第13讲 三角初步(锐角的正弦余弦与正切) 【暑假预习】高效提优讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

第13讲 三角初步(锐角的正弦余弦与正切) 高效提优讲义 2026-2027学年沪教版(五四制)数学九年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 1. 理解锐角正弦、余弦和正切的定义，能根据直角三角形边长求三角函数值。 1. 掌握锐角三角函数的增减性，能比较三角函数值的大小。 1. 掌握同角三角函数的关系（sin²α+cos²α=1，tanα=sinα/cosα）。 1. 掌握互余两角三角函数的关系（sinα=cos(90°−α)等）。 1. 熟记特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值，并能进行相关计算。 1. 能使用计算器求锐角三角函数值。 知识梳理 · 核心知识点 ☆1.锐角的正弦与余弦 知识点① 锐角的正弦、余弦 1. 锐角的正弦 直角三角形中一个锐角的对边与斜边之比叫作这个锐角的正弦。 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别用 表示。在Rt△ABC中，若∠C = 90°，直角边 和 分别称为∠A的对边和邻边，而直角边 和 分别称为∠B的对边和邻边。如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，锐角A的正弦记作 ，其值为： 2. 锐角的余弦 直角三角形中一个锐角的邻边与斜边之比叫作这个锐角的余弦。 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，锐角A的余弦记作 ，其值为： 提醒： （1）给定锐角 （），可唯一确定 值；反之，给定 值，亦可唯一确定 值。余弦同理。 （2）当角 在 到 范围内增大时， 的值随着 的增大而增大， 的值随着 的增大而减小。 （3）当 时，，。 【典型例题1】 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 12，BC = 5，求 、、 和 的值。 破题思路：已知两条直角边，先利用勾股定理求斜边，再根据定义求解。 解： 在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 12，BC = 5， ∴ 【典型例题2】 三角函数 、、 之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 解析： ∵ ，且锐角的余弦值随角度增大而减小， ∴ ，故 C 正确。 答案：C 知识点② 正弦、余弦之间的关系 1. 同角的正弦、余弦关系 证明：在Rt△ABC中，∠C = 90°，设 ，，则 提醒（在△ABC中，∠C=90°）： （1），。 （2）若 或 ，则 。 2. 互余两角的正弦、余弦关系 在Rt△ABC中，∠A + ∠B = 90°，则 即：一个锐角的正弦等于它的余角的余弦，一个锐角的余弦等于它的余角的正弦。 证明：由定义，，，，，故 ，。 【典型例题3】（上海·期中） 已知 ，若 ，则 。 解析： 由 ，得 答案： 【典型例题4】（普陀·一模） 在Rt△ABC中，∠C = 90°，，那么 等于（ ） A.  B.  C.  D. 解析： ∵ ∠C = 90°，∴ ∠A + ∠B = 90°，∴ 。答案：C ☆2. 锐角的正切 知识点① 锐角的正切 直角三角形中一个锐角的对边与邻边之比叫作这个锐角的正切。 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，锐角A的正切记作 ，其值为： 提醒 （1）锐角的大小确定后，其正弦、余弦、正切值唯一确定；反之，给定其中一个值，角的大小也唯一确定。 （2）当角 在 到 内增大时， 的值也随 增大而增大。 【典型例题5】 如图，已知∠ACB = 90°，DE⊥AB，垂足为E，AB = 10，BC = 6，求∠BDE的正弦、余弦和正切值。 解： 在Rt△ACB中，AC = 。 ∵ DE⊥AB，∠ACB = 90°，∴ ∠DEB = ∠ACB = 90°，又 ∠B = ∠B， ∴ △ACB ∽ △DEB，∴ ∠BDE = ∠A。故 【典型例题6】 如图，在平面直角坐标系中，点A(2,1)，B(3,-1)，C(-1,-3)，则 的值为（ ） A. 2  B.  C.   D. 审题关键：先根据勾股定理求出三角形三边长度，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，最后根据正切的定义求出结果， 解析： 由坐标计算： ∵ ，∴ △ABC是直角三角形，且∠B = 90°。 ∴ 。答案：A 知识点② 锐角的正弦、余弦、正切之间的关系 1. 同一锐角的关系 证明：由定义，，，，故 2. 互余两角的正切关系 在Rt△ABC中，若∠A + ∠B = 90°，则 证明：，，故 。 提醒：在直角三角形中，只要已知两边长，即可求出两个锐角的正弦、余弦和正切值。 【典型例题7】（浦东新·期末） 已知 （ 为锐角），则 。 解析： ∵ ，答案：3 ☆3. 求给定锐角的正弦、余弦与正切值 知识点① 特殊锐角的正弦、余弦与正切值 角度α （对斜） （邻斜） （对邻） 30° 45° 1 60° 提醒：根据表格，已知特殊角可求三角函数值，反之，已知函数值可求对应特殊角。 【典型例题8】求下列各式的值： （1） （2） （3） 解： （1）。 （2）。 （3）。 【典型例题9】 在△ABC中，∠C = 90°，若 ，求 的值。 审题关键：由余弦值得角度，进而求另一锐角的正弦。 解： ∵ ∠C = 90°，，∴ ∠B = 30°，∴ ∠A = 90° - 30° = 60°， ∴ 。 知识点 2 利用计算器求锐角的正弦、余弦或正切值 除特殊角的正弦、余弦或正切值之外，一般需要通过具有功能键 sin、cos、tan（或 tg ）的计算器求出给定锐角的正弦、余弦和正切值，或由给定锐角的正弦、余弦或正切值求得这个锐角的大小。通常，计算器所显示的值为近似值。 【典型例题10】用计算器求 的值，以下按键顺序正确的是（ ）。 答案：A 【典型例题11】已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应锐角的度数： 1. （结果精确到 ）； 2. （结果精确到 ）。 ☆ 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 正弦 sin A = 对边/斜边 角度为锐角 余弦 cos A = 邻边/斜边 角度为锐角 正切 tan A = 对边/邻边 角度为锐角 增减性 sin↑, cos↓, tan↑ (0°~90°) 结合图形记忆 同角关系 sin²α+cos²α=1, tanα=sinα/cosα 常用于求值 互余关系 sinα=cos(90°−α) 角互余 特殊角 30°,45°,60°的函数值 必须熟记 核心考点 ·6大典型考点精讲 【考点1】锐角的正弦、余弦与正切的意义（第1–10题） 1. 根据直角三角形边长求三角函数值，先求未知边。 1. 注意对边、邻边、斜边的对应关系。 1. 在网格中求三角函数值，可构造直角三角形。 1．（2026•五华区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】先利用勾股定理求出BC的长，再根据正弦的定义求解即可． 【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10， ∴， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 2．（2026•西山区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，BC＝3，则cosB＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据已知AB＝5，∠C＝90°，BC＝3，由余弦定义可得：，即可得出答案． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握余弦定义是解题的关键． 3．（2026•兴隆台区校级三模）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，AB与CD相交于点P，则tan∠CPB的值为（　　） A． B． C． D．2 【分析】取格点M，连接AM，BM，由正方形网格的特点得BM经过格点N，∠CDN＝∠BNE＝∠AMD＝∠BMD＝45°，由此得CD∥BM，∠AMD+∠BMD＝90，则∠B＝∠CPB，在Rt△ABM中，tanB＝tan∠CPB＝AM/BM，再由勾股定理求出AM，BM即可得出tan∠CPB的值． 【解答】解：取格点M，连接AM，BM，如图所示： 由正方形网格的特点得：BM经过格点N，∠CDN＝∠BNE＝∠AMD＝∠BMD＝45°， ∴CD∥BM，∠AMD+∠BMD＝90， ∴∠B＝∠CPB，△ABM是直角三角形， 在Rt△ABM中，tanB， ∴tan∠CPB， 又∵正方形网格中的小正方形的边长为1， ∴由勾股定理得：AM，BM， ∴tan∠CPB， 即tan∠CPB的值为． 故选：A． 【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握正方形网格的特点，勾股定理，锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 4．（2025秋•西安校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A、∠B、∠C所对的边是a、b、c，下列等式中成立的是（　　） A．a＝b•tanB B．c＝b•cosA C． D． 【分析】根据锐角三角函数，确定Rt△ABC中各角的三角函数值，进行判断即可． 【解答】解：如图所示，， A．由，可得b＝a•tanB，选项计算错误，不符合题意； B．由，可得b＝c•cosA，选项计算错误，不符合题意； C．由，可得，选项计算正确，符合题意； D．由，可得a＝c•cosB，选项计算错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是关键． 5．（2026•丽江二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，下列等式中成立的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算． 【解答】解：A、，，选项计算错误，不符合题意； B、，，选项计算错误，不符合题意； C、，选项计算正确，符合题意； D、，，选项计算错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是关键． 6．（2026•海珠区校级二模）如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为　　 ． 【分析】根据题意，作CD⊥AB，运用勾股定理逆定理可得△ACD是直角三角形，再根据锐角三角函数的计算即可求解． 【解答】解：如图所示，过点C作CD⊥AB于点D， ∴根据格点可得，AC2＝32+12＝10，CD2＝12+12＝2，AD2＝22+22＝8， ∴AD2+CD2＝AC2，即△ACD是直角三角形，∠ADC＝90°， ∴在Rt△ACD中，， 故答案为：． 【点评】本题考查了格点与勾股定理，锐角三角函数的计算，掌握格点与勾股定理，正弦函数的计算方法是解题的关键． 7．（2026•新平县一模）在Rt△ABC中，AB＝3，AC＝4，则tanC的值为　或　 ． 【分析】根据题意可分两种情况讨论：当点A为直角顶点时，tanC，代入计算即可；当点B为直角顶点时，先根据勾股定理求出BC的长，则tanC，代入计算即可求解． 【解答】解：当点A为直角顶点时，如图， tanC； 当点B为直角顶点时，如图， 在Rt△ABC中，BC， ∴tanC． 综上，tanC的值为或． 【点评】本题主要考查锐角三角函数、勾股定理，本题属于易错题，题中虽已指明△ABC是直角三角形，但并未指明哪个角为直角，应分情况进行讨论． 8．（2025秋•福建期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，求sinA，cosA，tanB的值． 【分析】由勾股定理求出AC的长，由锐角的正弦、余弦和正切定义，即可计算， 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3， ∴AC， ∴sinA，cosA，tanB． 【点评】本题考查锐角三角形函数定义，关键是掌握锐角的正弦定义，余弦定义，正切定义． 9．（2025秋•灞桥区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA，求AC，AB及sinB的值． 【分析】先根据正弦函数的定义求出AB，再利用勾股定理求出AC，最后根据正弦函数的定义求出sinB的值． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA， ∴sinA， 即， ∴AB＝6， ∴AC4， ∴sinB． 【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握解直角三角形基本知识，属于中考常考题型． 10．（2025秋•红桥区期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝4，求sinB，cosB，tanB的值． 【分析】根据正弦、余弦、正切的定义求解即可． 【解答】解：根据题意可知，， ∴，，． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是关键． 【考点2】锐角三角函数的增减性（第11–16题） 1. 利用增减性比较大小：正弦、正切随角增大而增大，余弦随角增大而减小。 1. 结合特殊角进行范围判断。 11．（2025•惠城区三模）已知α为锐角，当25°≤α≤65°时，cosα的最大值为（　　） A．cos25° B．cos65° C． D． 【分析】根据余弦函数在锐角范围内的角度越大，余弦值越小．因此，在25°到65°的区间内，当α取最小值25°时，cosα取得最大值． 【解答】解：已知25°≤α≤65°，当α取最小值时，即α＝25°，cosα的值最大，即最大值为cos25°． 故选：A． 【点评】本题考查了余弦函数值的变化，余弦函数在锐角范围内的角度越大，余弦值越小是关键． 12．（2024•义乌市模拟）若∠A是锐角，且sinA，则（　　） A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90° 【分析】正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），据此可得结论． 【解答】解：∵∠A是锐角，且sinAsin30°， ∴0°＜∠A＜30°， 故选：A． 【点评】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 13．（2024春•同步）已知0°＜α＜90°，随着α增大（　　） A．sinα减小 B．cosα减小 C．tanα减小 D．α的三角函数值不变 【分析】根据锐角三角函数的增减性即可求解． 【解答】解：当0°＜α＜90°时，sinA随着锐角A的增大而增大；cosA随着锐角A的增大而减小；tanA随着锐角A的增大而增大． 故选：B． 【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性：当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 14．（2025秋•南山区校级月考）比较大小：sin40°　＜　 sin50°（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【分析】根据“一个锐角的正弦值随着锐角的增大而增大”进行判断即可． 【解答】解：∵40°＜50°， ∴sin40°＜sin50°， 故答案为：＜． 【点评】本题考查锐角三角函数的增减性，掌握一个锐角的正弦值随着锐角的增大而增大是正确解答的关键． 15．（2025秋•苏州校级期中）tan60°　＞　 tan40°（选填“＞”或“＝”或“＜”）． 【分析】利用正切值随角度的增加而增加即可得出答案． 【解答】解：∵60°＞40°， ∴tan60°＞tan40°， 故答案为：＞． 【点评】本题考查锐角三角函数的增减性，解决本题的关键是掌握正切值随角度的增加而增加． 16．（2024春•同步）（1）比较大小 ①cos47°48′　＜　 cos39°6′； ②tan24°7′　＜　 tan25°7′； ③sin42.7°　＜　 sin52.9°． （2）锐角a、β满足 ①sina＝0.476，sinβ＝0.5043，则a　＜　 β． ②cosa＝0.4376，cosβ＝0.3943，a　＜　 β． 【分析】根据余弦函数，函数值随角度的增大而减小；正弦函数，函数值随角度的增大而增大，即可作出判断． 【解答】解：（1）①cos47°48′＜cos 39°6′； ②tan 24°7′＜tan 25°7′； ③sin 42.7°＜sin 52.9°； （2）锐角a、β满足①sina＝0.476，sinβ＝0.504 3，则a＜β． ②cosa＝0.437 6，cosβ＝0.394 3，a＜β 故答案为：＜、＜、＜、＜、＜． 【点评】本题主要考查了三角函数的增减性，是需要熟记的内容． 【考点3】同角三角函数的关系（第17–23题） 1. 利用 sin²α+cos²α=1 求值。 1. 利用 tanα=sinα/cosα 进行转换。 1. 注意开方时取正值（锐角）。 17．（2026•桓台县模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据sin2A+cos2A＝1代入计算即可． 【解答】解：∵sinA，sin2A+cos2A＝1， ∴cosA， 故选：B． 【点评】本题考查同角三角函数的关系，掌握sin2A+cos2A＝1是正确解答的关键． 18．（2025秋•琅琊区期末）已知∠A为锐角，cosA，则tanA的值为（　　） A． B．2 C． D． 【分析】由锐角的余弦定义得到cosA，令AC＝x，AB＝3x，由勾股定理得到BC2x，由锐角的正切定义即可求出tanA＝2． 【解答】解：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°， ∵cosA， ∴令AC＝x，AB＝3x， ∴BC2x， ∴tanA2． 故选：B． 【点评】本题考查同角三角函数的关系，关键是掌握锐角的余弦，正切定义． 19．（2026•盐都区一模）若∠A为锐角，cosA，则sinA＝　　 ． 【分析】根据cosA，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出sinA的值． 【解答】解：由cosA知， 如果设b＝5x，则c＝13x，结合a2+b2＝c2得a＝12x； ∴sinA． 故sinA． 【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值． 20．（2025秋•涡阳县月考）比较大小：cos38°　＞　 sin38°．（填“＞”或“＝”或“＜”） 【分析】利用互余关系将sin38°转化为cos52°，再根据余弦函数，角度越大，值越小． 【解答】解：根据互余关系将sin38°转化为cos52°可知： sin38°＝cos（90°﹣38°）＝cos52°，且38°＜52°， ∴cos38°＞cos52°， ∴cos38°＞sin38°． 故答案为：＞． 【点评】本题主要考查锐角三角函数的大小，熟练掌握该知识点是关键． 21．（2025秋•福建校级月考）若a＝sin48°，b＝cos48°，c＝tan48°，则a，b，c由小到大的顺序为 b＜a＜c ． 【分析】根据锐角三角函数的性质及正弦值与余弦值的关系解答即可． 【解答】解：根据锐角三角函数的性质及正弦值与余弦值的关系可知： cos48°＝sin42°＜sin48°＜1，tan48°＞tan45°＝1， ∴b＜a＜c． 故答案为：b＜a＜c． 【点评】本题考查锐角三角函数的应用，熟练掌握锐角三角函数的性质及特殊的锐角三角函数值是解题关键． 22．（2024秋•涡阳县期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）求证：sin2A+cos2A＝1； （2）若sinA+cosA，求sinA•cosA的值． 【分析】（1）根据正弦、余弦的定义和勾股定理证明即可； （2）将sinA+cosA两边同时平方并将左边展开，将（1）的关系式代入计算即可． 【解答】（1）证明：∵sinA，cosA， ∴sin2A+cos2A， ∵∠C＝90°， ∴根据勾股定理，得BC2+AC2＝AB2， ∴sin2A+cos2A＝1． （2）解：∵sinA+cosA， ∴（sinA+cosA）2＝（）2，即sin2A+cos2A+2sinA•cosA， ∵sin2A+cos2A＝1， ∴1+2sinA•cosA， ∴sinA•cosA． 【点评】本题考查同角三角函数的关系，掌握正弦、余弦的定义是本题的关键． 23．（2025秋•南阳校级月考）如图，根据提供的数据回答下列问题： （1）在图①中，sinA＝　　 ，cosA＝　　 ，sin2A+cos2A＝　1　 ； 在图②中，sinA1＝　　 ，cosA1＝　　 ，　1　 ． 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？请用含锐角β的等式表示出来． （2）利用你发现的规律求解以下题目：已知β是锐角，且满足sinβ＝3cosβ，求cosβ的值． 【分析】（1）根据锐角三角函数的定义，从而发现规律； （2）根据（1）中的规律，即可求解． 【解答】解：（1）如图①，利用三角函数的定义， ∴，，sin2A+cos2A＝1， 图②中，，，， 规律：对于任意锐角β有sin2β+cos2β＝1； （2）∵β为锐角，∴sinβ＞0，cosβ＞0， 结合得出的规律得， 由，得10cos2β＝1， 解得（负值已经舍去）． 【点评】本题考查锐角三角函数的定义以及发现规律的能力，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【考点4】互余两角三角函数的关系（第24–31题） 1. 若两角互余，则 sinα=cosβ, tanα·tanβ=1。 1. 常用于已知一个三角函数值求另一个互余角的三角函数值。 24．（2025秋•威远县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA，则cosB的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据互余两锐角的三角函数之间的关系可直接得出答案． 【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴cosB＝sinA， 故选：C． 【点评】本题考查锐角三角函数的意义，互余两锐角的三角函数之间的关系，理解锐角三角函数的意义是正确解答的前提，掌握互余两锐角的三角函数之间的关系是解决问题的关键． 25．（2026•望江县开学）已知sinα+cosα，0°＜α＜45°，则tanα＝（　　） A． B． C．或 D． 【分析】设直角三角形中，锐角α所对的边为a，邻边为b，斜边为c，则，，，由，得到，设c＝5k，则a+b＝7k，由勾股定理得a2+b2＝c2＝25k2，可得a＝3k，b＝4k或a＝4k，b＝3k，由0°＜α＜45°得到a＝3k，b＝4k，根据正切的定义即可求解． 【解答】解：设直角三角形中，锐角α所对的边为a，邻边为b，斜边为c， 则，，， ∵， ∴， 设c＝5k，则a+b＝7k， 由勾股定理可得a2+b2＝c2＝25k2， ∴， ∴a＝3k，b＝4k或a＝4k，b＝3k， ∵0°＜α＜45°， ∴a＜b， ∴a＝3k，b＝4k， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查同角三角函数的关系，理解锐角三角函数的意义是解决问题的关键． 26．（2025秋•瑶海区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则tanB＝（　　） A． B． C． D． 【分析】利用三角函数的定义及勾股定理进行计算即可进行求解． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA，∴，可设ACx，则AB＝3x，由勾股定理得，BCx，∴tanB故选：D． 【点评】本题考查互余两角的三角函数的关系，理解锐角三角函数的定义，掌握勾股定理是正确解答的前提． 27．（2026春•梅州月考）若sin44°＝0.6947，cos44°＝0.7193，则cos46°＝　0.6947　 ． 【分析】利用三角函数的互余关系，将 cos46° 转化为 sin44°即可求解． 【解答】解：根据题意可知，44°+46°＝90°， ∴cos46°＝sin（90°﹣46°）＝sin44°＝0.6947． 故答案为：0.6947． 【点评】本题考查了互余两角的三角函数的关系，掌握三角函数的定义是关键． 28．（2026•安徽一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA，则sinB＝　　 ． 【分析】根据互余两角的三角函数的关系就可以求解． 【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴sinB＝cosA． 故答案为：． 【点评】本题考查互为余角的两角的三角函数的关系，一个角的余弦等于它余角的正弦． 29．（2025秋•榆树市校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cosB的值为 　　 ． 【分析】根据正切值，设BC＝15x，AC＝8x，勾股定理求出AB的长，再利用余弦的定义进行求解即可． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA， ∴设BC＝15x，AC＝8x， 则AB17x， ∴cosB． 故答案为：． 【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 30．（2025春•闵行区校级月考）对于锐角α，已知sinα＝cos40°，则α＝　50°　 ． 【分析】根据互余两角三角函数的关系进行计算即可． 【解答】解：由互余两角三角函数的关系可得，sinα＝cos（90°﹣α）， 所以α＝90°﹣40°＝50°． 故答案为：50°． 【点评】本题考查互余两角三角函数的关系，掌握sinα＝cos（90°﹣α）是正确解答的关键． 31．（2025春•海淀区校级期中）在△ABC中，已知∠C＝90°，，求sinA﹣sinB的值． 【分析】根据锐角三角函数的定义，勾股定理以及互余两角三角函数的关系进行计算即可． 【解答】解：设在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c， ∴tanA，tanB，sinA，sinB， ∵tanA+tanB，即， ∴， ∵a2+b2＝c2， ∴， ∴•， 即sinA•sinB， ∴（sinA﹣sinB）2＝sin2A+sin2B﹣2sinA•sinB ＝sin2A+cos2A﹣2sinA•sinB ＝1﹣2 ， ∴sinA﹣sinB＝±． 【点评】本题考查锐角三角函数，勾股定理以及互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的定义，勾股定理以及互余两角三角函数的关系是正确解答的关键． 【考点5】特殊锐角三角函数的值（第32–37题） 1. 熟记30°、45°、60°的三角函数值。 1. 含绝对值和平方的非负性求角。 1. 利用公式计算非特殊角（如75°）的三角函数值。 32．（2026•仪征市模拟）在△ABC中，若，则∠C的度数为　75°　 ． 【分析】先根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，则，进而得到∠A＝60°，∠B＝45°，再由三角形内角和定理即可得到答案． 【解答】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴∠A＝60°，∠B＝45°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°， 故答案为：75°． 【点评】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，非负数的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是关键． 33．（2026•城西区校级二模）三角函数有如下的公式：，利用公式可以计算一些不是特殊角的三角函数值．根据以上阅读材料，计算：tan75°＝　　 ． 【分析】根据特殊角的三角函数值知，据此计算即可． 【解答】解：tan75° ＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握该知识点是关键． 34．（2026•双塔区校级模拟）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，，则△ABC是　等边　 三角形． 【分析】根据特殊角的三角函数值分别求出∠A、∠B，再根据等边三角形的判定定理解答． 【解答】解：∵sin60°，tan60°， ∴∠A＝60°，∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， 故答案为：等边． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值、等边三角形的判定，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 35．（2026•广州校级模拟）计算：cos30°•tan60°﹣sin45°＝　　 ．（结果保留根号） 【分析】直接代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键． 36．（2026春•北京校级月考）计算：． 【分析】先进行负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则分别计算出各数，再进行加减运算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查的是是特殊角的三角函数值，负整数指数幂、零指数幂的运算，熟记运算法则是解题的关键． 37．（2025秋•吉林期末）计算：． 【分析】根据特殊角的三角函数值和实数的运算法则求得计算结果． 【解答】解：原式（）2+1 ． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值． 【考点6】计算器---三角函数（第38–40题） 1. 正确操作计算器，注意度分秒的输入。 1. 结果保留指定精度。 38．（2025•淮安区模拟）用计算器求tan35°的值，按键顺序是　先按tan，再按35，最后按＝　 ． 【分析】根据计算器的使用，可得答案． 【解答】解：用计算器求tan35°的值，按键顺序是先按tan，再按35，最后＝， 故答案为：先按tan，再按35，最后按＝． 【点评】本题考查了计算器，先按锐角三角函数的名称，再按角的度数，最后按等号． 39．（2025春•同步）用计算器计算三角函数的值（精确到万分位）： （1）sin28°36'≈　0.4787　 ； （2）cos85°52'≈　0.0721　 ． 【分析】正确用计算器计算即可得答案． 【解答】解：（1）sin28°36'＝0.4787； 故答案为：0.4787； （2）cos85°52'＝0.0721． 故答案为：0.0721． 【点评】本题主要考查了用计算器计算三角函数的值，解题关键是正确使用计算器． 40．（2025春•同步）用计算器求下列各式的值： （1）cos63°17′； （2）tan27.35°； （3）sin39°57′6″． 【分析】（1）直接利用计算器求出三角函数值即可； （2）直接利用计算器求出三角函数值即可； （3）直接利用计算器求出三角函数值即可． 【解答】解：（1）cos63°17′≈0.45； （2）tan27.35°≈0.52； （3）sin39°57′6″≈0.64． 【点评】此题主要考查了用计算器求锐角的三角函数值，熟练应用计算器是解题关键． 随堂检测 · 精选练习 练习1：正弦定义练习2：余弦定义练习3：正切定义练习4：特殊角计算练习5：非负性求角 练习6：混合运算练习7：三角函数综合练习8：计算求值练习9：化简求值练习10：综合运算 【练习1】（2026•盘龙区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角函数的定义就可以求解． 【解答】解：根据题意画出图形如图所示： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4， ∴BC＝3．则sinA． 故选：A． 【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比边． 【练习2】（2026•兴庆区校级三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，cosA的值等于，则AB的长度是（　　） A．3 B．4 C．5 D． 【分析】根据题意可得，进而可得AB的长． 【解答】解：∵cosA的值等于， ∴， 则， 解得：AB． 故选：D． 【点评】此题主要考查了锐角三角函数定义，关键是掌握余弦＝邻边：斜边． 【练习3】（2026•青秀区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则tanA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角函数的定义即可求得tanA的值． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12， ∴tanA． 故选：B． 【点评】本题主要考查的是锐角三角函数的定义，掌握tanA（a为∠A的对边，b为∠A的邻边）是关键． 【练习4】（2026•南开区三模）计算3tan30°的值等于（　　） A．3 B． C． D． 【分析】直接把tan30°代入进行计算即可． 【解答】解：原式＝3． 故选：D． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 【练习5】（2026•鲤城区校级三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，，那么sinA的值是　　 ． 【分析】根据勾股定理求出斜边AB的长度，再由锐角三角函数的定义即可求出sinA的值． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，， 由勾股定理得：， 根据锐角三角函数的定义可得：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握其相关知识点是解题的关键． 【练习6】（2026•惠东县模拟）计算：cos60°　　 ． 【分析】将特殊角的三角函数值代入，再根据负整数指数幂的运算法则即可得解． 【解答】解：原式， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识点是特殊角的三角函数值、负整数指数幂，解题关键是熟练掌握相关计算法则． 【练习7】（2026•旺苍县模拟）在△ABC中，若∠A，∠B满足则∠C的度数为　90°　 ． 【分析】先根据非负数的性质求出sinA及tanB的值，再由锐角三角函数的定义解答即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴∠A＝60°，∠B＝30°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°． 故答案为：90°． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，非负数的性质，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键． 【练习8】（2026•钟楼区校级模拟）计算：2sin30°+4cos60°﹣5tan45°． 【分析】直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【解答】解：2sin30°+4cos60°﹣5tan45° ＝1+2﹣5 ＝﹣2． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键． 【练习9】（2025秋•永寿县期末）计算：cos60°+sin245°﹣3tan30°． 【分析】根据特殊角的三角函数值代入求值即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查特殊角的三角函数值的计算，解题的关键熟记特殊角的三角函数值． 【练习10】（2025秋•雨花区期末）计算：（sin30°）2+tan60°﹣（sin45°）2+（cos30°）2． 【分析】将特殊锐角三角函数值代入计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值以及实数的运算方法是正确解答的关键． 课后巩固 · 针对性练习 作业1：余弦定义作业2：正弦与边长作业3：正切应用作业4：特殊角求角 作业5：分类讨论求正弦作业6：根式与特殊角作业7：网格中的正切作业8：角度大小比较 作业9：正弦与余弦比较作业10：特殊角混合运算 ❤复习建议 熟记定义：正弦、余弦、正切都是直角三角形中边与角的比值，注意区分对边、邻边、斜边。 掌握关系：同角三角函数平方关系和商数关系，互余角三角函数关系，是解题的利器。 特殊角要记牢：30°、45°、60°的三角函数值必须烂熟于心，并能灵活运用。 利用增减性比较大小：正弦、正切随角增大而增大，余弦随角增大而减小。 计算器操作要规范：注意角度单位，精确度要求。 【作业1】（2026•玉溪模拟）如图，在△ABC中，∠B＝90°．若AB＝3，AC＝5，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据余弦的定义即可求得答案． 【解答】解：在△ABC中，∠B＝90°．若AB＝3，AC＝5， 则cosA， 故选：D． 【点评】本题考查锐角三角函数定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 【作业2】（2026•道里区校级模拟）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3BC，则sinA的值为（　　） A． B． C．3 D． 【分析】根据题意画出图形，明确∠A的对边及斜边，根据正弦定义列式，代入AB＝3BC即可求解． 【解答】解：如图，∠C＝90°，斜边是AB，∠A的对边是BC， 又∵AB＝3BC， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中正确识别角的对边与斜边是解题的关键． 【作业3】（2026•保山二模）如图，AD是△ABC的BC边上的高，若BD＝AD＝8，tan∠DAC，则边BC的长为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【分析】由可求出CD＝4，由AD＝BD＝8可求出BC的长． 【解答】解：∵， ∴， ∵AD＝BD＝8， ∴CDAD8＝4， ∴BC＝8+4＝12． 故选：C． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是关键． 【作业4】（2026•响水县二模）已知∠A是锐角，且满足3tanA0，则∠A的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．无法确定 【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而计算得出答案． 【解答】解：∵3tanA0， ∴tanA， ∴∠A＝30°． 故选：A． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 【作业5】（2026•海门区校级模拟）在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，则sinB＝ 　或　 ． 【分析】分∠C＝90°或∠A＝90°两种情况进行讨论，再根据锐角三角函数的定义，即可求出本题的答案． 【解答】解：在Rt△ABC中，当∠C＝90°时， ∵AC＝3，BC＝4， ∴AB5， ∴sinB， 在Rt△ABC中，当∠A＝90°时， ∵AC＝3，BC＝4， ∴sinB， 综上分析可知，sinB或sinB． 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义，注意分情况讨论是关键． 【作业6】（2026•蓬江区模拟）°＝　1　 ． 【分析】先根据分母有理化、特殊角的三角函数值计算，再根据有理数的混合运算法则计算即可． 【解答】解：2﹣1＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了分母有理化，特殊角的三角函数值，正确计算是解题的关键． 【作业7】（2026•福州模拟）在3×3的正方形网格中，A，B，C，D均为格点，BC交网格线于点E，则tan∠AEB的值是　2　 ． 【分析】首先，根据已知条件，得出AG∥FC，得∠AEB＝∠BCF，最后，得． 【解答】解：如图，在3×3的正方形网格中， ∵AG∥FC， ∴∠BCF＝∠AEB， ∵∠BFC＝90°， ∴A，B，C，D均为格点，BC交网格线于点E，则． 故答案为：2． 【点评】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业8】（2024秋•崇川区校级月考）已知如图，A，B，C，D四点的坐标分别是（3，0），（0，4），（12，0），（0，9），探索∠OBA和∠OCD的大小关系，并说明理由． 【分析】根据勾股定理，可得AB的长，CD的长，根据锐角三角三角函数的正弦等对边比斜边，可得锐角三角函数的正弦值，再根据锐角三角函数的正弦值随锐角的增大而增大，可得答案． 【解答】解：∠OBA＝∠OCD，理由如下： 由勾股定理，得 AB5，CD15， sin∠OBA，sin∠OCD， ∠OBA＝∠OCD． 【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，利用了锐角三角函数的定义，锐角三角函数的正弦值随锐的增大而增大． 【作业9】比较sin57°和cos57°的大小． 【分析】首先判断出cos57°＝sin33°，然后根据当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大而增大，判断出sin57°和cos57°的大小关系即可． 【解答】解：∵cos57°＝sin33°，sin57°＞sin33°， ∴sin57°＞cos57°． 【点评】此题主要考查了锐角三角函数的增减性，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 【作业10】（2026•常州校级模拟）计算：2cos45°+2sin60°﹣tan60°． 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案． 【解答】解：原式＝22 ． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 三角初步(锐角的正弦余弦与正切) 高效提优讲义 2026-2027学年沪教版(五四制)数学九年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 1. 理解锐角正弦、余弦和正切的定义，能根据直角三角形边长求三角函数值。 1. 掌握锐角三角函数的增减性，能比较三角函数值的大小。 1. 掌握同角三角函数的关系（sin²α+cos²α=1，tanα=sinα/cosα）。 1. 掌握互余两角三角函数的关系（sinα=cos(90°−α)等）。 1. 熟记特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值，并能进行相关计算。 1. 能使用计算器求锐角三角函数值。 知识梳理 · 核心知识点 ☆1.锐角的正弦与余弦 知识点① 锐角的正弦、余弦 1. 锐角的正弦 直角三角形中一个锐角的对边与斜边之比叫作这个锐角的正弦。 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别用 表示。在Rt△ABC中，若∠C = 90°，直角边 和 分别称为∠A的对边和邻边，而直角边 和 分别称为∠B的对边和邻边。如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，锐角A的正弦记作 ，其值为： 2. 锐角的余弦 直角三角形中一个锐角的邻边与斜边之比叫作这个锐角的余弦。 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，锐角A的余弦记作 ，其值为： 提醒： （1）给定锐角 （），可唯一确定 值；反之，给定 值，亦可唯一确定 值。余弦同理。 （2）当角 在 到 范围内增大时， 的值随着 的增大而增大， 的值随着 的增大而减小。 （3）当 时，，。 【典型例题1】 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 12，BC = 5，求 、、 和 的值。 破题思路：已知两条直角边，先利用勾股定理求斜边，再根据定义求解。 解： 在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 12，BC = 5， ∴ 【典型例题2】 三角函数 、、 之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 解析： ∵ ，且锐角的余弦值随角度增大而减小， ∴ ，故 C 正确。 答案：C 知识点② 正弦、余弦之间的关系 1. 同角的正弦、余弦关系 证明：在Rt△ABC中，∠C = 90°，设 ，，则 提醒（在△ABC中，∠C=90°）： （1），。 （2）若 或 ，则 。 2. 互余两角的正弦、余弦关系 在Rt△ABC中，∠A + ∠B = 90°，则 即：一个锐角的正弦等于它的余角的余弦，一个锐角的余弦等于它的余角的正弦。 证明：由定义，，，，，故 ，。 【典型例题3】（上海·期中） 已知 ，若 ，则 。 解析： 由 ，得 答案： 【典型例题4】（普陀·一模） 在Rt△ABC中，∠C = 90°，，那么 等于（ ） A.  B.  C.  D. 解析： ∵ ∠C = 90°，∴ ∠A + ∠B = 90°，∴ 。答案：C ☆2. 锐角的正切 知识点① 锐角的正切 直角三角形中一个锐角的对边与邻边之比叫作这个锐角的正切。 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，锐角A的正切记作 ，其值为： 提醒 （1）锐角的大小确定后，其正弦、余弦、正切值唯一确定；反之，给定其中一个值，角的大小也唯一确定。 （2）当角 在 到 内增大时， 的值也随 增大而增大。 【典型例题5】 如图，已知∠ACB = 90°，DE⊥AB，垂足为E，AB = 10，BC = 6，求∠BDE的正弦、余弦和正切值。 解： 在Rt△ACB中，AC = 。 ∵ DE⊥AB，∠ACB = 90°，∴ ∠DEB = ∠ACB = 90°，又 ∠B = ∠B， ∴ △ACB ∽ △DEB，∴ ∠BDE = ∠A。故 【典型例题6】 如图，在平面直角坐标系中，点A(2,1)，B(3,-1)，C(-1,-3)，则 的值为（ ） A. 2  B.  C.   D. 审题关键：先根据勾股定理求出三角形三边长度，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，最后根据正切的定义求出结果， 解析： 由坐标计算： ∵ ，∴ △ABC是直角三角形，且∠B = 90°。 ∴ 。答案：A 知识点② 锐角的正弦、余弦、正切之间的关系 1. 同一锐角的关系 证明：由定义，，，，故 2. 互余两角的正切关系 在Rt△ABC中，若∠A + ∠B = 90°，则 证明：，，故 。 提醒：在直角三角形中，只要已知两边长，即可求出两个锐角的正弦、余弦和正切值。 【典型例题7】（浦东新·期末） 已知 （ 为锐角），则 。 解析： ∵ ，答案：3 ☆3. 求给定锐角的正弦、余弦与正切值 知识点① 特殊锐角的正弦、余弦与正切值 角度α （对斜） （邻斜） （对邻） 30° 45° 1 60° 提醒：根据表格，已知特殊角可求三角函数值，反之，已知函数值可求对应特殊角。 【典型例题8】求下列各式的值： （1） （2） （3） 解： （1）。 （2）。 （3）。 【典型例题9】 在△ABC中，∠C = 90°，若 ，求 的值。 审题关键：由余弦值得角度，进而求另一锐角的正弦。 解： ∵ ∠C = 90°，，∴ ∠B = 30°，∴ ∠A = 90° - 30° = 60°， ∴ 。 知识点 2 利用计算器求锐角的正弦、余弦或正切值 除特殊角的正弦、余弦或正切值之外，一般需要通过具有功能键 sin、cos、tan（或 tg ）的计算器求出给定锐角的正弦、余弦和正切值，或由给定锐角的正弦、余弦或正切值求得这个锐角的大小。通常，计算器所显示的值为近似值。 【典型例题10】用计算器求 的值，以下按键顺序正确的是（ ）。 答案：A 【典型例题11】已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应锐角的度数： 1. （结果精确到 ）； 2. （结果精确到 ）。 ☆ 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 正弦 sin A = 对边/斜边 角度为锐角 余弦 cos A = 邻边/斜边 角度为锐角 正切 tan A = 对边/邻边 角度为锐角 增减性 sin↑, cos↓, tan↑ (0°~90°) 结合图形记忆 同角关系 sin²α+cos²α=1, tanα=sinα/cosα 常用于求值 互余关系 sinα=cos(90°−α) 角互余 特殊角 30°,45°,60°的函数值 必须熟记 核心考点 ·6大典型考点精讲 【考点1】锐角的正弦、余弦与正切的意义（第1–10题） 1. 根据直角三角形边长求三角函数值，先求未知边。 1. 注意对边、邻边、斜边的对应关系。 1. 在网格中求三角函数值，可构造直角三角形。 1．（2026•五华区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2026•西山区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，BC＝3，则cosB＝（　　） A． B． C． D． 3．（2026•兴隆台区校级三模）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，AB与CD相交于点P，则tan∠CPB的值为（　　） A． B． C． D．2 4．（2025秋•西安校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A、∠B、∠C所对的边是a、b、c，下列等式中成立的是（　　） A．a＝b•tanB B．c＝b•cosA C． D． 5．（2026•丽江二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，下列等式中成立的是（　　） A． B． C． D． 6．（2026•海珠区校级二模）如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为　 　 ． 7．（2026•新平县一模）在Rt△ABC中，AB＝3，AC＝4，则tanC的值为　 　 ． 8．（2025秋•福建期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，求sinA，cosA，tanB的值． 9．（2025秋•灞桥区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA，求AC，AB及sinB的值． 10．（2025秋•红桥区期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝4，求sinB，cosB，tanB的值． 【考点2】锐角三角函数的增减性（第11–16题） 1. 利用增减性比较大小：正弦、正切随角增大而增大，余弦随角增大而减小。 1. 结合特殊角进行范围判断。 11．（2025•惠城区三模）已知α为锐角，当25°≤α≤65°时，cosα的最大值为（　　） A．cos25° B．cos65° C． D． 12．（2024•义乌市模拟）若∠A是锐角，且sinA，则（　　） A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90° 13．（2024春•同步）已知0°＜α＜90°，随着α增大（　　） A．sinα减小 B．cosα减小 C．tanα减小 D．α的三角函数值不变 14．（2025秋•南山区校级月考）比较大小：sin40°　 　 sin50°（填“＞”、“＜”或“＝”）． 15．（2025秋•苏州校级期中）tan60°　 　 tan40°（选填“＞”或“＝”或“＜”）． 16．（2024春•同步）（1）比较大小 ①cos47°48′　 　 cos39°6′； ②tan24°7′　 　 tan25°7′； ③sin42.7°　 　 sin52.9°． （2）锐角a、β满足 ①sina＝0.476，sinβ＝0.5043，则a　 　 β． ②cosa＝0.4376，cosβ＝0.3943，a　 　 β． 【考点3】同角三角函数的关系（第17–23题） 1. 利用 sin²α+cos²α=1 求值。 1. 利用 tanα=sinα/cosα 进行转换。 1. 注意开方时取正值（锐角）。 17．（2026•桓台县模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 18．（2025秋•琅琊区期末）已知∠A为锐角，cosA，则tanA的值为（　　） A． B．2 C． D． 19．（2026•盐都区一模）若∠A为锐角，cosA，则sinA＝　 　 ． 20．（2025秋•涡阳县月考）比较大小：cos38°　 　 sin38°．（填“＞”或“＝”或“＜”） 21．（2025秋•福建校级月考）若a＝sin48°，b＝cos48°，c＝tan48°，则a，b，c由小到大的顺序为 　 　 ． 22．（2024秋•涡阳县期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）求证：sin2A+cos2A＝1； （2）若sinA+cosA，求sinA•cosA的值． 23．（2025秋•南阳校级月考）如图，根据提供的数据回答下列问题： （1）在图①中，sinA＝　 　 ，cosA＝　 　 ，sin2A+cos2A＝　 　 ； 在图②中，sinA1＝　 　 ，cosA1＝　 　 ，　 　 ． 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？请用含锐角β的等式表示出来． （2）利用你发现的规律求解以下题目：已知β是锐角，且满足sinβ＝3cosβ，求cosβ的值． 【考点4】互余两角三角函数的关系（第24–31题） 1. 若两角互余，则 sinα=cosβ, tanα·tanβ=1。 1. 常用于已知一个三角函数值求另一个互余角的三角函数值。 24．（2025秋•威远县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA，则cosB的值是（　　） A． B． C． D． 25．（2026•望江县开学）已知sinα+cosα，0°＜α＜45°，则tanα＝（　　） A． B． C．或 D． 26．（2025秋•瑶海区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则tanB＝（　　） A． B． C． D． 27．（2026春•梅州月考）若sin44°＝0.6947，cos44°＝0.7193，则cos46°＝　 　 ． 28．（2026•安徽一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA，则sinB＝　 　 ． 29．（2025秋•榆树市校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cosB的值为 　 　 ． 30．（2025春•闵行区校级月考）对于锐角α，已知sinα＝cos40°，则α＝　 　 ． 31．（2025春•海淀区校级期中）在△ABC中，已知∠C＝90°，，求sinA﹣sinB的值． 【考点5】特殊锐角三角函数的值（第32–37题） 1. 熟记30°、45°、60°的三角函数值。 1. 含绝对值和平方的非负性求角。 1. 利用公式计算非特殊角（如75°）的三角函数值。 32．（2026•仪征市模拟）在△ABC中，若，则∠C的度数为　 　 ． 33．（2026•城西区校级二模）三角函数有如下的公式：，利用公式可以计算一些不是特殊角的三角函数值．根据以上阅读材料，计算：tan75°＝　 　 ． 34．（2026•双塔区校级模拟）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，，则△ABC是　 　 三角形． 35．（2026•广州校级模拟）计算：cos30°•tan60°﹣sin45°＝　 　 ．（结果保留根号） 36．（2026春•北京校级月考）计算：． 37．（2025秋•吉林期末）计算：． 【考点6】计算器---三角函数（第38–40题） 1. 正确操作计算器，注意度分秒的输入。 1. 结果保留指定精度。 38．（2025•淮安区模拟）用计算器求tan35°的值，按键顺序是　 　 ． 39．（2025春•同步）用计算器计算三角函数的值（精确到万分位）： （1）sin28°36'≈　 　 ； （2）cos85°52'≈　 　 ． 40．（2025春•同步）用计算器求下列各式的值： （1）cos63°17′； （2）tan27.35°； （3）sin39°57′6″． 随堂检测 · 精选练习 练习1：正弦定义练习2：余弦定义练习3：正切定义练习4：特殊角计算练习5：非负性求角 练习6：混合运算练习7：三角函数综合练习8：计算求值练习9：化简求值练习10：综合运算 【练习1】（2026•盘龙区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 【练习2】（2026•兴庆区校级三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，cosA的值等于，则AB的长度是（　　） A．3 B．4 C．5 D． 【练习3】（2026•青秀区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则tanA的值为（　　） A． B． C． D． 【练习4】（2026•南开区三模）计算3tan30°的值等于（　　） A．3 B． C． D． 【练习5】（2026•鲤城区校级三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，，那么sinA的值是　 　 ． 【练习6】（2026•惠东县模拟）计算：cos60°　 　 ． 【练习7】（2026•旺苍县模拟）在△ABC中，若∠A，∠B满足则∠C的度数为　 　 ． 【练习8】（2026•钟楼区校级模拟）计算：2sin30°+4cos60°﹣5tan45°． 【练习9】（2025秋•永寿县期末）计算：cos60°+sin245°﹣3tan30°． 【练习10】（2025秋•雨花区期末）计算：（sin30°）2+tan60°﹣（sin45°）2+（cos30°）2． 课后巩固 · 针对性练习 作业1：余弦定义作业2：正弦与边长作业3：正切应用作业4：特殊角求角 作业5：分类讨论求正弦作业6：根式与特殊角作业7：网格中的正切作业8：角度大小比较 作业9：正弦与余弦比较作业10：特殊角混合运算 ❤复习建议 熟记定义：正弦、余弦、正切都是直角三角形中边与角的比值，注意区分对边、邻边、斜边。 掌握关系：同角三角函数平方关系和商数关系，互余角三角函数关系，是解题的利器。 特殊角要记牢：30°、45°、60°的三角函数值必须烂熟于心，并能灵活运用。 利用增减性比较大小：正弦、正切随角增大而增大，余弦随角增大而减小。 计算器操作要规范：注意角度单位，精确度要求。 【作业1】（2026•玉溪模拟）如图，在△ABC中，∠B＝90°．若AB＝3，AC＝5，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 【作业2】（2026•道里区校级模拟）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3BC，则sinA的值为（　　） A． B． C．3 D． 【作业3】（2026•保山二模）如图，AD是△ABC的BC边上的高，若BD＝AD＝8，tan∠DAC，则边BC的长为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【作业4】（2026•响水县二模）已知∠A是锐角，且满足3tanA0，则∠A的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．无法确定 【作业5】（2026•海门区校级模拟）在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，则sinB＝ 　 　 ． 【作业6】（2026•蓬江区模拟）°＝　 　 ． 【作业7】（2026•福州模拟）在3×3的正方形网格中，A，B，C，D均为格点，BC交网格线于点E，则tan∠AEB的值是　 　 ． 【作业8】（2024秋•崇川区校级月考）已知如图，A，B，C，D四点的坐标分别是（3，0），（0，4），（12，0），（0，9），探索∠OBA和∠OCD的大小关系，并说明理由． 【作业9】比较sin57°和cos57°的大小． 【作业10】（2026•常州校级模拟）计算：2cos45°+2sin60°﹣tan60°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $