第9讲函数的概念及其表示（知识详解+12典例精讲+课后作业）-2026年新高一数学暑假预习讲义（人教A版必修第一册）

第09讲 函数的概念及其表示（知识详解+12典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：函数的概念 知识点02：函数的三要素 知识点03：区间的概念 知识点04：函数图象的画法 知识点05：分段函数求值(范围)问题 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：求函数值 题型02：区间的定义与表示 题型03：区间的关系与运算 题型04：具体函数、抽象函数、复合函数的定义域 题型05：常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 题型06：复杂(根式型、分式型等)函数的值域 题型07：判断两个函数是否相等 题型08：已知f(g(x))求解析式 题型09：解析法、图像法、列表法表示函数 题型10：求分段函数解析式或求函数的值 题型11：分段函数的性质及应用 题型12：已知分段函数的值求参数或自变量 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】函数的概念 函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围A 值域 与x的值相对应的y值的集合{f(x)|x∈A} 注意点： (1)A，B是非空的实数集． (2)定义域是非空的实数集A，但函数的值域不一定是非空实数集B，而是集合B的子集． (3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性． (4)函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系． (5)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号表示函数． 【例1】判断下列对应关系是否为函数，说明理由。 ① ② 解：根据函数定义：任意一个只能对应唯一。 ① 对于，当时，，一个对应两个，不满足唯一性，不是函数。 ② 对于，定义域内任意一个，都能算出唯一确定的，满足函数定义，是函数。 总结：判函数看对应，一对多不是函数，多对一是函数。 【知识点02】函数的三要素 1．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的定义域为R，值域为R. 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域为R.当a>0时，值域为；当a<0时，值域为 3．反比例函数y＝ (k≠0)的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}． 【例2】判断与是否为同一个函数。 解：步骤1：求两个函数的定义域 ：定义域为； ：分母不为0，定义域为。 步骤2：对比三要素 两个函数定义域不同，不满足函数相等条件。 结论：不是同一个函数。 总结：判断同一函数，先看定义域，再看对应关系。 【知识点03】区间的概念 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 区间 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤b} (－∞，b] {x|x<b} (－∞，b) 特别地：实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 注意点： (1)区间只能表示连续的数集，开闭不能混淆． (2)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别． (3)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立． (4)“∞”是一个符号，而不是一个数． 【例3】将数集、用区间表示。 解：1. 数集： 可取等，用中括号；不可取等，用小括号，区间为： 2. 数集： 不可取等，右侧无穷大，区间为： 答案：、 【知识点04】函数图象的画法 函数图象的平移变换 (1)左加右减：函数y＝f(x)的图象沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到函数y＝f(x＋a)的图象． (2)上加下减：函数y＝f(x)的图象沿y轴方向向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到函数y＝f(x)＋b的图象． 注意点： 左右移动加减的是自变量，且不带系数与符号，上下移动加减的是函数值． 【例4】用描点法画出函数 的图象。 解：步骤1：确定定义域 定义域为离散点：，图象为离散点，无连续线条。 步骤2：列表求值 ；；； 步骤3：描点 在坐标系中描出四个点：。 总结：离散定义域画点，连续定义域平滑连线。 【知识点05】分段函数求值(范围)问题 分段函数 (1)定义：像y＝这样的函数称为分段函数． (2)本质：函数在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系． 注意点： 分段函数的定义域是各段范围的并集，值域为各段上值域的并集． 【例5】已知分段函数 ，求、的值。 解：步骤1：计算 因为，满足第一段区间，代入 步骤2：计算 因为，满足第二段区间，代入 答案： 【题型01】求函数值 【典例1-1】（25-26高一上·新疆伊犁·期末）已知，则__________． 【答案】13 【分析】根据给定函数关系，赋值计算得解. 【详解】函数，由，得， 所以. 故答案为：13 【变式1-1】（25-26高一上·山东滨州·期末）已知函数满足对于任意实数x，y都有，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用赋值法计算即可. 【详解】由对于任意实数，都有，得 又，则，而，解得， 所以. 故选：D 【变式1-2】（25-26高一下·湖南·期末）已知定义在上的函数，满足，，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据题意，令可得，再令，得即可求解． 【详解】令时，， 令时，，解得． 故选：C． 【变式1-3】（多选）（25-26高一上·福建厦门·期中）下列函数满足的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用函数恒等式进行赋值证明即可作出判断. 【详解】由可知：，故A正确； 由可知：，故B正确； 由可知：，故C错误； 由可知：，故D错误； 故选：AB. 【题型02】区间的定义与表示 【典例2-1】（25-26高一上·山东济南·期中）区间对应的不等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用区间表示括号的意义即可作出判断. 【详解】根据区间表示括号的意义可知区间对应的不等式是， 故选：A. 【变式2-1】（24-25高一上·四川宜宾·期末）集合（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由交集的运算即可求解； 【详解】， 故选：A 【变式2-2】（25-26高一上·山东济南·期中）不等式的解集用区间表示为______. 【答案】 【分析】利用一次不等式的解法和区间的概念可得出原不等式的解集. 【详解】解不等式得，故原不等式的解集为. 故答案为：. 【变式2-3】（多选）（24-25高一上·新疆·期中）下列集合不能用区间形式表示的是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】ABD 【分析】根据区间的概念及区间形式可以表示连续数集，是无限集，逐个判断即可得出答案. 【详解】区间形式可以表示连续数集，是无限集 A,D是自然数集的子集，都不能用区间形式表示， B选项，Q是有理数，数轴上大于1的有理数不是连续的， 故只有C可以，区间形式为， 故选：ABD. 【题型03】区间的关系与运算 【典例3-1】设集合，，则______. 【答案】 【分析】根据交集的定义计算即可. 【详解】因为，， 所以， 故答案为：. 【变式3-1】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用集合的并集及区间的表示即可求得结果. 【详解】如图所示， 所以. 故选：. 【变式3-2】（24-25高一上·四川成都·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求解不等式，再用区间表示. 【详解】方程的两根分别为和， 所以不等式，得， 解集用区间表示为. 故选：A 【变式3-3】（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）已知全集U＝R，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据图确定集合为，再求集合，即可求解. 【详解】由图可知阴影部分表示的集合为， 因为集合，又全集， 所以，因为， 所以. 故选：B 【题型04】具体函数、抽象函数、复合函数的定义域 【典例4-1】（25-26高一上·新疆·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为，则在函数中，，解得， 所以的定义域为． 【变式4-1】（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，解得. 【变式4-2】（2026高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复合函数定义域的求法求函数定义域. 【详解】由 . 所以函数的定义域为. 故选：C 【变式4-3】（25-26高一上·四川眉山·阶段检测）函数的定义域为__________. 【答案】 【分析】根据二次根式和分式的意义可得. 【详解】函数， 则，得且， 所以函数定义域为. 故答案为： 【题型05】常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 【典例5-1】（25-26高一上·湖南衡阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接计算出所有函数值即可. 【详解】因为， 所以函数的值域为. 故选：D 【变式5-1】（25-26高一上·安徽六安·期中）若函数的定义域为，则函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数定义域及不等式的性质求解值域即可. 【详解】函数的定义域为， 由，可得， ，即函数的值域为. 故选：A. 【变式5-2】（25-26高一上·四川成都·阶段检测）函数，的值域是___________. 【答案】 【分析】根据自变量取值代入计算即可得出结果. 【详解】将分别代入计算可得. 所以函数的值域为. 故答案为： 【变式5-3】求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可； （2）利用二次根式的意义求出值域； （3）利用二次函数的性质求出值域； （4）根据不等式性质运算求解即可． 【详解】（1），且，则． 所以函数的值域为． （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为． （3）函数图象的对称轴为， 当时，， 所以函数的值域为． （4）因为，则，可得， 所以在的值域为． 【题型06】复杂(根式型、分式型等)函数的值域 【典例6-1】（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是______． 【答案】 【分析】根据已知函数的性质，运用换元法化简不等式，结合的值域构造不等式，解不等式求函数的值域． 【详解】令，则，原函数化为：， 整理得即，当时显然不合题意； 当时，， ，即，等价于，解得， 原函数的值域为. 【变式6-1】（25-26高一上·浙江台州·期末）若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据定义域求出的范围，即可求解. 【详解】函数的定义域为，则,或, 当时，， 当时，, 综上，函数的值域为 故选：D 【变式6-2】（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，且，设，由得到，将函数两边平方，得到，设，利用二次函数的图像求出的范围，将代入得到，根据的范围求出的范围，根据的范围和求出的范围即可得解. 【详解】，，，， 设，则， 可得， 设，则 ，，，，， ，，，， 的值域为. 故选：C. 【变式6-3】（25-26高一上·四川南充·阶段检测）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（3）根据题意结合基本不等式求值域； （2）换元令，结合二次函数求值域. 【详解】（1）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. （2）令，则， 可得， 当时，等号成立， 所以函数的值域为. （3）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 即，所以函数的值域为. 【题型07】判断两个函数是否相等 【典例7-1】（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）在下列各组函数中，与表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据定义域和对应关系是否相同，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，的定义域为R，的定义域为，定义域不相同， 故不为同一个函数，故A错误； 对于B，与的定义域分别为，定义域不相同， 故不为同一个函数，故B错误； 对于C, 的定义域为R，的定义域为， 定义域不相同，故不为同一个函数，故C错误； 对于D，的定义域均为R，对应关系也相同，故为同一个函数，D正确. 故选：D 【变式7-1】（多选）（25-26高一上·安徽合肥·期末）下列各组函数中，是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【分析】利用相等函数的定义可判断. 【详解】对于A： 的定义域为 ，对应法则为 ； 定义域也为 ，且 ， 即对应法则相同，因此，两者是同一个函数，故A正确； 对于B： 的定义域为 ， 而 的定义域为 ， 定义域不同，故两者不是同一个函数，故B错误； 对于C： 两者定义域均为 ，对应法则相同， 因此，两者是同一个函数，故C正确； 对于D： 的定义域为 ， 对应法则为 ，值域也为， 而的值域为， 因此，两者不是同一个函数，故D错误. 故选：AC 【变式7-2】（24-25高一上·甘肃庆阳·阶段检测）下列各组函数表示同一个函数的是______． （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）（4） 【分析】通过判断函数的定义域、对应关系是否相同来判断是否是同一个函数，从而得解. 【详解】对于选项（1），因为， 所以两个函数的定义域均为，且对应关系也相同， 所以是同一个函数，故（1）正确； 对于选项（2），因为， 两个函数的对应关系不相同，所以不是同一个函数，故（2）错误； 对于选项（3），因为的定义域为， 的定义域为， 所以两个函数的定义域不同，不是同一个函数，故（3）错误； 对于选项（4），因为， 所以两个函数的定义域均为，对应关系也相同，是同一个函数，故（4）正确． 故答案为：（1）（4）. 【变式7-3】判断下列各组函数是否是同一个函数，并说明理由： （1），；    （2），，； （3），；        （4），. 【答案】答案见解析. 【分析】根据函数的三要素：定义域，对应关系，值域是否相同来判断即可. 【详解】（1）函数的定义域为R，的定义域为， 所以两者不是同一个函数. （2）函数的定义域为R，，的定义域为，定义域不同，所以两者不是同一个函数. （3）定义域，对应关系，值域均相同，所以两者是同一个函数. （4）定义域，对应关系，值域均相同，所以两者是同一个函数. 【题型08】已知f(g(x))求解析式 【典例8-1】（2025高一·全国·专题练习）已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】换元法求解出的解析式. 【详解】令，则，所以， 所以，所以， 故选：B. 【变式8-1】（2026高一·全国·专题练习）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，且，则， 可得， 所以. 【变式8-2】（2026高一·全国·专题练习）已知函数，则函数的解析式是___________． 【答案】， 【分析】利用配凑法求抽象函数解析式即可． 【详解】，且， 所以，． 故答案为：，． 【变式8-3】（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）（1）已知函数，求的值及函数的解析式； （2）若，求的值及函数的解析式． 【答案】（1）9，；（2）9， 【分析】（1）由代入法即可求解；（2）由，即可求解. 【详解】（1）由解析式可得：， ； （2）， 可得， 所以. 【题型09】解析法、图像法、列表法表示函数 【典例9-1】（25-26高一上·河南信阳·期中）若函数的解析式满足下表，则（    ） 0 1 2 3 -3 3 1 2 A．-3 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据对应法则找到对应的值即可. 【详解】由表可知：， 故选：C. 【变式9-1】（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）小宇周日去电影院看电影，从家出发匀速步行一段路后发现快迟到了，就匀速跑步前进，看完电影后匀速步行回家，下面图象由与上述事件吻合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把时间与离家的路程变化，与速度有关，所以根据速度的大小来判断直线的斜率. 【详解】从家出发先匀速步行，此时直线的上升幅度较小，中间匀速跑步前进，此时直线的上升幅度较之前步行的增大，后面看电影的时间表示离家的距离没有发生变化，故直线呈水平状态，最后匀速步行回家，此时直线下降，最后减至离家的距离为. 根据以上判断，只有B吻合， 故选：B. 【变式9-2】给定函数，用表示中的较小者，记为，例如，当时，，则用解析法可表示为__________． 【答案】 【分析】根据函数的定义和分段函数的表示方法求解即可. 【详解】令，解得， 所以. 故答案为： 【变式9-3】（24-25高一上·全国·课堂例题）中秋节到了，小明想买几块月饼，已知每块月饼的单价是6元，买x（）块月饼需要y元，你能用函数的三种表示方法表示函数吗？ 【答案】答案见解析 【分析】运用函数3种表示方法表示即可. 【详解】解  函数的定义域是数集， 用解析法可将函数表示为，． 列表法可将函数表示为 月饼数x 1 2 3 4 5 6 钱数y 6 12 18 24 30 36 图象法可将函数表示为 【题型10】求分段函数解析式或求函数的值 【典例10-1】（25-26高一下·广西百色·阶段检测）已知函数，则（   ） A．15 B．5 C． D．21 【答案】A 【分析】根据分段函数解析式直接求解． 【详解】因为函数，所以． 【变式10-1】（25-26高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的定义，先判断自变量所在的区间，再代入对应的表达式逐步计算. 【详解】因为，所以代入，得， 因为，所以代入，得， 将代入，得. 故选：C. 【变式10-2】（24-25高一上·全国）已知函数的图象如图所示，则的解析式是________．    【答案】 【分析】根据函数图象确定函数是分段函数，每段都是一次函数，可用待定系数法求解析式即可. 【详解】当时，为一次函数的一部分， 把点和代入到中， 解得，即； 当时，也为一次函数的一部分， 把点和代入到中， 解得，即.综上所述，. 故答案为：. 【变式10-3】23．（24-25高一上·全国·课后作业）已知的图象如图所示，求的解析式. 【答案】 【分析】根据图象，分两种情况：和时，分别求出其解析式即可. 【详解】当时，； 当时，设， 则解得此时. 综上， 【题型11】分段函数的性质及应用 【典例11-1】（25-26高一上·福建·期中）若函数则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合一次函数的单调性求解即可. 【详解】当时，，则； 当时，，则， 所以函数的值域为. 故选：A. 【变式11-1】（24-25高一上·全国·课后作业）下列选项中不是分段函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分段函数定义和性质即可得到不是分段函数的选项. 【详解】分段函数在各段定义域上有着不同的对应关系， 其定义域为各段函数的定义域的并集，各段函数的定义域的交集为空集， ABD符合题意，C项中两段函数的定义域存在交集， 故选：C． 【变式11-2】（25-26高一上·重庆·期中）设，若为定值，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】利用平方根的意义及去绝对值思想可确定参数范围. 【详解】因为， 由为定值，则当时，，满足题意， 当时，，不合题意， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 【变式11-3】（24-25高一上·海南·期中）设函数，则不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】通过讨论当时，当时，当时，不等式的解集，最后得到答案. 【详解】当，即时， 则，解得； 当，即时， 则， 即，解得； 当时，恒成立； 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 【题型12】已知分段函数的值求参数或自变量 【典例12-1】（25-26高一上·贵州毕节·期末）已知函数，若，则的值是（   ） A．1 B． C． D．1或 【答案】D 【分析】根据分段函数的定义，分与两种情况讨论即可求解. 【详解】当时，，得到，负根舍去； 当时，，得到，符合题意； 综上所述，或. 故选：D 【变式12-1】（多选）（25-26高一上·江苏盐城·阶段检测）已知函数，若，求实数的值（    ） A．0 B．-2 C．2 D．1 【答案】AC 【分析】分和两种情况求解即可. 【详解】因为， 当时，解得，符合题意； 当时，解得，又，所以. 综上所述或. 故选：AC. 【变式12-2】（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知函数，若，则实数的值为__________. 【答案】或 【分析】根据分段函数解析式得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为且， 所以或， 解得或. 故答案为：或 【变式12-3】（24-25高一上·广东揭阳·阶段检测）已知函数 (1)求，，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，8， (2) 【分析】（1）根据自变量值代入相应的解析式后可求各函数值； （2）根据可将题设中的不等式转化为一元二次不等式，求出其解后可得求实数的取值范围． 【详解】（1）因为，，， 所以， ， . （2）因为， 所以， 则不等式转化为， 解得或， 所以实数的取值范围是 知识点01函数的概念 1. 严格定义 设为非空数集，如果按照某一确定的对应关系，对于集合中任意一个实数，在集合中都有唯一确定的实数与之对应，则称为定义在集合上的函数。 函数标准记法： 2. 核心判定准则（必考） 满足：任意x → 唯一y，即为函数； 禁忌：一个对应多个（一对多不是函数）； 允许多个对应同一个（多对一是函数）。 知识点02函数的三要素 1. 三大要素 函数由定义域、对应关系、值域三要素唯一确定： 定义域：自变量的取值范围（首要判断条件）； 对应关系：的运算规则（函数的核心）； 值域：所有函数值构成的集合，由定义域和对应关系唯一决定。 2. 同一函数判定充要条件 两个函数为同一个函数 定义域完全相同 且 对应关系完全相同。 值域由前两者决定，无需单独验证；只要定义域或对应关系不同，一定不是同一函数。 知识点03区间的概念 1. 区间定义与公式（微软标准） 区间是实数集的简化表示，设且： 闭区间（含端点）： 开区间（不含端点）： 左闭右开： 左开右闭： 无穷区间： 2. 使用规则 可取等用中括号[]，不可取等用小括号()；无穷数只能用小括号。 知识点04函数图象的画法（描点法） 1. 标准三步流程 第一步：确定定义域：锁定自变量取值范围，确定图象横向范围； 第二步：列表取值：选取定义域内关键点，计算对应函数值； 第三步：描点连线：连续函数平滑连线，离散函数只描点、不连线。 2. 核心注意点 图象必须满足“竖线法则”：任意一条垂直于轴的直线与图象最多只有一个交点，否则不是函数图象。 知识点05分段函数（重难点） 1. 概念 在自变量的不同取值区间上，对应不同解析式的函数，称为分段函数。 重要结论：分段函数是一个函数，而非多个函数。 2. 标准通用形式 3. 核心解题思路 求值/求范围统一口诀：先判区间，再代解析式。根据的取值匹配对应区间，代入对应解析式计算。 知识点06本节核心公式速查 考点 核心公式/结论 函数定义式 闭区间 开区间 实数集区间 同一函数判定 定义域、对应关系均相同 知识点07高频易错点总结 1.误以为“一对多”是函数，函数必须满足一个仅对应一个； 2.判断同一函数忽略定义域，化简相同但定义域不同，不是同一函数； 3.区间书写易错：无穷区间、不等号端点括号混用； 4.分段函数误区：当成多个函数，求值不判断区间直接代公式； 5.画函数图象忽略定义域，画出定义域外的多余图象。 一、单选题 1．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段检测）若函数，则（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意，直接代入，即可求解. 【详解】由函数，则. 故选：C. 2．（25-26高一上·山东济南·期中）不等式的解集用区间表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解不等式，再用区间表示即可. 【详解】由题意得，用区间表示为. 故选：D. 3．（25-26高一上·江西南昌·期中）已知函数，则等于（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【分析】应用分段函数计算函数值即可. 【详解】因为函数， 则. 故选：A. 4．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）下列与集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用求二次函数值域即可得集合，从而可作出判断. 【详解】因为， 开口向下，对称轴， 所以当时，， 所以函数的值域为. 故选：D. 5．（25-26高一上·安徽·期末）已知函数，则（   ） A．10 B． C．e D． 【答案】D 【分析】先求出再求即可. 【详解】由题意得， 所以． 故选：D． 6．（2025高一上·重庆开州·专题练习）已知，则函数的解析式为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由利用配方法和换元法求函数解析式. 【详解】，且， 所以， 故选：B 7．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定函数，结合抽象函数定义域列出不等式组求解. 【详解】函数的定义域为，当时，， 则函数的定义域为，在函数中，， 解得且，所以函数的定义域为. 故选：A 8．（24-25高一下·湖南长沙·期末）某校要召开学生代表大会，规定各班每人推选一名代表，当班人数除以的余数大于时，再增选一名代表，则各班推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数，如，）可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令班级人数的个位数字为，则（），结合题意讨论写出对应值，由取整函数的定义写出函数关系式. 【详解】设班级人数的个位数字为，令，（）， 当时，，当时，， 综上，函数关系式为. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高一上·广东广州·期中）设，则下列结论成立的是（   ） A． B．（） C． D．（） 【答案】AB 【分析】代入计算出，，判断出ABD；而，C错误. 【详解】A选项，，A正确； BD选项，（），B正确，D错误； C选项，，显然，C错误 故选：AB 10．（25-26高一上·陕西西安·期末）若定义在上的函数满足恒成立，则（） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】令，即可求；令，即求出. 【详解】∵恒成立， 令得：，，故B正确，A错误； 令得：，，， ，故C正确，D错误. 故选：BC 11．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线，若，则的值可能为（   ） 0 1 2 3 4 0 2 1 2 0 3 1    A． B．0 C．2 D．4 【答案】BD 【分析】根据函数的定义，结合函数表格与函数图象，运用枚举法逐一判断即可. 【详解】对于A：当时，，不符合题意，故A错误； 对于B：当时，，符合题意，故B正确； 对于C：当时，，不符合题意，故C错误； 对于D：当时，，符合题意，故D正确， 故选：BD. 三、填空题 12．（25-26高一上·广东江门·期中）函数的定义域为__________.（用区间表示） 【答案】 【分析】根据根式函数和分式函数的定义域求法求解. 【详解】由，解得且， 所以的定义域为. 故答案为： 13．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【分析】由已知先求出的定义域，即可求出的定义域. 【详解】因为的定义域为， 则，即得，所以的定义域为， 由可得，解得，所以的定义域为. 故答案为：. 14．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，，其中表示不超过的最大整数，如，，则______. 【答案】 【分析】根据函数和的解析式，先求得，进而求得的值，得到答案. 【详解】由函数和， 因为，所以， 所以. 四、解答题 15．已知函数． (1)求函数的定义域； (2)求的值. 【答案】(1)或或 (2) 【分析】（1）根据根式和分式的性质即可列不等式求解， （2）代入即可求解. 【详解】（1）若函数有意义，则有    解得   故函数的定义域为：或或. （2） 16．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）求抽象函数的定义域. (1)已知函数，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域为，求的定义域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数解析式可知，可得出函数的定义域，再根据抽象函数的定义域求法，即可求出函数的定义域； （2）根据题意，可知，根据抽象函数的定义域求法，可求出函数的定义域，从而得出的定义域． 【详解】（1）解：由， 得，解得：， ∴函数的定义域为； （2）解：∵函数的定义域为， ∴，则， 即函数的定义域为， 由，得， ∴的定义域为． 17．（25-26高一上·浙江·期中）已知函数 (1)求，的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据分段函数直接代入求值即可； （2）由，再分，代入解方程即可． 【详解】（1）因为， 所以，； （2）当时，，解得或（舍）， 当时，，解得， 综上所述，或． 18．（25-26高一上·河南信阳·阶段检测）已知函数. (1)求的值及函数的解析式； (2)求关于的不等式的解集.（其中） 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）代入即可求出的值，利用配凑法可得； （2）根据含参一元二次不等式的解法对的取值进行分类讨论，即可求得不等式解集. 【详解】（1）由，则， 而， 则. （2）不等式，即为； 即，则， 当时，不等式为，解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19．（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知函数 (1)画出函数的图象； (2)求函数的定义域及值域； (3)若，求的值； (4)求的值. 【答案】(1)图象见解析 (2)定义域为，值域为 (3)或 (4) 【分析】（1）根据函数解析式画出函数图象； （2）由解析式得到定义域，结合图象求出值域； （3）由解析式分段计算； （4）根据解析式由内到外依次计算即可. 【详解】（1）因为，所以函数的图象如下所示： （2）因为，所以的定义域为， 由的图象可知，当时取得最大值，即， 所以的值域为； （3）因为， 令，则或或， 解得或或， 综上可得所对应的的值为或. （4）因为， 所以，则，， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 函数的概念及其表示（知识详解+12典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：函数的概念 知识点02：函数的三要素 知识点03：区间的概念 知识点04：函数图象的画法 知识点05：分段函数求值(范围)问题 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：求函数值 题型02：区间的定义与表示 题型03：区间的关系与运算 题型04：具体函数、抽象函数、复合函数的定义域 题型05：常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 题型06：复杂(根式型、分式型等)函数的值域 题型07：判断两个函数是否相等 题型08：已知f(g(x))求解析式 题型09：解析法、图像法、列表法表示函数 题型10：求分段函数解析式或求函数的值 题型11：分段函数的性质及应用 题型12：已知分段函数的值求参数或自变量 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】函数的概念 函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围A 值域 与x的值相对应的y值的集合{f(x)|x∈A} 注意点： (1)A，B是非空的实数集． (2)定义域是非空的实数集A，但函数的值域不一定是非空实数集B，而是集合B的子集． (3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性． (4)函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系． (5)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号表示函数． 【例1】判断下列对应关系是否为函数，说明理由。 ① ② 【知识点02】函数的三要素 1．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的定义域为R，值域为R. 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域为R.当a>0时，值域为；当a<0时，值域为 3．反比例函数y＝ (k≠0)的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}． 【例2】判断与是否为同一个函数。 【知识点03】区间的概念 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 区间 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤b} (－∞，b] {x|x<b} (－∞，b) 特别地：实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 注意点： (1)区间只能表示连续的数集，开闭不能混淆． (2)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别． (3)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立． (4)“∞”是一个符号，而不是一个数． 【例3】将数集、用区间表示。 【知识点04】函数图象的画法 函数图象的平移变换 (1)左加右减：函数y＝f(x)的图象沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到函数y＝f(x＋a)的图象． (2)上加下减：函数y＝f(x)的图象沿y轴方向向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到函数y＝f(x)＋b的图象． 注意点： 左右移动加减的是自变量，且不带系数与符号，上下移动加减的是函数值． 【例4】用描点法画出函数 的图象。 【知识点05】分段函数求值(范围)问题 分段函数 (1)定义：像y＝这样的函数称为分段函数． (2)本质：函数在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系． 注意点： 分段函数的定义域是各段范围的并集，值域为各段上值域的并集． 【例5】已知分段函数 ，求、的值。 【题型01】求函数值 【典例1-1】（25-26高一上·新疆伊犁·期末）已知，则__________． 【变式1-1】（25-26高一上·山东滨州·期末）已知函数满足对于任意实数x，y都有，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式1-2】（25-26高一下·湖南·期末）已知定义在上的函数，满足，，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-3】（多选）（25-26高一上·福建厦门·期中）下列函数满足的是（    ） A． B． C． D． 【题型02】区间的定义与表示 【典例2-1】（25-26高一上·山东济南·期中）区间对应的不等式是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一上·四川宜宾·期末）集合（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·山东济南·期中）不等式的解集用区间表示为______. 【变式2-3】（多选）（24-25高一上·新疆·期中）下列集合不能用区间形式表示的是（　　） A． B． C．或 D． 【题型03】区间的关系与运算 【典例3-1】设集合，，则______. 【变式3-1】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一上·四川成都·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）已知全集U＝R，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（　　）    A． B． C． D． 【题型04】具体函数、抽象函数、复合函数的定义域 【典例4-1】（25-26高一上·新疆·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一上·四川眉山·阶段检测）函数的定义域为__________. 【题型05】常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 【典例5-1】（25-26高一上·湖南衡阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·安徽六安·期中）若函数的定义域为，则函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·四川成都·阶段检测）函数，的值域是___________. 【变式5-3】求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 【题型06】复杂(根式型、分式型等)函数的值域 【典例6-1】（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是______． 【变式6-1】（25-26高一上·浙江台州·期末）若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高一上·四川南充·阶段检测）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 【题型07】判断两个函数是否相等 【典例7-1】（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）在下列各组函数中，与表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（多选）（25-26高一上·安徽合肥·期末）下列各组函数中，是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式7-2】（24-25高一上·甘肃庆阳·阶段检测）下列各组函数表示同一个函数的是______． （1） （2） （3） （4） 【变式7-3】判断下列各组函数是否是同一个函数，并说明理由： （1），；    （2），，； （3），；        （4），. 【题型08】已知f(g(x))求解析式 【典例8-1】（2025高一·全国·专题练习）已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2026高一·全国·专题练习）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2026高一·全国·专题练习）已知函数，则函数的解析式是___________． 【变式8-3】（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）（1）已知函数，求的值及函数的解析式； （2）若，求的值及函数的解析式． 【题型09】解析法、图像法、列表法表示函数 【典例9-1】（25-26高一上·河南信阳·期中）若函数的解析式满足下表，则（    ） 0 1 2 3 -3 3 1 2 A．-3 B．1 C．2 D．3 【变式9-1】（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）小宇周日去电影院看电影，从家出发匀速步行一段路后发现快迟到了，就匀速跑步前进，看完电影后匀速步行回家，下面图象由与上述事件吻合的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】给定函数，用表示中的较小者，记为，例如，当时，，则用解析法可表示为__________． 【变式9-3】（24-25高一上·全国·课堂例题）中秋节到了，小明想买几块月饼，已知每块月饼的单价是6元，买x（）块月饼需要y元，你能用函数的三种表示方法表示函数吗？ 【题型10】求分段函数解析式或求函数的值 【典例10-1】（25-26高一下·广西百色·阶段检测）已知函数，则（   ） A．15 B．5 C． D．21 【变式10-1】（25-26高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25高一上·全国）已知函数的图象如图所示，则的解析式是________．    【变式10-3】23．（24-25高一上·全国·课后作业）已知的图象如图所示，求的解析式. 【题型11】分段函数的性质及应用 【典例11-1】（25-26高一上·福建·期中）若函数则（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25高一上·全国·课后作业）下列选项中不是分段函数的为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26高一上·重庆·期中）设，若为定值，则实数的取值范围是______. 【变式11-3】（24-25高一上·海南·期中）设函数，则不等式的解集为__________. 【题型12】已知分段函数的值求参数或自变量 【典例12-1】（25-26高一上·贵州毕节·期末）已知函数，若，则的值是（   ） A．1 B． C． D．1或 【变式12-1】（多选）（25-26高一上·江苏盐城·阶段检测）已知函数，若，求实数的值（    ） A．0 B．-2 C．2 D．1 【变式12-2】（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知函数，若，则实数的值为__________. 【变式12-3】（24-25高一上·广东揭阳·阶段检测）已知函数 (1)求，，； (2)若，求实数的取值范围． 知识点01函数的概念 1. 严格定义 设为非空数集，如果按照某一确定的对应关系，对于集合中任意一个实数，在集合中都有唯一确定的实数与之对应，则称为定义在集合上的函数。 函数标准记法： 2. 核心判定准则（必考） 满足：任意x → 唯一y，即为函数； 禁忌：一个对应多个（一对多不是函数）； 允许多个对应同一个（多对一是函数）。 知识点02函数的三要素 1. 三大要素 函数由定义域、对应关系、值域三要素唯一确定： 定义域：自变量的取值范围（首要判断条件）； 对应关系：的运算规则（函数的核心）； 值域：所有函数值构成的集合，由定义域和对应关系唯一决定。 2. 同一函数判定充要条件 两个函数为同一个函数 定义域完全相同 且 对应关系完全相同。 值域由前两者决定，无需单独验证；只要定义域或对应关系不同，一定不是同一函数。 知识点03区间的概念 1. 区间定义与公式（微软标准） 区间是实数集的简化表示，设且： 闭区间（含端点）： 开区间（不含端点）： 左闭右开： 左开右闭： 无穷区间： 2. 使用规则 可取等用中括号[]，不可取等用小括号()；无穷数只能用小括号。 知识点04函数图象的画法（描点法） 1. 标准三步流程 第一步：确定定义域：锁定自变量取值范围，确定图象横向范围； 第二步：列表取值：选取定义域内关键点，计算对应函数值； 第三步：描点连线：连续函数平滑连线，离散函数只描点、不连线。 2. 核心注意点 图象必须满足“竖线法则”：任意一条垂直于轴的直线与图象最多只有一个交点，否则不是函数图象。 知识点05分段函数（重难点） 1. 概念 在自变量的不同取值区间上，对应不同解析式的函数，称为分段函数。 重要结论：分段函数是一个函数，而非多个函数。 2. 标准通用形式 3. 核心解题思路 求值/求范围统一口诀：先判区间，再代解析式。根据的取值匹配对应区间，代入对应解析式计算。 知识点06本节核心公式速查 考点 核心公式/结论 函数定义式 闭区间 开区间 实数集区间 同一函数判定 定义域、对应关系均相同 知识点07高频易错点总结 1.误以为“一对多”是函数，函数必须满足一个仅对应一个； 2.判断同一函数忽略定义域，化简相同但定义域不同，不是同一函数； 3.区间书写易错：无穷区间、不等号端点括号混用； 4.分段函数误区：当成多个函数，求值不判断区间直接代公式； 5.画函数图象忽略定义域，画出定义域外的多余图象。 一、单选题 1．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段检测）若函数，则（   ） A． B．1 C． D．3 2．（25-26高一上·山东济南·期中）不等式的解集用区间表示为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江西南昌·期中）已知函数，则等于（   ） A． B． C．3 D．6 4．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）下列与集合相等的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·安徽·期末）已知函数，则（   ） A．10 B． C．e D． 6．（2025高一上·重庆开州·专题练习）已知，则函数的解析式为（   ）. A． B． C． D． 7．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·湖南长沙·期末）某校要召开学生代表大会，规定各班每人推选一名代表，当班人数除以的余数大于时，再增选一名代表，则各班推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数，如，）可表示为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·广东广州·期中）设，则下列结论成立的是（   ） A． B．（） C． D．（） 10．（25-26高一上·陕西西安·期末）若定义在上的函数满足恒成立，则（） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线，若，则的值可能为（   ） 0 1 2 3 4 0 2 1 2 0 3 1    A． B．0 C．2 D．4 三、填空题 12．（25-26高一上·广东江门·期中）函数的定义域为__________.（用区间表示） 13．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 14．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，，其中表示不超过的最大整数，如，，则______. 四、解答题 15．已知函数． (1)求函数的定义域； (2)求的值. 16．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）求抽象函数的定义域. (1)已知函数，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域为，求的定义域. 17．（25-26高一上·浙江·期中）已知函数 (1)求，的值； (2)若，求实数的值． 18．（25-26高一上·河南信阳·阶段检测）已知函数. (1)求的值及函数的解析式； (2)求关于的不等式的解集.（其中） 19．（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知函数 (1)画出函数的图象； (2)求函数的定义域及值域； (3)若，求的值； (4)求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $