第30讲 平面向量的概念及线性运算 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量的概念及线性运算核心考点，涵盖向量定义、线性运算、共线定理等内容，按基础回顾-必备知识-五题型分类（概念辨析、线性运算等）构建知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练帮助学生突破难点，体现复习系统性与针对性。 资料以题型精讲为特色，创新采用“关注点+解题策略”模式，如共线向量定理参数求解中，结合三点共线充要条件培养数学思维，通过基底表示向量强化数学语言应用。设置单选、多选、解答分层练习，配合课时精练即时反馈，确保高效复习，为教师把控节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第30讲 平面向量的概念及线性运算 题型一 平面向量的有关概念 3 题型二 平面向量加、减运算的几何意义 4 题型三 平面向量的线性运算 6 题型四 判定向量共线、三点共线 9 题型五 利用共线向量定理求参数 10 课时精练 11 【基础回顾】 知识点1．向量的有关概念 名称 定义 表示 向量 在平面中，既有大小又有方向的量 用a，b，c，…或，，…表示 向量的模 向量a的大小，也就是表示向量a的有向线段的长度(或称模) |a|或|| 零向量 长度为0的向量 用0表示 单位向量 长度等于1个单位的向量 用e表示，|e|＝1 平行向量 方向相同或相反的非零向量(或称共线向量) a∥b 相等向量 长度相等且方向相同的向量 a＝b 相反向量 长度相等，方向相反的向量 向量a的相反向量是－a 说明：零向量的方向是不确定的、任意的． 规定：零向量与任一向量平行． 知识点2．向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 a－b＝a＋(－b) 数乘 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 知识点3 共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b=λa. 提醒：当a≠0时，定理中的实数λ才唯一． 【必备知识】 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即＋＋＋…＋＝.特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 2．中线定理：若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝(＋)． 若D为△ABC边BC上的中点：. 3．重心定理：若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0⇔P为△ABC的重心，＝(＋)． 4．三点共线定理：若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. 其推论：如图， 5． 对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 6． 向量的换底公式（统一起点）： 题型一 平面向量的有关概念 平面向量有关概念的四个关注点 关注点一 非零向量的平行具有传递性 关注点二 共线向量即为平行向量，它们均与起点无关 关注点三 向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量 关注点四 是与a同方向的单位向量 【例题精讲】 1．下列关于向量的论述中，正确的是（　　） A．零向量是只有大小没有方向的向量 B．，则 C．与有向线段BA的长度不相等 D．对任一非零向量总是成立的 2．设，为非零向量，则“||＝||+||”是“与共线”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知向量，不共线，且向量λ与（2λ﹣1）的方向相反，则实数λ的值为（　　） A．1 B． C．1或 D．﹣1或 4．已知非零向量，不共线，，，若与共线，则（　　） A．x＝﹣1 B． C． D．x＝1 5．已知向量，不共线，与共线，则实数λ的值为（　　） A． B．2 C．6 D． 6．已知，为平面内一组基底，a，，，若A，B，D三点共线，则a的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．0 D．1 7．已知与为非零向量，，若A，B，C三点共线，则2λ+μ＝（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 （多选）8．设点O是△ABC的外心，且（λ，μ∈R），下列命题为真命题的是（　　） A．若λ+μ＝1，则 B．若，则λ2+μ2＝1 C．若△ABC是正三角形，则 D．若λ+μ＞1，（﹣2，1），（2，4），则四边形AOBC的面积是5 （多选）9．如图所示，每个小方格的边长为1，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D．在上的投影向量的模为 （多选）10．已知向量不共线，，若M，N，P三点共线，则λ的可能的取值为（　　） A． B．﹣1 C．1 D． 题型二 平面向量加、减运算的几何意义 1．平面向量的线性运算技巧 (1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解． (2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来． 2．三种运算法则的要点 (1)加法的三角形法则要求“首尾连”，平行四边形法则要求“共起点”． (2)减法的三角形法则要求“共起点，连终点，指被减”． (3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算． 【例题精讲】 1．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为AD上一点，BE⊥AC，若，则λ﹣μ的值为（　　） A． B． C． D．1 2．下列向量运算错误的是（　　） A． B． C． D． 3．已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，用基底{，}表示，则（　　） A．32 B．32 C．23 D．23 4．在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，设，，则（　　） A． B． C． D． 5．如图，若D点在△ABC的边BC上，且，则（　　） A． B． C． D． 6．已知向量在正方形网格中的位置如图，则（　　） A． B． C． D． 7．已知等边△ABC的边长为2，P为它所在平面内一点，且||＝1，则||的最大值为（　　） A．41 B．7 C．5 D．2 （多选）8．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，AC与BD相交于点O，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． （多选）9．如图所示，四边形ABCD为梯形，其中AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． （多选）10．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（　　） A． B． C． D． 题型三 平面向量的线性运算 平面向量的线性运算的求解策略 【例题精讲】 1．在▱ABCD中，点M是BC边的中点，且AM与BD相交于一点N，则（　　） A． B． C． D． 2．已知等边△ABC的边长为2，且，，则（　　） A． B． C． D． 3．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点E是CD的中点，则（　　） A． B． C． D． 4．如图，在△ABC中，，E为AD的中点，则（　　） A． B． C． D． 5．已知正方形ABCD的边长为4，E为线段AB的中点，F为CD边上的点，若，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，圆M为△ABC的外接圆，AB＝4，AC＝6，则（　　） A．10 B．20 C．26 D．52 7．如图，在△ABC中，ADAB，点E是CD的中点．设，设，则（　　） A． B． C． D． （多选）8．已知△ABC的外接圆圆心为O，且，，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．向量在向量上的投影向量为 （多选）9．如图，点B是线段AC的中点，，点P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，且，以下结论中正确的是（　　） A．当P是线段CE的中点时， B．当时， C．当x+y为定值2时，点P的轨迹是一条线段 D．x﹣y的最大值为﹣1 （多选）10．已知△ABC的内切圆半径为r，外接圆半径为R，外接圆圆心O满足，M为△ABC的外接圆上一动点，且（），则（　　） A．△ABC为等腰三角形 B． C． D．λ+μ的取值范围为 题型四 判定向量共线、三点共线 1.判定向量共线、三点共线的方法 2.利用共线向量定理求参数 一般通过构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． 【例题精讲】 1．已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数t的值为（　　） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（　　） A．若两个单位向量共线，则这两个单位向量相等 B．若，，则 C．若向量，是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上 D．若O为△ABC的垂心，则 3．已知是同一平面内的两个不共线的向量，若，且∥，则（　　） A．xy+12＝0． B．xy﹣12＝0 C．4x+3y＝0 D．4x﹣3y＝0 4．设是非零向量，则是成立的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知向量不共线，且，则实数λ＝（　　） A． B． C． D． 6．下列说法中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若||＝||•||，则 7．已知与是不共线的向量，且，若A，B，D三点共线，则k的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 （多选）8．在△ABC中，，过点D的直线分别交射线AB，AC于不同的两点E，F，若，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C．若m＝2，则 D． （多选）9．已知非零平面向量，，下列结论正确的是（　　） A．若，满足，且，同向，则 B．若是平面所有向量的一组基底，且不是基底，则实数k＝±2 C．若存在非零向量使得，则 D．若向量和满足，与的夹角为60°，则 （多选）10．下列说法正确的是（　　） A．若，，则 B．若非零向量，满足，则A，B，C三点共线 C．若，则向量与的夹角为钝角 D．若向量，不共线，对于平面内任一向量，都存在唯一实数对λ，μ，使 课时精练 一．选择题 1．已知四边形ABCD，则“四边形ABCD是平行四边形”是“ ”的（　　） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若是不共线的向量，且，，，则（　　） A．B，C，D三点共线 B．A，C，D三点共线 C．A，B，D三点共线 D．A，B，C三点共线 3．在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD的形状一定是（　　） A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 4．在平行四边形ABCD中，E为AB中点，F为BC上一点，且，则（　　） A． B． C． D． 5．在△ABC中，BC边上的中线为AD，点O满足，则（　　） A． B． C． D． 6．如图，在△ABC中，，，若，则λ+μ＝（　　） A． B． C． D． 7．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为CD，CB中点，G为线段EF上的一点，且，若，则λ+μ＝（　　） A． B． C．2 D． 8．已知G为△ABC的重心，过G的直线与AB，AC边分别交于M，N点，若，则的最小值为（　　） A． B． C．2 D．4 二．多选题 （多选）9．下列向量运算正确的有（　　） A． B． C． D． （多选）10．如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，BE与AC交于点F，BD与AC交于点G，设，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．若，则2λ﹣μ＝﹣2 （多选）11．在△ABC中，点M，N满足，，P为直线MN上一点，则（　　） A． B． C．若，则2x+3y＝1 D．若，则2m+3n＝1 三．填空题 12．在平面直角坐标系中，点A，B，C，D的位置如图所示，则　（11，1）　 ．（用坐标表示） 13．如图，在△ABC中，，BD与CE交于O，求BO：OD＝　5：3　 ；设△ABC的面积为S，△OBC的面积为S′，　　 ． 14．如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且，，若，则λ+μ＝　3　 ． 四．解答题 15．如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是BC上一点，且.设，． （1）用基底分别表示向量； （2）若，用基底表示向量，并证明A，B，G三点共线． 16．如图，在△ABC中，点P满足，O是线段AP的中点，过点O的直线与线段AB，AC分别交于点E，F． （1）若，请用向量来表示向量； （2）若，，求2λ+μ的最小值． 17．已知△ABC中，D为BC上的点，且BD：DC＝1：2，E为AC的中点，AB＝2，BC＝3． （Ⅰ）记，，用，表示和； （Ⅱ）若AD⊥BE，求cos∠ABC的值． 18．如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，，BE与AC，AF分别相交于M，N两点． （1）若，求λ+μ的值； （2）若，，求． 19．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E在边AB上运动（含端点），点F在边BC上运动（含端点），AF与DE交于点G． （1）若E是AB的中点，BF＝2FC，，求实数λ的值； （2）若E是AB的中点，，求实数μ的取值范围； （3）若AE＝BF，，求的最大值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第30讲 平面向量的概念及线性运算 题型一 平面向量的有关概念 3 题型二 平面向量加、减运算的几何意义 5 题型三 平面向量的线性运算 11 题型四 判定向量共线、三点共线 19 题型五 利用共线向量定理求参数 20 课时精练 25 【基础回顾】 知识点1．向量的有关概念 名称 定义 表示 向量 在平面中，既有大小又有方向的量 用a，b，c，…或，，…表示 向量的模 向量a的大小，也就是表示向量a的有向线段的长度(或称模) |a|或|| 零向量 长度为0的向量 用0表示 单位向量 长度等于1个单位的向量 用e表示，|e|＝1 平行向量 方向相同或相反的非零向量(或称共线向量) a∥b 相等向量 长度相等且方向相同的向量 a＝b 相反向量 长度相等，方向相反的向量 向量a的相反向量是－a 说明：零向量的方向是不确定的、任意的． 规定：零向量与任一向量平行． 知识点2．向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 a－b＝a＋(－b) 数乘 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 知识点3 共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b=λa. 提醒：当a≠0时，定理中的实数λ才唯一． 【必备知识】 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即＋＋＋…＋＝.特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 2．中线定理：若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝(＋)． 若D为△ABC边BC上的中点：. 3．重心定理：若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0⇔P为△ABC的重心，＝(＋)． 4．三点共线定理：若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. 其推论：如图， 5． 对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 6． 向量的换底公式（统一起点）： 题型一 平面向量的有关概念 平面向量有关概念的四个关注点 关注点一 非零向量的平行具有传递性 关注点二 共线向量即为平行向量，它们均与起点无关 关注点三 向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量 关注点四 是与a同方向的单位向量 【例题精讲】 1．下列关于向量的论述中，正确的是（　　） A．零向量是只有大小没有方向的向量 B．，则 C．与有向线段BA的长度不相等 D．对任一非零向量总是成立的 【答案】D 【解答】解：A：零向量的方向是任意的，模为0，并不是没有方向，A错误； B：由于与长度相等，方向相反，和是零向量，而不是0，B错误； C：与有向线段BA的长度相等，C错误； D：因为零向量的模为0，又因为非零向量，的模，D正确． 故选：D． 2．设，为非零向量，则“||＝||+||”是“与共线”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解答】解：因为，为非零向量，由||＝||+||两边平方可得，|||， 故夹角θ＝0，即与共线， 当与共线时，夹角θ＝0或π，此时||＝||+||不一定成立． 故选：A． 3．已知向量，不共线，且向量λ与（2λ﹣1）的方向相反，则实数λ的值为（　　） A．1 B． C．1或 D．﹣1或 【答案】B 【解答】解：与的方向相反，且不共线， ∴存在μ＜0，使， ∴，解得或1（舍去）． 故选：B． 4．已知非零向量，不共线，，，若与共线，则（　　） A．x＝﹣1 B． C． D．x＝1 【答案】C 【解答】解：因为与共线，则存在实数λ，使得， 而，， 故， 非零向量，不共线，则，解得． 故选：C． 5．已知向量，不共线，与共线，则实数λ的值为（　　） A． B．2 C．6 D． 【答案】A 【解答】解：由题意，设， 又向量，不共线， 则有，解得． 故选：A． 6．已知，为平面内一组基底，a，，，若A，B，D三点共线，则a的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．0 D．1 【答案】A 【解答】解：因为，为平面内一组基底，a，，， 所以48， 又A，B，D三点共线， 可得∥，可得，解得a＝2． 故选：A． 7．已知与为非零向量，，若A，B，C三点共线，则2λ+μ＝（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解答】解：，， 则， 因为A，B，C三点共线，所以﹣2（λ﹣1）＝μ﹣1，解得2λ+μ＝3． 故选：D． （多选）8．设点O是△ABC的外心，且（λ，μ∈R），下列命题为真命题的是（　　） A．若λ+μ＝1，则 B．若，则λ2+μ2＝1 C．若△ABC是正三角形，则 D．若λ+μ＞1，（﹣2，1），（2，4），则四边形AOBC的面积是5 【答案】ACD 【解答】解：对选项A：因为λ+μ＝1，则A，O，B三点共线，且点O是△ABC的外心， 所以|OA|＝|OB|＝|OC|，所以O为AB中点，所以△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，故A对； 对选项B：因为，则A，O，B三点共线， 易知△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，且O为AB的中点，则，故B错； 对选项C：因为△ABC是正三角形，故，则，故C对； 对选项D：因为λ+μ＞1，故O在△ABC外，又， 所以CO⊥AB，又，则，故D对． 故选：ACD． （多选）9．如图所示，每个小方格的边长为1，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D．在上的投影向量的模为 【答案】ABD 【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则： A（0，0），B（2，4），C（3，1），D（5，0），E（4，﹣2）， ∴，， ∴，A正确； ，∴，B正确； ，C错误； 在上的投影向量的模为：，D正确． 故选：ABD． （多选）10．已知向量不共线，，若M，N，P三点共线，则λ的可能的取值为（　　） A． B．﹣1 C．1 D． 【答案】AC 【解答】因为M，N，P三点共线，所以． 所以，即2λ2+λ﹣3＝0，解得或λ＝1． 故选：AC． 题型二 平面向量加、减运算的几何意义 1．平面向量的线性运算技巧 (1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解． (2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来． 2．三种运算法则的要点 (1)加法的三角形法则要求“首尾连”，平行四边形法则要求“共起点”． (2)减法的三角形法则要求“共起点，连终点，指被减”． (3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算． 【例题精讲】 1．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为AD上一点，BE⊥AC，若，则λ﹣μ的值为（　　） A． B． C． D．1 【答案】D 【解答】解： 由AB＝3，BC＝4，四边形ABCD为矩形， 建立如图所示坐标系，则有：B（0，0），C（4，0），A（0，3），D（4，3）， 因为E为AD上一点，可设E（x，3）， 所以， 因为BE⊥AC，所以，即4x﹣9＝0，解得：，所以， 由得： ，解得：，所以λ﹣μ＝1． 故选：D． 2．下列向量运算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由平面向量的加法、减法运算法则可知： 因为，故A正确； 因为，故B正确； 因为，故C错误； 因为 ，故D正确． 故选：C． 3．已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，用基底{，}表示，则（　　） A．32 B．32 C．23 D．23 【答案】A 【解答】解：建立如图直角坐标系，则，，， 设，则，得x＝3，y＝﹣2， 故． 故选：A． 4．在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，设，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：因为， 所以22（）， 所以2（）＝32． 故选：C． 5．如图，若D点在△ABC的边BC上，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由可得， 所以（）． 故选：C． 6．已知向量在正方形网格中的位置如图，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：如图根据向量的线性运算的几何表示可得． 故选：C． 7．已知等边△ABC的边长为2，P为它所在平面内一点，且||＝1，则||的最大值为（　　） A．41 B．7 C．5 D．2 【答案】B 【解答】解：设D为线段BC的中点，连接AD，则2．由向量模的三角不等式得||﹣||≤1，即||﹣||≤1， ||≤||+1，（1） 在Rt△ADC中，||＝3，（2）（2）代入 （1）得 ||≤7． 故选：B． （多选）8．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，AC与BD相交于点O，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解答】解：梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，AC与BD相交于点O， A，，故正确； B，由题知，所以，故，故正确； C，由图知：，故错误； D，由向量加法法则知，故正确． 故选：ABD． （多选）9．如图所示，四边形ABCD为梯形，其中AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【解答】解：由题意，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点， A选项：，A选项正确； B选项：，B选项错误； C选项：，C选项正确； D选项：，D选项错误． 故选：AC． （多选）10．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解答】解：对于A，由题意知，E，F分别是CD边上的两个三等分点，且与方向相同，，则，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，所以，故D正确． 故选：ABD． 题型三 平面向量的线性运算 平面向量的线性运算的求解策略 【例题精讲】 1．在▱ABCD中，点M是BC边的中点，且AM与BD相交于一点N，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵点M是BC边的中点，∴， 又∵M是BC的中点，∴，即， ∴． 故选：B． 2．已知等边△ABC的边长为2，且，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】因为，， 所以D，E分别为BC，AC的三等分点， ， ， 所以 ． 故选：D． 3．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点E是CD的中点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：． 故选：A． 4．如图，在△ABC中，，E为AD的中点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：因为，所以， 又因为E为AD的中点， 所以． 故选：C． 5．已知正方形ABCD的边长为4，E为线段AB的中点，F为CD边上的点，若，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：以A为原点，AB为x轴建立平面直角坐标系， 则A（0，0），B（4，0），D（0，4），C（4，4）． 因为E为AB的中点，所以E（2，0）， 又因为，且，所以， 而D（0，4），则得到F（3，4），于是， 故． 故选：D． 6．如图，圆M为△ABC的外接圆，AB＝4，AC＝6，则（　　） A．10 B．20 C．26 D．52 【答案】C 【解答】解：取AB、AC中点D、E，连接MD、ME， 由垂径定理可知，MD⊥AB、ME⊥AC， 则 ． 故选：C． 7．如图，在△ABC中，ADAB，点E是CD的中点．设，设，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意可知，， 所以， 所以2． 故选：B． （多选）8．已知△ABC的外接圆圆心为O，且，，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．向量在向量上的投影向量为 【答案】ABD 【解答】解：△ABC的外接圆圆心为O，且，， 由 可得， 得，A正确． BC为⊙O的直径，∠BAC＝90°，设BC＝2r，则， △ABO为等边三角形，，B正确． ，C错误． 向量在向量上的投影向量为，D正确． 故选：ABD． （多选）9．如图，点B是线段AC的中点，，点P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，且，以下结论中正确的是（　　） A．当P是线段CE的中点时， B．当时， C．当x+y为定值2时，点P的轨迹是一条线段 D．x﹣y的最大值为﹣1 【答案】ACD 【解答】解：对于A，当P是线段CE的中点时， ， 所以，故A正确． 对于B，当时，取线段BC，线段DE的中点，分别记为F，G，则FG平行于BE， 延长AO与直线FG交于点A′，则，， 所以， 所以，所以点P的轨迹为线段FG， 当点P与F重合时，， 当点P与G重合时，， 所以，故B错误； 对于C，当x+y为定值2时，， 令，可得Q，A，B三点共线， 分别取线段BE，CD的中点，记为H，I，所以，即， 连接OI交BC于点J，则， 所以点P的轨迹是线段HI，故C正确； 对于D，由于平行四边形BCDE在OE的左上方，且O，B，E三点共线，所以y≥1，x≤0． 所以﹣y≤﹣1，x≤0， 所以x﹣y≤﹣1，即当x＝0，y＝1时，x﹣y取得最大值﹣1，此时点P与点B重合，故D正确． 故选：ACD． （多选）10．已知△ABC的内切圆半径为r，外接圆半径为R，外接圆圆心O满足，M为△ABC的外接圆上一动点，且（），则（　　） A．△ABC为等腰三角形 B． C． D．λ+μ的取值范围为 【答案】ACD 【解答】解：设AB中点为D，由， 可得，即， 选项A：外心O在CD上，CD为中垂线， 所以CA＝CB，△ABC 为等腰三角形，故成立； 选项B：可设R＝OC＝OA＝OB＝5，由，可知OD＝3， 由OD⊥AB，可得AD＝BD＝4， 所以||＝|2|＝16，而，故不成立； 选项C：利用选项B的运算结果，由等面积法，可得内切圆半径，则，故成立； 选项D：由，得， 即， 由，可得， 可得， 由等和线知识观察可知系数和，则λ+μ的取值范围为，故成立． 故选：ACD． 题型四 判定向量共线、三点共线 1.判定向量共线、三点共线的方法 2.利用共线向量定理求参数 一般通过构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． 【例题精讲】 1．已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数t的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：因为向量共线， 所以存在实数λ，使得， 即， 所以，解得． 故选：D． 2．下列说法正确的是（　　） A．若两个单位向量共线，则这两个单位向量相等 B．若，，则 C．若向量，是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上 D．若O为△ABC的垂心，则 【答案】D 【解答】解：对于A：若两个单位向量共线，则这两个单位向量互为相反向量或互为相等向量，A错误； 对于B：当时，满足，，但向量和不一定平行，B错误； 对于C：当四边形ABCD是平行四边形时，满足向量，是共线向量， 但点A，B，C，D不在同一条直线上，C错误； 对于D：若O为△ABC的垂心，可得AO⊥BC，BO⊥AC， 则，D正确． 故选：D． 3．已知是同一平面内的两个不共线的向量，若，且∥，则（　　） A．xy+12＝0． B．xy﹣12＝0 C．4x+3y＝0 D．4x﹣3y＝0 【答案】A 【解答】解：因为∥，设m，则3xm（y4）， 所以，消去m，得xy+12＝0． 故选：A． 4．设是非零向量，则是成立的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解答】解：对于非零向量， 由，可知向量共线同向，则，所以必要性成立， 由可知向量共线，但不一定是，所以充分性不成立； 所以设是非零向量，则是成立的必要不充分条件． 故选：C． 5．已知向量不共线，且，则实数λ＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题可得：， 故存在实数k，使得， 则有，解得． 故选：B． 6．下列说法中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若||＝||•||，则 【答案】D 【解答】解：对于A，由相等向量的定义知，||＝||时，不一定成立，选项A错误； 对于B，若，则∥，∥，不能得出∥，选项B错误； 对于C，时，••0，不一定得出，选项C错误； 对于D，因为|•|＝|||||cosθ|＝||||，所以cosθ＝±1，θ＝0或π，即与共线，选项D正确． 故选：D． 7．已知与是不共线的向量，且，若A，B，D三点共线，则k的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 【答案】B 【解答】解：因为，且A，B，D三点共线， 所以存在实数λ，使得，即． 因为与是不共线的向量，所以，解得． 故选：B． （多选）8．在△ABC中，，过点D的直线分别交射线AB，AC于不同的两点E，F，若，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C．若m＝2，则 D． 【答案】ACD 【解答】解：在△ABC中，，过点D的直线分别交射线AB，AC于不同的两点E，F， ，， ∵， ∴． ∵，， ∴，故A正确，B错误． ∵D，E，F三点共线，∴， 当m＝2时，， ，． ∵D，E，F三点共线， ∴，即， ∴，解得k＝﹣5，则，故C正确． ∵D，E，F三点共线，∴， 即，且m＞0，n＞0， ∴， 当且仅当时，等号成立，故D正确． 故选：ACD． （多选）9．已知非零平面向量，，下列结论正确的是（　　） A．若，满足，且，同向，则 B．若是平面所有向量的一组基底，且不是基底，则实数k＝±2 C．若存在非零向量使得，则 D．若向量和满足，与的夹角为60°，则 【答案】BD 【解答】解：向量不能比较大小，向量的模长可以比较大小，故A错误； 若不是基底，则且λ∈R， 所以，则或，即k＝±2，故B正确； 若，则化简得（）•0，可得，或与垂直，故C错误； 由题设，故，故D正确． 故选：BD． （多选）10．下列说法正确的是（　　） A．若，，则 B．若非零向量，满足，则A，B，C三点共线 C．若，则向量与的夹角为钝角 D．若向量，不共线，对于平面内任一向量，都存在唯一实数对λ，μ，使 【答案】BD 【解答】解：对于A，当时，满足，，但不一定，A错误； 对于B，由，得与为平行向量，又与有公共点A，因此A，B，C三点共线，B正确； 对于C，当两个非零向量与反向时，满足，但夹角不是钝角，C错误； 对于D，向量不共线，对于任一向量，都存在唯一实数对λ，μ，使，D正确． 故选：BD． 课时精练 一．选择题 1．已知四边形ABCD，则“四边形ABCD是平行四边形”是“ ”的（　　） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解答】解：由于“四边形ABCD是平行四边形”，所以AB＝DC且AB∥DC，即，反之也成立， 故“四边形ABCD是平行四边形”是“充要条件． 故选：A． 2．若是不共线的向量，且，，，则（　　） A．B，C，D三点共线 B．A，C，D三点共线 C．A，B，D三点共线 D．A，B，C三点共线 【答案】B 【解答】解：因为，， 由﹣3×（﹣6）﹣4×2≠0，所以与不共线，所以B，C，D三点不共线，故A错误； 因为，， 由﹣2×（﹣6）﹣4×3＝0，所以，所以A，C，D三点共线，故B正确； 由AB的判断可得：A，C，D三点在一条直线上，点B在直线外， 故A，B，D三点不共线，故C错误； A，B，C三点不共线，故D错误． 故选：B． 3．在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD的形状一定是（　　） A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【解答】解：在四边形ABCD中，， 所以AD＝BC，且AD∥BC， 所以四边形ABCD是平行四边形，不是梯形，故选项A错误，选项B正确； 而邻边不一定相等，也不一定垂直， 所以四边形ABCD不一定是菱形、矩形，故选项C和D错误． 故选：B． 4．在平行四边形ABCD中，E为AB中点，F为BC上一点，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：平行四边形ABCD，因为E是AB的中点，， 因为，所以， 得． 故选：B． 5．在△ABC中，BC边上的中线为AD，点O满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵在△ABC中，BC边上的中线为AD， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 6．如图，在△ABC中，，，若，则λ+μ＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：在△ABC中，，所以， 又因为，所以，所以（）， 所以， 所以，所以． 故选：D． 7．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为CD，CB中点，G为线段EF上的一点，且，若，则λ+μ＝（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解答】解：由题可得： （） （） ， 又， 可得μ，λ， 则λ+μ． 故选：B． 8．已知G为△ABC的重心，过G的直线与AB，AC边分别交于M，N点，若，则的最小值为（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解答】解：由G为△ABC的重心，得，则， 若， 得， 因此，而M，G，N共线，则， 于是， 当且仅当x＝y时取等号． 故选：B． 二．多选题 （多选）9．下列向量运算正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解答】解：对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D正确． 故选：ABD． （多选）10．如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，BE与AC交于点F，BD与AC交于点G，设，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．若，则2λ﹣μ＝﹣2 【答案】ACD 【解答】解：对于选项A，因为，所以AD∥BC，且， 所以，所以，故选项A正确， 对于选项B，若，则F为CG的中点，因为E为CD的中点， 所以EF∥DG，与EF，DG相交于点B矛盾，故选项B错误， 对于选项C，因为E为CD的中点，所以，故选项C正确， 对于选项D，解法一：因为A，F，C三点共线，所以，且x+y＝1， 又，，所以λ＝﹣x，μ＝2y，2λ﹣μ＝﹣2， 解法二：由题意可设，m∈（0，1）， 所以， 又，所以λ＝m﹣1，μ＝2m，所以2λ﹣μ＝2（m﹣1）﹣2m＝﹣2，故选项D正确，故选项D正确． 故选：ACD． （多选）11．在△ABC中，点M，N满足，，P为直线MN上一点，则（　　） A． B． C．若，则2x+3y＝1 D．若，则2m+3n＝1 【答案】BC 【解答】解：△ABC中，点M，N满足，， 对于A，易知M为AC的中点，故，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，易得，可得，，2x+3y＝1，故C正确； 对于D，当P与M重合时，m＝0，，这与2m+3n＝1矛盾，故D错误． 故选：BC． 三．填空题 12．在平面直角坐标系中，点A，B，C，D的位置如图所示，则　（11，1）　 ．（用坐标表示） 【答案】（11，1）． 【解答】解：由题中坐标系以及各点的位置，可得A（1，0），B（5，2），C（4，1），D（1，4）， 所以， 则． 故答案为：（11，1）． 13．如图，在△ABC中，，BD与CE交于O，求BO：OD＝　5：3　 ；设△ABC的面积为S，△OBC的面积为S′，　　 ． 【答案】5：3；． 【解答】解：设，，由得；由得． BD上的点可表示为（，t＝0对应点B，t＝1对应点D）； CE上的点可表示为（，s＝0对应点C，s＝1对应点E）． 由两式相等，根据平面向量基本定理，得， 解得，故，，因此BO：OD＝t：（1﹣t）＝5：3． 延长AO交BC于点F，由B、F、C共线，设， 又，且与共线，故存在k使得， 即， 得，解得，故， 即O到BC的距离与A到BC的距离之比为，因此． 故答案为：5：3；． 14．如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且，，若，则λ+μ＝　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：对两边平方得：3＝λ2﹣λμ+μ2①； 对两边点乘得：，两边平方得：②； ①﹣②得：；根据图像知，μ＞0， ∴μ＝1，代入得，λ＝2； ∴λ+μ＝3． 故答案为：3． 四．解答题 15．如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是BC上一点，且.设，． （1）用基底分别表示向量； （2）若，用基底表示向量，并证明A，B，G三点共线． 【答案】（1），，； （2），A，B，G三点共线证明如下： 由， 则，所以， 又因为有公共点B， 所以A，B，G三点共线． 【解答】解：（1）由题意可知，， 所以， ； （2）证明：由， 则，所以， 又因为有公共点B， 所以A，B，G三点共线． 16．如图，在△ABC中，点P满足，O是线段AP的中点，过点O的直线与线段AB，AC分别交于点E，F． （1）若，请用向量来表示向量； （2）若，，求2λ+μ的最小值． 【答案】（1），； （2）． 【解答】解：（1）因为，所以2（），整理得， 因为O是线段AP的中点，所以， ； （2）由已知，E、O、F三点共线且点E，F分别在线段AB，AC上，所以存在实数t∈（0，1），使得t（1﹣t）tλ（1﹣t）μ， 又由（1），所以， 所以2λ+μ[]×[t+（1﹣t）]2， 当且仅当t时取等号，故2λ+μ的最小值为． 17．已知△ABC中，D为BC上的点，且BD：DC＝1：2，E为AC的中点，AB＝2，BC＝3． （Ⅰ）记，，用，表示和； （Ⅱ）若AD⊥BE，求cos∠ABC的值． 【答案】（Ⅰ），； （Ⅱ）． 【解答】解：（Ⅰ）； ； （Ⅱ）因为AD⊥BE，所以， 所以， 所以， 因为AB＝2，BC＝3，所以，， 所以． 18．如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，，BE与AC，AF分别相交于M，N两点． （1）若，求λ+μ的值； （2）若，，求． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）由题可得：， 所以，μ＝1，所以． （2）因为，，， 所以， 由题可得：． 因为，所以． 设，， 则， ， 因为A，M，C共线，A，N，F共线， 所以， 解得，， 所以， 所以． 19．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E在边AB上运动（含端点），点F在边BC上运动（含端点），AF与DE交于点G． （1）若E是AB的中点，BF＝2FC，，求实数λ的值； （2）若E是AB的中点，，求实数μ的取值范围； （3）若AE＝BF，，求的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解答】解：（1）如图，以A为原点，AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系． 则， 所以， 设点G（x，y），则， 因为，所以， 所以，即， 设，则， 所以，解得； （2）易知A（0，0），D（0，1），E（1，0），F（2，t），t∈[0，1]， 由得：G（2μ，tμ）， 设，则（2μ，tμ﹣1）＝k（1，﹣1）， 所以，可得． 由于t∈[0，1]，所以； （3）因为A，G，F三点共线，且， 所以m＞0，n＞0，m+n＝1， 设AE＝BF＝x，x∈[0，1]． 则E（x，0），F（2，x）． 因为A（0，0），D（0，1）， 所以， 所以， 又∥，所以﹣2n＝﹣x+nx2， 所以， 所以， 若x∈（0，1]，则， 由对勾函数性质可知当x∈（0，1]时，单调递减， 故当x＝1时，取得最大值为． 若x＝0，则， 综上所述：的最大值为． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $