第04讲平面向量的概念与线性运算（知识清单+5典例精讲+3方法技巧+分层训练）-2027届高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量的概念与线性运算，覆盖向量基本概念、线性加减运算、共线定理及几何表示等高考核心考点，按“知识清单—典例精讲—方法技巧—分层训练”逻辑架构知识点，通过考点梳理、真题典例解析和解题方法指导，帮助学生突破向量概念辨析、线性分解及共线参数求解等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料特色在于结合近3年高考命题规律设计分层训练，通过“解题大招”提炼向量概念辨析、线性运算及共线判定技巧，如共线定理推论在三点共线问题中的应用，培养学生数学思维与应用意识。设置基础过关、拔高选练及错题复盘模块，助力学生在有限时间内提升向量问题的解题效率，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

第04讲平面向量的概念与线性运算 （知识清单+3典例精讲+方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 向量基本概念、线性加减运算、向量共线定理、几何图形向量表示 单选、多选、填空题 5分/6分/5分 向量线性分解、基底运用、三点共线问题、向量化简求值 单选、填空题 5分 图形中向量线性运算、共线求参数、向量模简单计算 单选、多选、填空 5分/6分/5分 【知识点01】向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量 平面向量是自由向量 长度(模) 向量的大小 记作|a|或|| 零向量 长度为0，其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 与非零向量a共线的单位向量为± 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量 0与任意向量平行(或共线) 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 【例1】下列关于向量的说法正确的是（ ） 解析：结合向量的核心定义逐一分析： 答案：B 【知识点02】向量的线性运算 向量 运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c ＝a＋(b＋c) 减法 a－b＝a＋(－b) 数乘 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 设λ，μ为实数，则 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 【例2】在▱ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，若，求x、y的值。 解析：利用平行四边形性质及向量线性运算规则推导： 对比，可得： 答案： 【知识点03】向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 【例3】已知向量不共线，且，则实数（   ） A．3 B． C． D． 解析：因为向量不共线，且 设，即 所以，解得故选：D 【题型一】向量的有关概念辨析 【例1】（2026·山东枣庄·三模）已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件中的推出关系判断，结合共线向量定理求解即可，要注意定理中的条件是为非零向量. 【详解】若，因为向量与均为非零向量，则存在非零实数，使得， 所以， 因为与均为非零向量的倍数， 所以与共线，即，充分性成立. 若，当时，，所以； 当时，存在实数，使得，所以， 假设，则，，与为非零向量矛盾，所以假设不成立，， 所以，因为为非零向量，所以共线，即，所以必要性成立. 综上，“”是“”的充要条件. 【例2】（2025·河南·三模）若点A在点O的正北方向，点B在点O的南偏西方向，且，则向量表示（    ） A．从点O出发，朝北偏西方向移动 B．从点O出发，朝北偏西方向移动 C．从点O出发，朝北偏西方向移动2km D．从点O出发，朝北偏西方向移动2km 【答案】C 【分析】以O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，建立平面直角坐标系，标出题中所给信息，再利用向量加法的平行四边形法则求出即可. 【详解】以O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系， 依题意可得， 设，因为，所以四边形OACB为菱形， 则，则为正三角形，所以， 故向量表示从点O出发，朝北偏西方向移动2km. 故选：C 【例3】（2026·江苏·二模）已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】若，则存在非零实数，使得，利用向量的线性运算即可证明充分性，若，则存在实数，使得：，结合向量的运算即可证明必要性，从而判断选项. 【详解】若，则存在非零实数，使得， 此时：， 因为是非零向量，所以与是共线的，即：，所以充分性成立， 若，当时，； 当时，存在实数，使得： 整理得：， 所以，若，则，即； 若，则，与为非零向量矛盾， 因此，必要性成立; 综上“”是“”的充要条件. 【变式1】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知均为单位向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件求出的值，再利用模长公式即可求出. 【详解】，， 又均为单位向量，，即， ， . 故选：C. 【变式2】（2026·山东·一模）下列说法正确的是（    ） A．长度一样的两个向量相等 B．平行的两个向量为共线向量 C．零向量的大小为0且没有方向 D．方向相反的两个向量互为相反向量 【答案】B 【分析】根据相等向量、共线向量（平行向量）、零向量、相反向量的定义逐项分析判断即可. 【详解】选项A：相等向量是指它们的长度相等且方向相同，故A错误； 选项B：平行向量与共线向量是同一概念，若两个非零向量方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量. 零向量与任一向量共线，故B正确； 选项C：长度为0的向量称为零向量，任何方向都可以作为零向量的方向，故C错误； 选项D：若两个向量的长度相等、方向相反，则称这两个向量互为相反向量，故D错误. 故选：B. 【变式3】（多选）（2024·湖北·一模）下列关于向量与复数的说法正确的有（    ） A．若复数满足，则 B．若复数满足，则 C．若，则或 D．若，则或 【答案】BD 【分析】取可判断A；计算可得，进而求模判断B；对于C，取两个单位向量，它们的方向可任意，判断C；由已知可得，计算可判断D. 【详解】对于A，，满足，但，显然，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以，故B正确； 对于C，若是两个单位向量，有，但两个单位向量的方向可以任意，即可不共线，故C错误； 对于D，因为，所以，所以，所以， 所以或，故D正确. 故选：BD. 【题型二】向量的加减运算及化简 【例4】（2026·陕西榆林·模拟预测）下列说法错误的是（   ） A． B．是单位向量，则 C．若，则或 D．对于任意向量，有 【答案】C 【分析】由相反向量的概念可判断A，由单位向量的概念可判断B，由时，可判断C，分类讨论向量的方向，根据三角形法则即可判断D. 【详解】选项A：和是相反向量，方向相反但模长相等，因此，A正确， 选项B：单位向量的定义是模长为1的向量，即，B正确， 选项C：当时，除了或的情况，当（两个非零向量垂直）时，数量积也为0，C错误， 选项D，若方向相同，则， 若方向相反，则， 若不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边可知. 综上可知对于任意向量，必有，故D正确； 【例5】（多选）（2026·海南海口·模拟预测）在等边三角形中，点D是边的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】A：在等边三角形中，因为点D是边的中点，所以，正确. B：因为两向量方向不同，所以错误. C：因为点D是边的中点，所以，正确. D：由为等边三角形，且点D是边的中点，所以，所以，正确. 【例6】（2025·四川巴中·三模）非零向量，满足：，，则与夹角的余弦值为______. 【答案】/ 【分析】根据向量的减法几何意义将转化为，再利用已知条件和判断三角形的形状，最后根据三角形形状求出与的夹角. 【详解】根据题意，设，，则， 若，，即，且， 则为等腰直角三角形， 则与的夹角为，余弦值为. 故答案为：. 【变式1】（2024·江西·模拟预测）在中，角B，C所对的边分别为b，c，D为边BC上的点.已知 ：，：平分，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量的线性以及三角形面积公式，分别从命题的充分性和必要性两方面来判断， 【详解】充分性：因为， 所以， 可得， 所以. 假设点D到边AB与边AC的距离分别为，， 则，所以，所以AD平分. 必要性：因为AD平分，则， 所以， 所以，从而，. 所以是的充要条件. 故选：B. 【变式2】（多选）（2024·浙江宁波·二模）若平面向量满足且，则（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为5 C．的最小值为2 D．的最大值为 【答案】BD 【分析】由向量方向间的关系，判断的最大值和最小值；由，通过的最值，计算的最值. 【详解】当向量方向相同，与方向相反时，满足， 此时有最小值，A选项错误； 当向量方向相同时，满足， 此时有最大值，B选项正确； ，有，即，则， 向量方向相同时，的最小值为0，的最小值为3，C选项错误； 向量方向相反时，的最大值为2，的最大值为，D选项正确. 故选：BD 【变式3】（2024·江苏南通·模拟预测）复数与分别表示向量与，记表示向量的复数为，则______． 【答案】25 【分析】根据题意，由向量的减法可得，再由复数的乘法运算，代入计算，即可求解. 【详解】由题意可知，， 则，所以. 故答案为：25 【题型三】向量线性运算的几何应用 【例7】（2026·江苏·二模）在平行四边形中，为的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在平行四边形中，为中点， 则， 因为，所以， 若，则，所以. 【例8】（多选）（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）数学与生活存在紧密联系，很多生活中的模型多源于数学的灵感．已知某建筑物的底层玻璃采用正六边形为主体，再以正六边形的每条边作为正方形的一条边构造出六个正方形，如图所示，则在该图形中，下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由图可得各向量关系与其模长间等量关系，即可得答案. 【详解】A选项，由题知，故，而，故A正确； B选项，由题知，，故B错误； C选项，，故C正确； D选项，因为，， ， 故，故D正确. 故选：ACD． 【例9】（2025·甘肃·模拟预测）的内角的对边分别为的面积为，且，则边上的中线长为__________． 【答案】/ 【分析】根据三角形面积公式得到，由向量法即可求得答案． 【详解】由，解得， 设的中点为D，则， 则 ， 则， 即边上的中线长为． 故答案为：． 【变式1】（2026·山东东营·二模）“，使得”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合共线向量的定义、充分条件、必要条件的定义即可判断. 【详解】当时，，满足； 当时，因为，使得，所以共线，即； 综上，由，使得，可得，即充分性满足； 当时，若，则不存在，使得，故必要性不满足； 所以“，使得”是“”的充分不必要条件. 【变式2】（2026·浙江宁波·二模）已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】首先确定是圆的直径，再结合向量的运算，以及向量模的三角形不等式，以及向量的位置关系，求最值. 【详解】由圆的性质可知，时，是圆的直径， 所以， 而， 右边等号成立的条件是和同向，且此时最大，此时， 左边等号成立的条件是和反向，且此时最小，此时， 所以的取值范围是. 【变式3】（2025·湖南郴州·三模）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求的值； (2)若，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换计算可得； （2）利用余弦定理计算可得，再由向量定比分点以及余弦定理计算可得的长. 【详解】（1）依题意可得， 得. 因为，所以， 则， 因为，所以，所以 （2）由题意得， 解得（负根已舍去）. 因为，所以， 所以由余弦定理可得. 【题型四】已知向量共线(平行)求参数 【例10】（2026·河南许昌·模拟预测）已知、是两个不共线的向量，若向量与共线，则（   ） A．9 B．6 C． D． 【答案】D 【详解】若向量与共线， 则存在实数使得，即， 又、是两个不共线的向量，所以，解得. 【例11】（2026·安徽·三模）已知向量，则“”是“与的夹角为锐角”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用向量夹角公式及向量夹角的范围，求出与的夹角为锐角的充要条件，再结合条件，即可求解. 【详解】因为， 则， 由与的夹角为锐角，可得，解得且， 则“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件． 【例12】（2023·海南·模拟预测）已知向量，，，若点，，三点共线，则实数_________． 【答案】/0.5 【分析】根据向量共线定理可知，根据向量坐标计算即可. 【详解】，， 因为点，，三点共线，所以，解得. 故答案为：. 【变式1】（2025·四川内江·一模）已知向量，若与共线，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据向量的坐标运算及向量共线求解. 【详解】，， 由与共线，可得， 解得， 故选：A 【变式2】（2024·陕西安康·一模）已知O是内一点，，若与的面积之比为，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由确定点的位置，再利用与的面积之比列方程来求得的值. 【详解】由得， 设，则. 由于，所以A，B，D三点共线，如图所示， ∵与反向共线，，∴，∴， ∴. 故选：D 【变式3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，P是线段AD上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是______. 【答案】 【分析】由，得到，从而有，再根据三点共线，得到，然后利用基本不等式求解. 【详解】解：因为在中，， 所以， 又因为，则， 因为三点共线，则，结合题意知， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故答案为： 【题型五】平面向量共线定理的推论 【例13】（2026·江苏扬州·模拟预测）设实数，在中，为上一点，若，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【详解】在中，由为上一点，，得， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为4． 【例14】（2026·河南洛阳·模拟预测）在中，是的中点，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】结合图形，利用三点共线，推出，再根据基本不等式求解即可. 【详解】如图，由点O是BC的中点，得， 由三点共线，得，，， 则， 当且仅当，即时取等号，所以取得最小值2. 故选：B 【例15】（2023·陕西西安·模拟预测）在中，是边上一点，且，是的中点，过点的直线与两边分别交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为__________. 【答案】/ 【分析】由，得，再由是的中点，结合已知条件可得，从而由三点共线，得，则，化简后利用基本不等式可求得结果. 【详解】因为，所以，得. 又是的中点，，， 所以. 因为三点共线，所以，即，且， 所以， 当且仅当,即时，等号成立. 故答案为： 【变式1】（2026·安徽铜陵·模拟预测）在中，点D为边的中点，过点D的直线与，两边（或其延长线）分别交于点E，F，设，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三点共线的向量表示求得的等量关系式，再利用基本不等式求得的最小值. 【详解】因为是的中点，所以， 由于三点共线，所以，其中， ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 【变式2】（2024·福建·模拟预测）在中，点是边上一点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．7 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论求得，，.，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】在中，点是边上一点，，则，，. ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 【变式3】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知中，角所对的边分别为，，，，若，则的最小值为_________________． 【答案】 【分析】取和，转化为，得到三点共线，得到的最小值，即为中边上的高，在中，结合余弦定理和面积相等，列出方程，即可求解. 【详解】在中，因为， 如图所示，取的中点，可得， 再延长到点，使得，可得 ， 因为， 因为，所以三点共线， 所以的最小值，即为中边上的高， 在中，由余弦定理得 ，所以， 又由， 可得，即，解得， 所以的最小值为. 故答案为：. 【解题大招01】向量概念辨析技巧 核心抓“两个核心属性”：大小（模）和方向，牢记3个易错关键点： ① 相等向量：方向相同+模相等（二者缺一不可，与起点无关）； ② 平行向量（共线向量）：方向相同或相反，零向量与任意向量平行（零向量是唯一方向任意的向量）； ③ 零向量：模为0，模为0的向量必为零向量，注意零向量在共线、数乘运算中的特殊性。 【例1】下列说法正确的是（ ） ① 若向量与方向相同，且，则； ② 若，则且与方向相同； ③ 若，则与为相等向量或相反向量； ④ 零向量与任意向量平行，且零向量的方向是任意的； ⑤ 若，，则。 A. ①②③ B. ①②④ C. ①④⑤ D. ②③④ 解析：结合概念辨析技巧与易错点规避：① 符合相等向量定义，正确；② 相等向量的核心性质，正确；③ 模相等但方向不一定共线，违反技巧4，错误；④ 零向量的特殊性质，正确；⑤ 当时不成立，违反技巧1，错误。故选B。 【解题大招02】向量线性运算技巧（加减、数乘） 遵循“代数运算+几何意义”双重思路，兼顾简洁性与直观性： ① 代数运算：类比“合并同类项”，数乘时系数乘向量整体，去括号注意符号变化，最终整理为最简形式； ② 几何运算：优先用三角形法则（首尾相接）、平行四边形法则（共起点），中点、三等分点等特殊点可借助“向量拆分”转化（如中点：）。 【例2】已知向量，，求下列各式的值： （1）； （2）。 解析：遵循代数运算技巧，去括号、合并同类项： （1）原式； （2）原式。 【解题大招03】向量共线判定与应用技巧 高考高频考点，两种核心判定方法（优先选代数形式，简洁高效）： ① 代数形式（坐标表示）：若，，则； ② 向量形式：若（），则存在唯一实数，使得（注意的限制）。 【例3】已知向量，，且与共线，求实数k的值。 解析：优先用代数形式判定共线，应用技巧3： ① 计算向量坐标：，； ② 由共线充要条件，得； ③ 解方程得：。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2025·河南安阳·一模）已知平行四边形的对角线的交点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用平面向量线性运算计算得解. 【详解】在中，. 故选：C 2．（2025·江苏南通·三模）已知，为平面内一组基底，，，，若A，B，D三点共线，则a的值为（   ） A．2 B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据向量的减法运算求出，再由共线向量定理求解即可. 【详解】，， 因为与共线，， 故选：A． 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）在中，点D为边上一点，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平面向量的线性运算进行计算可得结果. 【详解】因为，所以， 则 ． 故选：B． 二、多选题 4．（2022·海南·模拟预测）下列说法错误的是（    ） A．向量可以用有向线段表示 B．非零向量与非零向量共线，则与的方向相同或相反 C．向量与向量共线，则，，，四点在一条直线上 D．如果，那么 【答案】CD 【分析】由向量的表示、共线向量的概念以及向量的模的定义逐一判断各个选项即可求解. 【详解】对于A，可以用有向线段表示向量，故A不符合题意； 对于B，非零向量与非零向量共线即平行，则与的方向相同或相反，故B不符合题意； 对于C，例如在平行四边形中，向量与向量共线， 但，，，四点不在一条直线上，故C符合题意； 对于D，如果，那么，但，故D符合题意. 故选：CD. 5．（2025·安徽·模拟预测）已知平面直角坐标系中，坐标原点为，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．不可能为单位向量 D．若，则 【答案】AD 【分析】利用向量共线的坐标形式判断A，利用向量垂直的坐标形式判断B，由特例判断C，由向量模的坐标公式计算后判断D. 【详解】若，则，解得，A正确； 若，则，解得，B错误； 由题设，当时，是单位向量，C错误； 若，则，D正确， 故选：AD. 三、填空题 6．（2025·贵州·二模）若，均为单位向量，且，则______． 【答案】/ 【分析】作出图形，利用向量加法的几何意义求得答案. 【详解】作，以线段为一组邻边作平行四边形，如图， 则，而，均为单位向量，则， 因此为菱形，. 故答案为： 7．（2024·江西·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，是的中点，，则______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律，结合正弦定理边化角即可得解. 【详解】在中，是的中点，， 则，即，因此， 所以. 故答案为： 四、解答题 8．（2025·湖南长沙·一模）记的内角的对边分别为．已知，D为边上的靠近点C的三等分点． (1)求角； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角，再由代入化简即可求解； （2）由平面向量的线性运算得，再根据平面向量数量积的运算律即可求解． 【详解】（1）由正弦定理有， 因为， 代入化简，得， 因为，故，所以， 故． （2）由题可知， 故 ， 故． 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·贵州安顺·模拟预测）如图，有两个正六边形，为的中点．若，则（    ）    A．-2 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】大正六边形的边长为2，则小正六边形的边长为1，连接,结合正六边形的性质及向量的线性运算，可得,可得的值，即可得答案. 【详解】连接,如图所示：    设大正六边形的边长为2，则小正六边形的边长为1， 则为边长为1的正三角形， 所以,, 由正六边形的性质可知三点共线， 所以, 则 , 又因为， 所以， 所以. 2．（2025·广东·模拟预测）若平面向量，，满足，则的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】求解即可. 【详解】， 当与同向时取等号， 故选：B 二、多选题 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知是坐标原点，对任意，函数的图象上总存在不同两点，使得，则下列选项中满足条件的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用数形结合来研究各选项，把交点存在问题转化为方程有解问题，通过解方程可判断AD，对于B通过举反例找到矛盾可判断，对于C，则再次利用数形结合来研究方程是否有解，从而可判断C. 【详解】 由图可知：过原点一定存在过原点的直线交曲线于两点， 设，则由，可得， 即，消元得：， 对任意的，必存在，，故A正确； 又由图可知：过原点一定存在过原点的直线交曲线于两点， 同上述方法可得：由，消元得：， 不妨令，则上式变为， 此时因为，所以此时不存在两点，也就是不能对任意的，都有，故B错误； 又由图可知：过原点一定存在过原点的直线交曲线于两点， 同上述方法可得：由，消元得：， 通过构造两个函数和，当时作图分析： 由于，函数图像是把正弦函数的横坐标压缩到原来的倍，纵坐标不变， 而函数图像是把正弦函数的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变，此时两图象必有无数个交点， 所以方程必有解，即对任意的，必有，故C正确； 由图可知：过原点一定存在过原点的直线交曲线于两点， 同上述方法可得：由，消元得：， 整理得：， 即或， 对任意的，显然存在和或和的解，则必有，故D正确； 故选：ACD. 4．（2025·内蒙古赤峰·一模）已知，，分别为的边，，的中点，且，，交于点，令，，表示相应图形的面积，则（   ） A． B． C． D．，，可作为一个三角形的三边长 【答案】BCD 【分析】由平面向量的线性运算判断AB选项，由题意得为的重心，得到为三等分点以及分别为中点得到三角形的面积关系，判断C选项；由重心的性质得到，从而得到结果，判断D选项. 【详解】由题意可知为的重心，    ∵分别为中点，则，A选项错误； ，B选项正确； ，C选项正确； ∵，∴，即， ∴可作为三角形三边，D选项正确. 故选：BCD. 三、填空题 5．（2026·福建泉州·二模）已知，则实数的值为___________． 【答案】 【分析】利用向量线性运算转化为，根据系数相等可得. 【详解】因为，所以， 又，所以，得. 故答案为： 四、解答题 6．（2025·全国·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且满足. (1)求； (2)若是边上一点，且满足，，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角及两角和的正弦公式可得，根据辅助角公式结合角的范围可得结果. （2）根据条件可得，两边同时平方结合基本不等式可得结果. 【详解】（1）∵，∴， ∵， ∴， ∴. ∵，∴， ∴，即，故. ∵，∴， ∴，故. （2） ∵，∴， ∴，即. ∵，， ∴，即. ∴，即， ∴，当且仅当时取等号， ∴的最大值为. 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2025·湖北·模拟预测）已知，，是同一个平面内的三个向量，则“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】取特例可判断充分性，利用共线向量的性质及向量数量积的运算可判断必要性. 【详解】当时，，可以是任意向量，因此是不充分条件； 当时，若，显然成立； 当，因为，所以， 因此，， 因此成立. 故“”是“”的必要条件. 故选：C 2．（2026·河南郑州·二模）已知平面上不共线的四点，满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件求得，进一步得到，再结合投影向量定义即可求解. 【详解】由，得，即， 所以，所以与共线且同向，且，所以在上的投影向量为, 因为与共线且同向，所以，所以在上的投影向量为. 二、多选题 3．（2025·四川绵阳·模拟预测）圆为三角形ABC的外接圆，则（    ） A． B． C．三角形的面积为 D．三角形的周长为 【答案】BCD 【分析】对于A，采用反证法思路，经推理得出矛盾排除此项；对于B，利用三角形外心的性质和向量数量积的定义式计算即得；对于C，由向量等式构造数量积，求得即可计算面积判断；对于D，利用余弦定理求出，即可判断. 【详解】对于A，因点是的外心，则点在的中垂线上， 若点符合，则点也应在的中垂线上，则，这与题设条件矛盾，故A错误； 对于B，因为是的外心，则在的中垂线上， 于是，，故B正确； 对于C，由可得， 即，解得，解得 则，故的面积为，故C正确； 对于D，由余弦定理，， 解得，故三角形的周长为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 4．（2025·湖北·模拟预测）平面向量满足，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】根据向量不共线时，借助平行四边形，可得，进而利用余弦定理以及基本不等式即可求解最值. 【详解】如图：当不共线时，取,则, 故，故, 在中，, 故， 故， 由于，故，故，当且仅当时取等号， 则，由于，故的最大值为， 由于的夹角为,即为, 由于与互补，故的最小值为， 当共线时，不妨设则，可得， 当时，此时的夹角为,即为, 时，此时的夹角为,即为, 综上可知：的夹角的最小值为 故答案为：    四、解答题 5．（2024·江西新余·模拟预测）在等腰直角三角形中，为直角顶点，为线段上一点，为射线上一点，. (1)若，的面积为，求使. (2)为线段上一点，且，求面积的最小值. 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）根据所给条件计算和，利用正切和角公式计算，得到的长，即可计算出的值. （2）作辅助线，利用相似、正弦定理及余弦定理确定中有一角及其临边为定值，得到时，有最小值，计算等腰直角三角形面积即可. 【详解】（1） ∵等腰直角三角形中，为直角顶点，, ∴, 在中，， ∵ ， ∴. 法一：由题意得，， ∴. 在中，， ∴, ∴. 法二： 如图，过作，则， ∵ ， ∴ 在中，， ∵ 为锐角， ∴， ∴， ∴. （2）法一：如图，延长到使，连接， 设，则， ∵且， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴与相似， ∴， ∴. 在中, ，， ∴. 在中，由正弦定理得，， ∴. ∵， ∴当时，， ∴面积的最小值为. 法二： 设，则. 在中，， ∴，， 在中，， ∴， ∴，即， ∴， ∴当时，， ∴面积的最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲平面向量的概念与线性运算 （知识清单+5典例精讲+方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 向量基本概念、线性加减运算、向量共线定理、几何图形向量表示 单选、多选、填空题 5分/6分/5分 向量线性分解、基底运用、三点共线问题、向量化简求值 单选、填空题 5分 图形中向量线性运算、共线求参数、向量模简单计算 单选、多选、填空 5分/6分/5分 【知识点01】向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量 平面向量是自由向量 长度(模) 向量的大小 记作|a|或|| 零向量 长度为0，其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 与非零向量a共线的单位向量为± 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量 0与任意向量平行(或共线) 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 【例1】下列关于向量的说法正确的是（ ） 【知识点02】向量的线性运算 向量 运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c ＝a＋(b＋c) 减法 a－b＝a＋(－b) 数乘 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 设λ，μ为实数，则 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 【例2】在▱ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，若，求x、y的值。 【知识点03】向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 【例3】已知向量不共线，且，则实数（   ） A．3 B． C． D． 【题型一】向量的有关概念辨析 【例1】（2026·山东枣庄·三模）已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】（2025·河南·三模）若点A在点O的正北方向，点B在点O的南偏西方向，且，则向量表示（    ） A．从点O出发，朝北偏西方向移动 B．从点O出发，朝北偏西方向移动 C．从点O出发，朝北偏西方向移动2km D．从点O出发，朝北偏西方向移动2km 【例3】（2026·江苏·二模）已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知均为单位向量，若，则（    ） A． B． C． D．【答案】C 【变式2】（2026·山东·一模）下列说法正确的是（    ） A．长度一样的两个向量相等 B．平行的两个向量为共线向量 C．零向量的大小为0且没有方向 D．方向相反的两个向量互为相反向量 【变式3】（多选）（2024·湖北·一模）下列关于向量与复数的说法正确的有（    ） A．若复数满足，则 B．若复数满足，则 C．若，则或 D．若，则或 【题型二】向量的加减运算及化简 【例4】（2026·陕西榆林·模拟预测）下列说法错误的是（   ） A． B．是单位向量，则 C．若，则或 D．对于任意向量，有 【例5】（多选）（2026·海南海口·模拟预测）在等边三角形中，点D是边的中点，则（    ） A． B． C． D． 【例6】（2025·四川巴中·三模）非零向量，满足：，，则与夹角的余弦值为______. 【变式1】（2024·江西·模拟预测）在中，角B，C所对的边分别为b，c，D为边BC上的点.已知 ：，：平分，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（多选）（2024·浙江宁波·二模）若平面向量满足且，则（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为5 C．的最小值为2 D．的最大值为 【变式3】（2024·江苏南通·模拟预测）复数与分别表示向量与，记表示向量的复数为，则______． 【题型三】向量线性运算的几何应用 【例7】（2026·江苏·二模）在平行四边形中，为的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【例8】（多选）（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）数学与生活存在紧密联系，很多生活中的模型多源于数学的灵感．已知某建筑物的底层玻璃采用正六边形为主体，再以正六边形的每条边作为正方形的一条边构造出六个正方形，如图所示，则在该图形中，下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 【例9】（2025·甘肃·模拟预测）的内角的对边分别为的面积为，且，则边上的中线长为__________． 【变式1】（2026·山东东营·二模）“，使得”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（2026·浙江宁波·二模）已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的取值范围是________． 【变式3】（2025·湖南郴州·三模）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求的值； (2)若，求的长. 【题型四】已知向量共线(平行)求参数 【例10】（2026·河南许昌·模拟预测）已知、是两个不共线的向量，若向量与共线，则（   ） A．9 B．6 C． D． 【例11】（2026·安徽·三模）已知向量，则“”是“与的夹角为锐角”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【例12】（2023·海南·模拟预测）已知向量，，，若点，，三点共线，则实数_________． 【变式1】（2025·四川内江·一模）已知向量，若与共线，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【变式2】（2024·陕西安康·一模）已知O是内一点，，若与的面积之比为，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，P是线段AD上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是______. 【题型五】平面向量共线定理的推论 【例13】（2026·江苏扬州·模拟预测）设实数，在中，为上一点，若，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．2 【例14】（2026·河南洛阳·模拟预测）在中，是的中点，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【例15】（2023·陕西西安·模拟预测）在中，是边上一点，且，是的中点，过点的直线与两边分别交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为__________. 【变式1】（2026·安徽铜陵·模拟预测）在中，点D为边的中点，过点D的直线与，两边（或其延长线）分别交于点E，F，设，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·福建·模拟预测）在中，点是边上一点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．7 【变式3】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知中，角所对的边分别为，，，，若，则的最小值为_________________． 【解题大招01】向量概念辨析技巧 核心抓“两个核心属性”：大小（模）和方向，牢记3个易错关键点： ① 相等向量：方向相同+模相等（二者缺一不可，与起点无关）； ② 平行向量（共线向量）：方向相同或相反，零向量与任意向量平行（零向量是唯一方向任意的向量）； ③ 零向量：模为0，模为0的向量必为零向量，注意零向量在共线、数乘运算中的特殊性。 【例1】下列说法正确的是（ ） ① 若向量与方向相同，且，则； ② 若，则且与方向相同； ③ 若，则与为相等向量或相反向量； ④ 零向量与任意向量平行，且零向量的方向是任意的； ⑤ 若，，则。 A. ①②③ B. ①②④ C. ①④⑤ D. ②③④ 【解题大招02】向量线性运算技巧（加减、数乘） 遵循“代数运算+几何意义”双重思路，兼顾简洁性与直观性： ① 代数运算：类比“合并同类项”，数乘时系数乘向量整体，去括号注意符号变化，最终整理为最简形式； ② 几何运算：优先用三角形法则（首尾相接）、平行四边形法则（共起点），中点、三等分点等特殊点可借助“向量拆分”转化（如中点：）。 【例2】已知向量，，求下列各式的值： （1）； （2）。 【解题大招03】向量共线判定与应用技巧 高考高频考点，两种核心判定方法（优先选代数形式，简洁高效）： ① 代数形式（坐标表示）：若，，则； ② 向量形式：若（），则存在唯一实数，使得（注意的限制）。 【例3】已知向量，，且与共线，求实数k的值。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2025·河南安阳·一模）已知平行四边形的对角线的交点为，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏南通·三模）已知，为平面内一组基底，，，，若A，B，D三点共线，则a的值为（   ） A．2 B． C．0 D．1 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）在中，点D为边上一点，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2022·海南·模拟预测）下列说法错误的是（    ） A．向量可以用有向线段表示 B．非零向量与非零向量共线，则与的方向相同或相反 C．向量与向量共线，则，，，四点在一条直线上 D．如果，那么 5．（2025·安徽·模拟预测）已知平面直角坐标系中，坐标原点为，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．不可能为单位向量 D．若，则 三、填空题 6．（2025·贵州·二模）若，均为单位向量，且，则______． 7．（2024·江西·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，是的中点，，则______． 四、解答题 8．（2025·湖南长沙·一模）记的内角的对边分别为．已知，D为边上的靠近点C的三等分点． (1)求角； (2)求． 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·贵州安顺·模拟预测）如图，有两个正六边形，为的中点．若，则（    ）    A．-2 B．2 C． D． 2．（2025·广东·模拟预测）若平面向量，，满足，则的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多选题 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知是坐标原点，对任意，函数的图象上总存在不同两点，使得，则下列选项中满足条件的有（    ） A． B． C． D． 4．（2025·内蒙古赤峰·一模）已知，，分别为的边，，的中点，且，，交于点，令，，表示相应图形的面积，则（   ） A． B． C． D．，，可作为一个三角形的三边长 三、填空题 5．（2026·福建泉州·二模）已知，则实数的值为___________． 四、解答题 6．（2025·全国·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且满足. (1)求； (2)若是边上一点，且满足，，求的最大值. 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2025·湖北·模拟预测）已知，，是同一个平面内的三个向量，则“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·河南郑州·二模）已知平面上不共线的四点，满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2025·四川绵阳·模拟预测）圆为三角形ABC的外接圆，则（    ） A． B． C．三角形的面积为 D．三角形的周长为 三、填空题 4．（2025·湖北·模拟预测）平面向量满足，则的最小值为__________. 四、解答题 5．（2024·江西新余·模拟预测）在等腰直角三角形中，为直角顶点，为线段上一点，为射线上一点，. (1)若，的面积为，求使. (2)为线段上一点，且，求面积的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $