1-4K-是}] i2.CD[从集合观点看，求0x<3成立的 分条件.」 一个充分条件，就是从A,B、C,D中选出集：对点训练 [由A∩B=A∩C,不一定有B=C,反 2.{nn-9或n≥1} [当B=0: 合{x0<x<3}的子集.由于(x0<x≤21.B 二{x0x<3},{x1<x2}{x0 ，由B=C,-定可得A∩B=A∩C. 时，m≥6 “A门B=A∩C”是“B=C”的必要不充分 当B≠时，m<6,且十≤二2或2m[典例2解因为矩形的对角线相等，2.AD对于结论A,由x<一822 x3},故选C、D.] 条件. 十1≥3，解得n一9或1≤n<6. 故实数m的取值范周为{nn≤一9或！ 所以9是p的必要条件， n≥1 (2)因为p→g,所以g是p的必要条件. >4,但x2>4→<-2或x>2→>x3<-8或 (3)因为pq,所以q不是p的必要条件 x3>8,不一定有x3<一8，故A正确：对于结 点训练 论B,由AB+AC=PC→△ABC为直角三 (1)当7m=1时，B={x1x<4}, 对点训练 UB=(r-1<x<4) :1.A[只有x>1>x>0,其他选项均不可由 角形，但在直角△APC中，不一定角A是直 (2)URA={xx-1或x>3}, x>1推出.门 角，故B不正确：对于结论C,a2十形=0→a 当B=☑，即n≥1十3n时， :2.B[因为正方形的四条边相等，但四条边！ b=0,故C不正确：对于结论D,由十≠0 →a,b不全为0，反之，由a,b不全为0a2十 得m一 2,满足BECRA； 相等的四边形不一定是正方形，所以“四边 形的四条边相等”是”四边形是正方形”的典例2门 ≠0，故D正确， 当B≠⑦，要使B二CRA成立， 必要条件，门 证明先证必要性： 即{m3或m+3m 3.充分必要[因为p→g,所以p是g的充 .a+b=1,.b=1-a 11+3n-1 1n>3, 分条件，9是p的必要条件. .a+b+ab-a-b2 解得m3， =a3+(1-a)3十a(1-a)-a2-(1-a)2 综上所述，实数m的取值范围是 :[典例3]解因为“x∈P”是“x∈Q”的必要 条件，所以Q二P, =a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1 mm>3或m≤-1) 2 2=0. 2 所以{二即{a≤5， a十4≥3， 1a≥-1， 再证充分性：，a3十b3十ab-a一b=0, 素养演练·提升技能 所以-1a5. ∴(a+b)(a -ab+b)-(a2-ab+) 1.BD[由CA={xx<1或3<x4或 =0. x≥6}知选项A错误；由A∩(CB)={x 即a的取值范圆为「一1,5 :对点训练 即(a2-ab+)(a+b-1)=0, 1x3或4<x<6}∩{x|x<2或x≥5} 2或5x<6}知选项B正确： 1.解 p:3a<x<a,即集合A={x3a<x<a}. +3份 由(C,A)UB={xx1或3<x4或！ q:一2x3,即集合B={x一2x3}. ab≠0，a2-ab+形=a-号） A x≥6}U{x2x<5}={xx<1或2i 因为p→q,所以A二B, >0, 3a≥-2， ,∴.a十b-1=0,即a十b=1 x<5或x≥6}知选项C错误：由Cu(CuB) 所以}a≤3， 2 ≤a<0, 综上所述，a十b一1的充要条件是 =B=25↓乐知)正箱 3 (a0, a3+b+ab-a2-=0. 2.B[由(CRM)口(CRN)可得M二V,又！ 2 对点训练 N={xx十k≥0}={xx≥一k},.一k 所以a的取值范图是{a -号<a<0} 证明必要性：由于方程ax十bx十c-0(a≠0) 一1.解得k≥1，则k的取值范圆为{kk≥ 1} 12.解令A={xx>2或x<-1} 有一正实根和一负实根， 3.D [CB=(xx<2或x≥5}，A∩ .△=-4ac>0,且x1x2= 0, (CB)={x1<x<2}. 由4x+p<0,得B={x<-个} .ac<0. 4.A[如图，因为N∩(CM)=⑦， 当B二A时，即一 卫≤-1，即p≥4， 充分性：由ac<0可推出△=b一4ac>0及 4 N 名 此时x<一 卫≤-1>x>2或x<-1, x1g= -0 4 ,.方程a.x2十bx十c=0(a≠0)有一正一负 .当p≥4时，4x十p<0是x>2或x<-1i 两实根 所以N二M,所以MUN=M. 的充分条件 [典例3]解设p代表的集合为A={x一2 5.2 2 2 设全集UJ {某班26名同：素养演练·提升技能 ≤x10},9代表的集合为B={x1一m 学}，集合A=(数学取得优秀的同学}，集1.B[因为p是q的充分条件，所以p一q,所 x1十n}, 合B={英语取得优秀的同学} 以q是力的必要条件.] 因为p是q的必要不充分条件，所以B军A, 设任意集合X中的元素个数为card(X)2.A[返回家乡→攻破楼兰，故选A] 则card(U)=26,card(A∩B)=8,card[A∩：3.C当x<0或x>4时，一定有x<0或x 故有二m≥2，或二m2解得 01+m<10 1十m≤10， (CuB)]=12,card[B(CA)]=4. >2.」 n3. 数学取得优秀的有card(A)=card(AnB):4.{aa≤l}[因为x>1>x>a,所以： 又m>0,所以实数m的取值范围为{m0 +card A∩(CB)]=8+12=20(人). n3}. 英语取得优秀的有card(B)=card(AnB)5.必要 a1.」 汇拓展] +card_B∩(CA)]=8+4=12(人) 1.解设p代表的集合为A,q代表的集合 两科均未取得优秀的有card(Cu(AUB)川 1.4.2充要条件 为B, card(U)-(card(A∩B)+card[A∩：必备知识·自主梳理 因为p是q的充分不必要条件，所以A三B. (CB)]+card[B∩(CA)]}-26-(8+ :(1)p→g (2)充要 所以{二m≤，2，或二m2,解不等 12+4)=2(人).] Pp台g充要 1+m>10 1十n10. :[即学即练 式组得n>9或m≥9，所以m≥9， 1.4.1充分条件与必要条件 1.A[设A={x1<x<2},B={xx≤2} 即实数m的取值范国是{mn≥9} 必备知识·自主梳理 A至B.故“1<x<2”是“x≤2”的充分不必1 2.解若p是q的充要条件，则了 2=1-m 必要充分必要 要条件 10=1+, 「即学即练] :2.充要[当x>1时，x十2>3；当x十2>3时， 此方程组无解，所以n不存在.故不存在实 1.(1)(2)→[(1)命题“若x2>1,则x> x>1,所以“x>1”是“x+2>3”的充要条件. 数m,使得p是q的充要条件 1”是假命题，故x2>1x>1. :3.充分不必要 [若△ABC是锐角三角形，则对点训练 (2)命题“若a,b都是偶数，则a十b是偶数"1 其三个角都是锐角：若∠ABC为锐角，则！ 解 设A= 1 △ABC可能是锐角三角形，也可能是直角 工≤x≤1， 是真命题，故a,b都是偶数→《十b是！ 偶数， 或纯角三角形，所以是充分不必要条件，门 B=(x ax a+1}, 2.提示：不唯一.例如“x>1”是“x>0”的充分！关键能力·合作探究 由力是q的充分不必要条件，可知A至B, 条件，p可以是“x>2”“x>3”或“2<x<:[典例1] (1)解①在△ABC中，显然有： 3”等 .as2,或a<， ∠A>∠B=BC>AC 关键能力·合作探究 a+1>1a+1≥1， 所以D是q的充要条件 典例1]解(1)在△ABC中，由大角对大 边知，∠B>∠C→ACAB,所以p是q的： ②若a2十b形=0，则a=b=0,即p→q: 解得0≤a≤2， 充分条件： 若a=b=0,则a2十b2=0,即g→p, 故所求实数a的取值范围是 (2)由x=1→(x-1)(x-2)=0, 故台q 所以p是g的充要条件， 1 故p是q的充分条件 257