第8讲 任意角与弧度制及任意角的三角函数（分层练）——2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦任意角与三角函数，分层设计基础巩固、中档综合、拔高拓展三阶训练，通过从单一知识点到复杂推理的进阶路径，强化运算能力与推理意识，适配一轮复习知识体系构建。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|同角三角函数关系、定义|直接应用公式，如第2题已知锐角求三角函数值，巩固运算能力| |中档|几何面积计算、象限角运算|结合几何情境，如第1题莱洛三角形面积，培养几何直观| |拔高|等式证明、两角和公式|多步骤推理，如第11题结合象限角求两角和余弦，发展推理意识|

数学 分层测验 第8讲任意角与弧度制及任意角的三角函数 1如图，分别以等边三角形ABC三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱 洛三角形，若AB=2,则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为() A.π+V5 B.π-V5 c.2m-2V5 D.2π+V 2已知a为锐角，s 6 6 6√6 2 A.3 B.-3 C.-3或3 D. 3已知ama=v5,r<a<37 2,求cosa-sina的值() A5+) B5+) c5-) n- 2c0s20-1 4.若0∈(0，π)， sinecos0=_ ,则sin0+cos6() 2V3 2W3 2V2 、2VW2 A.3 B.3 C.3 D.3 1+sina 5.已知为第二象限角，且3sin2 a cosa=8 sina cos2a,则2-cosa() 数学 3 3 1 5 A.4 B.5 C.2 D.12 6若子u-月<经2cu+sn0=a,2sna-ewA-1则oB+() 3-6 √6 √6 3+V6 A.6 B.6 c.3 D.6 π3π 7.已知 e22, tan(a-z)=_3 -4,则sina+cosu= 8已知 sin(2a+")= 61 10-a-,a引 sin 2a+2sin2a 5, 则 1+tan a 的值为 11.已知0为第一象限角， B为第三象限角，ma+amB=4,tanc ta6=5+1,则 sin(a+B)= 数学 答案以及解析 1.答案：C 解析：少 =2×2x2×sinT=V5 S=x×22=2 3 扇形ABC的面积S2×3 3 .莱洛三角形的面积为 +3(G-5)-5+径-2x-25 2.答案：A 2a+2-5，可 解析：因为6 mfa+}sna-oa别 已知2a+)-,所uma-】胃 所a--m(a君1月 63 所以o(-63 3.答案：C 数学 解析：因为ana=5,元<a< 2, 所以sinx=-Vsin2a= sin2a tana Vsin2 a+cosa =√an2a+i V4 2 3 sina 21 cosa= tana 5=2 故cosa-sina=-1+V3 2 2· 4.答案：A 2cos20-1 cos20-sin20 解析：由sin0+cos0sin0+cos0 =cos0-sin 因为8∈(0，元). sindcos0=_1 6,所以sin0>0,cos0<0, 所以cos0-m0<0,又ec9,n0时1-2如cs0=1-2(君)号. 所以cos8-sin0=-2 2cos20-12V3 3,故sin0+cos03. 5.答案：C 解析；解法一：由题可得6=8sina(cosa-sin'☑），结合a为第二象限角知 ina>0,cosa<0,得4sina=cosa:因为sina+cosa=,历以sna=5 5, 数学 1+ 1+sina 5 14 5 1 25,所以2-cosa 2,故选C cosa=- 2+ 2x1+5) 5 5 解法二：因为a为第二象限角，所以sina>0,cosu<0,tana<0,sin2a≠0，结合 3sin 2a cosa =8sin a cos 2a cos2a≠0 ,知 ,于是得 tan2a=8tana,利用二倍角公式知 3×2tanc=8tana, tana=-1 V5 sina= 1-tan2a 得 2, 则 5, cosa=- 5，所以 1+ 1+sina 51 2-cosa 2+ 2V52,故选C. 5 6.答案：D 解折：因为2cosa+sinB=V5,所以4cosa+4 cosinp+-sinB=2O: 又因为2sina-cosB=-1,所以4sina-4 sinco+cos'f=l@ ①-②得4-46n(a-)+1=3,所以sin(e-)=号 又因为受<a-B<受，所以a-B-名，即a=B+ 把a-A+后代入2cosa+smg=5,得2如B+}+mg-=2, 则v5cosB=V2,即cosB=Y6 数学 把a=B+君代入2sina-cos9=-1,得2如B+ -c0sB=-1 则V5simB=-l,即si咖B=-目 3 2 6 7.答案：5/-0.2 解析：由 h tan(a-7)=tana=sina=_3 cosa 4, π3π 因为a∈ 2’2, 所以cosa<0,则sina>0, sina 3 cosa 4 sin2a+cos2a=1'解得sina= ’cosa=-4 3 341 则 ina+cosa= 55=-5 1 8答案：9 解：由wa君-.得2a+m[2如引引asa君 =2sa--1-2x-1= 6 数学 1 故答案为：9 9.答案：1 所yos(a+川=-ma+)=-号， 5 则ma=m[a+)](》到 故答案为：1. 10.答案：5 解析：因为分子：sin2a+2sin2&=2 sina cosa+2sin2au=2sina(cosa+sina) 分母：l+tana=l+ sina cosa+sin a a∈ cosa cos a 02 2sina(cosa+sina)=2sinacosa=sin2a cosa +sin a 所以原式 cosa 数学 已知sina-cosa= √0 5,两边同时平方可得： 2 =1-sin2a= V10 (sina-cosa)'=sin'a-2sinacosa+cos'a 5 5 3 1-sin2a=2三sin2a= 所以 5 Γ5 22 11.答案： 3 tan a+tan B 4 -22 解析：法一：由题意得 an(a+f) 1-tanatanB 1-(2+1) 因为“2a2+》A=2m2m 2，k,m∈Z, 则a+B∈(2m+2k)π+元，(2m+2k)π+2）.k,m∈Z 又因为tan(a+B)=-2V2<0 则a+B2m+2)+受(2m+2)+2.kme五，则s如a+<0, sin(a+B)）-2W 则cos(a+B) ,联立sna+p)+sa+)=,解得mn(a+)=2 3 法二：因为“为第一象限角，B为第三象限角，则cosa>0,cosB<0, cosa 1 cos B -1 cosa= cos B=- sin2 a+cos2 a v1+tan2a sin2B+cos2B 1+tan2B, sin(+B)=sin a cos B+cosasin B=cosa cos B(tana+tan B) 数学 -4 =4cosa cos B= 1+tan2 a1+tan2 B -4 4=22 V(tan a+tan B)2+(tan a tan B-1)22+2 3 22 故答案为：3·