专项训练02 一元二次方程专练(7题型专练)（巩固培优）新九年级数学新教材北师大版

**基本信息** 以7大知识点为逻辑主线，构建“定义-性质-解法-应用”完整体系，提炼“步骤化+易错点”解题方法，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一般形式辨析|3题|“整理一般式+三条件+系数非0”四步判断法|从整式方程定义切入，建立概念认知基础| |根的性质与估算|3题|根代入求参法、夹逼法估算区间|衔接方程解的定义，发展数感与推理能力| |配方法|3题|“化1-移项-配方-开方”六步标准流程|基于完全平方公式，培养代数变形能力| |根的判别式|3题|“算Δ-判根-求参”应用三类型|由配方法推导，深化逻辑推理与参数分析| |公式法|3题|“化一般式-算Δ-代公式”三步法|通用解法总结，强化规范运算能力| |因式分解法|3题|“移项-分解-降次”零乘积性质应用|结合整式因式分解，体现转化思想| |换元法|3题|“整体设元-转化方程-回代求解”四步转化|针对复杂方程，培养模型意识与化归能力|

专项训练02一元二次方程专练（7题型专练） 【知识点1 一元二次方程一般形式的辨析】 1. 一元二次方程的定义 三个必备判定条件：① 是整式方程；② 只含有一个未知数；③ 未知数的最高次数为2。 隐含核心前提：二次项系数不为0，这是判断一元二次方程的必要条件。 2. 一元二次方程的一般形式 标准形式： 各项定义：是二次项，为二次项系数；是一次项，为一次项系数；是常数项。 3. 辨析方法 先通过去分母、去括号、移项、合并同类项，将方程整理为一般形式。 再对照定义的三个条件+二次项系数不为0进行判断。 高频易错点 忽略“整式方程”前提，误将分式方程、根式方程判定为一元二次方程。 含参数的方程中，遗漏“二次项系数不为0”的限制条件。 【知识点2 一元二次方程根的性质应用与估算】 1. 一元二次方程的根的定义 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解（也叫根）。 核心应用：已知方程的根，将根代入原方程，即可建立关于参数的等式，求出参数的值。 2. 根的估算（夹逼法） 原理：对于方程，当取两个值时，代数式的符号由正变负（或由负变正），则这两个值之间必有一个根。 3. 方法：代入不同数值计算代数式的值，逐步缩小根的取值范围，确定根所在的相邻整数/小数区间。 高频易错点 代入根求参数时，系数符号计算出错。 估算时未验证区间两端的符号变化，导致根的范围判断错误。 【知识点3 应用配方法解一元二次方程】 1. 配方法的原理 依据完全平方公式，将方程变形为的形式，再用直接开平方法求解。 2. 配方法解方程标准步骤 化1：方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为1； 移项：将常数项移到方程右侧，含未知数的项留在左侧； 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 变形：将方程左边写成完全平方形式，右边合并常数项； 开方：当右边常数时，两边直接开平方； 求解：解得到的两个一元一次方程，得到原方程的根。 3. 根的情况判定 若，方程有两个不相等的实数根； 若，方程有两个相等的实数根； 若，方程没有实数根。 高频易错点 二次项系数未化为1就直接配方。 配方时只给左边加常数，忘记给右边同时加上相同的数。 忽略一次项系数的符号，导致配方错误。 【知识点4 一元二次方程根的判别式的应用】 1. 根的判别式定义 对于一元二次方程，把叫做根的判别式，由配方法推导得出。 2. 根的情况与判别式的对应关系 方程有两个不相等的实数根； 方程有两个相等的实数根； 方程没有实数根； 方程有实数根。 3. 常见应用类型 不解方程，直接判断方程根的个数； 已知方程根的情况，求参数的取值范围； 证明方程根的情况（如恒有两个不相等的实数根）。 高频易错点 已知方程有两个实数根时，遗漏“二次项系数不为0”的前提条件。 计算判别式时，系数符号代入错误。 【知识点5 用公式法解一元二次方程】 1. 求根公式 对于一元二次方程，当时，它的根为： 求根公式由配方法推导而来，是解一元二次方程的通用方法。 2. 公式法解方程步骤 化一般式：将方程整理为的标准形式，确定的值； 算判别式：计算，判断方程根的情况； 代公式：若，将代入求根公式计算；若，直接说明方程无实数根； 写结果：整理得出方程的两个实数根。 高频易错点 未将方程化为一般形式就确定a,b,c，导致系数符号错误。 忽略判别式的判断，Δ<0时仍强行代入公式。 【知识点6 用因式分解法解一元二次方程】 1. 理论依据 零乘积性质：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0，即若，则或。 2. 适用条件 a) 方程右边为0，且左边容易分解为两个一次因式的乘积。 3. 解题步骤 移项：将方程所有项移到左边，使右边为0； 分解：将方程左边分解为两个一次因式的乘积； 降次：令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程； 求解：解这两个一元一次方程，得到原方程的根。 4. 教材常用分解方法 提公因式法； 公式法：平方差公式、完全平方公式。 高频易错点 方程右边不为0时，就直接分解因式求解。 方程两边同时除以含未知数的因式，导致漏解。 【知识点7 换元法的应用】 1. 换元法的核心思想 通过引入新的未知数（元），将结构复杂的方程转化为熟悉的一元二次方程，达到降次、简化运算的目的。 2. 教材常见换元类型 整体换元：形如的方程，设，转化为求解。 降次换元：形如双二次方程，设，转化为求解。 3. 解题步骤 观察方程结构，选定重复出现的整体作为换元对象； 设新元，将原方程转化为关于新元的一元二次方程； 解新的一元二次方程，求出新元的值； 回代：将新元的值代回换元关系式，求出原未知数的值； 检验并整理所有解。 高频易错点 求出新元的值后，忘记回代求原未知数的解。 回代求解时，遗漏负根或多解情况。 【题型1 一元二次方程一般形式的辨析】 1．把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平方差公式将等号的左边去括号，再移项、整理即可得到结果． 【详解】， 去括号，得， 移项，得． 2．已知关于的方程． (1)当为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】(1) (2),一元二次方程的二次项系数是、一次项系数是，常数项是 【分析】本题考查了一元二次方程，一元一次方程的定义；熟练掌握定义是解答本题的关键． （1）根据二次项系数等于零，一次项系数不等于零时是一元一次方程，可得答案； （2）根据二次项系数不等于零是一元二次方程，可得答案． 【详解】（1）解：由是一元一次方程，得 根据题意，得且． 解得． 所以当时，此方程是一元一次方程； （2）根据题意，得． 解得． 此时一元二次方程的二次项系数是、一次项系数是，常数项是． 3．把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （    ） A．1，4，1 B．2，，0 C．3，4，0 D．，，1 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解本题的关键． 将方程整理成一元二次方程的一般形式，确定各项系数、、的值． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项，得， 方程化简为， 可得，，， 故选：B． 【题型2 一元二次方程根的性质应用与估算】 4．根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由表格找到的值在两个相邻处分别小于和大于，则方程的解就在这两个之间． 【详解】解： 由表格可知：当时，， 当时，， 方程的一个解的取值范围为． 5．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】由题意可以得到的值，然后代入所求代数式即可得解． 【详解】解：由题意可得： ， ∴， ∴ =2×2+2022=2026， 故选D ． 【点睛】本题考查代数式的综合应用，熟练掌握一元二次方程根的意义、已知式子的值求代数式的值的方法是解题关键 ． 6．若一元二次方程满足，则这个方程必有一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程得，即可解答．解题的关键是掌握方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：∵， 又把代入方程中得：， ∴这个方程必有一个根是． 故选：D． 【题型3 应用配方法解一元二次方程】 7．配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则________；________． (2)求代数式的最值； 【答案】(1)， (2)最小值为，无最大值； 【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质—偶次方．熟练掌握配方法是关键． （1）依据题意，由配方即可得到本题答案； （2）依据题意，先提出，再配方即可求最值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， 故答案为：2；1． （2）由题意得， ， ∵， ∴当时，有最小值，无最大值． 8．用配方法解方程，将方程变形为，则的值为（   ） A．4 B．9 C．12 D．14 【答案】B 【分析】将方程通过配方法变形为的形式，确定和的值后求和． 【详解】解： 原方程变形为： 提取二次项系数2： 对括号内的，加上一次项系数一半的平方，并保持等式平衡：即： 展开整理：移项得： 对比形式，得，， 故． 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的配方法，熟练掌握配方法是解题的关键． 9．在学习完全平方公式的运用时，我们常利用配方法求代数式的最小值． 例如：求代数式的最小值时可以用如下解答方法： 解：． ∵，∴当时，的最小值是．∴． ∴当时，的最小值是． ∴的最小值是． 根据示例求代数式的最小值是_______． 【答案】 【分析】本题考查配方法的应用、非负数的性质，依据题意将化为，又对于任意的，都有，，进而得解．熟练掌握并能灵活运用配方法是关键． 【详解】解：∵ ， 又∵对于任意的，都有，， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 【题型4 一元二次方程根的判别式的应用】 10．下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程没有实数根，计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：对于一元二次方程，判别式为． 选项A：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项B：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项C：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项D：方程为，， ，方程没有实数根． 11．已知关于 的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个根均为整数，求 的值． 【答案】(1)证明：方程为一元二次方程，故即， 判别式， 方程总有两个实数根． (2)或 【分析】（1）证明即可； （2）根据求根公式，表示出两个根，利用整数的性质，求解即可； 【详解】（1）略 （2）解：由求根公式得      计算得，， 两根均为整数，为整数， ， 解得或 ． 12．若关于的方程没有实数根，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】解：， ， ∵关于的方程没有实数根， ∴， 解得， ． 【题型5 用公式法解一元二次方程】 13．下列方程中，最适合用公式法求解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据各个方程判断最适合的方法即可得解，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解此题的关键． 【详解】解：A、最适合用直接开平方法，故不符合题意； B、最适合用直接开平方法，故不符合题意； C、最适合用公式法，故符合题意； D、最适合用直接开平方法，故不符合题意； 故选：C． 14．定义新运算：规定，例如，若，则的值为___________． 【答案】 或 【分析】本题考查了新定义运算和一元二次方程的求解，解题的关键是根据新定义列出方程并准确求解． 根据新运算规则列出方程，整理为一元二次方程后，用求根公式求解． 【详解】解：由新定义，得 ， 即 ， 整理得 ． 解此一元二次方程，判别式 ， ， 解得 ，． 故答案为： 或 15．在菱形中，点是对角线上一点，且，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理的运用，解一元二次方程，掌握菱形的性质，勾股定理的计算是解题的关键． 根据题意作图，设对角线交于点，根据题意得到，由菱形的性质得到，，，，则，在中，，即，在中，，即，由此列式求解即可． 【详解】解：根据题意，作图如下，设对角线交于点， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， 在中，，即， 在中，，即， ∴， 整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴，即， 故选：D ． 【题型6 用因式分解法解一元二次方程】 16．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根为2，求的值和方程的另一个根． 【答案】(1)证明：对于一元二次方程，，，， ． ∵无论取何实数，都有， ∴， ∴， ∴无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2)，方程的另一个根为． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，证明判别式恒大于0即可证明结论； （2）先将已知根代入原方程求出的值，再解一元二次方程得到另一个根． 【详解】（1）略； （2）解：把代入原方程，得， 即， 解得． 将代入原方程，得， 因式分解得， 解得，， 因此方程的另一个根为． 17．已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵方程的两根恰好是某菱形的对角线长， ∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7， ∴该菱形的面积为． 18．已知关于x的方程． (1)若该方程有两个相等的实数根，求的值； (2)若是该方程的一个实数根，求该方程另一个实数根及的值． 【答案】(1) (2)另一个实数根为， 【分析】（1）根据题意可得，，从而求出k的值； （2）将代入方程，求出k的值，再将k的值代入原方程，求解出另一实数根即可． 【详解】（1）解：， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 化简，得， 解得； （2）解：∵是方程的一个实数根， ∴将代入，得， ， 解得， 当时，原方程为， 因式分解，得， 解得或， ∴方程的另一实数根为． 【题型7 换元法的应用】 19．阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，． 请运用上面学到的方法填空： （1）解方程，则______； （2）若，求______． 【答案】 5或 5 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，正确理解已知中的解题方法并仿照解题是解题的关键． （1）仿照例题，设，因式分解后得出，再将值代回求解即可； （2）仿照例题，设，因式分解后得出，再将值代回求解即可． 【详解】解：（1）设，则， ∴，解得， 当时，， 当时，， 故答案为：5或； （2）设  ，则， ∴， ∴， ∴或， ∴，， ∵不论a、b为何值，，即， ， 故答案为：5． 20．阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数满足，求的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟知换元法是解题的关键． （1）设，则原方程化为，利用因式分解法解方程求出y的值即可得到答案； （2）设，则原方程化为，利用因式分解法解方程求出t的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， ∴， ∴或， 解得或， ∴或， 解得； （2）解：设，则原方程化为， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或（舍去）， ∴． 21．已知，则的值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题考查换元法和完全平方公式的应用，通过设，将原式转化为关于的方程，利用完全平方公式展开求解即可． 【详解】解：∵ ∴设，则， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 即 故选：D． 1．将方程化成一元二次方程的一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是将方程通过移项化为（）的形式． 将方程右边的移到左边，使方程右边为即可． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为（）， 将方程两边同时减去，得，对应选项B． 故选：B． 2．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 【答案】D 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别确定二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式， 移项可得， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 3．关于的方程的根是，（a，m，b，c均为常数，），则关于的方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把所求方程中的看做一个整体，根据已知方程的解可得或，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的方程的根是，， ∴关于的方程的根满足或，解得或， 故选；A． 4．已知方程的解是，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查换元法解方程，根据题意，得到方程的解为或，进行求解即可． 【详解】解：∵方程的解是， ∴方程的解为或， 解得：； 故选：B． 5．已知方程的解是或，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程解的意义以及换元法． 通过变量替换，将新方程转化为已知方程的形式求解. 【详解】解：设，则方程化为， 的解为或， ∴或， 解得或， 故选：C． 6．一元二次方程的一个根为3，那么它的另一个根为（     ） A． B．0 C．2 D． 【答案】B 【分析】已知一元二次方程的一个根，可先将根代入方程求出参数m的值，再解一元二次方程得到另一个根即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴将代入原方程得，可得， ∴原方程为，即， 解得， ∴方程的另一个根为． 7．已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 【答案】C 【分析】采用换元法简化原方程，结合平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】解：设， 原方程可化为， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 8．若一元二次方程的根为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，根据一元二次方程的得出的值，进而即可求解，熟记一元二次方程的求根公式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的根为， ∴，，， ∴该一元二次方程为， 故选：． 9．已知关于x的方程（），当时，方程的解为（    ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】已知，即判别式为0，方程有两个相等的实数根，通过配方即可得到方程的解． 【详解】解：∵一元二次方程，，且， ∴，方程有两个相等的实数根． 对原方程配方： 移项得， 两边同除以得， 配方得， ∵， ∴， ∴． 10．下列关于的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个不相等的实数根，分别计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】解：对选项A，，，方程没有实数根，A不符合要求． 对选项B，，，方程没有实数根，B不符合要求． 对选项C，，，方程有两个相等的实数根，C不符合要求． 对选项D，，，方程有两个不相等的实数根，D符合要求． 11．用配方法解方程时，通过配方后可得的形式，则m的值是（   ） A．3 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程—配方法，掌握配方法的步骤是解题的关键． 将常数项移到方程的右边，再将两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后对比即可解答． 【详解】解： 方程， 移项得， 配方得， 即， ∵方程配方后可得． ∴， 故选：A． 12．用配方法解一元二次方程,则方程可变形为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将常数项移到等号右侧，然后等式两边同加上一次项系数一半的平方，将左边配方为完全平方式，即可得到结果． 【详解】解：移项，得， 两边同时加上4，得， ． 13．观察下列表格，可得出一元二次方程的一个近似解是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 0.84 2.29 3.76 5.25 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格确定相邻两个未知数的值使的值为一正一负，即可确定的解的取值范围． 【详解】解：由表格可知，当时，；当时，， 则当时，存在一个x的值，使， 故关于x的方程的一个解x的范围是， 故选：． 14．已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据已知方程的解得出或，求出即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，， ∴方程中或， 解得：或， 即方程的两根分别为，， 故选：B． 【点睛】本题考查解一元二次方程和一元二次方程的解，根据已知方程的解得出或是解题的关键． 15．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，通过变形将所求方程转化为与已知方程形式一致的式子，利用已知方程的解来求解新方程的根是解题关键． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵关于x的一元二次方程有一根为， ∴ ∴． ∴一元二次方程必有一根为． 故选：C． 16．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（     ） A．9 B．11 C．13 D．11或13 【答案】C 【分析】先求解一元二次方程得到第三边的两个可能取值，再根据三角形三边关系判断符合条件的第三边长度，最后计算三角形周长． 【详解】解：， 因式分解得， ∴， 解得或． 根据三角形三边关系，可得第三边的取值范围为， 即． ∵不满足，不能构成三角形，舍去， 满足，可以构成三角形． ∴三角形的周长为． 17．已知实数a，b，c满足，，下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查的是不等式的性质，配方法的应用，先由条件可得，，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ； ∴， 故选：A 18．已知关于x的方程（a，b，m均为常数，且）的两个解是，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，先运用得出，同理，得的解为，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴则方程的解是 故选：D 19．若关于x的一元二次方程，系数a，b，c满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据，，得到当时，满足一元二次方程，即可得出结果. 【详解】解：∵系数a，b，c满足，， ∴当时，使一元二次方程成立， 即方程的解为，. 20．关于的方程有一个小于的非负数解，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对一元二次方程因式分解得到两个根，再根据“有一个小于1的非负数解”的条件列出不等式组，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵关于的方程有一个小于的非负数解，且，即不是非负数， ∴ 解得． 21．已知代数式的值与代数式的值相等，则___________． 【答案】或 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，理解题意，得，再整理得，运用公式法进行解方程，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， 即， ∴， 则， ∴或， 故答案为：或． 22．若，设，原式可化为，即，解得，，故的值为3或.仿照上面的方法，计算当时，的值为________. 【答案】5 【分析】本题考查解一元二次方程．设，将方程转化为一元二次方程，再进行求解即可．注意：． 【详解】解：设， 则原方程可变形为，即， ∴， ∴， 解得：； 又∵ ∴． 故答案为：5． 23．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围______． 【答案】 【分析】考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握一元二次方程有两个不相等的实数根需满足二次项系数不为零且判别式大于零．首先确保方程为一元二次方程，即二次项系数，再计算判别式，并分析其恒正性即可． 【详解】解：方程为一元二次方程，因此二次项系数，解得， 判别式， 对于二次式，其判别式为，且二次项系数开口向上，因此恒成立， 当时，方程有两个不相等的实数根， 故答案为：． 24．将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，代数式求值，先把移到右边，再方程两边加上，把方程配成的形式，进而得到的值，最后代入到代数式计算即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， 故答案为：． 25．已知关于的方程的解都是整数，求整数的值为_____． 【答案】，，， 【分析】用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论求解． 【详解】解：当时，原方程为，解得，符合题意； 当时，原方程为，解得，符合题意； 当且时，原方程化为，解得，． 为整数，且，均为整数根， ，，，，得，，，，，，， 且，，，得，，，，． 综上所述，当的值为，，，时，原方程的根都为整数． 26．当________时，函数（是常数）是正比例函数． 【答案】 【分析】根据正比例函数是（k为常数，），即常数项为零且一次项系数不为零，解答即可． 【详解】解：函数是正比例函数， ， 解得：． 27．方程的正根介于正整数与之间，则________． 【答案】2 【分析】先求解方程得到正根，再估算正根的范围，即可得到整数的值． 【详解】解：， ∴ ， ∴方程的正根为， ， ， ，则． 28．判断下列一元二次方程中根的情况： ①____________________     ②_____________________ ③____________________     ④________________________ 【答案】 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 有两个不相等的实数根 没有实数根 【分析】对于一元二次方程，根的判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根，先确定每个一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项，再计算根的判别式的值，根据判别式与0的大小关系判断根的情况． 【详解】解：①方程中，，，， ，因此该方程有两个不相等的实数根； ②方程中，，，， ，因此该方程有两个相等的实数根； ③方程中，，，， ，因此该方程有两个不相等的实数根； ④方程中，，，， ，因此该方程没有实数根． 29．把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 【答案】 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程除完全平方式前的系数不同外其他对应部分相同，由第一个方程可得，因此第二个方程可整理为，通过比较两个方程展开式的对应系数相等建立方程组求解，再计算的值. 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程可化为方程， ， ， ， 解得：， ． 30．若，其中为实数且，，则____________． 【答案】 【分析】先对第二个方程变形，整理得到关于的一元二次方程，该方程与已知关于的方程形式相同，结合条件可知和是该一元二次方程的两个不同根，计算可得两者的和． 【详解】解：已知，，且，． 由可得，若，等式左边为，不成立． 将两边同时除以， 得：， 移项整理得：， 因此和都是一元二次方程的根． 对因式分解， 得， 解得方程的两个根为，． ∵，因此和为方程两个不同的根． ． 1．配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，还能用来解决最值问题，如求代数式的最小值，解法如下： 解：原式 ． ∵，， ∴， ∴的最小值是． 根据材料中的方法，解答下列问题． (1)的最大值为________； (2)求的最小值． 【答案】(1)2 (2)5 【分析】此题考查配方法的应用，解题关键在于理解题意掌握运算法则． （1）仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答； （2）利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴的最大值为2， ∴的最大值为2； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴的最小值为5 ∴的最小值为5． 2．已知关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0． (1)m为何值时，此方程是一元一次方程？求出该一元一次方程的解； (2)m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】(1)m＝1；x＝﹣1 (2)m≠1；二次项系数为m﹣1，一次项系数为m﹣2，常数项为﹣2m+1 【分析】（1）当二次项系数为0，一次项系数不为0时，方程为一元一次方程，然后解方程即可； （2）当二次项系数不为0时，方程是一元二次方程． 【详解】（1）解：若关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0是一元一次方程， 则m﹣1＝0且m﹣2≠0， 解得m＝1． ∴原方程变形为﹣x﹣2+1＝0 解得x＝﹣1． （2）解：当m≠1时，关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0是一元二次方程， 此时该方程的二次项系数为m﹣1， 一次项系数为m﹣2， 常数项为﹣2m+1． 【点睛】本题考查了一元二次方程、一元一次方程的定义及解一元一次方程，难度不大．掌握一元一次方程及一元二次方程的相关定义是解决本题的关键． 3．已知关于x的方程． (1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数． (2)若此方程是一元一次方程，求出a的值． 【答案】(1)，方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为 (2)2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元一次方程的定义． （1）首先将该方程进行化简，整理成一元二次方程的一般形式，即，且的形式，然后根据二次项系数，一次项系数以及常数项的定义即可解答本题； （2）根据一元一次方程的定义求解即可． 【详解】（1）解： 移项、合并同类项，得， ∴方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为； （2）解：若方程是一元一次方程，则，， 解得． 4．阅读材料：已知实数满足，求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，即． 上面这种方法称为“换元法”．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数满足，则___________． (2)若，求的值． 【答案】(1) ； (2) 9 【分析】（1）设，则，解得：，得； （2）设，则，即，解得或，由，得，即可求解； 【详解】（1）解：， 设， 则原方程变为， 整理得， ∴， ∴，即． 故答案为：； （2）设， 则，即， 解得：或， 由，得， 即． 【点睛】换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． 5．关于x的方程如果是一元二次方程，则其解为________． 【答案】， 【分析】先根据一元二次方程的定义，列方程与不等式，解得，得到该一元二次方程为，再解该方程即可． 【详解】解：关于x的方程是一元二次方程， 且， 解得， 该一元二次方程为， 整理，得， ， ，． 6．已知不等边的三条边分别为，，． (1)若，求的值； (2)已知为边上一点，连接，若与的周长相等，求的长； (3)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，且，求证：为直角三角形． 【答案】(1)1 (2) (3)证明：设一元二次方程的两根为、， ∴， ∴，， ∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， ∴， ，即， ， ∴，， 即， ∴， ，， 即， ， 设，则, ，即为直角三角形． 【分析】（1）由可得，即可得出， （2）根据周长的定义得出，根据线段的和差关系得出，即可得出； （3）设一元二次方程的两根为、，因式分解法解方程得，，根据方程有两个相等的实数根得出，结合得出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：与的周长相等， ， ∴， ∵为边上一点， ∴， ∴， ． （3）解：略 7．设是实数，已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若方程的两根都大于，求的取值范围． 【答案】(1)证明：， 该方程总有两个实数根； (2) 【分析】（1）求出根的判别式即可证明结论成立； （2）先用因式分解法求出方程的根，再根据方程的两根都大于列不等式组求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：由得， 或， ，． 方程的两根都大于， ， 解得， 的取值范围是． 8．若关于的一元二次方程有解，则该方程的解是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】利用一元二次方程有解的条件，即判别式，结合平方数的非负性求出的值，再代入原方程求解即可． 【详解】解：一元二次方程有解， 判别式， 其中，，代入得， ， 对任意实数，都有， ，结合，得， 解得， 将代入原方程，得， 整理为， 解得， 所以该方程的解是和． 9．阅读材料： 解方程：． 我们可以将视为一个整体，然后设， 则，原方程化为，解得：，． 当时，，则，解得； 当时，，则，解得， 原方程的解为，，，． 根据上面的解答过程，解决下面的问题： 解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，平方根的性质，掌握换元法是解题关键． 通过换元法将四次方程转化为一元二次方程，求解后代回，根据平方根性质进行取舍即可得到原方程的实数解． 【详解】解：令，则原方程化为：， 解得，， 当时，，则该方程无实数解； 当时，，解得，． 综上，该方程的解为：，． 10．已知关于x的一元二次方程． (1)若，则方程必有一个根为________． (2)若a，b满足，求一元二次方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由可知，把中的x换成成立，则可求得答案； （2）根据算术平方根、绝对值可求出a，b的值，解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴方程必有一根为； （2）解：，，， ，， ，， 一元二次方程为， 解得，． 11．阅读与思考 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：； ②求代数式的最小值： ， ∵是非负数，即， ∴，则代数式的最小值是． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：__________； (2)求的最小值； (3)若，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）仿照①因式分解即可； （）仿照②解答即可； （）由已知得，即得，再仿照②解答即可求解； 本题考查了配方法的应用，因式分解，非负数的性质，掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：， ∵是非负数，即， ∴， ∴代数式的最小值是； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵是非负数，即， ∴， ∴的最小值为． 12．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 【答案】(1) (2)常数的值为或 (3)最大值为 【分析】（1）把所求式子变形为，再仿照例题求解即可； （2）把多项式变形为，根据多项式的最小值为得到方程，解方程即可得到答案； （3）根据题意可推出，再仿照例题求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 的最小值是． （2）解： ， ， ， 关于的二次多项式的最小值为， 关于的二次多项式（为常数）有最小值为， ， ，即， 解得，， 常数的值为或； （3）解：， ， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为． 13．已知关于的方程 其中． (1)利用判别式判断该方程的根的情况； (2)C是线段上一点， ，的长是该方程的一个根， 且． ①求证； ②确定点在线段上的位置，并说明理由． 【答案】(1)该方程有两个不相等的实数根 (2)①证明：∵的长是该方程的一个根， ∴．即．① ∵， ∴．② ①+②，得． ∴． ②解：在线段靠近的三等分点处，即． ∵， ∴． ∴． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式计算，得出，即可求解； （2）①根据的长是该方程的一个根，得出，结合已知，进而得出 ②根据，，求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴该方程有两个不相等的实数根． （2）略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项训练02一元二次方程专练（7题型专练） 【知识点1 一元二次方程一般形式的辨析】 1. 一元二次方程的定义 三个必备判定条件：① 是整式方程；② 只含有一个未知数；③ 未知数的最高次数为2。 隐含核心前提：二次项系数不为0，这是判断一元二次方程的必要条件。 2. 一元二次方程的一般形式 标准形式： 各项定义：是二次项，为二次项系数；是一次项，为一次项系数；是常数项。 3. 辨析方法 先通过去分母、去括号、移项、合并同类项，将方程整理为一般形式。 再对照定义的三个条件+二次项系数不为0进行判断。 忽略“整式方程”前提，误将分式方程、根式方程判定为一元二次方程。 含参数的方程中，遗漏“二次项系数不为0”的限制条件。 【知识点2 一元二次方程根的性质应用与估算】 1. 一元二次方程的根的定义 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解（也叫根）。 核心应用：已知方程的根，将根代入原方程，即可建立关于参数的等式，求出参数的值。 2. 根的估算（夹逼法） 原理：对于方程，当取两个值时，代数式的符号由正变负（或由负变正），则这两个值之间必有一个根。 3. 方法：代入不同数值计算代数式的值，逐步缩小根的取值范围，确定根所在的相邻整数/小数区间。 代入根求参数时，系数符号计算出错。 估算时未验证区间两端的符号变化，导致根的范围判断错误。 【知识点3 应用配方法解一元二次方程】 1. 配方法的原理 依据完全平方公式，将方程变形为的形式，再用直接开平方法求解。 2. 配方法解方程标准步骤 化1：方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为1； 移项：将常数项移到方程右侧，含未知数的项留在左侧； 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 变形：将方程左边写成完全平方形式，右边合并常数项； 开方：当右边常数时，两边直接开平方； 求解：解得到的两个一元一次方程，得到原方程的根。 3. 根的情况判定 若，方程有两个不相等的实数根； 若，方程有两个相等的实数根； 若，方程没有实数根。 二次项系数未化为1就直接配方。 配方时只给左边加常数，忘记给右边同时加上相同的数。 忽略一次项系数的符号，导致配方错误。 【知识点4 一元二次方程根的判别式的应用】 1. 根的判别式定义 对于一元二次方程，把叫做根的判别式，由配方法推导得出。 2. 根的情况与判别式的对应关系 方程有两个不相等的实数根； 方程有两个相等的实数根； 方程没有实数根； 方程有实数根。 3. 常见应用类型 不解方程，直接判断方程根的个数； 已知方程根的情况，求参数的取值范围； 证明方程根的情况（如恒有两个不相等的实数根）。 已知方程有两个实数根时，遗漏“二次项系数不为0”的前提条件。 计算判别式时，系数符号代入错误。 【知识点5 用公式法解一元二次方程】 1. 求根公式 对于一元二次方程，当时，它的根为： 求根公式由配方法推导而来，是解一元二次方程的通用方法。 2. 公式法解方程步骤 化一般式：将方程整理为的标准形式，确定的值； 算判别式：计算，判断方程根的情况； 代公式：若，将代入求根公式计算；若，直接说明方程无实数根； 写结果：整理得出方程的两个实数根。 未将方程化为一般形式就确定a,b,c，导致系数符号错误。 忽略判别式的判断，Δ<0时仍强行代入公式。 【知识点6 用因式分解法解一元二次方程】 1. 理论依据 零乘积性质：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0，即若，则或。 2. 适用条件 a) 方程右边为0，且左边容易分解为两个一次因式的乘积。 3. 解题步骤 移项：将方程所有项移到左边，使右边为0； 分解：将方程左边分解为两个一次因式的乘积； 降次：令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程； 求解：解这两个一元一次方程，得到原方程的根。 4. 教材常用分解方法 提公因式法； 公式法：平方差公式、完全平方公式。 方程右边不为0时，就直接分解因式求解。 方程两边同时除以含未知数的因式，导致漏解。 【知识点7 换元法的应用】 1. 换元法的核心思想 通过引入新的未知数（元），将结构复杂的方程转化为熟悉的一元二次方程，达到降次、简化运算的目的。 2. 教材常见换元类型 整体换元：形如的方程，设，转化为求解。 降次换元：形如双二次方程，设，转化为求解。 3. 解题步骤 观察方程结构，选定重复出现的整体作为换元对象； 设新元，将原方程转化为关于新元的一元二次方程； 解新的一元二次方程，求出新元的值； 回代：将新元的值代回换元关系式，求出原未知数的值； 检验并整理所有解。 求出新元的值后，忘记回代求原未知数的解。 回代求解时，遗漏负根或多解情况。 【题型1 一元二次方程一般形式的辨析】 1．把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知关于的方程． (1)当为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 3．把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （    ） A．1，4，1 B．2，，0 C．3，4，0 D．，，1 【题型2 一元二次方程根的性质应用与估算】 4．根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 5．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 6．若一元二次方程满足，则这个方程必有一个根是（   ） A． B． C． D． 【题型3 应用配方法解一元二次方程】 7．配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则________；________． (2)求代数式的最值； 8．用配方法解方程，将方程变形为，则的值为（   ） A．4 B．9 C．12 D．14 9．在学习完全平方公式的运用时，我们常利用配方法求代数式的最小值． 例如：求代数式的最小值时可以用如下解答方法： 解：． ∵，∴当时，的最小值是．∴． ∴当时，的最小值是． ∴的最小值是． 根据示例求代数式的最小值是_______． 【题型4 一元二次方程根的判别式的应用】 10．下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 11．已知关于 的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个根均为整数，求 的值． 12．若关于的方程没有实数根，则的取值范围为________． 【题型5 用公式法解一元二次方程】 13．下列方程中，最适合用公式法求解的是（   ） A． B． C． D． 14．定义新运算：规定，例如，若，则的值为___________． 15．在菱形中，点是对角线上一点，且，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【题型6 用因式分解法解一元二次方程】 16．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根为2，求的值和方程的另一个根． 17．已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 18．已知关于x的方程． (1)若该方程有两个相等的实数根，求的值； (2)若是该方程的一个实数根，求该方程另一个实数根及的值． 【题型7 换元法的应用】 19．阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，． 请运用上面学到的方法填空： （1）解方程，则______； （2）若，求______． 20．阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数满足，求的值． 21．已知，则的值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 1．将方程化成一元二次方程的一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 3．关于的方程的根是，（a，m，b，c均为常数，），则关于的方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．已知方程的解是，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．已知方程的解是或，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 6．一元二次方程的一个根为3，那么它的另一个根为（     ） A． B．0 C．2 D． 7．已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 8．若一元二次方程的根为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 9．已知关于x的方程（），当时，方程的解为（    ） A．， B．， C． D． 10．下列关于的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 11．用配方法解方程时，通过配方后可得的形式，则m的值是（   ） A．3 B． C．6 D． 12．用配方法解一元二次方程,则方程可变形为 A． B． C． D． 13．观察下列表格，可得出一元二次方程的一个近似解是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 0.84 2.29 3.76 5.25 A． B． C． D． 14．已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 15．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 16．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（     ） A．9 B．11 C．13 D．11或13 17．已知实数a，b，c满足，，下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 18．已知关于x的方程（a，b，m均为常数，且）的两个解是，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 19．若关于x的一元二次方程，系数a，b，c满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 20．关于的方程有一个小于的非负数解，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 21．已知代数式的值与代数式的值相等，则___________． 22．若，设，原式可化为，即，解得，，故的值为3或.仿照上面的方法，计算当时，的值为________. 23．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围______． 24．将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则的值为______． 25．已知关于的方程的解都是整数，求整数的值为_____． 26．当________时，函数（是常数）是正比例函数． 27．方程的正根介于正整数与之间，则________． 28．判断下列一元二次方程中根的情况： ①____________________     ②_____________________ ③____________________     ④________________________ 29．把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 30．若，其中为实数且，，则____________． 1．配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，还能用来解决最值问题，如求代数式的最小值，解法如下： 解：原式 ． ∵，， ∴， ∴的最小值是． 根据材料中的方法，解答下列问题． (1)的最大值为________； (2)求的最小值． 2．已知关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0． (1)m为何值时，此方程是一元一次方程？求出该一元一次方程的解； (2)m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 3．已知关于x的方程． (1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数． (2)若此方程是一元一次方程，求出a的值． 4．阅读材料：已知实数满足，求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，即． 上面这种方法称为“换元法”．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数满足，则___________． (2)若，求的值． 5．关于x的方程如果是一元二次方程，则其解为________． 6．已知不等边的三条边分别为，，． (1)若，求的值； (2)已知为边上一点，连接，若与的周长相等，求的长； (3)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，且，求证：为直角三角形． 7．设是实数，已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若方程的两根都大于，求的取值范围． 8．若关于的一元二次方程有解，则该方程的解是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 9．阅读材料： 解方程：． 我们可以将视为一个整体，然后设， 则，原方程化为，解得：，． 当时，，则，解得； 当时，，则，解得， 原方程的解为，，，． 根据上面的解答过程，解决下面的问题： 解方程：． 10．已知关于x的一元二次方程． (1)若，则方程必有一个根为________． (2)若a，b满足，求一元二次方程的根． 11．阅读与思考 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：； ②求代数式的最小值： ， ∵是非负数，即， ∴，则代数式的最小值是． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：__________； (2)求的最小值； (3)若，求的最小值． 12．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 13．已知关于的方程 其中． (1)利用判别式判断该方程的根的情况； (2)C是线段上一点， ，的长是该方程的一个根， 且． ①求证； ②确定点在线段上的位置，并说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $