专项训练06 二次函数中的存在性问题8题型（巩固培优）新九年级数学新教材北师大版

**基本信息** 以“假设-分类-方程-验证”为核心逻辑，系统整合8类存在性问题，提炼“两圆一线”“两线一圆”等可迁移方法，培养抽象能力与推理意识，构建从基础公式到综合应用的完整体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础方法|3个核心公式|坐标法转化几何条件|线段长度/中点公式→存在性问题代数化基础| |图形存在性|4类核心图形|两圆一线/两线一圆/中点重合分类法|按图形性质分类→几何关系转化为方程→解的验证取舍| |通用策略|6步解题法+5大易错提醒|假设存在→设点坐标→分类讨论→列方程求解→验证总结|从具体图形到通用流程，发展模型观念与应用意识|

专项训练06 二次函数中的存在性问题(8题型) 【知识点1 必备基础知识点】 1. 坐标系线段长度公式 · 已知两点，，则；水平/竖直线段可直接用坐标差的绝对值计算。 1. 中点坐标公式 · 线段的中点坐标为，是平行四边形存在性的核心依据。 1. 核心解题逻辑： 先假设满足条件的点存在，通过代数方程求解，最后验证解是否符合题意。 【知识点2 等腰三角形存在性问题】 1. 常见题型：两个定点+一个动点（动点在抛物线、对称轴或坐标轴上），判断是否存在点使三点构成等腰三角形。 2. 分类原则（两圆一线法），按顶角顶点分三类，保证不重不漏： a) 以定点为顶角顶点：以为圆心、定线段长为半径画弧，与动点轨迹的交点即为所求。 b) 以定点为顶角顶点：以为圆心、定线段长为半径画弧，与动点轨迹的交点即为所求。 c) 以动点为顶角顶点：作定线段的垂直平分线，与动点轨迹的交点即为所求。 3. 解题方法：设出动点坐标，根据“两边长度相等”用距离公式列方程，求解后验证三点不共线。 【知识点3 直角三角形存在性问题】 1. 常见题型：两个定点+一个动点，判断是否存在点使三点构成直角三角形。 2. 分类原则（两线一圆法），按直角顶点分三类： a) 直角顶点为定点：过点作定线段的垂线，与动点轨迹的交点即为所求。 b) 直角顶点为定点：过点作定线段的垂线，与动点轨迹的交点即为所求。 c) 直角顶点为动点：以定线段为直径画圆（直径所对的圆周角为直角），与动点轨迹的交点即为所求。 3. 解题方法：利用勾股定理（两直角边平方和等于斜边平方）列方程求解，水平、竖直线段可直接用坐标差判定垂直关系。 4. 注意：需排除三点共线的无效解。 【知识点4 平行四边形存在性问题】 1. 常见题型 a) 题型1：已知三个定点，在抛物线上找第四个点构成平行四边形。 b) 题型2：已知两个定点，另外两点分别在抛物线、坐标轴上，构成平行四边形。 2. 核心依据：平行四边形对角线互相平分，即两条对角线的中点坐标完全重合。 3. 分类方法：按对角线归属分三类，避免重复与漏解： a) 定线段为对角线 b) 定线段为对角线 c) 定线段为对角线 4. 解题步骤：设出动点坐标，根据中点坐标公式列等式求解，后代入抛物线解析式验证。 补充：特殊平行四边形存在性 菱形存在性：平行四边形+一组邻边相等，本质是平行四边形判定叠加等腰三角形条件。 矩形存在性：平行四边形+一个内角为直角，本质是平行四边形判定叠加直角三角形条件。 均以平行四边形为基础，无额外超纲方法。 【知识点5 通用解题步骤】 1. 假设存在：先假设满足条件的点存在，明确动点的运动轨迹。 2. 设点坐标：用含参数的代数式表示出动点坐标（通常设横坐标为，纵坐标用抛物线解析式表示）。 3. 分类讨论：根据图形性质按顶点、对角线位置完整分类，做到不重不漏。 4. 列方程求解：将几何性质（边相等、直角、中点重合等）转化为代数方程。 5. 验证取舍：检验解是否在自变量取值范围内、是否符合图形定义（如三点不共线、点在抛物线上等）。 6. 总结作答：整理所有符合条件的点坐标，规范作答。 【知识点6 高频易错提醒】 1. 分类讨论不全：等腰、直角三角形和平行四边形均需完整分类，遗漏某一类会直接丢解。 2. 不验证无效解：方程解出的点可能出现三点共线、不在抛物线上、超出取值范围的情况，必须逐一验证取舍。 3. 公式使用错误：中点坐标公式漏除以2，两点距离公式漏平方或开方。 4. 坐标符号失误：动点在不同象限时，坐标正负处理不当，导致长度、中点计算出错。 5. 平行四边形分类混淆：将“边”和“对角线”的分类标准混同，容易出现重复解或漏解。 【题型1 角度的存在性问题】 1．如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P为直线上方抛物线上一点，连接并交于点Q，若分的面积为3：5两部分，请求出点P的坐标； (3)在y轴上是否存在一点N，使得，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，N的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法，将抛物线与x轴、y轴交点坐标，代入抛物线表达式，即可求出； （2）先求出两直线的表达式，联立求出点Q的坐标，分的两部分以为底，则高相等，两部分面积比等于底边之比；过点P、点Q向x轴做垂线，将面积之比转换成，横坐标差值比；再将面积比分两种情况，分别求出点P坐标； （3）在y轴上取点，，所以，当N在y轴正半轴时，点N在上，证明，然后根据相似三角形的性质可求出；当N在y轴负半轴时，根据轴对称性求解即可． 【详解】（1）解：， ，， 将点A、C代入， ， 解得， ； （2）解：令， 解得，， ， 如图，过点P作轴交于点G，过点Q作轴交于点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设，直线的解析式为， ，解得， ， 、所在两直线联立方程组，求交点Q坐标， ， 解得：， ， 分的面积为两部分， 以为底，高相等，两部分面积比等于底边之比， 或， ， ， 当时，， 可得， 解得，， 或； 当时，， 可得， 此时方程无解， 综上所述，或； （3）解：存在一点N，使得，理由如下： 在y轴上取点， 当N在y轴正半轴时，如图，     ，， ，，， ， ， ， ， 又， ， ，即， ， ， ； 当N在y轴负半轴时，记为，如图， 则和N关于x轴对称， ,满足条件， 综上，N的坐标为或． 2．如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴交于点，点D为抛物线的顶点． (1)求出抛物线的函数表达式； (2)如图1，抛物线在第二象限的部分上是否存在一点M，使得四边形面积最大，若存在求点M坐标；若不存在，请说明理由； (3)在抛物线上是否存在点Q，使，若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点Q的横坐标为2或 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数性质等，解题关键是添加辅助线构造相似三角形，灵活运用数形结合思想和分类讨论思想． （1）将代入，计算即可； （2）连接，设，根据列出二次函数表达式，根据二次函数性质即可求得求出点M的坐标； （3）在y轴上取点，连接，过点D作轴于点T，证明，可推出，运用待定系数法求出直线的解析式为，联立方程组即可求得答案，过点A作交的延长线于点L，过点D作交于点S，求出点S的坐标，再求得直线的解析式，联立方程组即可求得答案． 【详解】（1）解：将代入，得： ， 解得： ， 所以抛物线的函数表达式：； （2）解：存在，，理由如下： 连接， ， 设， ∴ ， ∵， ∴当时，四边形面积最大， 把代入中得： ， ∴； （3）解：存在，理由如下： 如图，在y轴上取点，连接，过点D作轴于点T， 则， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立方程组，得：， 解得：或， ∴； 过点A作交的延长线于点L，过点D作交于点S， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立方程组，得：， 解得：（舍）或， ∴ 综上，点Q的横坐标为2或． 3．如图，抛物线经过，两点，与轴交于点． （1）求拋物线的解析式； （2）已知点，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得周长最小，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． （3）在轴上，是否存在点使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，点的坐标为；（3）存在，当点的坐标为或时，． 【分析】（1）由题意利用待定系数法将点，代入抛物线，即可求得该抛物线的解析式； （2）由题意可知要使的周长最小，则需要的值最小，并作出辅助线综合分析求出点的坐标； （3）根据题意分两种情况分别作于点以及作点关于轴的对称点，综合分析求出符合条件的两个点的坐标. 【详解】解：（1）将点，代入抛物线中得：，解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）存在． 理由如下：在抛物线中， 令，得， ∴， ∵， ∴， ， 要使的周长最小，则需要的值最小， 如解图①，作点关于对称轴的对称点，连接，交对称轴于点，此时的值最小，即为的长， ∵对称轴为直线． ∴． 易得直线的解析式为． ∵是抛物线对称轴上一点，且在直线上， ∴将代入中得． ∴点的坐标为； （3）存在． 理由如下： ①如解图②，作于点， 设， ∵， ∴，． ∴，． ∵， ∴． 化简得，解得（舍），， ∴． ②如解图②，作点关于轴的对称点， 在和中， ∵， ∴． ∴． ∴，． ∴． 综上所述，当点的坐标为或时，． 【点睛】本题考查二次函数得综合问题，熟练掌握利用待定系数法求二次函数解析式以及结合全等三角形的判定和性质运用数形结合思维分析是解题的关键. 【题型2 全等三角形的存在性问题】 4．如图，抛物线经过两点，与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)若为该抛物线上一动点（与点不重合）． ①当点在直线的下方运动时，求面积的最大值； ②在①的条件下，连接，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为是抛物线对称轴上的点，要使，求满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质，二次函数与面积，全等三角形的性质． （1）将两点分别代入列方程计算即可； （2）①过点作轴的平行线，交于点，连接，，先求出直线的函数解析式为，再设点，则点，根据求面积最大值即可； ②由，得到，设点，则，或，再根据点在抛物线对称轴右侧或左侧时，列方程求出，的值即可． 【详解】（1）解：将两点分别代入， 得，解得， 该抛物线的函数解析式为． （2）解：①如图，过点作轴的平行线，交于点，连接，． 设直线的函数解析式为． 将两点分别代入，得， 解得， 直线的函数解析式为． 设点，则点， ， ， ，且， 当时，的面积有最大值，最大值为． ②由（1）易知，抛物线的对称轴为， ， ∵， ∴， 设点， ∵过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为是抛物线对称轴上的点， ∴，或， 当点在抛物线对称轴右侧时，， ， ， ，，或． 当点在抛物线对称轴左侧时，， ， ， ，，或与点在直线的下方矛盾，应舍去． 所以，点的坐标为或． 5．已知经过原点O的抛物线与x轴的另一个交点为A． (1)求点A的坐标及抛物线的对称轴； (2)点是的中点，点是轴正半轴上一点，在第一象限内的抛物线上是否存在点，使得与全等，且点与点为对应点，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，直线 (2)存在，点的坐标为或 【分析】（1）由可求得点坐标，根据抛物线的对称轴公式即可求解； （2）分两种情况，①当时，②当时，根据全等三角形的性质即可求得结果． 【详解】（1）解：过原点的抛物线与轴的另一个交点为． 令，则，解得，， ， 抛物线， 抛物线的对称轴为， ，抛物线的对称轴为直线； （2）点是的中点， ， ①当时，   ， ，， ，， ，抛物线， ， ； ②当时，过点作轴于，   ， ， ， 设， ，解得，（舍去）， 点 ， 综上所述：存在，点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数及其图象性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握二次函数及其图象性质以及全等三角形的判定和性质． 6．如图①，二次函数的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，连接，过点C作交于点D． (1)求点D的坐标； (2)如图②，在直线上取一点M（不与点B重合），在直线的右上方是否存在这样的点N，使得以C、M、N为顶点的三角形与全等？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，满足要求的N点坐标有，，． 【分析】（1）根据二次函数图象的与坐标轴交点的计算方法，分别求出的坐标，根据题意，可证，可得，由此即可求解； （2）根据题意，运用勾股定理求出的值，可得是等腰三角形，结合图形，分类讨论：①如图所示，，可证，即可求解；②如图所示，，根据平行线，等腰三角形的性质即可求解；③如图所示，，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∴． 令，则， 解得，， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （2）解：存在，理由如下， ∵，，， ∴，，则， ∴， ∴． ①如图所示，，交轴于， 则，，， ∴， ∴轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，， 则，， ∴， ∴； ③如图所示，， 则，，， ∴， 作轴于，则， ∴，， ∴， 作轴，于点，则，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，， ∴，， ∴． 综上所述，满足要求的N点坐标有，，． 【点睛】本题主要考查了二函数图象的性质，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握以上知识的综合运用，图形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． 【题型3 等腰三角形的存在性问题】 7．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝x2＋bx＋c经过A、C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）． (1)求抛物线的解析式及点B坐标； (2)设该抛物线的顶点为点H，则S△BCH＝　　； (3)若点M是线段BC上一动点，过点M的直线ED平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求ME长的最大值及点M的坐标； (4)在（3）的条件下：当ME取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M、点B、点P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)y＝x2﹣2x﹣3，B（3，0） (2)3 (3)ME最大＝，M（，） (4)存在，P1（0，0），P2（，0），P3（，0），P4（，0） 【分析】（1）由直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，得A（﹣1，0）、C（0，﹣3），将A（﹣1，0）、C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，列方程组求b、c的值及点B的坐标； （2）设抛物线的对称轴交BC于点F，求直线BC的解析式及抛物线的顶点坐标，再求出点F的坐标，推导出S△BCH＝FH•OB，可求出△BCH的面积； （3）设点E的横坐标为x，用含x的代数式表示点E、点M的坐标及线段ME的长，再根据二次函数的性质求出线段ME的最大值及点M的坐标； （4）在x轴上存在点P，使以点M、B、P为顶点的三角形是等腰三角形．由（3）得D（，0），M（，﹣），由勾股定理求出OM＝BM＝，由等腰三角形PBM的腰长为或求出OP的长即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：∵直线y＝﹣3x﹣3与x轴、y轴分别交于点A、C， ∴A（﹣1，0），C（0，﹣3）， ∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），C（0，﹣3）， ∴ ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3． 当y＝0时，由x2﹣2x﹣3＝0，得x1＝﹣1，x2＝3， ∴B（3，0）． （2）解：如图1，设抛物线的对称轴交BC于点F，交x轴于点G． 设直线BC的解析式为y＝kx﹣3， 把B（3，0）代入得 3k﹣3＝0，解得k＝1， ∴y＝x﹣3； ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线的顶点H（1，﹣4）， 当x＝1时，y＝x﹣3=1﹣3＝﹣2， ∴F（1，﹣2）， ∴FH＝﹣2﹣（﹣4）＝2， ∴S△BCH＝FH•OG+FH•BG＝FH•OB＝×2×3＝3． 故答案为：3． （3）解：设E（x，x2﹣2x﹣3）（0＜x＜3），则M（x，x﹣3）， ∴ME＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3） ＝﹣x2+3x ＝﹣（x﹣）2+， ∴当x＝时，ME最大＝，此时M（，-）． （4）解：存在．如图3， 由（3）得，当ME最大时，则D（，0），M（，-）， ∴DO＝DB＝DM＝； ∵∠BDM＝90°， ∴DE垂直平分OB ∴OM=BM ∵OM2=BM2= DB2 +DM2 =()2+()2= ∴OM＝BM＝ ＝． 当点P与原点O重合时， 则PM＝BM＝， △PBM是等腰三角形， 此时点P的坐标是（0，0）,即P1（0，0）； 当BP＝BM＝时，且点P在点B的左侧时， △PBM是等腰三角形， 则OP＝3﹣＝， ∴点P的坐标为（，0），即P2（，0）； 当点P与点D重合时， 则PM＝PB＝， 此时△PBM是等腰三角形， ∴点P的坐标为（，0），即P3（，0）； 当BP＝BM＝，且点P在点B的右侧时， △PBM是等腰三角形， 则OP＝3+＝， ∴点P的坐标为（，0），即P4（，0）． 综上所述，P1（0，0），P2（，0），P3（，0），P4（，0）． 【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、等腰三角形的判定、用待定系数法求函数解析式、求抛物线的顶点坐标以及勾股定理、二次根式的化简等知识和方法，解最后一题时要注意分类讨论，求出所有符合条件的点P的坐标． 8．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接、，点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作轴，垂足为点M，交于点Q． (1)求抛物线的解析式； (2)运动过程中是否存在点P，使线段的值最大？若存在，请求出这个最大值并求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)试探究在点P的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明． 【答案】(1) (2)存在，最大值为4，P点的坐标为 (3)存在，Q点坐标为或 【分析】（1）把，代入解方程组即可得到结论； （2）设直线的解析式为，解方程组得到直线的解析式为，得到，，根据二次函数的性质得到结论； （3）利用勾股定理计算出，利用待定系数法可求得直线的解析式为，可设，分三种情况讨论：当时，当时，当时，然后分别解方程求出即可得到对应的点坐标． 【详解】（1）解：把，代入得，， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：存在， 抛物线与轴交于点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 点的横坐标为，过点作轴， ，， ， 当时，线段的值最大，这个最大值为4， 此时点的坐标为； （3）解：由（2）直线的解析式为， 设， 当时，， 解得，（舍去）； ∴， 当时，， 解得：（舍去），（舍去）； 当时，， 解得， ∴． 综上所述，满足条件的点坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用勾股定理表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题． 9．如图，抛物线交x轴于、两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)连接，点D是线段上一动点（不与A、C两点重合），过点D作轴交抛物线于点E． ①当线段DE的长度最大时，求此时D点的坐标； ②在①的条件下，点F是抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点F，使得以点D、E、F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，点F的坐标为或或或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求得线段的解析式，设、，求得，利用二次函数的性质求解即可； ②求得抛物线的对称轴，，以及的长，分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：将、代入得， 解得， 抛物线的函数解析式为； （2）解：①令，则，∴， 设直线的解析式为，将代入得， 解得， ∴线段的解析式为， 设、，则， ∵， ∴当时，最大，此时； ②存在． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴， 设点； 当时，，此时点F的坐标为； 当，即时， ，整理得， 解得，此时点F的坐标为或； 当，即时， ，整理得， 解得，此时点F的坐标为或； 综上，点F的坐标为或或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，考查了二次函数的图象与性质、等腰三角形的性质、用待定系数法求函数解析式，解最后一小题时要注意分类讨论，求出所有符合条件的点P的坐标． 【题型4 直角三角形的存在性问题】 10．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接、，求四边形的面积的最大值，并写出此时点P的坐标． (3)在（2）的条件下，点N是x轴上一动点，求当N点坐标为 时，的值最小，最小值为 ． (4)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形的面积最大为16；点P的坐标为 (3)， (4)点的坐标为或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）把，代入，求出b和c的值，即可得出函数解析式； （2）易得，设，则，求出，则，根据四边形的面积，结合二次函数的增减性，即可解答； （3）作C点关于x轴的对称点 ，连接与x轴相交于点N，此时的值最小，根据两点间距离公式即可求出的最小值，再求出直线的解析式为，即可得到点N的坐标； （4）设，根据两点之间距离公式得出，，，然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴该二次函数的解析式； （2）解：∵，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∴四边形的面积， ∵， ∴当时，四边形的面积最大为16，此时点P的坐标为； （3）解：作C点关于x轴的对称点 ，连接与x轴相交于点N， 此时的值最小，， 设直线的解析式为，则， 解得：， 则直线的解析式为， 令， 解得：， 此时点； （4）解：设， ∵，， ∴，，， 当斜边为时，， 即，整理得：， 解得：； 当斜边为时，， 即， 解得：； ∴ 当斜边为时，， 即， 解得：； ∴ 综上：点的坐标为或或或． 11．抛物线 与轴交于点和，与轴交于点，连接．点是线段下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于，交轴于，设点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)用关于的代数式表示线段，求的最大值及此时点的坐标； (3)过点作于点，， ①求点的坐标； ②连接，在轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)①；②存在，或 【分析】（1）将点和代入解析式，列方程组求解即可得到答案； （2）令求出点C坐标，从而求出直线解析式，用t表示点P点坐标，从而得到关于t的函数，求出最值即可得到答案； （3）①根据题意用t表示点H的坐标根据面积列方程求解即可得到答案；②设出点坐标，分，两类讨论，根据勾股定理逆定理即可得到答案． 【详解】（1）将点和代入解析式， 得，解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）由题意可得P点坐标为， 令得， ∴点C坐标为， 设直线的解析式为，将B、C坐标代入， 得，解得， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴点M的坐标为， ∴， ∵， ∴当时，的值最大， ， 此时点的坐标为：； （3）①由题意可得，如图1， ∵，轴， ∴点C、H纵坐标相同，点N、H、P的横坐标相同， ∴点H的坐标为，点N的坐标为， ∵， ∴， 即， 解得，（不符合题意舍去） ∴点P的坐标为； ②当时，如图2所示， ∵， ∴点Q、P的纵坐标相同， ∴此时Q点坐标为， 即； 当时，如图3所示， 设， 根据勾股定理得， 解得 ， ∴， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，根据二次函数性质求最值问题，动点围成直角三角形问题，解题的关键是根据题意设出点的坐标，利用性质列式求解． 12．已知对称轴为的二次函数的图像与轴交于，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)点是对称轴上的一个动点，连接，，是否存在点使最大，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，直线的解析式为 (2)存在点， (3)存在点，使是直角三角形，点的坐标为或或或 【分析】（1）由题意得：，再将代入，求解即可；设直线的解析式为，把，代入，然后解方程组即可； （2）连接，，则，当、、三点共线时，有最大值，延长交对称轴于点，，解方程得到，设直线的解析式为，得到直线解析式为，当时，求出的值即可； （3）根据题意对称轴为直线，设，根据勾股定理，，，分①当时，②当时，③当时，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵对称轴为的二次函数的图像与轴交于，， ∴，， 解得：，， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）存在点，连接，，则， 当、、三点共线时，有最大值， 延长交对称轴于点，则， ∵二次函数的图像与轴交于，， 当时，， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 当时，， ∴； （3）存在点，使是直角三角形， ∵点对称轴上， 设， ∵，， ∴，，， ①当时，， ∴， 解得：， ∴； ②当时，， ∴， 解得：， ∴； ③当时，， ∴， 解得：或， 点坐标为或； 综上所述：点坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合运用，待定系数法求函数解析式，勾股定理，轴对称的性质，求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【题型5 平行四边形的存在性问题】 13．如图，二次函数的图像与x轴交于和两点，交y轴于点，点C、D是二次函数图像上的一对对称点，一次函数的图像过点B、D． (1)请直接写出D点的坐标； (2)求二次函数的解析式； (3)在x轴上是否存在一点P，使得以P，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)存在，P的坐标为或 【分析】（1）根据二次函数的图像与x轴交于和两点可确定抛物线对称轴为，然后再运用抛物线的对称性即可解答； （2）直接运用待定系数法即可； （3）设P的坐标为，然后求得的长，然后根据平行四边形的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于和两点， ∴抛物线对称轴为， ∵点C、D是二次函数图像上的一对对称点， ∴． （2）解：设抛物线的解析式为， 则有：，解得：， ∴二次函数的解析式． （3）解：∵点C、D是二次函数图像上的一对对称点，、 ∴轴，且, ∵以P，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形， ∴, 设P的坐标为，则， ∴， 解得：或． ∴P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像的性质、求二次函数解析式、平行四边形的判定、绝对值方程等知识点，掌握二次函数图像的性质是解题的关键． 14．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找出一点Q，使的值最小，并求出点Q的坐标． (3)点P是抛物线上位于直线上方的点，连接，P点的横坐标为m，，请写出S与m的函数关系，并求S的最大值． (4)在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，最大值为 (4)或或 【分析】（1）根据点A，B，C的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式； （2）利用二次函数的性质可得出抛物线对称轴为直线，作点C关于抛物线对称轴的对称点，连接，交抛物线对称轴于点Q，此时取最小值，求出直线的解析式，即可解答； （3）由题得，过点P作轴的垂线，交于点，求出直线的解析式，则，求出，根据，再利用二次函数的性质即可解答； （4）设，利用平行四边形的性质，分以为对角线，以为对角线，以为对角线三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 则，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 作点C关于抛物线对称轴的对称点，连接，交抛物线对称轴于点Q， 则，， 此时取最小值， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 将代入，则， ∴； （3）解：∵P点的横坐标为m， ∴， 过点P作轴的垂线，交于点， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 则 ∴， ∵，且， ∴当时，有最大值，最大值为； （4）解：设， 当以为对角线，四边形是平行四边形时，如图： 则，解得， ∴； 当以为对角线，四边形是平行四边形时，如图： 则，解得， ∴； 当以为对角线，四边形是平行四边形时，如图： 则，解得， ∴； 综上，存在点E坐标为或或时，以E、A、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，熟练运用分类讨论的思想是解题的关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于三点，且，点P是抛物线上的一个动点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点P在直线下方，P运动到什么位置时，四边形面积最大？求出此时点P的坐标和四边形的最大面积； (3)直线上是否存在一点Q，使得以点组成的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，四边形的最大面积为 (3)存在，Q的坐标为或 【分析】（1）由，且，得，设二次函数的解析式为，用待定系数法求解即可； （2）设，过作轴于点，交直线于点，由，，得直线解析式为， ，当最大时，四边形的面积最大，而，由二次函数性质得当点坐标为时，四边形的最大面积为； （3）设，，而，，分三种情况：①若为平行四边形对角线，则的中点重合，，得；②为对角线，，方程组无实数解；③ 为对角线，，得． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， 设二次函数的解析式为，把代入得： ，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）∵点P在抛物线上， ∴可设， 过P作轴于点E，交直线于点，如图： ∵， 设直线解析式为， 则， ∴， ∴直线解析式为，， ∴，当最大时，四边形的面积最大， ∴ ∴ ， ∴当时，最大值为8，此时， ∴当P点坐标为时，， 故此时四边形的最大面积，四边形的最大面积； （3）直线上存在一点，使得以点组成的四边形是平行四边形，理由如下： 设，，而， ①若为平行四边形对角线，则的中点重合， ∴， 解得（此时Q与B重合，舍去）或， ∴； ②为对角线，， 方程组无实数解； ③为对角线，， 解得（此时P与A重合，舍去）或， ∴， 综上所述，Q的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形，四边形面积，平行四边形性质及应用，解题的关键是方程思想的应用． 【题型6 菱形的存在性问题】 16．如图已知二次函数（b，c为常数）的图像经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交二次函数的图象于点B，连接． (1)求该二次函数的表达式及点M的坐标； (2)若将该二次函数图象向上平移个单位，使平移后每到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界），求m的取值范围； (3)若E为y轴上且位于点C下方的一点，P为直线上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q，使以C、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数解析式为，点M的坐标为（1，-5） (2) (3)当点Q的横坐标为时，四边形CEQP为顶点的四边形为菱形 【分析】（1）将点A、点C的坐标代入函数解析式，即可求出b、c的值，进而求得该二次函数的表达式，通过配方法得到点M的坐标； （2）点M是沿着对称轴直线向上平移的，可先求出直线AC的解析式，将代入求出点M在向上平移时与AC、AB相交时y的值，即可得到m的取值范围； （3）由题意分析可得，设点坐标，根据菱形的性质，列方程求解，即可求出点Q坐标． 【详解】（1）解：把点A（3，-1），点C（0，-4）代入二次函数得： ， 解得：， ∴二次函数解析式为， 配方得， ∴点M的坐标为（1，-5）； （2）解：设直线AC解析式为， 把点A（3，-1），点C（0，-4）代入得：， 解得：， ∴直线AC的解析式为， 如图所示，对称轴直线与△ABC两边分别交于点E、点F， 把代入直线AC解析式，得：， ∴点E坐标为（1，-3），点F坐标为（1，-1）， ∴， 解得：； （3）解：存在点Q使以C、E、P、Q为顶点的四边形为菱形，理由如下： 如图，由题意可知，且 ，过点P作轴于点H，直线AB与y轴交于点D 设点P坐标为（m，m-4）则点Q坐标为（m， ） ∴AD=CD=3 ∴为等腰直角三角形 ∴ ∴CH=PH=m 根据勾股定理可知 ∵ ∴ 解得（舍） ∴点Q的横坐标为 ∴当点Q的横坐标为时，四边形CEQP为顶点的四边形为菱形 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的平移、菱形的判定及其性质，掌握以上知识点是解题的关键． 17．如图，已知抛物线经过点和点，与y轴交于点C， (1)求此抛物线的解析式； (2)若点P是直线下方的抛物线上一动点（不点B、C重合），过点P作y轴的平行线交直线于点D，设点P的横坐标为m； ①用含m的代数式表示线段的长． ②连接、，求的面积最大时点P的坐标； (3)设抛物线的对称轴与交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)存在，点M的坐标为或或． 【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，菱形的性质等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）利用待定系数法，将点和点代入抛物线解析式，求出、的值，即可求解； （2）①先确定直线解析式，根据过点P作y轴的平行线交直线于点D，可用含m的式子表示出P和D的坐标，即可求解； ②用含m的代数式表示出的面积，得到S关于m的二次函数，即可求解； （3）先求出抛物线的对称轴，进而得到点的坐标，过点作轴于点， 得到，，根据菱形的性质，分两种情况讨论：①当为菱形的对角线时，；②当为菱形的边时，，即可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过点和点， ，解得， 抛物线解析式为； （2）解：如图： ①在抛物线中，令，则，即， 设直线的解析式为，将将点、代入得： ，解得：， 直线的解析式为：， 设，则， 故用含m的代数式表示线段的长为； ②， 点是直线下方的抛物线上一动点， ， 当时，S有最大值，此时， ， 故的面积最大时点P的坐标为； （3）解：存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， ， 过点作轴于点，则，， ， ， 以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形， ①当为菱形的对角线时，此时点与点重合，， ； ②当为菱形的边时，此时， ，， 故使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形，点M的坐标为或或． 18．如图，已知二次函数的图象经过点，与轴交于点，点是直线上方的抛物线上一动点，过点作轴，交直线于点，过点作的垂线，垂足为． (1)求该二次函数的解析式． (2)求线段的最大值． (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，是平面内的一点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，，， 【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式． （2）设，，利用两点间的距离公式得到，利用配方法求得最值．可证明为等腰直角三角形，则最大时，最大，求解即得到答案． （3）由题意，以、、、为顶点的四边形是菱形，即为等腰三角形，分三种情况讨论：①，②，③，借助于方程求得点的坐标，进而求得坐标． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过，， ， 解得， 此二次函数表达式为； （2）设直线为，因其经过，， ， 解得，， 直线的表达式为， 设，， ， ， ， ∴的最大值为， ，， 为等腰直角三角形， ， 轴， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 随增大而增大， 当的最大值为时， ； （3）答：存在以、、、为顶点的四边形是菱形； 解：若以、、、为顶点的四边形是菱形，即为等腰三角形， 二次函数的对称轴为，，， 在中由勾股定理可得，． 设，则，． 分三种情况讨论： 若， 则，解得， ； 此时四边形为菱形， ∵菱形对角线互相平分，由中点公式知： ， 即， 若，，得， ，； 此时四边形为菱形， 同理求得或， 若，，得或， ，． 、、三点共线， 舍去． 此时四边形为菱形， 此时 的坐标为：，，，． 【题型7 矩形的存在性问题】 19．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点B的坐标为，点C的坐标为，直线1经过B，C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点C作轴交抛物线于点D，过线段CD上方的抛物线上一动点E作交线段BC于点F，求四边形ECFD的面积的最大值及此时点E的坐标； （3）点P是在直线l上方的抛物线上一动点，点M是坐标平面内一动点，是否存在动点P，M，使得以C，B，P，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直线写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．    【答案】（1）；（2），；（3）存在，或1． 【分析】（1）将点，点代入中，即可求解析式； （2）求出BC的直线解析式为，设，则，所以，即可求面积的最大值； （3）设，①当时，，可求P点横坐标；②当时，，可求P点横坐标． 【详解】解：（1）将点，点代入中， 则有， ， ； （2）， 对称轴为， 轴， ， ， 点，点， 的直线解析式为， 设， 交线段BC于点F， ， ， 当时，四边形ECFD的面积最大，最大值为； 此时； （3）设， ①当时， ， ， ， ， 点横坐标为1； ②当时， ， ， 或（舍）， 点横坐标为． 综上所述：P点横坐标为或1． 【点评】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，掌握矩形的性质是解题的关键． 20．如图，已知抛物线经过点，其对称轴为直线，为y轴上一点，直线与抛物线交于另一点D．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)试在线段下方的抛物线上求一点E，使得的面积最大，并求出最大面积； (3)点F为抛物线对称轴上的一个动点，在平面内是否存在点G，使得以点A、D、F、G为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，的面积最大， (3)存在，或或或 【分析】（1）根据对称轴推出，将代入，求出a、b、c的值，即可得出函数表达式； （2）用待定系数法求出直线的函数表达式为，进而得出，过点E作轴，交于点F，设，则，求出的表达式，将其化为顶点式，根据，可得当取最大值时，的面积最大为，即可求解； （3）根据题意得出点F横坐标为，设，进行分类讨论：①当为矩形对角线时， ②当为矩形的对角线时，③当为矩形对角线时，结合中点坐标公式和勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴，整理得：， 把代入得： ，解得： ∴抛物线函数表达式为； （2）解：设直线的函数表达式为， 把，代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为， 联立直线和抛物线表达式： ，解得：，， ∴， 过点E作轴，交于点F， 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，取最大值， ∵， ∴当取最大值时，的面积最大为， ∴， 综上：当时，的面积最大，；    （3）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴点F横坐标为， 设， ∵ ， ∴， ①当为矩形对角线时， ，解得：， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴或；    ②当为矩形的对角线时， ，解得：， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴，    ③当为矩形对角线时， ，解得：， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴，    综上：存在，或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数表达式的方法和步骤，以及二次函数的最值求法，具有分类讨论的思想． 21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）经过点和点，点P在此抛物线上，其横坐标为m．    (1)求该抛物线的解析式； (2)当点P在x轴下方时，直接写出m的取值范围； (3)当点P在y轴右侧时，将抛物线B、P两点之间的部分（包括B、P两点）记为图象G，设图象G上最高点与最低点的纵坐标的差为h． ①求h与m之间的函数关系式； ②点Q在此抛物线的对称轴上，点D在坐标平面内，当时，以B、P、Q、D为顶点的四边形为矩形，且为矩形的一边，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)①；②点的坐标为或 【分析】（1）将点，代入之中得到关于，的方程组，解方程组求出，即可得到抛物线的解析式； （2）先求出抛物线与轴的两个交点，，再根据抛物线的开口向下可得出当点在轴下方的抛物线上时，的取值范围； （3）①先求出抛物线的点为，对称轴为，点，分三种情况进行讨论：当，点为最低点，点为最高点，据此可求出与之间的函数关系式；当，此时最高点为抛物线的顶点，最低点纵坐标为，据此可求出与之间的函数关系式；当，此时最高点为顶点，最低点为，据此可求出与之间的函数关系式； ②由①可知当时，，据此可求出点，再求出直线的解析式为，分两种情况进行讨论：当点在轴上方、当点在轴的下方；设点，利用勾股定理列式计算可求出点的坐标． 【详解】（1）解：将点，代入， 得：，解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：对于，当时，， 解得：，， ∴抛物线与轴的两个交点，， 又∵抛物线的开口向下， ∴当点在轴下方的抛物线上时，的取值范围是：或； （3）解：①， ∴抛物线的顶点为，对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为 ∵点在轴右侧的抛物线上，且横坐标为， ∴点的坐标为， 分三种情况讨论如下： 当时， ∴点为最低点，点为最高点， ， 当，此时最高点为抛物线的顶点，最低点纵坐标为， ； 当，此时最高点为顶点，最低点为， ，， 综上所述：与之间的函数关系式是：， ②点的坐标为：或． 理由如下： 由①可知：当时，， ，解得：，（不合题意，舍去）， 当时，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为：， 将点，代入， 得：，解得：， ∴直线的解析式为：， 令，则， ∴直线与对称轴的交点为， ∵以、、、为顶点的四边形为矩形，且为矩形的一边， ∴有以下两种情况： 当点在轴上方时，与对称轴的交点为，设点，    则，，， ， ∴，即， 整理得， 解得， 此时点的坐标为， 当点在轴的下方时，与对称轴的交点为，设点，    则，，， ， ∴，即， 整理得， 解得， 此时点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或． 【点睛】此题主要考查了求二次函数的解析式，顶点坐标、对称轴，矩形的性质等，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式，以及求二次函数顶点坐标、对称轴的方法，理解矩形的四个角都是直角，难点是分类讨论思想在解题中的应用． 【题型8 正方形的存在性问题】 22．如图，已知拋物线与轴交于点与轴交于点．    (1)求的值及该抛物线的对称轴； (2)若点在直线上，点是平面内一点．是否存在点，使得以点为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，二次函数对称轴为直线 (2)或 【分析】（1）将点A的坐标代入到二次函数的解析式即可求出c的值，然后将二次函数的解析式化成顶点式的即可确定二次函数对称轴； （2）分AB是正方形的边、AB是正方形的对角线两种情况，通过画图，利用正方形性质即可解答． 【详解】（1）解：把代入二次函数得： ∴，解得：； ∴二次函数的解析式为：， ∴二次函数对称轴为直线． （2）解：存在，理由如下： 令y=0，即，解得或， ∴点B的坐标为， ∵， ∴； ①当是正方形的对角线时，此时，对应的矩形为， ∵是正方形对角线， ∴线段和线段互相垂直平分， ∴点E在抛物线对称轴上，且到x轴的距离为， ∴点E的坐标为； ②当AB是正方形的边时，此时，对应的正方形为，    ∵， ， ∴， ∴， ∵B的坐标为, ∴， ∴点的坐标为； 故点E的坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查的是二次函数的性质、正方形的性质等知识点，掌握正方形存在性问题需要分类求解是解答本题的关键． 23．如图，抛物线与x轴交于、两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点N在坐标平面内，请问在抛物线上是否存在点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点H，使得四边形是正方形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在的坐标为或时，使得四边形是正方形 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质、二次函数综合问题． （1）利用将、代入，利用待定系数法即可求解； （2）由题意，设，四边形是正方形，可知，得则，分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，将、代入， 得：，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）存在的坐标为或时，使得四边形是正方形，理由如下： 由题意，设， ∵，四边形是正方形，轴，则， ∴， 则， 即：， 当时， 解得：，（舍去）， 则，即； 当时， 解得：，（舍去）， 则，即； 综上，存在的坐标为或时，使得四边形是正方形． 24．如图，已知直线与抛物线交于点和两点，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线于Q，于点N．    (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在直线下方时，求线段的最大值； (3)是否存在点P使得是直角三角形，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由； (4)坐标轴上是否存在点M，使得以点P，N，Q，M为顶点的四边形是正方形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2) (3)存在，点P坐标为点P坐标为或或或 (4)存在，点M坐标为：或或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设点P坐标为，则点Q坐标为，求出的长，推出，利用二次函数的性质，求最值即可； （3）分，和三种情况分类讨论求解即可； （4）分点在轴上和在轴上两种情况讨论求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和两点， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）根据题意，设点P坐标为，则点Q坐标为 ∴ 设直线与y轴交于点C，则点C坐标为 ∴ ∴ ∵轴 ∴ ∴在中， ∴的最大值为； （3）解：存在， ①当时，如图：过点作，则：，    由（2）知，， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； ②当时，如图：过点作轴于点，过点作于点，    则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则：， ∴，解得：或（舍去）； ∴； ③当时，设，点在直线上方时，如图：过点作轴于点，过点作于点，    同②可得：， ∴， ∵，， ∴，，，， ∴， ∴， 又， ∴，解得：（舍掉）；（舍掉）；，， 当时，，当时，（舍掉）； ∴； 当点在下方时，过点作轴，过点作于点，过点作于点，    同法可得：， ∵，， ∴，，，， ∴， ∴， 又， ∴，解得：（舍掉）；（舍掉）；（舍掉），， 当时，， ∴； 综上：点P坐标为或或或； （4）存在； ①当在轴上时， ∵轴，则， ∴点在轴上，即：点与点重合，如图：    由（2）可知：时，，则：， ∵， ∴， ∵， ∴； 当在轴上时，与互相垂直平分， ∵轴， ∴轴， 设点P坐标为，则点Q坐标为，设，则点， ∴，即：， ∴， ∴， 当点位于直线下方时： 由（2）知：， ∵正方形， ∴，即：， 解得：或（舍去）， ∴ ∴ 当点在点左侧时：， ， ∵正方形， ∴， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴；    综上：或或 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性强，难度大，属于中考压轴题． 1．如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点B的坐标为，点C的坐标为，点D是抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)点M是抛物线上一动点，过点M作轴交抛物线于点N，点P在x轴上，在坐标平面内是否存在点Q，使得四边形为正方形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)拋物线的解析式为，点D的坐标为 (2)存在，满足条件的点Q有两个，其坐标分别是或 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，再转化为顶点式即可求解； （2）由点M、N关于拋物线对称轴对称，可得点P为拋物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，设，则，代入抛物线解析式求解即可． 【详解】（1）解：把代入抛物线中， 得， 解得， ∴拋物线的解析式为， ， ∴点D的坐标为； （2）解：在坐标平面内存在点Q，使得比边形为正方形，理由如下． 如解图，设对解线交于点， ∵点M、N关于拋物线对称轴对称，且四边形为正方形， ∴点P为拋物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，且与点P关于对称， 由（1）得抛物线的对称轴为直线， 设，则， ∵点M在抛物线的图象上， ， 解得或， 或， 满足条件的点Q有两个，其坐标分别是或．            【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，确定出P、Q的位置是解题的关键． 2．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过点A(1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点P是直线BC下方的抛物线上一动点(不点B，C重合)，过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，求PD的长度最大时点P的坐标． (3)设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)y=x2﹣4x+3；(2)PD的长度最大时点P的坐标为(，﹣)；(3)点M的坐标为M1(2，3)，M2(2，1﹣2)，M3(2，1+2) 【分析】（1）用待定系数法法求解；把已知点的坐标分别代入解析式可得； （2）设P(m，m2﹣4m+3)，将点B(3，0)、C(0，3)代入得直线BC解析式为yBC=﹣x+3．过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，则D(m，﹣m+3)，PD==﹣(m﹣)2+，求函数最值可得． （3）设存在以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形．根据题意，点E(2，1)，EF=CF=2，求出EC=2，根据菱形性质，ME=EC=2，可求出M的坐标；注意当EM=EF=2时，M(2，3). 【详解】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过点A(1，0)和点B(3，0)，与 y轴交于点C， ∴，解得， ∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3； (2)如图： 设P(m，m2﹣4m+3)， 将点B(3，0)、C(0，3)代入得直线BC解析式为yBC=﹣x+3． ∵过点P作y轴的平行线交直线BC于点D， ∴D(m，﹣m+3)， ∴PD=(﹣m+3)﹣(m2﹣4m+3)=﹣m2+3m． =﹣(m﹣)2+． ∴当m=时，PD有最大值． 当m=时，m2﹣4m+3=﹣． ∴P(，﹣)． 答：PD的长度最大时点P的坐标为(，﹣)． (3)存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形． 根据题意，点E(2，1)， ∴EF=CF=2， ∴EC=2， 根据菱形的四条边相等， ∴ME=EC=2， ∴M(2，1﹣2)或(2，1+2) 当EM=EF=2时，M(2，3) 答：点M的坐标为M1(2，3)，M2(2，1﹣2)，M3(2，1+2)． 【点睛】考核知识点：二次函数解析式，二次函数的最值.理解二次函数性质，数形结合分析问题是解题的一般思路. 3．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴于，两点，与y轴交于C点，点P是直线BC下方抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当动点Р运动到什么位置时，使四边形ACPB的面积最大，求出此时四边形ACPB的面积最大值和P的坐标； (3)如图2，点M在抛物线对称轴上，点N是平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以点M、N、A、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有M点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，四边形ABCP的最大值是，此时点P的坐标为 (3)存在，、、、 【分析】（1）由二次函数的图象与x轴交于两点，直接利用待定系数法，即可求得这个二次函数的表达式； （2）设点P的坐标为，即可由求得答案； （3）分别从当，，AC为对角线，结合菱形的性质去分析求解即可求得答案． 【详解】（1）∵二次函数的图象与x轴交于两点， ∴， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为：； （2）设点P的坐标为 ∵ ∴当时，四边形ABCP的最大值是，此时点P的坐标为 （3）∵ ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴ 设点M的坐标为，则： ，，， 设的中点为Q，则点Q的坐标为即， ∴， 当时，则 ∴ 解得， ∴、； 当时，则， ∴ 解得， ∴、；舍去，此时M、A、C三点共线，无法构成菱形 当AC为对角线时则有： ∴ 解得， ∴ ∴存在这样的点M、N能够使得以点M、N、A、C为顶点的四边形是菱形，此时点M的坐标为：、、、 【点睛】此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式的知识、二次函数的最值问题以及菱形的性质．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键． 4．如图，抛物线经过点，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在．求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或和 【分析】（1）首先求出，然后利用求出，然后利用待定系数法求解； （2）首先求出抛物线的对称轴为直线，设，然后分三种情况讨论，分别根据平行四边形的性质和中点坐标公式求解． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴， ， ， ， ， 把，代入得，， ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∵，， ①当是平行四边形的对角线时， ∴， ∴， ∴； ②当是平行四边形的对角线时， ∴， ∴， ∴； ③当是平行四边形的对角线时， ∴， ∴， ∴； 综上，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，或和． 5．如图，在平面直角坐标系中已知抛物线与直线都经过两点，该抛物线的顶点为． (1)求此抛物线的解析式． (2)设点是直线下方抛物线上的一动点，连接，，请求出的最大面积是多少． (3)设直线与该抛物线的对称轴交于点，点为射线上一点，过作轴的垂线交抛物线于点，是否存在点，使点，，，是平行四边形的四个顶点？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数求最值问题，平行四边形的性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数； （2）作轴交直线于点，求得直线的解析式，设，则，先表示出，利用三角形面积公式得到，然后根据二次函数的性质解决问题； （3）先求出点坐标和点坐标，则，分两种情况讨论：①若点在轴下方，四边形为平行四边形，则；②若点在轴上方，四边形为平行四边形，则，设，则，可分别得到方程求出点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过两点， ，解得， 抛物线的解析式为， （2）如图，作轴交直线于点， 直线经过两点， ，解得， 直线的解析式为； 设，则， ， ， ， 当时，面积有最大值，最大值是； （3）存在，理由如下： ， 抛物线的顶点的坐标为， 轴， ， ， ①如图，若点在轴下方，四边形为平行四边形，则， 设，则， ， ， 解得：，舍去， ； ②如图，若点在轴上方，四边形为平行四边形，则， 设，则， ， ， 解得：或 舍去， ， 综上可得点的坐标为或． 6．如图，已知抛物线（）与 轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)设抛物线的对称轴与轴交于点，问在对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，或或或 【分析】（1）将、坐标代入抛物线的解析式，用待定系数法即可求出二次函数的解析式． （2）连接交对称轴直线于点，则点即为所求，待定系数法求直线的解析式，进而令，即可求解； （3）根据题意，分以下三种情况进行讨论：①；②；③；即可利用等腰三角形的性质求解． 【详解】（1）解：将点、代入， 得 解得 抛物线的解析式为， （2）解：如图所示，连接交对称轴直线于点，连接， ∵关于对称轴对称， ∴在上时，，此时的周长最小 由，当时， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得； ∴直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ∴当时， ∴ （3）解：存在，理由如下：抛物线的解析式为，其对称轴为， ， ， ， ①当时：如图， 作于点D，则， ， 此时点P的坐标为； ②当时： ，， ，， ， ， 此时点P的坐标为或； ③当时：如图， 作于点D，设，则． 在中，由勾股定理得， 即， 解得． 此时点P的坐标为． 综上所述：点P坐标为或或或． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合及等腰三角形的存在性问题；正确的画出对应图形，并结合每种对应情况进行分类讨论是解题的关键． 7．平面直角坐标系中，抛物线：过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知点是抛物线在第四象限上的动点，定点的坐标为，则在轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，的坐标为 【分析】本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析，二次函数图象的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，分类讨论，当点位于点左侧时；当点位于点右侧时；根据三角形全等的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解： 存在．由题意得，点，要使得， ∴，，， 点在轴上，， ． 当点位于点左侧时，此时，， 轴， 设点，则， ， 解得或（舍去）， ， ， ； 当点位于点右侧， 此时，， 因为在第四象限，，不合题意． 综上所述，的坐标为． 8．如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C，直线经过A、C两点，连接，，点D为x轴上一点，过点D作轴，交直线于点E，交抛物线于点P，连接 (1)确定直线和抛物线的表达式； (2)当（点D不与点B重合）时，试判断的形状，并说明理由； (3)当时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)是等腰三角形，理由见解析 (3)点P的坐标为：或 【分析】(1)用待定系数法即可求解； (2)证明，即可求解； (3)当点在线段上时，证明得到直线的表达式为: 进而求解；当点在直线上时，得到直线的表达式为： 进而求解． 【详解】（1）将点的坐标代入一次函数表达式得： 解得： ，∴一次函数表达式为： 令 则 , 即点, 则 在中, ， ∴ 故点 将点的坐标代入二次函数表达式得: 解得：， 故二次函数表达式为：； （2）等腰三角形，理由： 当(点不与点重合)时，则点, 当时, 即点, 当时, 即点, ， 即点在的中垂线上，故等腰三角形； （3）， ∴ 在中, 当点在线段上时，如图，设直线交轴于点， ， ， ， 又 ， ， ， 故设直线的表达式为： 将点的坐标代入上式并解得： ∴直线的表达式为：， 联立和 并解得：(舍去)或 ， 故点； 当点在直线上时， 同理可得：直线 的表达式为：， 联立 和 并解得：(舍去)或, 故点 综上，点的坐标为：或 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了二次函数的图像和性质，一次函数的解析式求法，解直角三角形等知识，掌握以上知识点是解题的关键．其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 9．综合与探究 如图，抛物线经过点和点，点是线段上一动点（不与重合），直线是抛物线的对称轴，设点的横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式及直线的函数表达式． (2)当点在直线右侧的线段部分上运动时，过点作轴的垂线交抛物线于点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，求四边形周长的最大值． (3)若点是抛物线上一点，平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是正方形时，若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为； (2)最大值为； (3)点的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设点的坐标为，点的坐标为，得到四边形周长为，利用二次函数的性质求解即可； （3）分三种情况讨论，利用正方形的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点和点代入得 ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点的横坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴四边形周长为， ∵， ∴当时，四边形周长有最大值， 最大值为； （3）解：当为正方形时，如图， ∵点和点， ∴， ∴点与点关于对称轴对称， ∴点， ∴点， ∴点的坐标为； 当为正方形时，如图，设正方形的中心为点， ∵，， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵， ∴，即，解得， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴点的坐标为； 当为正方形时，如图，设正方形的中心为点， 显然点与点关于对称轴对称， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及到了待定系数法求函数表达式、正方形的判定、二次函数的性质等重要知识点，综合性强，解答本题的关键是要求学生掌握分类讨论，数形结合的数学思想方法，此题有一定的难度． 10．【实践探究】 数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程： (1)实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面时，水面宽，并画出了拱桥截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式； (2)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条的直线，交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，提出了以下两个问题，请予解答： ①如图2，B为直线上方抛物线上一动点，过B作垂直于x轴，交x轴于A，交直线于C，过点B作垂直于直线，交直线于D，求的最大值． ②如图3，G为直线上一动点，过G点作x轴的垂线交抛物线于点H，点P在坐标平面内．问：是否存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①最大值为；②G点坐标为或或或 【分析】（1）设抛物线的解析式为，由图可知抛物线经过原点，即，求出a的值即可求函数的解析式； （2）①由题可知是等腰直角三角形，则，设，则，，当时，的最大值为，即可得出问题答案； ②由①可得，然后根据题意可分当时，当时，然后根据正方形的性质可分类进行求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 当时，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设，则， ∴， 当时，的最大值为， ∴的最大值为； ②存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形，理由如下： 由①可得， ∴当时，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴H点的纵坐标为5， ∴， 解得或， ∵G点在直线上， ∴或； 当时， ∵， ∴， 设，，如图，连接，交于点M， ∴， ∴， 解得或， ∴或； 综上所述：G点坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 11．在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，直线与抛物线交于A,D两点，与直线于点E．若是线段上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线于点G，交直线于点H． ①当点F在直线上方的抛物线上，且时，求m的值； ②在平面内是否在点P，使四边形为正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ；（2）①或 ； ②存在；或 【分析】（1）根据待定系数法列出方程组即可求出抛物线的表达式； （2）利用，用m和抛物线及一次函数的解析式表示出FG的长度，解出m即可求出答案； （3）先根据直线AD与直线BC相交于点E求出E点坐标，再根据题意当四边形EFHP是正方形，利用正方形四个角都是直角且四条边都相等求出F点的坐标及EF的长度，再根据坐标求解即可． 【详解】解：（1）抛物线经过两点， ，解得， 抛物线的表达式为． （2）①方法1： 如图1，过点O作于点R，过点F作于点Q， 设直线与y轴交点为N． ，直线轴， ，， ， 由一次函数可以求出点N坐标为， 在中，，， ， ， ． ，， ， ． ，MH平行于y轴， ， ， ， ， ， 解得，． 联立抛物线和一次函数，得：， 解得，， 则可知此时求出的点F都在直线AD上方的抛物线上， 的值为或． 方法2： 如图1，过点O作于点R，过点F作于点Q，设直线与y轴交点为N． 则，， ，直线轴， ，， ， ，， ， ， ，， ， 由题意可得，轴，则， ， ， ， ， 解得， 联立抛物线和一次函数，得：， 解得，， 则可知此时求出的点F都在直线AD上方的抛物线上， 的值为或． ②存在．点P的坐标为或． （写对一个得2分） 如图2， B（4，0），C（0，4）， 直线BC的解析式为：， 联立直线AD与直线BC的方程得：， 解得， E（1，3）． 若四边形EFHP是正方形， 则， ，解得， ，， ， ， ． ， 同理可得：， ， ． 点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数、一次函数、正方形等综合知识点，难度较大，本题第（2）问中的第1小问通过面积比列出FG关于m的方程是解题的关键，第2小问通过正方形的性质进行讨论即可解题，对于二次函数的综合题型要学会结合数形结合的方法解题． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）与轴交于、两点，与轴交于点，点是抛物线上一个动点． (1)求该抛物线的解析式： (2)若，请求出点的坐标； (3)连接，直线上有一动点，点为坐标平面上一个动点，若以、、、四点为顶点的四边形为正方形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)该抛物线的解析式为 (2)点的坐标为 或 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，正方形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）设点的纵坐标为，由可得，求出，即可求解； （3）分两种情况讨论：当为正方形的对角线时，当为正方形的边时，即可求解． 【详解】（1）解：将、分别代入， 得：， 解得：， 该抛物线的解析式为：； （2） ，， ， 在抛物线中，令，则， ， 设点的纵坐标为， ， ， 即， 解得：， 当时，，解得：或， 点的坐标为 或， 当时，，方程无实数根， 综上所述，点的坐标为 或； （3） ，， ， 是等腰直角三角形， ， 若以、、、四点为顶点的四边形为正方形时，则为等腰直角三角形， 当为正方形的对角线时，即为等腰直角三角形的斜边时，如图，此时点与重合， ； 当为正方形的边时，， 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 易得直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ； 综上所述，点的坐标为或． 13．如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)已知点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在这样的点（2，1）或或，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形 (3)存在点的坐标为（4，1）或（-2，1）或或． 【分析】（1）根据抛物线的对称轴是直线，可得a=-1，再把点代入，即可求解； （2）先求出，设点N（m，-m+3），可得，，再分三种情况讨论：当AC=AN时，当AC=CN时，当AN=CN时，即可求解； （3）设点E（1，n），点F（s，t），然后分两种情况讨论：当BC为边时，当BC为对角线时，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴，解得：a=-1， ∵抛物线过点， ∴，解得：c=3， ∴抛物线解析式为； （2）解：存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．理由如下： 令y=0，则， 解得：， ∴点A的坐标为（-1，0）， ∴OA=1， 当x=0时，y=3， ∴点C的坐标为（0，3），即OC=3， ∴， 设直线BC的解析式为， 把点B（3，0），C（0，3）代入得： ，解得：， ∴直线BC的解析式为， 设点N（m，-m+3）， ∴MN=-m+3，AM=m+1， ∴，， 当AC=AN时，， 解得：m=2或0（舍去）， ∴此时点N（2，1）； 当AC=CN时，， 解得：或（舍去）， ∴此时点N； 当AN=CN时，， 解得：， ∴此时点N； 综上所述，存在这样的点（2，1）或或，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形； （3）解：存在，理由如下： ∵点B（3，0），C（0，3）， ∴OB=OC， ∴BC， 设点E（1，n），点F（s，t）， 当BC为边时，点C向右平移3个单位向下平移3个单位得到点B，同样E（F）向右平移3个单位向下平移3个单位得到点F（E），且BE=CF（CE=BF），如图， ∴或， 解得：或， ∴此时点F的坐标为（4，1）或（-2，1）； 当BC为对角线时，BC=EF，且EF与BC的中点重合，如图， ，解得：或， ∴此时点F的坐标为或； 综上所述，存在点的坐标为（4，1）或（-2，1）或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键是解题的关键． 14．如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A，，与y轴交于点C，连接． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作轴，垂足为点M，交直线于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由； (3)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在点N使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形，此时点N的坐标为或或 (3)或或或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴是直线，可得，再利用待定系数法求解即可； （2）求出点A和点C的坐标，则可求出的值，求出直线直线的解析式为，设点，再分三种情况：当时，则，当时，则，当时，则，根据两点间的距离公式建立方程求解即可； （3）分三种情况：为对角线， 为对角线，为对角线，根据矩形的两条对角线的中点坐标相同和两条对角线相等建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得， ∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，则，解得， 当时，， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设点， ∴， ， 当时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴ ∴此时点N的坐标为； 当时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴ ∴此时点N的坐标为； 当时，则 ∴， 解得， ∴ ∴此时点N的坐标为； 综上所述，存在点N使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形，此时点N的坐标为或或； （3）解：∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线； 设， 当为对角线时，由矩形的两条对角线的中点坐标相同可得： ， ∴， 由矩形的性质可得，则， ∴， 解得， ∴点F的坐标为； 当为对角线时，由矩形的两条对角线的中点坐标相同可得： ， ∴， 由矩形的性质可得，则， ∴， 解得， ∴点F的坐标为； 当为对角线时，由矩形的两条对角线的中点坐标相同可得： ， ∴， 由矩形的性质可得，则， ∴， 解得或 ∴点F的坐标为或； 综上所述，点F的坐标为或或或． 15．已知：如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，，顶点为．    (1)求此抛物线的解析式： (2)在直线下方的抛物线上，是否存在一点，使四边形的面积最大？最大面积是多少？ (3)点在轴上的一个动点，点是坐标平面上的一个动点，是否存在这样的点和点，使点构成矩形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，，或，或 或， 【分析】（1）由题意得出，，再利用待定系数法求解即可； （2）待定系数法求出直线的解析式为：，求出点，则，求出，作轴交于，设点，则，，表示出，再根据，由二次函数的性质即可得出答案； （3）分三种情况：当四边形为矩形时；当四边形为矩形时；当为对角线时；分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，， 将，代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：设直线的解析式为：， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为：， 在中，令，得出， 解得：，， ， ， ， 如图，作轴交于，    设点，则， ， ， ， ， 当时，最大，为； （3）解：， ， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为， 如图，当四边形为矩形时，    则， 设直线的解析式为， 将代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， ， 四边形是矩形， ， 点到点，是将点向右平移1个单位长度，向上平移0.5个单位长度得到， 点由点向右平移1个单位长度，向上平移0.5个单位长度得到，即； 如图，当四边形为矩形时，    则， 设直线的解析式为， 将代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， ， 四边形是矩形， ， 点到点，是将点向右平移3个单位长度，向上平移1.5个单位长度得到， 点由点向右平移3个单位长度，向上平移1.5个单位长度得到，即； 当为对角线时，设，， 四边形是矩形， ， ， 解得：或， ，或，； 综上所述，，或，或 或，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—面积问题、二次函数综合—特殊四边形，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 16．综合与探究：图1．在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点B，C二次函数的图象经过点B，C，且与x轴的另一个交点为A（A点在原点左侧），若，P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作轴于点D，交于点F，作于点F．    (1)求点A的坐标及二次函数的表达式． (2)当的周长最大时，求点P的坐标． (3)如图2，过点P作的平行线．交线段于点M，在直线上是否存在点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】(1) 根据直线分别交x轴、y轴于点B，C，确定从而确定，结合确定，选择方式求解析式即可． (2)设，结合直线得到，确定，根据等腰直角三角形的性质，用表示周长，借以构造二次函数，用函数思想求最值即可． (3)根据菱形的定义，分点N在直线上部和下部两种情形，运用待定系数法和平移思想求解即可． 【详解】（1）∵直线分别交x轴、y轴于点B，C， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）∵抛物线的解析式为，直线， ∴设，则， ∴， ∵直线分别交x轴、y轴于点B，C， ∴， ∴， ∴， ∵轴,, ∴， ∴， ∴的周长为 ∵， ∴的周长有最大值，且当时，取得最大值，最大值为， 此时，故点． （3）存在，或．理由如下： ∵过点P作的平行线．交线段于点M，直线， ∴设， ∵ ∴四边形是菱形，， ∵， ∴， 解得 ∵M在第一象限， ∴， 故； ∵四边形是菱形， ∴， 故把点M沿着方向平移，平移方式与点C向点A的平移方式相同即可， ∵， 故点C向左平移1个单位长度，向下平移3个单位长度，      故向左平移1个单位长度，向下平移3个单位长度即可得到符合题意的点N， 此时点即； ∵过点P作的平行线．交线段于点M，直线， ∴设， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 解得 ∵M在第一象限， ∴， 故； ∵四边形是菱形， ∴， 故把点M沿着方向平移，平移方式与点C向点A的平移方式相同即可， ∵， 故点A向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，    故向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度即可得到符合题意的点N， 此时点，即； 故存在这样的点N，且或． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，菱形的判定和性质，平移思想，等腰直角三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，二次函数的最值，熟练掌握待定系数法求抛物线的解析式，菱形的判定和性质，平移思想，特殊角的三角函数值，二次函数的最值是解题的关键． 17．在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，交轴于点，二次函数的图像经过点，且对称轴为直线． (1)请求出，，的值； (2)点为抛物线的顶点，在轴上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标，不必说明理由；若不存在，请说明理由； (3)将直线向下平移个单位，使得直线与抛物线有且只有一个交点，求的值； (4)点在轴上，且位于点下方，点在二次函数的图像上，点在一次函数的图像上，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2)存在，，，， (3) (4)或 【分析】（1）把点B的坐标代入，即可求出m的值；令一次函数，可求出点A的坐标，将点A的坐标代入，即可求出c的值；根据二次函数的对称轴即可求出b的值； （2）先求出顶点C的坐标，再求出的长度，再进行分类讨论即可； （3）根据一次函数平移规律，向下平移后的函数表达式为：，根据在交点处函数值相等，将一次函数表达式和抛物线表达式联立，最后根据根的判别式即可进行求解； （4）根据菱形的性质，分为为菱形的对角线或为菱形的边两种情况，分类讨论即可． 【详解】（1）解：点B的坐标代入得：，解得：， ∴一次函数表达式为：， 当时，， ∴， 把代入得：， ∵二次函数对称轴为：， ∴，解得：， 综上：，，． （2）∵，， ∴二次函数表达式为：，化为顶点式为：， ∴， ∴， ①如图：以点C为圆心，长为半径画弧，交y轴于和两点， 由图可知：，， ②如图：以点C为圆心，长为半径画弧，交y轴于点， ∵，， ∴， ③作的垂直平分线，交y轴于点， ∵垂直平分，， ∴， 设所在直线的函数表达式为：， 将点代入：，解得：， 设所在的直线函数表达式为：， ∵， ∴，解得：， 将代入得：，解得：． ∴所在直线函数表达式为：， 当时，， ∴． 综上，存在，，，，． （3）∵直线向下平移个单位， ∴平移后的函数表达式为：， ∵平移后与抛物线有交点， ∴，整理得：， ∵只有一个交点， ∴， 解得：． （4）∵一次函数：，二次函数：， ∴设点，点， ①当为对角线时， ∵四边形为菱形， ∴，即， ∴点M到y轴的距离等于点N到y轴的距离， 此时：，， ∴，解得：，（舍）， ∴， ②当为菱形的边时， ∵点D在点A下方， ∴点N在点M上方， ∵四边形为菱形， ∴，， 此时， ，点， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：，（舍）， ∴， 综上：M的坐标为：或． 【点睛】本题主要考查了一次函数，二次函数，等腰三角形的性质和判定，菱形的性质，解题的关键是熟练掌握各个知识点，根据题意进行分类讨论． 18．综合与探究 已知二次函数的图象经过的三个顶点，若这三个顶点的坐标分别为，，． (1)求此二次函数的解析式； (2)若P是第四象限内抛物线上的一个动点，连接和，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)若N是x轴上的一个动点，在抛物线上是否存在点M，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在．或或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）如图，过点P作轴于点H，交于点F，过点C作于点Q．求出直线的解析式，设，则，表示出，，， 即可求解； （3）设设，根据平行四边形对角线的性质，分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象过点， ． 二次函数的图象过点，， ， 解得， 此二次函数的解析式为． （2）如图，过点P作轴于点H，交于点F，过点C作于点Q． 设直线的解析式为． ，， ， 解得， 直线的解析式为． 设，则． ，，． ． ， 当时，取得最大值． 把代入中，得． ． （3）解：存在点，使以点为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ∵二次函数的解析式为，，， 设， 当为平行四边形的对角线时， ， 解得或（与点C重合，故舍去）， 将代入得， ∴； 当为平行四边形的边时， 或， 解得或或（舍去）或（与点C重合，故舍去）， 将代入得， ∴； 将代入得， ∴； 综上所述：点点坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，二次函数最值，一次函数解析式等知识点，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． 19．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与直线相交于B、C两点，与x轴交于点．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数的表达式． (2)过点P作轴交直线于点D，求的最大值． (3)点M为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点N，使为等腰直角三角形，且为直角，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)存在，点N的坐标为或或或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）设，先求得抛物线的对称轴是直线，设直线交x轴于点G，则，轴，作于点F，可证明，再分四种情况讨论即可． 【详解】（1）直线相交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为：、， 则抛物线的表达式为， 则，则， 则抛物线的表达式为：； （2）如图1，设， ∵轴交直线BC于点D， ∴， ∴， ∵， ∴当时，， ∴的最大值为． （3）存在，设， ∵， ∴抛物线的对称轴是直线， 设直线交x轴于点G，则，轴， 作于点F，则，， 如图2，点M在x轴上方，且点N在直线左侧， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； 如图3，点M在x轴上方，且点N在直线右侧， 同理可得， ∴，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； 如图4，点M在x轴下方，且点N在直线右侧， 同理可得， ∴，， ∴， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； 如图5，点M在x轴下方，且点N在直线左侧， 同理可得， ∴，， ∴， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， 综上所述，点N的坐标为或或或． 【点睛】此题考查一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解一元二次方程，数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 20．如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线所对应的函数关系式； (2)E是线段上的一个动点（与点B、C不重合），过点E作轴于点D，交抛物线于点F． ①求的边上的高的最大值； ②在这条抛物线上是否存在点F，使得以F、E、C为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，说明理由； 【答案】(1) (2)①；②存在，，． 【分析】（1）根据抛物线与x轴交于，两点，设函数解析式为，再将点代入求解即可． （2）①求出直线的解析式为：，求出，设的边上的高为，设点E为，则，在中，，即可求出答案；②分和两种情况进行求解即可； 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴设该抛物线的解析式为：． ∵过点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为：． （2）①设直线的解析式为：， 把点，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为：． ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的边上的高为，如图， 设点E为，则， 则， 在中，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ②存在． ∵ ∴只能是以F、C为直角顶点的等腰三角形． 当时， ∵轴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴点F的纵坐标为3，把代入， 得， 解得，（舍去）， 当时，， ∴． 当时，如图：作于点G， 则， ∴， 解得，（舍去）， 当时，， ∴． 综上所述，符合条件的点F的坐标为，． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，二次函数求最值，解直角三角形等知识，解题关键是在求等腰直角三角形的存在性时，注意分类讨论的思想的运用，要把所有符合条件的点求全． 1．如图，已知抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称． (1)求该抛物线的表达式，并求出点D的坐标； (2)若点E为该抛物线上的点，点F为直线上的点，若轴，且（点E在点F左侧），求点E的坐标； (3)若点P是该抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使得为直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接写出点P坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在点P，使得为直角三角形，此时点P的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解求出抛物线解析式，进而求出点C的坐标和对称轴，由此即可求出点D的坐标； （2）先求出直线的解析式为，设，则，由轴，（点E在点F左侧），得到，解方程即可得到答案； （3）设点P的坐标为，利用勾股定理求出，，，再分当，则，当时，则，当时，则，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把点和点代入抛物线解析式中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； 令，则， ∴， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵点D与点C关于抛物线的对称轴对称， ∴； （2）解：设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵轴，（点E在点F左侧）， ∴， ∴， 解得或， ∴或； （3）解：设点P的坐标为， ∵，， ∴，，， 当，则， ∴， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或； 当时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 当时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，存在点P，使得为直角三角形，此时点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，灵活运用所学知识并利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 2．如图，直线与抛物线相交于和，点是线段上异于的动点，过点作于点，交抛物线于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在这样的点，使线段的长有最大值？求这个最大值； (3)是否存在这样的点，使为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为． (2)线段最大且为，． (3)为直角三角形时，点P得坐标为或． 【分析】（1）已知在直线上，求得c的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，通过待定系数法即可求得解析式； （2）设出P点横坐标，根据直线和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，可得到关于的长度与P点横坐标的函数关系式，再化成顶点式即可； （3）当为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵在直线上， ∴， ∴， ∵、在抛物线上， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）设动点P得坐标为，则C点得坐标为， ∴， ∵， ∴当时，即，线段最大且为． （3）∵为直角三角形， ①若点P为直角顶点，．由题意易知，轴，，因为此种情形不存在； ②若点A为直角顶点，则． 如图1，过点作于点N，则，．过点A作，交x轴于点M，则由题意易知，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 设直线得解析式为，则：，解得， ∴直线得解析式为：① 又抛物线得解析式为：② 联立①②式，解得：或（与点A重合，舍去） ∴，即点C、M点重合．当时，， ∴； ③若点C为直角顶点，则． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线． 如图2，作点关于对称轴得对称点C，则点C在抛物线上，且，当时，． ∵点、均在线段上， ∴综上所述，为直角三角形时，点P得坐标为或．    【点睛】考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 3．如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若直线与抛物线交于点，与直线交于点． ①当取得最大值时，求的值和的最大值； ②当是等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①当时，有最大值，最大值为；②或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求出，进而求出直线的解析式为，则，进一步求出，由此即可利用二次函数的性质求出答案；②设直线与x轴交于H，先证明是等腰直角三角形，得到；再分如图3-1所示，当时， 如图3-2所示，当时， 如图3-3所示，当时，三种情况利用等腰三角形的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于和两点， ∴抛物线对称轴为直线， 在中，当时，， ∴抛物线顶点P的坐标为， 设抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为 （2）解：①∵抛物线解析式为，点C是抛物线与y轴的交点， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线与抛物线交于点，与直线交于点 ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ②设直线与x轴交于H， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 如图3-1所示，当时， 过点C作于G，则 ∴点G为的中点， 由（2）得， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 如图3-2所示，当时，则是等腰直角三角形， ∴，即， ∴点E的纵坐标为5， ∴， 解得或（舍去）， ∴ 如图3-3所示，当时，过点C作于G， 同理可证是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴，， ∴， ∴ 综上所述，点E的坐标为或或 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判断，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 4．如图，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点C，AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作轴，交抛物线于点P，交BC于点Q． （1）求抛物线的表达式； （2）过点P作，垂足为点N．设M点的坐标为，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？ （3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2），当时，PN有最大值，最大值为．    （3）满足条件的点Q有两个，坐标分别为：，． 【分析】（1）将点A、B的坐标代入解析式中求解即可； （2）由(1)求得点C坐标，利用待定系数法求得直线BC的解析式，然后用m表示出PN，再利用二次函数的性质即可求解； （3）分三种情况：①AC=CQ；②AC=AQ；③CQ=AQ，分别求解即可． 【详解】解：（1）将，代入，得，解之，得． 所以，抛物线的表达式为．   （2）由，得． 将点、代入，得，解之，得． 所以，直线BC的表达式为：． 由，得，． ∴ ∵，∴． ∴． ∴． ． ∵ ∴当时，PN有最大值，最大值为．      （3）存在，理由如下：由点，，知． ①当时，过Q作轴于点E，易得， 由，得，（舍） 此时，点；     ②当时，则． 在中，由勾股定理，得． 解之，得或（舍） 此时，点；    ③当时， 由，得（舍）． 综上知所述，可知满足条件的点Q有两个，坐标分别为：，． 【点睛】本题是一道二次函数与几何图形的综合题，解答的关键是认真审题，找出相关条件，运用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，对相关信息进行推理、探究、发现和计算． 5．如图，抛物线交x轴于A（﹣2，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q． （1）求抛物线的表达式； （2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？ （3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）yx23；（2）PN（）；当m时，PN最大；（3）存在，Q（1，2）或（，3）． 【分析】（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+2）•（x﹣3），代入点C即可； （2）表示出PQ，求出∠PQN＝45°，根据，即可求解； （3）分为AQ＝AC，AQ＝CQ和AC＝CQ，列方程求得． 【详解】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+2）•（x﹣3）， ∴a•2×（﹣3）＝3， ∴a， ∴抛物线的关系式是y（x+2）•（x﹣3）x23； （2）∵B（3，0），C（0，3）， ∴直线BC的表达式是y＝﹣x+3， 由， ∴Q（m，﹣m+3）， ∴QM＝﹣m+3， ∵P（m，）， ∴PM， ∴PQ＝PM﹣QM， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∵QM//OC， ∴∠PQN＝∠OCB＝45°， ∴ （） （m）2， ∴当m时，PN最大； （3）设Q（m，﹣m+3）， AC2＝22+32＝13， AQ2＝（m+2）2+（﹣m+3）2＝2m2﹣2m+13， CQ2＝m2+m2＝2m2， 当AQ＝AC时， 2m2﹣2m+13＝13， ∴m1＝0（舍去），m2＝1， ∴Q1（1，2）， 当AC＝CQ时， 2m2＝13， ∴m3，m4（舍去）， ∴Q2（，3）， 当AQ＝CQ时， 2m2﹣2m+13＝2m2， ∴m3，故舍去， 综上所述，Q（1，2）或（，3）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到求一次函数解析式、解直角三角形、等腰三角形的性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 6．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(﹣，0)，B(3，0)，C(0，3)三点，线段BC与抛物线的对称轴l交于点D，该抛物线的顶点为P，连接PA，AD，线段AD与y轴相交于点E． （1）求该抛物线的表达式和点P的坐标； （2）在y轴上是否存在一点Q，使以Q，C，D为顶点的三角形与△ADP全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝−x2＋x＋3，P（，4）；（2）存在，点Q的坐标为（0，7）． 【分析】（1）已知抛物线经过的三点坐标，直接利用待定系数法求解即可． （2）先求出直线BC的解析式，从而得点D的坐标为D（，2）．可求出AD并证明CD＝DP，利用三角函数及等腰三角形性质求出∠ADP＝120°，则可根据点Q的位置在y轴上，分别从两种情况利用SAS判定两三角形全等的方法来求解． 【详解】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x＋）（x−3），将C（0，3）代入得： a（0＋）（0−3）＝3， 解得 a＝−． ∴抛物线的解析式：y＝−（x＋）（x−3）＝−x2＋x＋3． ∵y＝−x2＋x＋3＝−（x－）2＋4， ∴P（，4）． （2）存在， 设直线BC的解析式：y＝kx＋b，依题意得： ， 解得 ． ∴直线BC的解析式为：y＝−x＋3． 当x＝时，y＝2， ∴D（，2）． ∴AD＝ ＝4， CD＝＝2＝PD． ∵tan∠ABD＝＝，， ∴∠ABD＝30°． ∵l是抛物线的对称轴，点D在l上， ∴AD＝BD． ∴∠ABD＝∠BAD＝30°． ∴∠ADB＝120°． ∴∠ADF＝∠BDF＝60°． ∴∠ADP＝120°， △QCD和△APD中，CD＝PD，且点Q在y轴上， 当点Q在CD上方，∠DCQ＝∠ADP＝120°，CQ＝AD时，△QCD≌△APD， 设点Q（0，y），则CQ＝y－3， 即y－3＝4， 解得y＝7， ∴Q（0，7）， 当点Q在CD下方时，∠CDQ＝120°，此时点Q在抛物线的对称轴上． 综上，当△QCD≌△APD时，点Q的坐标为（0，7）． 【点睛】此题属于二次函数综合题，难度较大，涉及到：函数解析式的确定以及全等三角形的应用等重点知识．在解题时，一定要注意从图中找出合适的解题思路，能否将琐碎的知识运用到同一题目中进行解答，也是对基础知识掌握情况的重点考查． 7．如图，抛物线（）与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点C在x轴正半轴上），△ABC为等腰直角三角形，且面积为4，现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线过点C时，与x轴的另一点为E，其顶点为F，对称轴与x轴的交点为H． （1）求a、c的值． （2）连接OF，试判断△OEF是否为等腰三角形，并说明理由． （3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使以点P、Q、E为顶点的三角形与△POE全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）a=，c=2；（2）△OEF是等腰三角形；（3）Q（6，）或（6，3）或（10，12）或（，）或（，）． 【分析】（1）由A（0，c），得到OA=c，再由等腰直角三角形的性质得OA=OB=OC=c，由三角形面积公式解得c=2，把C（2，0）代入可求出a的值； （2）如图1，先求出直线AB的解析式为，设F（t，t+2），利用抛物线平移的规律可设平移后的抛物线解析式为，再把C（2，0）代入解得t=6，则平移后的抛物线解析式为，所以F（6，8），利用勾股定理得出OF=10，由抛物线与x轴的交点确定E（10，0），则OE=OF=10，于是可判断△OEF为等腰三角形； （3）分类讨论：当点Q在射线HF上，如图2，利用三角形全等的判定方法，当EQ=EO=10时，△EQP≌△EOP，则可根据勾股定理计算出QH的值，于是可得Q点坐标；当点Q在射线AF上，如图3，利用三角形全等的判定方法，当EQ=EO=10时，△EQP≌△EOP，设Q（m，m+2），利用两点间的距离公式得到关于m的方程，解方程求出m的值即可得到Q点坐标． 【详解】（1）∵抛物线（）与y轴交于点A， ∴A（0，c），则OA=c， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴OA=OB=OC=c， ∴•c•2c=4， 解得c=2， ∴C（2，0）， 把C（2，0）代入得4a+2=0， 解得a=； （2）△OEF是等腰三角形．理由如下：如图1， 设直线AB的解析式为， 把A（0，2）、B（﹣2，0）代入得， 解得：， 则直线AB的解析式为， 设F（t，t+2）， ∵抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线过点C时，顶点为F， ∴平移后的抛物线解析式为， 把C（2，0）代入得， 解得t=6， ∴平移后的抛物线解析式为， ∴F（6，8）， ∴OF==10， 令y=0，， 解得，， ∴OE=10， ∴OE=OF， ∴△OEF为等腰三角形； （3）存在．点Q的位置分两种情形． 情形一：点Q在射线HF上， 当点P在x轴上方时，如图2， ∵∠EQP=90°，EP=EP， ∴当EQ=EO=10时，△EQP≌△EOP，而HE=10﹣6=4， ∴QH==，此时Q点坐标为（6，）； 当点P在x轴下方时，如图3，有PQ=OE=10，过P点作PK⊥HF于点K，则有PK=6，在Rt△PQK中，QK===8， ∵∠PQE=90°， ∴∠PQK+HQE=90°， ∵∠PKQ=∠QHE=90°， ∴△PKQ∽△QHE， ∴， 即， 解得QH=3， ∴Q（6，3）； 情形二、点Q在射线AF上， 当PQ=OE=10时，如图4，有QE=PO， ∴四边形POEQ为矩形， ∴Q的横坐标为10， 当x=10时，y=x+2=12， ∴Q（10，12）． 当QE=OE=10时，如图5，过Q作QM⊥y轴于点M，过E点作x轴的垂线交QM于点N． 设Q的坐标为为（x，x+2）， ∴MQ=x，QN=10﹣x，EN=x+2， 在Rt△QEN中，有， 即，解得， 当时，如图5，， ∴Q（，）， 当时，如图6，， ∴Q（，）． 综上所述，Q点的坐标为（6，）或（6，3）或（10，12）或（，）或（，），使P，Q，E三点为顶点的三角形与△POE全等． 考点：1．二次函数综合题；2．探究型；3．存在型；4．分类讨论；5．综合题；6．压轴题． 8．已知二次函数的图象交轴于两点，交轴于点，点坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于，交抛物线于点． (1)求二次函数解析式． (2)若点在线段上运动（不与，重合），求四边形面积的最大值，并求此时点坐标． (3)设点是抛物线上一动点，是否存在点，使得？若存在，请直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为，此时点的坐标为 (3)存在点，使得；点的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法可进行求解； （2）由题意易得，，则有，然后得出直线的解析式为，设，且，则，然后根据铅垂法表示出四边形的面积，进而问题可求解； （3）由题意可分当点在轴的上方时，当点在轴的下方时，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：∵对称轴是直线， ∴，即， ∵点在二次函数图象上， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为； （2）解：由题意可得如图所示： 由（1）可知：二次函数的解析式为， ∴令，则有，解得：，即， 令，则有，即， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设，且， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，最大值为，此时点的坐标为 （3）解：由题意可分：当点在轴的上方时，设直线与轴的交点为，如图所示： 由（2）可知：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：，解得：或（不符合题意，舍去）， ∴； 当点在轴的下方时，设直线与轴的交点为，如图所示： 由题意知：， ∴， ∴， 同理可得：直线的解析式为， 联立得：，解得：或（不符合题意，舍去）， ∴； 综上所述：点的坐标为或． 9．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)抛物线上存在点，使，此时点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可； （2）作，与x轴交于点E，则，证明，可得，点，过点B作，交抛物线于点D， 此时满足，则此时点D即为所求，求出直线的解析式为，可得直线的解析式为，然后联立得：，可求出点D的坐标；作，交y轴于点F，则此时满足，证明，，求出直线的解析式为，联立得：，求出点D的坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于两点， ， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：抛物线上存在点，使， 根据题意得：，， 对于， 当时，， ∴点，即， 如图，作，与x轴交于点E，则， ∵， ∴， ∴， ∴点， 过点B作，交抛物线于点D， ∴， ∴， 此时满足，则此时点D即为所求； 设直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点的坐标为； 如图，作，交y轴于点F，则此时满足， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴同理直线的解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点的坐标为； 综上所述：抛物线上存在点，使，此时点的坐标为或． 10．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，抛物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得四边形的面积最大，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将抛物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）求出，从而可得直线的解析式为，连接、、，作轴交直线于点，设，则，表示出，再根据，并结合二次函数的性质计算即可得出结果； （3）由等腰直角三角形的性质可得，设点关于的对称点为点，则，，求出，得到点和点关于直线对称，即，求出，由题意可得，设，再由矩形的性质和勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象与轴交于、两点，抛物线的顶点的坐标为， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，，即， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图：连接、、，作轴交直线于点， 设，则， ∴， ∵，，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，为，此时， ∴点的坐标为； （3）解：如图： ∵，， ∴， ∴， 设点关于的对称点为点，则，， ∴， ∴点和点关于直线对称， ∴， ∴， ∴，即， ∵以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形， ∴， 设， ∵，，， ∴， 解得：或， 当时，，由矩形的性质可得此时， 当时，，由矩形的性质可得此时； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数综合—面积问题，二次函数综合—特殊四边形问题，求一次函数的解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 11．如图1，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接AC和BC，∠OAC＝60°． （1）求二次函数的表达式． （2）如图2，线段BC上有M、N两动点（N在M上方），且MN＝，P是直线BC下方抛物线上一动点，连接PC、PB，当△PBC面积最大时，连接PM、AN，当MN运动到某一位置时，PM+MN+NA的值最小，求出该最小值． （3）如图3，在（2）的条件下，连接AP，将AP绕着点A逆时针旋转60°至AQ．点E为二次函数对称轴上一动点，点F为平面内任意一点，是否存在这样的点E、F，使得四边形AEFQ为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或 【分析】（1）由已知可设抛物线的解析式为，由已知条件可求得点C的坐标，把点C的坐标代入解析式中即可求得a的值，从而可得二次函数的表达式； （2）过点P作PD⊥x轴于点D，连接PO，设点P的坐标为，则由题意可得OD、PD的长度，由可得关于m的二次函数，即可求得此时函数的最大值，从而可得点P的坐标；过点A作BC的平行线，且在位于x轴下方的直线上取AG=NM，过G作GH垂直x轴于点H，连接GP，则可求得点G的坐标，当点M在线段GP上时，PM+NA最小，从而PM+MN+NA最小，可求得其最小值． （3）当四边形AEFQ是菱形时，△AEQ是等腰三角形，由点E在抛物线的对称轴上，故设点E(1，n)，由旋转的性质则可得AE=AQ=AP，可得关于n的方程，解方程即可求得n，从而求得点E的坐标． 【详解】（1）∵抛物线交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点 ∴设抛物线的表达式为，且OA=1 ∵∠OAC=60゜，OA⊥OC ∴∠OCA=30゜ ∴AC=2OA=2 ∴ ∴ 把点C的坐标代入中，得 ∴ ∴ 展开得： 即二次函数的表达式为 （2）过点P作PD⊥x轴于点D，连接PO，如图2—1 设点P的坐标为 ∵点P位于第四象限内 ∴OD=m， ∵B(3，0) ∴OB=3 ∵ ∴当时，△PBC的面积有最大值 当当时， 此时点P的坐标为 ∵为定值 ∴PM+MN+NA的最小值就是求PM+NA的最小值 过点A作BC的平行线，且在位于x轴下方的直线上取AG=NM，过G作GH垂直x轴于点H，连接GP，如图2-2 ∵AG∥NM，AG=NM ∴四边形AGMN是平行四边形 ∴GM=AN ∴PM+NA=PM+GM≥GP ∴当点M在线段GP上时，PM+NA最小，且最小值为线段GP的长，从而PM+MN+NA最小 在Rt△COB中，由勾股定理得 ∴BC=2OC ∴∠CBO=30゜ ∵AG∥BC ∴∠HAG=∠CBO=30゜ ∵GH⊥x轴 ∴ 由勾股定理得 ∴ ∴G点坐标为 由勾股定理得 即PM+NA的最小值为 ∴PM+MN+NA的最小值为 （3）存在；理由如下： 由于四边形AEFQ是菱形，则△AEQ是等腰三角形，且AE=AQ ∵抛物线的对称轴为直线x=1，点E在抛物线的对称轴上 ∴设点E(1，n) 则 ∵AP绕点A旋转后得到AQ ∴AP=AQ ∴AE=AQ=AP ∵ ∴由AE=AP得： 解得： ∴点E的坐标为或 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了用待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质，图形的面积，菱形的性质，直角三角形的性质等，综合性强，考查的知识点多，运算量大，是中考常考的压轴题．就数学思想方法而言有：割补思想，转化思想（三线段和的最小值转化为两线段和的最小值），方程思想，数形结合等． 12．如图，抛物线y＝﹣x2x＋4交x轴于A，B两点（点B在A的右边），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q． (1)求A、B两点坐标； (2)过点P作PN上BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？ (3)试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)A（﹣3，0），B（4，0） (2)PN＝﹣（m﹣2）2+，当m＝2时，PN的最大值为 (3)存在，Q（1，3）或Q（，） 【分析】（1）令y=0，解一元二次方程求出x的值即可得答案． （2）由PN＝PQ•sin∠PQN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）即可求解． （3）分AC＝AQ、AC＝CQ、CQ＝AQ三种情况，当AC＝AQ时，构造直角AMQ利用勾股定理可求坐标；AC＝CQ时，先求BQ再求MB，即可得到坐标；CQ＝AQ时，求出CQ和AQ的表达式，解之即可． 【详解】（1）解：当y＝0，﹣x2+x+4＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝4， ∴A（﹣3，0），B（4，0）， （2）当x＝0，y=0+0+4, ∴C（0，4） 将B（4，0），C（0，4）代入y=kx+b 解得： 故BC： 设点P（m，﹣m2+m+4），则点Q（m，﹣m+4）， 由B（4，0），C（0，4）可知，OB＝OC， ∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN， PN＝PQ•sin∠PQN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）＝﹣（m﹣2）2+， ∵﹣＜0， ∴PN有最大值， 当m＝2时，PN的最大值为． （3）存在，理由： 点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4）， 则AC＝5，AB＝7，BC＝4，∠OBC＝∠OCB＝45°， ①当AC＝AQ时，如图， 则AC＝AQ＝5， 设：QM＝MB＝n，则AM＝7﹣n， 由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4（舍去4）， 故点Q（1，3）． ②当AC＝CQ时，如图， CQ＝5，则BQ＝BC﹣CQ＝4﹣5， 则QM＝MB＝， 故点Q（，）． ③当CQ＝AQ时， CQ＝BC﹣BQ＝4﹣（4﹣m）＝m， AQ＝＝m， 即2m2﹣2m+25＝2m2， 解得m＝． ∵0＜m＜4， ∴m＝（舍去）． 综上所述点Q的坐标为：Q（1，3）或Q（，） 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、锐角三角函数值、勾股定理、等腰三角形的性质，掌握相关知识，并灵活应用是解题的关键． 13．如图在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过，两点，且与轴的负半轴交于点，动点在直线下方的二次函数图象上．    (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，连接，，设的面积为，求的最大值及此时点D坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，平面内是否存在一点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由： (4)如图2，过点作于点，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)4，D (3)，，，，.（写出其中3个即可） (4)2或 【分析】（1）根据题意得到、两点的坐标，利用待定系数法可求解析式； （2）过点作轴，交与点，设  ，则F，然后列出与的关系式，最后利用配方法求得其最大值及坐标即可； （3）先求解抛物线的对称轴为直线：，设，再分三种情况讨论：为对角线时，为对角线时，为对角线时，再结合菱形的性质与平移的性质可得答案． （4）根据勾股定理的逆定理得到是以为直角的直角三角形，取的中点，，过作轴的垂线，垂足为，交的延线于，设，则，，最后，分为和两种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， 点，点， 二次函数的图象经过，两点， 解得： 抛物线的解析式； （2）解：如图所示：过点作轴，交与点．      设D，则F ∴FD= ∴ ∵ ∴时，S最大，最大值为4.    此时，点D坐标为． （3）存在，理由如下：， 抛物线的对称轴为直线：， 设， 以为对角线时， ， ， 解得：，即， 当为对角线时， ， ， 解得：，，点P坐标为或； 当为对角线时， ， ， 解得：，，点P坐标为或； 综上：的坐标为：或或或或． （4）如图所示：过点作垂足为，交与点，连接，   ，，， ，，， ， 为直角三角形． 取的中点，连接，则， ． ． 当时，则． 设，则，． ， 解得：（舍去）或． 点的横坐标为2． 当时，设，，． ， ，， ， ，． ． ， 解得：（舍去）或． 点的横坐标为． 综上所述，当点的横坐标为2或． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析式，解直角三角形，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 14．如图，二次函数的图象经过点，与y轴交于点C．    (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使面积为5，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，小明经过探究发现：位于x轴下方的抛物线上，存在一点D，使与互为余角；你认为他探究出的结论是否正确？若正确，求出点D的坐标；若不正确，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)正确， 【分析】（1）设抛物线的解析式为：，代入点，进一步得出结果； （2）过点P作，交x轴于点T，作于Q，可得，从而，变形得出，由得，，从而，从而求得，从而得出点T坐标，进而求得的解析式，进一步得出结果，同样求得另一种情形； （3）作于F，设与y轴交于点E，可推出，解斜三角形，求得和，根据，得出，从而求得，进而求出的解析式，将其和抛物线的解析式联立，从而求的点D坐标． 【详解】（1）解：由题意得：， 设抛物线的解析式为：， ∴， ∴， ∴； （2）如图1，    过点P作，交x轴于点T，作于Q， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线BC的解析式为：，把代入，得：， ∴ ∵， ∴， 由得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入，得：， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为：， ∴当时，， ∴， 同理可得：直线的解析式为：， ∴当时，， ∴， ∴或； （3）如图2，    存在，使，理由如下： 作于F，设与y轴交于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴直线的解析式为：， 由得，或， ∴． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 15．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在抛物线上存在一点Q，使，求出点Q的坐标． (3)如图2，抛物线的对称轴与抛物线相交于点D，交x轴于点E，交直线于点F，抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)Q点坐标为或 (3)存在，点P坐标为或 【分析】（1）运用待定系数法将，代入，解方程组即可； （2）由可得点到的距离与点到的距离相等，利用平行线间的距离处处相等可得，利用一次函数图象平行时相等可求出的解析式，结合抛物线解析式即可求解； （3）由题意可得，分射线在的右侧和射线在的左侧两种情况即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：由抛物线的解析式为，当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴点到的距离与点到的距离相等， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得，，即， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， ∴点的坐标为或． （3）解：存在． ∵抛物线交y轴于点，经过点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当射线在的右侧时， ∵， ∴轴， ∴点与点重合， ∵， ∴， ∴； ②当射线在的左侧时， ∵， ∴， 设，则， ∵抛物线的对称轴与抛物线相交于点D，交x轴于点E， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， ∴， 解得，（舍去）， 当时，， ∴， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】解题时重点运用平行线间距离处处相等，方程的思想，分类讨论的思想． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项训练06 二次函数中的存在性问题(8题型) 【知识点1 必备基础知识点】 1. 坐标系线段长度公式 · 已知两点，，则；水平/竖直线段可直接用坐标差的绝对值计算。 1. 中点坐标公式 · 线段的中点坐标为，是平行四边形存在性的核心依据。 1. 核心解题逻辑： 先假设满足条件的点存在，通过代数方程求解，最后验证解是否符合题意。 【知识点2 等腰三角形存在性问题】 1. 常见题型：两个定点+一个动点（动点在抛物线、对称轴或坐标轴上），判断是否存在点使三点构成等腰三角形。 2. 分类原则（两圆一线法），按顶角顶点分三类，保证不重不漏： a) 以定点为顶角顶点：以为圆心、定线段长为半径画弧，与动点轨迹的交点即为所求。 b) 以定点为顶角顶点：以为圆心、定线段长为半径画弧，与动点轨迹的交点即为所求。 c) 以动点为顶角顶点：作定线段的垂直平分线，与动点轨迹的交点即为所求。 3. 解题方法：设出动点坐标，根据“两边长度相等”用距离公式列方程，求解后验证三点不共线。 【知识点3 直角三角形存在性问题】 1. 常见题型：两个定点+一个动点，判断是否存在点使三点构成直角三角形。 2. 分类原则（两线一圆法），按直角顶点分三类： a) 直角顶点为定点：过点作定线段的垂线，与动点轨迹的交点即为所求。 b) 直角顶点为定点：过点作定线段的垂线，与动点轨迹的交点即为所求。 c) 直角顶点为动点：以定线段为直径画圆（直径所对的圆周角为直角），与动点轨迹的交点即为所求。 3. 解题方法：利用勾股定理（两直角边平方和等于斜边平方）列方程求解，水平、竖直线段可直接用坐标差判定垂直关系。 4. 注意：需排除三点共线的无效解。 【知识点4 平行四边形存在性问题】 1. 常见题型 a) 题型1：已知三个定点，在抛物线上找第四个点构成平行四边形。 b) 题型2：已知两个定点，另外两点分别在抛物线、坐标轴上，构成平行四边形。 2. 核心依据：平行四边形对角线互相平分，即两条对角线的中点坐标完全重合。 3. 分类方法：按对角线归属分三类，避免重复与漏解： a) 定线段为对角线 b) 定线段为对角线 c) 定线段为对角线 4. 解题步骤：设出动点坐标，根据中点坐标公式列等式求解，后代入抛物线解析式验证。 补充：特殊平行四边形存在性 菱形存在性：平行四边形+一组邻边相等，本质是平行四边形判定叠加等腰三角形条件。 矩形存在性：平行四边形+一个内角为直角，本质是平行四边形判定叠加直角三角形条件。 均以平行四边形为基础，无额外超纲方法。 【知识点5 通用解题步骤】 1. 假设存在：先假设满足条件的点存在，明确动点的运动轨迹。 2. 设点坐标：用含参数的代数式表示出动点坐标（通常设横坐标为，纵坐标用抛物线解析式表示）。 3. 分类讨论：根据图形性质按顶点、对角线位置完整分类，做到不重不漏。 4. 列方程求解：将几何性质（边相等、直角、中点重合等）转化为代数方程。 5. 验证取舍：检验解是否在自变量取值范围内、是否符合图形定义（如三点不共线、点在抛物线上等）。 6. 总结作答：整理所有符合条件的点坐标，规范作答。 【知识点6 高频易错提醒】 1. 分类讨论不全：等腰、直角三角形和平行四边形均需完整分类，遗漏某一类会直接丢解。 2. 不验证无效解：方程解出的点可能出现三点共线、不在抛物线上、超出取值范围的情况，必须逐一验证取舍。 3. 公式使用错误：中点坐标公式漏除以2，两点距离公式漏平方或开方。 4. 坐标符号失误：动点在不同象限时，坐标正负处理不当，导致长度、中点计算出错。 5. 平行四边形分类混淆：将“边”和“对角线”的分类标准混同，容易出现重复解或漏解。 【题型1 角度的存在性问题】 1．如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P为直线上方抛物线上一点，连接并交于点Q，若分的面积为3：5两部分，请求出点P的坐标； (3)在y轴上是否存在一点N，使得，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴交于点，点D为抛物线的顶点． (1)求出抛物线的函数表达式； (2)如图1，抛物线在第二象限的部分上是否存在一点M，使得四边形面积最大，若存在求点M坐标；若不存在，请说明理由； (3)在抛物线上是否存在点Q，使，若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，说明理由． 3．如图，抛物线经过，两点，与轴交于点． （1）求拋物线的解析式； （2）已知点，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得周长最小，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． （3）在轴上，是否存在点使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【题型2 全等三角形的存在性问题】 4．如图，抛物线经过两点，与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)若为该抛物线上一动点（与点不重合）． ①当点在直线的下方运动时，求面积的最大值； ②在①的条件下，连接，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为是抛物线对称轴上的点，要使，求满足条件的点的坐标． 5．已知经过原点O的抛物线与x轴的另一个交点为A． (1)求点A的坐标及抛物线的对称轴； (2)点是的中点，点是轴正半轴上一点，在第一象限内的抛物线上是否存在点，使得与全等，且点与点为对应点，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图①，二次函数的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，连接，过点C作交于点D． (1)求点D的坐标； (2)如图②，在直线上取一点M（不与点B重合），在直线的右上方是否存在这样的点N，使得以C、M、N为顶点的三角形与全等？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型3 等腰三角形的存在性问题】 7．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝x2＋bx＋c经过A、C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）． (1)求抛物线的解析式及点B坐标； (2)设该抛物线的顶点为点H，则S△BCH＝　　； (3)若点M是线段BC上一动点，过点M的直线ED平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求ME长的最大值及点M的坐标； (4)在（3）的条件下：当ME取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M、点B、点P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接、，点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作轴，垂足为点M，交于点Q． (1)求抛物线的解析式； (2)运动过程中是否存在点P，使线段的值最大？若存在，请求出这个最大值并求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)试探究在点P的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明． 9．如图，抛物线交x轴于、两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)连接，点D是线段上一动点（不与A、C两点重合），过点D作轴交抛物线于点E． ①当线段DE的长度最大时，求此时D点的坐标； ②在①的条件下，点F是抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点F，使得以点D、E、F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型4 直角三角形的存在性问题】 10．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接、，求四边形的面积的最大值，并写出此时点P的坐标． (3)在（2）的条件下，点N是x轴上一动点，求当N点坐标为 时，的值最小，最小值为 ． (4)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．抛物线 与轴交于点和，与轴交于点，连接．点是线段下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于，交轴于，设点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)用关于的代数式表示线段，求的最大值及此时点的坐标； (3)过点作于点，， ①求点的坐标； ②连接，在轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．已知对称轴为的二次函数的图像与轴交于，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)点是对称轴上的一个动点，连接，，是否存在点使最大，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 【题型5 平行四边形的存在性问题】 13．如图，二次函数的图像与x轴交于和两点，交y轴于点，点C、D是二次函数图像上的一对对称点，一次函数的图像过点B、D． (1)请直接写出D点的坐标； (2)求二次函数的解析式； (3)在x轴上是否存在一点P，使得以P，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点P的坐标． 14．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找出一点Q，使的值最小，并求出点Q的坐标． (3)点P是抛物线上位于直线上方的点，连接，P点的横坐标为m，，请写出S与m的函数关系，并求S的最大值． (4)在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于三点，且，点P是抛物线上的一个动点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点P在直线下方，P运动到什么位置时，四边形面积最大？求出此时点P的坐标和四边形的最大面积； (3)直线上是否存在一点Q，使得以点组成的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型6 菱形的存在性问题】 16．如图已知二次函数（b，c为常数）的图像经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交二次函数的图象于点B，连接． (1)求该二次函数的表达式及点M的坐标； (2)若将该二次函数图象向上平移个单位，使平移后每到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界），求m的取值范围； (3)若E为y轴上且位于点C下方的一点，P为直线上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q，使以C、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由． 17．如图，已知抛物线经过点和点，与y轴交于点C， (1)求此抛物线的解析式； (2)若点P是直线下方的抛物线上一动点（不点B、C重合），过点P作y轴的平行线交直线于点D，设点P的横坐标为m； ①用含m的代数式表示线段的长． ②连接、，求的面积最大时点P的坐标； (3)设抛物线的对称轴与交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 18．如图，已知二次函数的图象经过点，与轴交于点，点是直线上方的抛物线上一动点，过点作轴，交直线于点，过点作的垂线，垂足为． (1)求该二次函数的解析式． (2)求线段的最大值． (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，是平面内的一点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型7 矩形的存在性问题】 19．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点B的坐标为，点C的坐标为，直线1经过B，C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点C作轴交抛物线于点D，过线段CD上方的抛物线上一动点E作交线段BC于点F，求四边形ECFD的面积的最大值及此时点E的坐标； （3）点P是在直线l上方的抛物线上一动点，点M是坐标平面内一动点，是否存在动点P，M，使得以C，B，P，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直线写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．    20．如图，已知抛物线经过点，其对称轴为直线，为y轴上一点，直线与抛物线交于另一点D．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)试在线段下方的抛物线上求一点E，使得的面积最大，并求出最大面积； (3)点F为抛物线对称轴上的一个动点，在平面内是否存在点G，使得以点A、D、F、G为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）经过点和点，点P在此抛物线上，其横坐标为m．    (1)求该抛物线的解析式； (2)当点P在x轴下方时，直接写出m的取值范围； (3)当点P在y轴右侧时，将抛物线B、P两点之间的部分（包括B、P两点）记为图象G，设图象G上最高点与最低点的纵坐标的差为h． ①求h与m之间的函数关系式； ②点Q在此抛物线的对称轴上，点D在坐标平面内，当时，以B、P、Q、D为顶点的四边形为矩形，且为矩形的一边，直接写出点Q的坐标． 【题型8 正方形的存在性问题】 22．如图，已知拋物线与轴交于点与轴交于点．    (1)求的值及该抛物线的对称轴； (2)若点在直线上，点是平面内一点．是否存在点，使得以点为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23．如图，抛物线与x轴交于、两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点N在坐标平面内，请问在抛物线上是否存在点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点H，使得四边形是正方形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 24．如图，已知直线与抛物线交于点和两点，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线于Q，于点N．    (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在直线下方时，求线段的最大值； (3)是否存在点P使得是直角三角形，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由； (4)坐标轴上是否存在点M，使得以点P，N，Q，M为顶点的四边形是正方形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由 1．如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点B的坐标为，点C的坐标为，点D是抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)点M是抛物线上一动点，过点M作轴交抛物线于点N，点P在x轴上，在坐标平面内是否存在点Q，使得四边形为正方形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 2．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过点A(1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点P是直线BC下方的抛物线上一动点(不点B，C重合)，过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，求PD的长度最大时点P的坐标． (3)设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 3．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴于，两点，与y轴交于C点，点P是直线BC下方抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当动点Р运动到什么位置时，使四边形ACPB的面积最大，求出此时四边形ACPB的面积最大值和P的坐标； (3)如图2，点M在抛物线对称轴上，点N是平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以点M、N、A、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有M点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线经过点，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在．求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中已知抛物线与直线都经过两点，该抛物线的顶点为． (1)求此抛物线的解析式． (2)设点是直线下方抛物线上的一动点，连接，，请求出的最大面积是多少． (3)设直线与该抛物线的对称轴交于点，点为射线上一点，过作轴的垂线交抛物线于点，是否存在点，使点，，，是平行四边形的四个顶点？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，已知抛物线（）与 轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)设抛物线的对称轴与轴交于点，问在对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由 7．平面直角坐标系中，抛物线：过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知点是抛物线在第四象限上的动点，定点的坐标为，则在轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C，直线经过A、C两点，连接，，点D为x轴上一点，过点D作轴，交直线于点E，交抛物线于点P，连接 (1)确定直线和抛物线的表达式； (2)当（点D不与点B重合）时，试判断的形状，并说明理由； (3)当时，求点P的坐标． 9．综合与探究 如图，抛物线经过点和点，点是线段上一动点（不与重合），直线是抛物线的对称轴，设点的横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式及直线的函数表达式． (2)当点在直线右侧的线段部分上运动时，过点作轴的垂线交抛物线于点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，求四边形周长的最大值． (3)若点是抛物线上一点，平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是正方形时，若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标．若不存在，请说明理由． 10．【实践探究】 数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程： (1)实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面时，水面宽，并画出了拱桥截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式； (2)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条的直线，交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，提出了以下两个问题，请予解答： ①如图2，B为直线上方抛物线上一动点，过B作垂直于x轴，交x轴于A，交直线于C，过点B作垂直于直线，交直线于D，求的最大值． ②如图3，G为直线上一动点，过G点作x轴的垂线交抛物线于点H，点P在坐标平面内．问：是否存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，直线与抛物线交于A,D两点，与直线于点E．若是线段上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线于点G，交直线于点H． ①当点F在直线上方的抛物线上，且时，求m的值； ②在平面内是否在点P，使四边形为正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）与轴交于、两点，与轴交于点，点是抛物线上一个动点． (1)求该抛物线的解析式： (2)若，请求出点的坐标； (3)连接，直线上有一动点，点为坐标平面上一个动点，若以、、、四点为顶点的四边形为正方形时，请直接写出点的坐标． 13．如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)已知点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A，，与y轴交于点C，连接． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作轴，垂足为点M，交直线于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由； (3)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 15．已知：如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，，顶点为．    (1)求此抛物线的解析式： (2)在直线下方的抛物线上，是否存在一点，使四边形的面积最大？最大面积是多少？ (3)点在轴上的一个动点，点是坐标平面上的一个动点，是否存在这样的点和点，使点构成矩形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 16．综合与探究：图1．在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点B，C二次函数的图象经过点B，C，且与x轴的另一个交点为A（A点在原点左侧），若，P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作轴于点D，交于点F，作于点F．    (1)求点A的坐标及二次函数的表达式． (2)当的周长最大时，求点P的坐标． (3)如图2，过点P作的平行线．交线段于点M，在直线上是否存在点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 17．在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，交轴于点，二次函数的图像经过点，且对称轴为直线． (1)请求出，，的值； (2)点为抛物线的顶点，在轴上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标，不必说明理由；若不存在，请说明理由； (3)将直线向下平移个单位，使得直线与抛物线有且只有一个交点，求的值； (4)点在轴上，且位于点下方，点在二次函数的图像上，点在一次函数的图像上，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，求点的坐标． 18．综合与探究 已知二次函数的图象经过的三个顶点，若这三个顶点的坐标分别为，，． (1)求此二次函数的解析式； (2)若P是第四象限内抛物线上的一个动点，连接和，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)若N是x轴上的一个动点，在抛物线上是否存在点M，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 19．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与直线相交于B、C两点，与x轴交于点．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数的表达式． (2)过点P作轴交直线于点D，求的最大值． (3)点M为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点N，使为等腰直角三角形，且为直角，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线所对应的函数关系式； (2)E是线段上的一个动点（与点B、C不重合），过点E作轴于点D，交抛物线于点F． ①求的边上的高的最大值； ②在这条抛物线上是否存在点F，使得以F、E、C为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，说明理由； 1．如图，已知抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称． (1)求该抛物线的表达式，并求出点D的坐标； (2)若点E为该抛物线上的点，点F为直线上的点，若轴，且（点E在点F左侧），求点E的坐标； (3)若点P是该抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使得为直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接写出点P坐标． 2．如图，直线与抛物线相交于和，点是线段上异于的动点，过点作于点，交抛物线于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在这样的点，使线段的长有最大值？求这个最大值； (3)是否存在这样的点，使为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若直线与抛物线交于点，与直线交于点． ①当取得最大值时，求的值和的最大值； ②当是等腰三角形时，求点的坐标． 4．如图，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点C，AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作轴，交抛物线于点P，交BC于点Q． （1）求抛物线的表达式； （2）过点P作，垂足为点N．设M点的坐标为，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？ （3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线交x轴于A（﹣2，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q． （1）求抛物线的表达式； （2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？ （3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(﹣，0)，B(3，0)，C(0，3)三点，线段BC与抛物线的对称轴l交于点D，该抛物线的顶点为P，连接PA，AD，线段AD与y轴相交于点E． （1）求该抛物线的表达式和点P的坐标； （2）在y轴上是否存在一点Q，使以Q，C，D为顶点的三角形与△ADP全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，抛物线（）与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点C在x轴正半轴上），△ABC为等腰直角三角形，且面积为4，现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线过点C时，与x轴的另一点为E，其顶点为F，对称轴与x轴的交点为H． （1）求a、c的值． （2）连接OF，试判断△OEF是否为等腰三角形，并说明理由． （3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使以点P、Q、E为顶点的三角形与△POE全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 8．已知二次函数的图象交轴于两点，交轴于点，点坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于，交抛物线于点． (1)求二次函数解析式． (2)若点在线段上运动（不与，重合），求四边形面积的最大值，并求此时点坐标． (3)设点是抛物线上一动点，是否存在点，使得？若存在，请直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，抛物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得四边形的面积最大，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将抛物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 11．如图1，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接AC和BC，∠OAC＝60°． （1）求二次函数的表达式． （2）如图2，线段BC上有M、N两动点（N在M上方），且MN＝，P是直线BC下方抛物线上一动点，连接PC、PB，当△PBC面积最大时，连接PM、AN，当MN运动到某一位置时，PM+MN+NA的值最小，求出该最小值． （3）如图3，在（2）的条件下，连接AP，将AP绕着点A逆时针旋转60°至AQ．点E为二次函数对称轴上一动点，点F为平面内任意一点，是否存在这样的点E、F，使得四边形AEFQ为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 12．如图，抛物线y＝﹣x2x＋4交x轴于A，B两点（点B在A的右边），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q． (1)求A、B两点坐标； (2)过点P作PN上BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？ (3)试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 13．如图在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过，两点，且与轴的负半轴交于点，动点在直线下方的二次函数图象上．    (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，连接，，设的面积为，求的最大值及此时点D坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，平面内是否存在一点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由： (4)如图2，过点作于点，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，二次函数的图象经过点，与y轴交于点C．    (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使面积为5，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，小明经过探究发现：位于x轴下方的抛物线上，存在一点D，使与互为余角；你认为他探究出的结论是否正确？若正确，求出点D的坐标；若不正确，请说明理由． 15．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在抛物线上存在一点Q，使，求出点Q的坐标． (3)如图2，抛物线的对称轴与抛物线相交于点D，交x轴于点E，交直线于点F，抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $