重难点培优05 圆锥曲线中的最值、范围问题（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦圆锥曲线中的最值与范围问题，涵盖距离、面积等10类核心题型，按知识精讲、题型深研、分层训练的逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练帮助学生构建解题体系，突破难点。 资料以几何法与代数法为核心方法，如距离最值问题结合曲线定义与函数求导，培养数学思维与数形结合能力。分层进阶训练匹配不同学情，助力学生高效掌握解题策略，为教师提供系统复习路径，提升应考能力。

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 重难点培优05圆雄础中的最值、范围问题 知识精讲·重难聚焦讲技巧.… 题型深研·通法变式提能力 题型01距离、长度的最值范围问题， 2 题型02面积的最值、范围问题… .7 题型03离心率的最值、范围问题 …18 题型04斜率有关的最值、范围问题， .21 题型05角度有关的最值、范围问题， 29 题型06周长有关的最值、范围问题 .35 题型07向量的最值、范围问题 41 题型08坐标的最值、范围问题… .…46 题型09代数式的最值、范围问题 .54 题型10参数的最值、范围问题， .62 分层进阶·双阶训练验成效 .68 巩固过关 .68 创新得升… 80 知识精讲·重难聚焦讲技巧 ◆知识点1圆锥曲线中的最值问题 1、常见题型分类 (1)距离与长度最值：包括曲线上动点到定点/定直线的距离、焦点弦长、三角形周长等。 (2)面积最值：如动直线与曲线相交构成的三角形或多边形面积的最值。 (3)向量与代数式最值：涉及向量数量积（如PA·PB)、斜率之和/积、截距等代数表达式的 极值。 2、核心求解方法 (1)几何法（数形结合)：若题目条件具有明显的几何特征，优先利用曲线定义、平面几何定理 1/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (如三角形三边关系、点到直线距离)或切线性质求解。此法往往能避开繁琐的代数运算，实现“秒杀”。 (2)代数法（函数与方程思想）：当几何特征不明显时，需引入参数（如斜率k、截距m 或参数角 日)，将目标几何量转化为关于该参数的函数。 构建目标函数：通过联立直线与曲线方程，利用韦达定理进行整体代换，建立目标函数。 求解最值：根据自变量的有效定义域（特别注意△>0的限制），利用二次函数配方法、三角换 元法、导数法或基本不等式求出函数的最值。 总结：解决此类问题的核心在于“几何问题代数化，代数问题函数化”。解题时需先画图预判，优先 尝试几何法；若行不通，则严谨地进行代数设参、联立、求导或放缩，并注意定义域的边界条件 。知识点2圆锥曲线中的范围问题 1、常见题型分类 (1)几何量的范围：求弦长、三角形面积、点到直线距离等几何量的取值区间。 (2)坐标与截距的范围：求交点坐标、直线在坐标轴上的截距、线段中点坐标的取值范围。 (3)斜率与倾斜角的范围：求动直线斜率、倾斜角或两直线斜率之积/和的取值范围。 (4)曲线参数的范围：求离心率、半焦距等圆锥曲线自身参数的取值范围。 2、核心求解方法 (1)几何法（构造不等式）：充分利用圆锥曲线的几何性质（如椭圆上点的坐标范围x≤a)、隐 含条件（如点在曲线内部）或平面几何定理（如三角形两边之和大于第三边），直接构造不等式求解。 (2)代数法（函数与判别式）： 判别式法：联立直线与曲线方程，利用相交条件△>0构造关于参数的不等式，这是确定参数范围 最基础且关键的一步。 函数法：引入参数（如斜率k)，将目标几何量转化为关于该参数的函数。结合参数自身的定义 域，利用函数的单调性、配方法或基本不等式求出函数的值域，进而确定范围。 参数传递法：利用已知参数的范围，通过建立等量关系，求出新参数的范围。 总结：解决范围问题的核心在于“翻译与转化”。解题时需敏锐捕捉几何特征与代数限制（特别是 △>0和变量自身范围)，将几何问题转化为函数值域或不等式求解问题，做到严密推导，不漏边界。 小题型深研通法变式提能力 ◆题型1距离、长度的最值范围问题 【典例11】(2026湖北襄阳模拟预测)己知动直线，与圆0：x2+y'=1相切，与椭圆)+少=1相交于 2/109 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 不同的两点A,B,则原点到AB的中垂线的最大距离为 4 【答案】 【分析】先求出直线斜率不存在时，原点到AB的中垂线的距离，斜率为O时与椭圆只有一个交点，直 线1斜率存在时，设其方程为y=c+m(k≠0)，利用与圆x2+y2=1相切，求出k,m关系，直线1方程与椭 圆方程联立，求出AB中点坐标，得到AB的中垂线方程，进而求出原点到AB中垂线的距离表达式，结合 m,k关系，即可求出结论 【详解】当直线的斜率不存在时，直线为x=±1， 线段AB的中垂线为x轴，原点到x轴的距离为0 当直线1的斜率存在时，设斜率为k,依题意可设：y=ax+m(k≠0)， m=1 因为直线，与圆：+y=1相切，所以+ y=kx+m 设A(6,y),B(,乃2)联立2+9y2=9 得1+9k2)x2+18kmr+9m2-9=0. 由△>0，得m2<9k2+1,又因为m2=1+k2,所以k≠0， 18km 所以x+x2= 1+9k2, 所以 B的中点坐标为 9km m 1+9k2’1+9k2: m 9km 所以4B的中垂线方程为y1+9吸 1+9k2, 化简，得x+ 8km 1+90, 8km 1+9k2 8k 原点到 的中垂线的距离d= V1+k2 1+9k2 1 AB 当且仅当丙9，即个-3时，等号成立， 所以原点到4B的中垂线的最大距离为3 3/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【奥侧1-2】(2026贵州黔西南二模)已知双曲线C:二兰 :京P=1(a>0,b>0)的离心率为2，且过点P(2,3) (1)求C的方程： (2)设C的左、右顶点分别为4，A,点Q(x%)是C右支上异于4，的任意一点，直线Q4,QA,分别与直 线 2交于点s’T (①证明：57=3(2，-) (i)求ST的取值范围。 【带案10-号 (2ST≥3 【分析】(1)根据离心率以及将点代入方程，即可联立求解， (2)求解直线4,4的方程，进而可得S,T的坐标，即可求解()，构造函数∫(x),利用导数求 解函数的单调性，即可求解(i)· c2=a2+b2 【详解】(1)由题意可得 =2, a 解得 49 (a261 a=1,b=V3,c=2 故方程为C:x2-y -1 3 (2)(i)4(-1,0),4(1,0)」 故直线40：y并+小直线40：=产-)， x+1 1 令r 3 yo 2火 1y 260+14= 2x0-1Ψ Q,以)在线上：故亏-=1，则=6-1，故 网州 2xoYo-Yo 3(2x-1) 4/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 msr0592--k>w. 3(x6-1 x6-1 eeU6422y2e=22-2c (x2-1 (x2-1 当1<x(2,f(x)0,x)2,f'(x)》0,故f(x)在(1,2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增， 故f(x)m=f(2)=3,当x→1'，f(x)→+o,故f(x)e[3,+o), 因此S229,商53 x6-1 【变式1-1】(2026湖南株洲三模)已知抛物线C:y=8x,P为C上的动点，Q为圆 M:(x+2)}+(y-3)}=4上的动点，设点P到y轴的距离为d,则d+P四的最小值为() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【分析】通过抛物线定义将点到y轴的距离转化为点到焦点的距离，结合圆的性质对P四进行放缩，再利 用两点间线段最短求PF+PM的最小值，最终得到d+PO的最小值 【详解】抛物线C:y2=8x中，2p=8,得p=4,焦点F(2,0),准线方程为x=-2 设点P的横坐标为p,则点P到y轴的距离d=xr 由抛物线定义，PF=x,+2,故d=PF-2 圆M:(c+22+0-3}2=4的圆心为M(-2,3),半径r=2, 对圆上动点Q,有PO2PM-2(当且仅当Q在线段PM上时取等号)， 因此d+Pg≥PF-2+|PM-2=PF+PM-4 由两点间线段最短，PF+PM≥FM, 当且仅当P为线段FM与抛物线C的交点时取等号 5/109 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 FM=V(-2-2)2+(3-0)2=5,故d+Pg≥5-4=1， 且等号可同时成立，即d+PO的最小值为1 M =-2 .x2y2 【变式1-2)】已知椭圆C:。+=1a>b>0的一个焦点为(5,0，四个顶点构成的四边形面积等于12设 圆x-1)2+y2=25的圆心为M,P为此圆上一点， (1)求椭圆C的离心率： (2)记线段MP与椭圆C的交点为Q,求PO的取值范围. 【答案】05 (2)1,5- 4v5 5 【分析】(1)根据四边形面积得到ab=6,结合焦点坐标，求出a=3,b=2,得到离心率； 5.9216 (2) Pg=lMr-wg=5-Mg设g(,y)》得到M0--号)+号，结合e-3.求出 MO的取值范围，得到P巴的取值范围 【详解1（由题意得e=5.-6+c,且22a26=26=12,即b=6 解得a=3,b=2. 所以椭圆c的离心率e=C=5 a 3 (2)由题意，得Pg=MP-Mg=5-Mg +立=1 设Q(出，y)则9+4 6/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以@=-+=-广+4号-55+. 因为x∈[-3,3]， 9 以当时，wQ5：当k3时，M0 所以Pg的取值范围为 ,5、45 5 变式1-3】(2026上海模拟预测)已知双曲线C:4存=16>0，焦距为2 (1)求双曲线C的标准方程与渐近线方程： (2)过点P(3,O)作斜率为k的直线l,与双曲线C交于M,N两点，若PM+PN=0,求k的值； (3)点Q为双曲线右支上动点，求5+2QF的最小值(FF为双曲线左右焦点)： x2 y2 【答案】0)1，y=号 (2)不存在 (3)313-2 【分析】(1)利用题目已知的α值和焦距直接求出b，从而写出双曲线标准方程和对应的渐近线方程： (2)将向量等式转化为点P为线段MN的中点，再联立直线与双曲线方程，利用韦达定理列式求解斜率k； (3)借助双曲线的定义将多变量的距离和转化为关于焦半径的表达式，再利用右支焦半径的性质即可求 解 【详解】(1)由题意：a2=4→a=2,2c=213→c=V13, 由c2=a2+b2,得b2=c2-a2=13-4=9,即b=3, x2 y 双曲线标准方程：4)山，渐近线为=± 7/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=k(x-3) (2)设直线 。设 联立x2y2 1:y=k(x-3)M(x),N(x2,y2) （491 消去y,整理得： (9-4k2)x2+24k2x-36k2-36=0 由PM+PN=O,根据向量性质可知，点P为MN的中点， 故根据中点坐标公式，得：，+=2×3=6， 24k2 由韦达定理得X+为=)4收=6， 解方程：-24k2=69-42)→-24k2=54-24k2→0=54，方程无解 故满足条件的斜率k不存在， (3)由双曲线定义QHF引=2a=4,即lFF+4, 将其代入F+2F,得lF+2QFQF+4+2QF=3QE+4, 点Q为双曲线右支上动点，根据双曲线焦半径性质， 右支上点到右焦点的距离最小值为c-a, 即OF=c-a=V13-2,代入上式，得最小值： 5+25)=313-2+4=33-6+4=33-2. ◆题型2面积的最值、范围问题 【典例2-1】(2026河南模拟预测)已知FR分别为椭圆C:京+F=1(a>b>0)的左、右焦点，椭园 2 c的离心率为3，点p在椭圆c上，且△FPF,的周长为1O:则△FPF,的面积的最大值为(） A.5 B.2√5 C.4 D.35 【答案】B 【详解】由椭圆定义可知PF+PE=2a,焦距FE=2c, c 2 则2a+2c=10,离心率e=a a 3' 2a+2c=10 联立c_2 一三 ，解得a=3 .a3 c=2 8/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .b=Va2-c2=32-2=√5 Ss=FE小=72ea=2l, 椭圆上，y≤b,当=b=V5时，△EPF的面积最大， 最大值为Smax=2y=2√5 【典例2-2】(25-26高三下河南阶段检测)已知双曲线C:。62=1(a>0,b>0)的右焦点为5，左顶点 为A,4F=3,圆0：x2+y2=1,F到圆0上点的距离的最大值为3. (1)求C的方程： (2)已知过点F的直线与C的右支交于S,T两点，直线AS,AT分别交圆O的另一点于M,N. (i)证明：AS⊥AT: (i记四边形MNTs的面积为S:△MMN的面积为S,求了，的最小值 【第初号-1， (2)(i)证明见解析；(ii)8 【分析】(1)左顶点到右焦点的距离及右焦点到单位圆上点的最大距离，分别得到关于，C的方程，求解 即可： (2)()设过右焦点的直线参数方程，与双曲线联立，利用韦达定理计算直线AS和AT的斜率乘积即可 证明： (i)设直线AS和AT的方程，分别联立双曲线和单位圆，求得点S,T,M,N的坐标，将面积比表示 为关于斜率的函数，通过换元化简，利用基本不等式及函数单调性求得最小值， 【详解】(1)依题意，A-a,0),设F(c,0),则a+c=3, F到圆O上点的距离的最大值为3，所以c+1=3,所以c=2,故a=1,b=V3, 所以c的方程为-号=1： (2)(1)设直线ST:x=mw+2,S(,y),T(:,), [x=my+2, 白2-苦可得 (3m2-1y2+12my+9=0△=144m2-36(3m2-1）=36m2+36>0 9/109 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -12m 9 所以y+h=3m-,43m2-1 kskn=片Xh yiy2 yiy2 x+1x2+1(m%+3)(my2+3)m2yy2+3m(y+2)+9 9 3m2-1 m29 =-1 3m21+3m 12m +9 3m2-1 所以AS⊥AT: (ii)不妨设直线AM:x=my-1,AW:x=m,y-1,m,m,=-1, 由+产1：可得(+1yr-2my=0:解得w=2 (x=my-1 m2+1, 2m2_ 同理可得，yw= m2+1, x=my-1, -号-1树-r-6n=0解0%气 61m2 同理可得，片=3m-1' -36 血题意，得5<0%710-3+网0，故10-3+m)》>0 S=S-S2=S-1 设。4ST的面积为s,则3，S,S, 及-1=4S4-1=9x匹+m+-1=9x2+m+m 易知3，-1=aMa1y(3m-13m- 10-3(m+m) 16 -1= (2+t） 时取等号，则 -1=9 1,3 令 ,当且仅当 10-3t 3'10-3t t=m2+m≥2Vm2m=2 m1=m2 16 令f()=9 +3 3'10-3t 1,函数在 单调递增， f0[2,+0) 16 3 故当时，取得最小值： -1=8 3'10-3×2 t=2 - 10/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9 所以3，的最小值为8 【变式2-1】（多选）(2026湖南长沙三模)己知动点M到点F(2,0)距离为d,点M到直线x=-3的 距离为4，且d,-4=1动点M的轨迹为曲线G,A,B为曲线G上两个动点，则下列说法正确的是() A.动点M的轨迹方程为y2=8x B.4AF+BF最小值为18 C.若△ABF为等边三角形，则△ABF周长为48+24V3 D.若OA⊥OB,则△AOB的面积最小值为64 【答案】AD 【分析】对于A,设动点M(仁，)，根据d,、4的定义及d-d=1转化为点M到点F(2,0)距离等于点M 到直线x=-2的距离，结合抛物线定义推导曲线G的轨迹方程；对于B,44F+BF的最值问题，利用抛 物线焦半径公式将其转化为横坐标相关的表达式，结合不等式求解：对于C,利用等边三角形三边相等的 性质，结合抛物线对称性设点坐标，列方程求解边长后计算周长；对于D,设直线AB的方程与抛物线联 立，利用向量垂直的坐标条件得到参数关系，再将三角形面积表示为参数的函数，求最小值 【详解】对于A,设M(x,y) ~点M到点F(2,0)距离为d,到直线x=-3的距离为d,且d,-d=1, .点M到点F(2,0)距离等于点M到直线x=-2的距离，即V(x-2)+y2=x+2,化简得y2=8x,动点 M的轨迹方程为y=8x,故A正确： 对于B,设A(4y),B(x,yB),则4AF+BF=4(x4+2)+(xB+2)=4x4+xa+10 11/109 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由轨迹方程y2=8x,得x≥0， .4AF+BF≥10，即x4=xB=0时，4AF+BF取得最小值10，故B错误： 对于C,△ABF为等边三角形，结合抛物线对称性，可得A,B两点关于x轴对称，则设A(x4,y), 小营， 如图所示，设AB交x轴于N, y 则FN=2-x,FN⊥AB,∠FAN=60°： :△ABF为等边三角形，AB=AF=BF=x+2: ∴.sin∠FAN= FN2-x4-3 AF,即 ,+22,解得，=14+85或，=14-85 当x,=14+85时，4B到=AF=BF=16+8V5,则△4BF周长为48+245： 当x4=14-85时，AB=AF=BF=16-8V5,则△4BF周长为48-243. ·若△ABF为等边三角形，则△ABF周长为48+24W5或48-24W3,故C错误： 对于D设4（小8(e小则Oi=-小O丽=kw小=冬，- 8 设直线AB的方程为x=my+1,直线AB与x轴交于点H,则H(,0), 12/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=my+t 联立方程得 y=8x,整理得y2-8my-8M=0 由韦达定理得y4+yB=8m,yyB=-8t OA1O5,xg+yy三0，即冬·发+yy=0,解得yp=64或2=0C -8t=-64,解得t=8,即H(8,0),∴OH=8. 由yya=-64,得y4,yB异号： 令，>0则=40.，小. ,64 ≥16，当且仅当，=8时等号成立： S=2l0l,-=4,-a≥64，放D正确 + 【变式22】(2026高三下北京竞赛)设直线y=x与椭圆2十斤=1交于4，B两点，过椭圆的右焦点万 作直线I交椭圆于M,N两点.则当四边形MAWB的面积最大时，直线I的斜率为一 【答案】3 【分析】利用向量叉乘的几何意义将四边形的面积转化为对角线投影长度的计算，再使用椭圆焦点弦长 公式消元，最后构造出关于直线斜率k的函数，并通过求导确定面积的最大值点. 【详解】设Ax,xB(x,-x),M(,),N(,), 则5gBx=业(-)-2x-=0-）-名-. 由于点A,B固定，因此x为定值，故只需求2-)-(-x最大时，直线的斜率， 设1的斜率为k,倾斜角为0，则：k=tan0.注意到：以-乃-(：-是弦MN在方向(-1，)上的投影长 度，故-为-(G-月=Nm0-cos=MN,长- V1+k2· 由焦点弦长公式MN a2-ccos0·其中cos'0=、1 2ab2 +R,故MW= 22211+k2) 11+21k2 因此-为-(G-5=22Ik-V+ 11+21k2 01+2,则/W-2-X3+72-2k+1D 设f)=-0+) 11+21k2)3 13/109 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由于(7k2-2k+1D>0:1+21k2>0,所以令f)=0,解得k=-3或k=1 当k∈(-o0,-宁U,0)时，∫>0：f)单调递增。 当k∈(3D时，)<0，f)单调递减， 所以fk)=f(-宁，即直线，的斜率k=一3时四边形MNB的面积最大 【变式23】(25：26高二下湖北荆州阶段检测)已知椭圆方程E:+号 4+方=1的左焦点为卫，直线y= (k>0)与椭圆E相交于A,B,点A在第一象限，直线BF与椭圆E的另一点交点为C,且点C关于原点 O的对称点为D (①)设直线BC,AC的斜率分别为k,k,求人·k的值 (2)求△BCD面积的最大值， 【答案】①)4 (2)3 【分析】(1)设出B(x,乃)，C(x,),则4(-，乃)，表达出k,k,由点差法得到kk的值： (2)三角形BCD面积等于三角形OBC的面积2倍，设直线BC方程为x=my-1,联立椭圆方程，得到两 6 根之和，两根之积，求出 3Vm2+1+ 1 换元后，结合对勾函数性质求出最值，得到答案 √m2+1 【详解】(1)由题意知， 此时直线BC的斜率不存在，不符合要求，舍去， 设B(6,),C(x,),x≠-1，此时x≠，出≠-x2, 则4(，）店-点十.专=当 七2+x1 x2-x1 +=1②， 片-=-3 式子0-②，得好-了4” 所以k所=占+出为当=分-星。3 x2+xx2-x号-x24 (2)由题意可知，三角形BCD面积等于三角形OBC的面积2倍， 14/109 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 椭圆左焦点F为(-l,O),可设直线BC方程为x=y-1, x=my-1 联立方程组x2,y =1' (43 即(3m2+4)y2-6my-9=0. 6m -9 故+y2= 3m2+4,= 3m2+4 y 所以三角形0BC的面积为5c号Or-为--y-)0+为广-4 6m）2 366Vm2+16m2+1 6 2 3m2+4 3m2+4=3m2+43(m+)+13m2+1+ 1 Vm2+1 令t=Vm2+1,t≥1， 1 由对勾函数性质可得y=3+在[L,+o)单调递增。 放少=3+之4，当且仅当，-1取得最小值， 6 S.OBC= 所以 1 3Vm2+1+ 2, 当且仅当 ,即时成立， Vm2+1 m2+1=1m=0 三角形OBC的面积的最大值为2， 所以△BCD面积的最大值为3. 【变式2-4】(2026福建泉州模拟预测)已知动点P(x,y)满足方程 VX2+y2+4x+4-Vx2+y2-4x+4=2W2 (I)求动点P的轨迹C的方程； (2②)设F(-2,0),F(2,0),过点F的直线与轨迹C交于A,B两点(A,B两点均在y轴右侧)，直线A 15/109 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 与直线x=1相交于点M. (i)证明：直线BM恒过定点T; (i)若直线BF与直线x=I相交于点N,直线BM与直线AN相交于点D,求△DAB面积的最小值. =1 【答案】)22 (2)(i)由对称性可知，直线BM必过x轴的定点， 当直线4B斜率不存在时，可得A(2,V2),B(2,-√2)， 此时直线析的斜车为要，直线析的方起为少= (x+2), 此时M1 3V2 直线 的斜率为-72 BM ，直线y的方程为y-35.25 x-1) BM 4 4 所以直线B 与，轴交点为T 设过点(2,0)的直线为x=my+2,A(x,),B(:,,>0,>0, x=my+2 直线与双曲线联立方程组可得 上 22 则(m2-1)y2+4my+2=0,△=16m2-4×2×(m2-1）=8m2+8>0, 4m -2 y+为=-m%1-m, 因为A,B两点均在y轴右侧，所以少<0，即1-m2>0,得m∈[0，)， 直线A的斜率为十2，其方程为y=3x+2)。 x+2 下面证明直线B 必经过点T 3y 因为r= 10, ns支+2 7y X27 110 x+2 7 16/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 74=2 需证+2-7 10,因为 1=my+2,x2=my2+2 代入化简可得8yy+4(y+y2)=0, 将y+y2-m2,2】 4m 1m3+4、m 1-m代入可得8m,-2 4-m=0成立， 10。 所以直线B 恒过定点T >0 (ii) 4V2 1 【分析】(1)由双曲线的定义计算即可求解： 10 (2)(1)根据对称性，当斜率不存在时得T 7,0 设过点F,(2,0)的直线为x=my+2: 4m -2 A(:,y),B(3,),:>0,>0,直线与曲线联立方程，根据韦达定理可得y+为=-m少=1-m, 由kr=kMm,代入计算即可得证；(ii)根据对称性可得直线BM与直线AW相交于点D即为定点 再由点到直线的距离公式、弦长公式表示面积，根据函数的基本性质即可求解. 【详解】(1)将原方程配方得： Vc+2+y-Vx-22+y=22 由双曲线的定义可知，点P(x,y)的轨迹是以F(-2,0),E,(2,0)为焦点的双曲线， 所以c=2,a=√2，b=VC-a=√ 故动点p的轨迹c的方程为22=l: (2)(1)略： ()同理，由(1)可知，直线4N恒过定点T 所以直线BM与直线AN相交于点D即为定点T 9o 102 设点到直线的距离为，则d= 7 D AB d V1+m2 7N1+m2 2 由弦长公式可得|AB=V1+m2Vy+y2)2-4y2=V1+m 47m 2√21+m2) 4 -2 1-m2 1-m 1-m2 17/109 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 以SB=ABd=.+m）.42 42V1+m2 21-m2 7V1+m2 71-m2, 令t=V1+m,t∈[1,2)，则1-m2=2-, 0)-4592 72-272 -t 由对向西数性质可知，y子在儿问)上单洞港减。 所以S()在1V2)上单调递增， 当=1即m=0时，56)取最小值为S0)=30)=45 7 4v2 所以ADAB面积的最小值为7 M NB 1 【变式2-5】(2026陕西咸阳模拟预测)已知椭圆E: +若=a>6>0过点》 离心率e=2,过 椭圆E的右焦点F作相互垂直的直线AB,CD与椭圆E分别交于A,B,C,D四点. (1)求椭圆E的标准方程： (2)求四边形ACBD面积的最小值. x2 y2 【答案】()4+3 =1 288 (249 3 1 【分析】(1)根据椭圆过点 12 和离心率e-2直接可得椭圆方程： (2)根据直线AB的斜率进行分类讨论，由弦长公式可得AB,CD,再由AB⊥CD直接计算四边形的面 积，由基本不等式可得最小值 18/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 【详解)D因为椭圆E:子+ 若=1a>b>0过点》。 离心率e=2且c2=a2-b 46=l,e==a2-b a a 19 19 代入京+4你l,得京+3a1,即。2=4所以62=3 x2 y2 故椭圆的标准方程为4+3 =1. (2),当直线AB的斜率存在且不等于零时，设斜率为k(k≠0). 1 因为AB⊥CD:所以直线CD的斜率为R 因为右焦点F1,0),所以直线AB的方程为y=k(x-),设A(G,),B(x,乃2). (y=k(x-1) (3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0 则△=(-8k2-43+4k2)(4k2-12)=144(k2+1)>0, 8k2 42-12 可得x+x= 3+4k2，七3= 3+4k2· 则AB=V+k2 822 44k2-12） 12(k2+1) 3+4k2 3+4k2 3+4k2 同理可得CD= 121+k2) 3k2+4 72(k2+12 因为 所以S8em48GD-B+42+可 612k4+25k2+12)-6k2 B⊥CD 12k4+25K2+12 19/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -6 6k2 6 6 288 2*+25R0+26日 -≥6- 12×2k2. 1 +25 49 288 当且仅当=京，即k=士1时，等号成立，四边形ACBD面积有最小值49： 当直线AB的斜率不存在时，或者斜率等于零时，AB与CD位置互换， 此时，M48=2=23×-4=3,cDl-2a=4:或者aB=41c0l-=3 所以Sm支4CD=X3x4=6。 因为6>28 288 9, 所以四边形ACBD面积的最小值为49· 修题型3离心率的最值、范围问题 x2,y2 【典例3-1】(25-26高三上山西临汾期木)已知椭圆c:京+京=1(a>h>0)的左、右焦点分别为F: B,过F(c,0)的直线1与C交于A,B两点，若A+BF=5c,则椭圆C离心率的范围为() B 2 【答案】A 【分析】由题意可得|A+BF+AB=4a,结合已知可得|ABl=4a-5c,进而得 2b≤4a-5c≤2a,解不 等式可得C-离心率的范围 【详解】由过FB(c,0)的直线1与C交于A,B两点，得A4+4E=2a,BF+BF引=2a, 所以A+AE+BF+|BF=4a,即AE+BFl+ABl=4a, 又AE+BF=5c,所以AB=4a-5c, 又2少≤AB≤2a,所以2 2b2 b ≤4a-5c≤2a,所以 a a a -4a≤-5c≤-2a, 所以2a-e2 -4a≤-5c5-2a,所以-2c-2a5-5cs-2a, 0 a 由-2c2as5c,得2c2-22<-50c'所以2c2+22-c2 20/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以2e-5e+2≥0，即(2e-l)(e-2)20,所以e≤2或e≥2： 由5cs-2a得后号即e≥ 2 2 1 ，所以写≤e≤2 「21 所以。离心率的范围为52 【奥例3-2】(2026福建南平二模)已知p为双面线C:二，广 m4m=1上一动点，若存在点p到x轴、y 轴的距离之比为V5,则双曲线C的离心率范围为() 25 A. (1,2) 3 C.(2,+o) 3,tao 【答案】C 【分析】本题可先根据点P到x轴，y轴的距离之比为V3得到点P横纵坐标的关系，再结合双曲线方程， 通过分析得到离心率的取值范围 【详解】设点P(x,y)因为点p到，轴，y轴的距离之比为5，所以日 =5,即y=5x 因为点P(x)为双曲线C:￡户 :m4-m=1上一动点，将)y=士V5x代入双曲线方程可得： C:( m2 4-m2 =1,即C:x3x2 m24-m=1, (4-m2)x2-3m2x2 通分可得： m4-m）1,即(4-4m)P=m4-m）因为F之0所以4 。,即 4-4m2>0m2<1 心+时=+H-时）4所以。-g度心*e=后高 2 因为m<1故0<m<1:则>1，所以所>2，因此，双曲线的离心率范围为2，w) 21/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【度式3】(200商二会回专盟骏》设厅万分别足联西C:导+若=e>6>0的、东点， y 点P在椭圆C上，若P到两焦点的距离之比为2：1，则离心率范围为 【答案】 【详解】设P到两个焦点的距离分别为2k,k,根据椭圆定义可知：2k+k=3k=2a, 又结合椭圆的性质可知.根据三角形三边关系有PF-PF≤FF引，即2k-k=k≤2c,:.2a≤6c,即 3·又因为0<e<1: 所以≤e<1 x2,y2 【变式3-2】(25-26高三全国一轮复习)己知点么B为椭圆E:a+尔=1a>b>0)的长轴端点，p为 32 椭圆上一点，若直线PA,PB的斜率之积的范围为 4’3 则椭圆ε的离心率的取值范围是 3 【答案】 2'3 b232 【分析】设p点坐标为(x,) 根据斜率关系可得43， 即可得离心率的取值范围 【详解】设p点坐标为，4-a0),8a.0),则，=片a xo-a +=1可得坊=（代- mu-后层-吾09 故答案为： 【变式33】(2026·云南昆明模拟预测)曲线族是指具有某种共同性质的集合，若曲线族中存在无数个 直线，上，称该曲线族为“M族”，若曲线族x-+少=)亿>0)是M族， 22/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2 y2 族定义的直线，均与双曲线E:。方=1a>0,b>0)有交点，则E的离心率的范围为 【答案】(W2,+oo) 【分析】根据直线与圆的位置关系求得直线的斜率的取值范围，结合直线！与双曲线的位置关系列出关于 b 的不等式，由此求得离心率的取值范围 【详解】设直线I的方程为y=x,即acx-y=0, -少+少-号0>0表示四心为0半径为受（的国 2 依题意可知圆心到直线，的距离d=s5 V1+k22 t, 整理得k2≤1，所以-1≤k≤1， x2 y2 由于直线，与双曲线。6京=1有交点。 所以渐近线》=。x的斜率满足名>恒成立，所以。>1， 6 a a (b 所以的离心率e= a >反，所以的离心率的范围为2，+∞) >题型4斜率有关的最值、范围问题 【典例41】(25-26高三下贵州遵义开学考试)设抛物线C:y2=8x的焦点为F,P为C上任意一点，0 为坐标原点，M为线段FP的中点，则直线OM斜率的最大值为() A.月 B.1 C.2 D.4 【答案】B 【分析】首先设点P的坐标，再表示点M的坐标，以及直线OM的斜率，利用基本不等式求最值 【详解】由己，F20设P t>>0 8& 8 8 于是直线的斜率为 kow=16+16+ =1 t2 16, .T OM t 当9=1，即，=4时等号成立，所以直线0斜率的最大值为1 23/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例42】己知椭圆C的中心为坐标原点，记C的左、右焦点分别为F,F,上下顶点为B,B,且 △FBB,是边长为2的等边三角形， (1)求椭圆C的标准方程： (2)若过点Q(0,2)的直线与椭圆C交于M,N两点，且OM.ON>0,求直线MN斜率范围 【容案0+1 【分析】(1)由题意及椭圆的性质有b=1、a=2,即可得椭圆方程： (2)根据题设，设直线MN方程为y=a+2,联立椭圆方程，应用韦达定理及OM·ON>0坐标表示得到 关于k的不等式，即可求范围 【详解】(1)由题意知B,B,上2，则b=1:由FB,卡2，则a=2, 故椭圆c的标准方程为4+少=1： (2) Q B B2 由题意知，直线MN的斜率存在且不为0，设其方程为y=:+2, y=+2 联立 +y2=1·得 （1+4k2)x2+16x+12=0 由△=06-4×+4k2)x12=16(462-3列>0，得2> 4 设M(Gy)小N(,y),则x+5=16k」 12 1+4k,61+4k, 则=(+2a,+2)=x+2(+5)+4=446 1+4k2, 24/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12,4-4k24(4-k2） 因为0m.O>0,所以5+%41+4+1+4-1+4>0，即<4 :4 2<4,则-2<k<- 55<k<2, 2或2 综上，斜率范围为 【安武4】2好26商=下四川成标期未)已如解圆E:号+皆=1的底点在，销上，4足E的东明点。 斜率为k(k>O)的直线交E于A,M两点，点N在E上，MA⊥NA. 1 (1)若椭圆的离心率为2· ①求椭圆E的方程： ②若AM=AN时，求△AMN的面积； (2②)当2AM=4N时，求k的取值范围. 144 【答案】④04+3=，②0 (2(5,2 【分析】(1)①根据椭圆焦点在x轴得到a2=1八b2=3,结合离心率=2，列方程求解，代入得到椭 圆方程： ②设直线AM的方程并联立椭圆方程，由韦达定理计算弦长AM,根据MA L NA且|AM=|AN得到直 线AN的斜率，同理得AN,由|AM=|AN解出k,再代入直角三角形面积公式计算面积： (2)联立直线AM与椭圆方程，通过韦达定理分别表示出弦长AM和ANl,结合2AM=|AN整理得 到t关于k的表达式，利用椭圆焦点在x轴的条件t>3列不等式求解，即可得到k的取值范围 畔解1山0尼知椭圈E+兮焦点在，箱上，故。='分}所以2匀 a2,所以e2=-31 又离心率e=S-1 t4,解得1=4： x2,y2 因此椭圆E的方程为4+了=1， ②因为A是E的左顶点，所以A(-2,0),设直线AM:y=k(x+2)k>0), 25/109 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=k(x+2) 则由 (3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0 已知：=-2是方程的一个根（对应点4），由韦达定理得xM 6-8k2 3+4k2, 因电-F+习斗-，图为M4LM4u时隐-名 同理得AN=12+ 2V1+k212kV1+k2 32+4，由AM=AW得 3+423k2+4 ,整理得4k-3k2+3k-4=0 即(k-1)(4k2+k+4=0,因k>0,故k=1, 此时AM=12v2 9,6A0N为等银直角三角形，面双为5am一4-号 (②已加精回E:号号1结点在轴上，收，3”东项点4.0 1 设直线AM的方程为y=k(x+),k>O,由MA⊥NA得直线N斜率为， 将y=k(x+VF)代入椭圆方程，整理得（3+k2)x2+21k2x+k2-31=0, (3-k2) 该方程一个根为x,=-,由韦达定理得xM= 3+k2 由弦长公式得M=1+Fk-x-6+足 3+k2’ 将上式中普换为是，得N=64+ 3k2+t 3w2E,, ，整理得t= 6k2-3k 3+k2 k3-2 由随圆条作，3”代入得6头>3，顶整理+2-)、0 k3-2 k3-2 「k-2<0「k-2>0 即20，等价于-20-2<0：所以20或使20解得5<2 故k的取值范围是(2,2)】 26/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式42】(25-26高二上重庆期末)已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点是F,点M(x,2)在C上， 以F为圆心、MF为半径的圆交y轴于A,B两点，且AB=2W3. (1)求抛物线C的方程： (2)已知点P为抛物线C上一点，O为坐标原点，平面上一动点9满足P四=40F,求直线O0斜率的取值 范围。 【答案】（①）y2=4x 、「11 ②2'2] 【分析】(1)表示出抛物线的焦点坐标与准线方程，在Rt△AF0中由勾股定理得到AF=AO+OF, 即可求出P: (2)设P(x%),Q(x,y),用含、的式子表示x、y,从而表示出k0,再根据基本不等式计算可得 【详解】(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点是F 2.0 准线方程为x=-号，“M(化，2)在抛物线上， 2 故4=2px。,解得6=p, 如图，在Rt4FO中，M0=5,FO=号H=MF=+号 所以抛物线C的方程为y2=4x 27/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 0 B (2)设P(%),(x,y）,故片=4x, F1,0),P0=(x-xy-o),0F=(（1-x,-y), P0=40,r-x=41- x=4+ 5 y-y6=-4y k。=义=0a=。4 x名+4发+46+16， 4 当%=0时，ko0=0, 当 时， %≠0 26+16%+6,设1=为+6 yo 当0%党y8,当限6 °yo ，即，=4时取等号： 所以te(o,-8[8,+切)，则0<子8或8 11 则0g40,w[引 「11 综上所述k%的取值范围为22 28/109 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2.y2 【变式43】(2026天津东丽二模)设椭圆。+方=1(>b>0)的上顶点为4'点B(-1,0),0为坐标 原点，已知AOAB的面积为4： (1)求椭圆的离心率： (2)已知直线：x=-2与椭圆相切，过点B的直线马与椭圆交于C,D两点，过点C,D作1的垂线，垂足分 别为M,N两点(M,N两点不重合).记直线CW,DM的斜率分别为k,k,求k·k的取值范围. 【答案】① (2②(-4，-3] b 1 【分析】(1)由题意可得。2，再利用离心率定义计算即可得： (2)由题意可求出椭圆方程，设出直线的方程，联立曲线方程，可得到与交点纵坐标有关韦达定理，再 表示出k、k后，即可借助韦达定理计算人·k的取值范围， 【联16由e40b:5au-o4om-斗6-则哈片 台层产--日-县 (2)由直线1：x=-2与椭圆相切，故椭圆左顶点坐标为(-2,0)，即a=2, 则6-号1，即椭圆方程为子+少-1， x 设直线lD:x=my-1,C(x,y)、D(x2,2),则M(-2,y)、N(-2,y2), 29/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=my-l 4+少产=1消去可得， 联立 x(m2+4)y2-2my-3=0' △=(-2m}-4(m2+4)×(-3)=16m2+48>0恒成立， 有乃+5=2m -3 m2+4,2= m2+4 又4=4当.k=h当 X+2” x3+2, 则kk2=当五.凸-上=-(y-)} x+22+2xx2+2(x+x2)+4 4y2-(+)》月 (my-1)(my2-1)+2(my,-1+my2-1)+4 4y-(y+)} m2yy2-m(y+y2）+1+2m(y+y2) 4.-3 2m)2 m2+4m2+4 m2.-3 2m+1+2m2m m2+4 -m.- m2+4 m2+4 -12、4m2 m2+4_-12(m2+44m2-4m2-12 -m2+m2+4 4m2+4 m2+4 -4(m2+4)+44 m2+4 m2+44, 由m㎡2+4≥4故m+44e(4,-3, 4 即k·k的取值范围为(4，-3] B O 【变式4利】(2526有二下黑龙证佳木斯期中)已知双面线C:-若-10>0的左顶点为4，过点 D(2,O)的直线I交双曲线C于MN两点，点M在第一象限. 30/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()若双曲线C的焦距为25，求该双曲线C的离心率e; (②若双曲线C的一条渐近线方程为x+V2y=0'点从V均在双曲线C的右支，且存在实数 使得M=MD成立，求直线I的斜率的取值范围. 【答案】(1)V5 (21o (②22 【分析】(1)根据题意，得到a=1,2c=2W5,结合离心率的公式，即可求解； (2)根据题意，得到双曲线C:x2-2y=1,设直线1的方程为x=my+2,联立方程组，结合△>0和韦达 定理，得到y+y2= -4m m2-2’ 3 m22’再由、 MN AMD' 化简得到 y+=2+立+2，结合对 yiy2 y1 y2 勾函数y=x+的性质，即可求解 【详解】)解：由双曲线C:x2-二 =1，可得。=1 因为双曲线C的焦距为25，可得2c=2V5,所以c=V5, 所以双曲线c的离心率为e=C=5 a ②由双面线C的一条南近线方程为x+2,=0:即y= b 1 -2,可得。=2， 因为。=1”可得6= 2,所以双曲线C:x2-2y2=1 当直线，的斜车不存在时，根据双由线的对称性：瓜-2而·不满足1<号 所以直线！的斜率一定存在， 因为MN=MD,说明M,D,N三点共线，且M,N都在双曲线的右支上， 31/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以直线，的斜率不为0，且1<1< 设直线1的方程为x=my+2,M(:,)、N(2,2),且y>0,2<0, x=my+2 联立方程组x2-2y2=1,整理得(m2-2)y2+4my+3=0 显然m2-2≠0，则△=(4m)2-4(m-2×3=4m2+24>0,可得0<m<2, -4m 且4+%=m-21 5>0,y2=m27<0 可得 y+=2+上+2. yiy2 yi y2 根据对勾函数y=x+的性质知，函数y=x+元在（←1,0）上单调递减， 可得 +=2+4+2<- y'2 (2=手 又因为出+上 4m2m2-2_16.m2 2 m2-23 3m2-2 16m2 4 2 所以亏m-2<一3，可得 <m<√2 20 所以直线，斜率的取值范围为 2’2 ,题型5角度有关的最值、范围问题 【奥例5】(226天本滨将商风相)已加精四r荐+片=(e>60的长为4爽心幸 2· (1)求椭圆「的标准方程： (2)过原点的直线I与「交于不同的两点A,B(A在第一象限)，过A作平行于y轴的直线交x轴于点C, 取AC中点D,作直线BD交T于点E,求∠BAE的最大值. 【容案10写y 32/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②3 【分析】()根据长轴长，可得a值，根据离心率，可得c值，根据a,b,C的关系，可得b2,即可得答案 (2)设A(x,),可得B、C、D点坐标，设直线AB的斜率为k,可得直线BD的方程，与椭圆联立，结 合韦达定理，可得E点横坐标，代入直线方程，可得E点纵坐标，即可得直线AE的斜率，根据到角公式， 结合基本不等式，即可得答案， 【详解】(1)由椭圆的长轴为4，得2a=4,解得a=2, 又离心率e=c=5 =。=2,所以c=5 则6d-。心1所以椭国T的标准方程为行+y产=1 2)设4》则-c0.D空) 设直线AB的斜率为k,由题意k>0且存在， 则直线BD的斜率kD=2 +%3y0_3k, +x04x,4 则直线B0的方程为+%+-头，整我利-如冬 3. 4 4 4 3 y=二- 4 4 联立 ·得 4 +y2=1 (4+9k2)x2-6k2xx+K2x2-16=0 6kxo 6k2x。, 则-6+xs=4+9求，解得e4+9京+ _15k2+4)x 4+9k2 代入直线BD方程，可得2=6.15+4么9+2)5 4k4+92 44+9k2 则E (15k2+4)x(9k3+2k)x 4+9k2 4+9k2 9+35-为9A+20x-c4+9- 所以keQ52+4西-x 4+9k2 15k2+4)x-x(4+9k2)3k” 4+9k2 又∠BAE是直线AB到直线AE的角， 33/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -k 则tan∠BAE= KAE-KAB 3k) 1+1+k3k) 1 因为+产2×头=5所以am∠BME≤- 3 1、3 1 当且仅当k 3张，即k 3时等号成立， π 又∠BAE∈(O,)所以∠BAE的最大值为3 B 【变式51】(25-26高三上山东滨州期末)已知P为抛物线=4x上的任意一点，过点P作圆 (x-4)+y2=3的两条切线，切点分别为A,B,则∠APB的最大值为() π B. C. 6 4 3 D.2 【答案】C 【分析】如图，设P(x,),圆心坐标为C(4,0),由题设可得△PAC兰△PBC, ∠APC=∠BPC=;∠APB 2 然后通过求sin∠APC最大值可得答案 【详解】如图，设P(x,y),圆心坐标为C(4,0)因P4,PB均相切于圆C, 则P4=PB,∠PAC=∠PBC=,又C小=CB=5,则APAC△PBC 从而∠AC=∠BC=4PBPq=K-4+r=-4f+4x=-2旷+12， 则sin∠APC=。 PC V(x-2}+12252,当且仅当时取等号. X=2 由图可得∠APC为锐角，正弦函数在0， 单调递增， 34/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则∠APC=∠APB≤名户∠APB≤号即∠APB的最大值为 T 21 6 故选：C 【变式52】(206福建泉州三模)已知动圆p与已知圆R:+1+户-外切，与盟 B-+y广-智内切，记p的轨迹为E (1)求E的方程： (②)已知M(4,0),直线1斜率存在，且与轨迹E相交于C,D两点，与x轴相交于点N, CMDN=DM CN ()证明：直线l过定点： (ii)若E与x轴相交于A,B两点，求向量AC,DB的夹角的最大值. 【答案】)4+3 (②)(i)证明见解析(i)6 【分析】(1)根据条件，利用圆与圆的位置关系及椭圆的定义，即可求解： (2)(i)设直线l的方程为y=a+m,根据条件可得k=m,即可求解： (i)根据条件，得到 ,从而有tan AC,DB= 再利用基本不等式，即可求解： kAC=3kBD 【详解】（4因为圆：c++2-4的圆心为F1,0),半径万=， 四5：-+广-智的圆心为E0:半径6=， 7 且FE上2<3r-,可知圆耳在圆互内部， 35/109 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设动圆的半径为”， 由题意可得PF=r+,PE-子，则PR1+1PR卡45R 7 可知动圆圆心P的轨迹是以F、B为焦点的椭圆，且a=2,c=1,b=Va2-c2=V5, x2.y2 所以动圆圆心p的轨迹E的方程为4+3 =1 (2)()当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y=x+m,C(:,),D(:2,y2), -=1 43 联立方程 ，消去整理得 y=kx+m (3+4k2）x2+8kx+4m2-12=0 -8km 4m2-12 则△>0'+ 3+4k2,x3 3+4k2: CM CN 由正弦定理得，sin∠CNM-sin ZCMN'sin∠DNM sin∠DMN' 又sin∠CWM=sin∠DWM,lCM-DN=|DMCN,所以sin∠CMN=sin∠DMwN, 则tan∠CMN=tan∠DMN,所以kwc+kwo=O 生为+9-0，利到x+4+为G+4到-0 所以x+42+4(G,+4)x+4) 所以(a+m)(x3+4)+(,+m)(:+4)=0,即2kxx+(4k+m)(x+x)+8m=0. 则2 4m2-12 3+4k2 +(4k+m) -8km 3+4k2 +8m=0,整理 k-m 所以直线1的方程为y=k(x+),故直线1过定点(-1,0). (i)不妨设A(-2,0),B(2,0),则AC=(:+2,y),BD=(-2,2), kck0=乃，为=k+.+)_2(G西++5+ x-2x2-2x-2x2-2xx2-2(x+x2)+4· -8k2 4k2-12 因为+3+4,6=3+4k2, 2[-82+(42-12)+(4k2+3】1 所以rk04-1228+442+j4 36/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设直线AC的倾斜角为a,直线BD的倾斜角为P,过B作BHI/AC, 则元丽=A-,且ac.00到 则tan C,DB=tan(B-a= 2k BD 3 1+3KD 1 ≤ 3 又30+≥25，当且仅当k上5时取等号。 3 所以当ko= 3时，tan C,.D丽取得最大值，此时anAC,DB=⑤ √3 31 又C,丽0，故向量C·D的夹角的最大值为 【变式53】（2026广东揭阳二模)已知双曲线C,二片 京F=(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,B, 实轴长为2V3,点F到双曲线C的渐近线的距离为1，过B的直线I与C交于右支A,B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)证明存在x轴上的一点M,使得MA·MB为定值： (3)求∠AMB的最大值 【答案】03少=1 (②证明：设c为半焦距，则c=V3+1=2,故F(2,0), 因为1与双曲线的右支相交于两个不同的点，故可设：x=y+2,A(:,片)，B(:,2), [x2-3y2=3 由x=+2可得(+2-3y2=3即(-3)y2+40+1=0 故A=162-42+12=12+12r>0且%=2-3<0，所以-5<1<V3 37/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -4t 又4+=2-3 设M(m,0),则MA=(:-m,),MB=(x-m,y2), 故MA-MB=(:-m)(s,-m）+y2=(+2-m)(y2+2-m)+yy2 =(+1)y+1(2-m)0+2)+(2-m)月 =+小40-mg2- (4m-7)2+1 +(2-m)} t2-3 MB为定值当且仅当”1 3:放m=5 4m-71 -3 故行在，箱上的点如[得使得.丽为定监且定值为 2 π 3 【分析】(1)求出双曲线的基本量后可得双曲线的方程： (2)设1：x=y+2,A(:,乃)，B(x,),联立直线方程和双曲线方程，结合韦达定理化MAMB，,根据该 值为定值可求M的坐标： (3)先求tanZAMF,、tan/BMF,再根据两角和的正切公式结合韦达定理可求(tan MA,MB)max,故可 求∠AMB的最大值 【详解】(1)因为实轴长为2W3,故a=V3, -bc 而点F到双曲线C的渐近线的距离为L,故、厅+。 =b=1 x 故双曲线的方程为：3少=1. (2)略 (3)由双曲线的对称性不妨设0≤t<V3,片>0,2<0， 38/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 tan∠AME,=y 1 tan/BMF,=y2=-y2 5 1 39+3 3 3%+3 ,- 2 1 1 故tan∠AMB= +3+3= +3+3 1 1+ -) 1 +3+3 +3+3 (+0++)+g 1x2(P+ 33- 3F可 -3× 3(+ (2+ 3- =-3v3× 3-2,其中 s1<V5 设s=3-2,则se(0,3], 面[6+w小故uam2w8)max=-35g-石-5， π 注意到tan/AMB<O,故∠AMB的最大值为3 >题型6周长有关的最值、范围问题 【典例61】(25-26高三上·安徽阜阳开学考试)己知椭圆c:4+3 父+父-1的左焦点为R,不经过E且斜 率为V5的直线交C于A,B两点当△FAB的周长最大时，AB=() A.8 8V5 16 B C. J 5 D.65 5 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义证明当直线AB过点F时，△FAB的周长最大，联立方程组求直线与椭圆的交点 横坐标，根据弦长公式求结论 x2.y2 【详解】椭圆子+了=1的左焦点F的坐标为(-1,0)，则椭圆的右焦点的坐标为(L,0): 39/109 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由椭圆的定义可得AE+AF引=4，BF+BF=4 所以△FAB的周长为AF+BF+AB=4-AF引+4-BE+AB=8+AB-AF引-BF, 又AF+BF引≥AB,所以AF+BF+AB≤8，当且仅当F在线段AB上时取等号， 所以当直线AB过点时，△AB的周长最大， 又直线AB的斜率为V3,所以直线AB的方程为y=V3(x-), 联立43 ,消可得 ,所以或8， y=5(x-）y5x2-8x=0x=0=3 所4=E-=+可g-小-9 所以当。5AB的周长最大时，HB-名。 故选：C B 【典例62】(2026河北保定模拟预测)已知点F(-2,0),F,(2,0）,点Q在线段FE上（不含端点）运动， PFPF_16 且动点p满足O丽Q时2，记动点p的轨迹为曲线 E (1)求曲线E的方程： (2②)过点F,F作两条平行线，分别与曲线E在x轴上方交于A,B两点，求四边形ABF,F周长的最大值 【答案10+号1 62 ②8+26 【分析】(1)由题意可得PF+PF引=26>FF引=4，结合椭圆的定义求解即可： (2)设过点F(-2,0)的直线为x=y-2,A(飞，)，B(:,乃)，直线与曲线联立方程组可得 40/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=21+v6+6 t2+3 同理可得为=-21+V62+6 t2+3 ，根据两点间距离公式可得四边形AB5F周长 L=FF+AF+BF+4B=4 26(e+1),4vP+9 2+3 P+3,令 4=2+3，μ≥3，根据函数的单调性计算即可求 解。 【详解】(1)设(，0)，te(-2,2),则l=t+2,Q5=2-t, PFPF_V6 因为Q购0时会.片以p1=50+2P%-5e- 因为PF+PF=2√6>FF引=4，满足椭圆的定义， 所以动点p是以F片为点点的桶圆，设其标准方程为后+若=a>60),。 a=V6,c=2,b=Va2-c=V2, 所以金线：的方医后+皆1， 2 (2)由题意可知，过点，B的直线斜率不为0， 设过点F(-2,0)的直线为x=y-2,A(飞，y),B(x,2), 直线x=y-2与曲线E联立方程石+2 x=y-2 则+上=1得 62 (2+3)y2-4y-2=01 -2 由韦达定理可知两根之积为7+3<0，且△=b2-4ac=16t2+8(+3)=24+24>0, 所以方程(+3)y2-4-2=0有一正一负两实数根， 因为点4在，轴上方，所以片 21+V612+6 t2+3 同理设过点520的直线为x:ty+2则头=之产牛6 t2+3 则=VG+2+=V}+乃=yP+1=P+i.21+6+6 t+3 BF=V(-2+g=0,}+巧=P+1=VP+1.-21+6+6 t2+3 41/109 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 26(+1） 所以AE+BF引= 2+3 因为水-%=+3则-6=(-2(，+2）=10y-)4=1北216+12=二12 4t t2+3t2+3t2+3’ 所以A8到=VG-x}+(-)月 144 1624P+9 V2+3(+32+3· 则四边形AB5,F的周长L=FF+A+BF+A8到=4+ 2W6(2+1),4VP+9 2+32+3 令μ=+3,4≥3，则t2=4-3, 所以L=4426-2,4-0-4+2w6+4+可-6 4a+6)-v6]4[u+6-6[(u+6+6] 因 4V(u+6)+6 V(u+6)+V61 因为y=V(u+6)在[3，+)上单调递增， 4 所以'+0)+6在B+o)上单调选减。 当u=3即！=0时’u+0+6有最大值为4- 3， 所以L=4+2v6+4[+6-v6 的最大值为8+2y6 3 VA 变式6】（多选)(226吉林三模)已知椭面C:若+号-1，了，片分别是精圆C的左在焦点，0 十 是坐标原点，P是椭圆C上任意一点，点A(,),则下列结论正确的有() A.△FPE,的周长为6 B.△FP5的面积为、5时，∠RPR= 6 42/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.△EPA周长的最小值是3+5 D.△EPA面积的最大值为2 【答案】ACD 【详解】由题意得a=2,b=V3,∴c=1,故△FPF的周长为2a+2c=6,故A正确， 当aF所的面积为5时，有5=3m行.可FP所-子故错碳， △EPA周长为lAF+|PA+|PE=V5+4+|PA-PFl, 当A,P,E三点共线，A在P,E之间时△FPA的周长最小，此时PA-PF引=-AF引=-V0+1=-1, 故△FPA周长的最小值为V5+4-1=V5+3,故C正确， 直线45的方程为y=+),即x-2y+1=0: 设与直线AF平行且与椭圆相切的直线方程为x-2y+m=0, x-2y+m=0 然立x+=1·得 4 16y2-12my+3m2-12=0 则△=(-12m)-416-(3m2-12)=0,解得m=±4， m=-4时，直线与椭圆切点到直线A的距离最大，即d= =V5 V1+22 放△FPA面积的最大值为)Ad= ,故D正确 变式62】(2026上海普陀三模)设a>0'b>0'm1ER,双曲线「：X 。京=1的一条渐近线方 程是y=2√2x,点P为厂右支上的一点，直线1的方程是x-my-t=0,O是坐标原点 ()若点P的坐标为(3,8)，求双曲线厂的方程： (②)若直线I经过点O,且与「交于A、B两点，直线PA、PB的斜率分别为k、k,求k·k的值： (3)设点F是厂的左焦点，点A、4是Γ的左、右两个顶点，直线AP与直线x=1交于点M,直线I经过点 43/109 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P与「的右支交于另外一点Q(不与4重合)，若a=3,且直线M0恒过点4，求△FPO周长的取值范围 【答案】x'- 81 (2)8 (3)[108,+o∞) 【分析】(1)由题意得b=2W2a,再将点P的坐标代入双曲线的方程，可求出a的值，进而可得出b的值， 由此可得出双曲线的方程： (2)设点P(c,乃)、A(c,4),易知点A、B关于原点对称，则B(-x4,一y4),利用点差法可求得飞·k的 值； (3)设点P(x,片)、(：，)，则x、∈(0，+)，将直线1的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理， y+y=2mt 可得出yy2 =P-9,求出AP的方程，由此可得出点M的坐标，并求出直线MQ的方程，将点4的坐 标代入直线MQ的方程，结合韦达定理可得出t的值，结合y2<0可得出m的取值范围，在利用弦长公式 以及双曲线的定义可求得△PF2周长的取值范围， 【详解】（山）由题意可如名=25，则)：2。则双曲线的方程可化为后忘=山， x2 y 3282 将点p的坐标代入双曲线的方程可得。8=1，解得。=1故6=22 所以双幽线下的方程为？-上 =1 8 x2y2 2)由1)可知，双曲线的方程为石8a=l,即8r2-y=8a2, 设点P(飞，乃)、A(c),易知点A、B关于原点对称，则B(-x4,-y), 8x3-y3=8a2 乃-层=8， 因为8-店=8a2,所以8(5-)-(5-)=0，故写- 所以6所=-长.当+丛=片-少-8 X3-xax3+xax （③)因为。3”所以双面线的方程为号分1，即5-y=2: 易知点4(-3,0)、4(3,0)、F(-9,0) 设点P(x,)、(x2,y2),则x、2∈(0，+0) 44/109 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [x=my+t 联立8x2-y2=72得(8m2-)y2+16m+82-72=0: 8m2-1≠0 /m2×1 则 △=16m-4(8m2-10(3r2-72)=32(72m2+-9>0'可得 8 72m2+t2>9 8t2-72 、由韦达定理可得出+=二82，马=8 8m21，故1 +h=-2mt yiy2 2-9①， 直线4P的方程为y=十3+3)，在该直线方程中令。，可得点M14 +3 x=1 、my+t+3 直线 MO x-1(x-)+4y 的方程为y=”m+1+3( my+t+3 将点L的坐标代入直线M0的方程 6myy+(4-12)y+(2+6)2=0, (my+t+3)(my2+t-1) 即6myy+(41-12)y+(2t+6)y=0②， 由①得myy=- 2*.@-+0=0 +22-12=0 t 故了 ，解得 +6=0 t t=9 所以58n<0,可得0≤m2< 576 8 所以P0=+mV+}-4=+m.481+m_ 481+m2） 8m2-1 1-8m2 -61-8m2)+5454 1-8m2 1-8m-6e[48,+o), 因为t=9,故直线：x=y+9恒过右焦点F(9,0) 由双曲线的定义可得lP-PF引=2a=6,F-r=2a=6, 故△PF2的周长为lPF+F+Pg=|PF+lF+6+Pg=2Pg+12∈[108，+o), 即△PF2周长的取值范围是[108，+∞)， 45/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 >题型7向量的最值、范围问题 【典例7-1】(2026河北沧州模拟预测)已知A(:,4),B(,)是圆C:(x-)+y=4上的动点，且 心-)+必，=-4，当点，M满足成-3M?点p在椭圆B:g+8=1上运动时，M证的最大 为() A.3+5 B.4+√2 C.4+5 D.5+2 【答案】B 【分析】由A,B,C的坐标及已知等式，可得到CACB,结合BM=3MA求出点M的轨迹方程为 (x-+y2=2,其轨迹为以C为圆心的圆，进而求出PC的最大值，根据MF=PCx+(?为轨迹 圆的半径)即可求出答案， 【详解】因为圆C:(x-1)2+y2=4,所以圆心C(1,0), 由1(，)B(,)是圆C:(x-12+y2=4上的动点知C=CB=2, 6-=手得C.西=--+= 由-3M:得c=+W-a+4丽=C+s-C列)C+C西， 所以4CM=3CA+CB, 将等式两边同时平方，得16C=9C+CB+6C.CB=36+4+6×=2, 4 所以CM=V2,所以动点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=2, 46/109 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由椭圆的方程可设点P的坐标为(3cos8,2√2sin0),0∈[0,2x), 由动点M的轨迹方程可得该圆的圆心为C(1,0),半径为r=√2，如图， PC=(3cos0-1)+(22sine)=/(cos0-3)=3-cos0, 当cos0=-1时，PClx=4, 所以F=PCl+r=4+V2 【变式71】206陕西调南三模)已知点P为裤圈℃：号专-1上任意一点，直线过 ⊙M:x2+y2-2x=0的圆心且与⊙M交于A,B两点，则PA·PB的取值范围是（） A.[1,3] B.(1,3] c.[3,15] D.(4,16] 【答案】C 【分析】根据向量运算化简PAPB=PM-1,再根据椭圆性质得到4≤1PM≤16，最后求解范围即可 【详解】对⊙M方程配方得(c-)2+y=1,因此圆心M(L,0),半径r=1,AB是⊙M的直径， 故MA=MB=l,MB=-MA PA=PM+MA,PB=PM+MB=PM-MA, 因此PAPB=(PM+MAPM-MA=PM-PMMA+MaPM-Mi=PM-1 椭圆C:x ，y2 +8=1中4=3°6=22c=0-6=1 ML,O)恰好是椭圆的右焦点 根据椭圆性质，a-c≤PM≤a+c, 代入得2≤PM≤4，因此4≤PMP≤16 PA.PB=|PMP-1∈3,15]，即取值范围为[3,15]， 47/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2 y 【变式72】（25-26高二上湖南长沙期中)已知过双曲线。F=1a>0,b>0)上一点p(,八)的切线 方程等-景-1，若M6以)为双面线2-y-4上的动点，5>0：为之0：直线：5-w=4与双 曲线的两条渐近线交于P,Q两点（点P在第一象限），R与Q在同一条渐近线上，则RP·RO的最小值为 【答案】-2 【分析】由题意易得马是双曲线x2-y2=4的切线，切点为M(x,),线段P?的中点为M(x,%),再根 据平面向量的数量积的运算律可得肥，R爬=-P四，结合双曲线的性质即可得解 【详解】因为M(xo,%)为双曲线x2-y2=4上的动点， 所以6-6=4，则%=x-4,x≥2， 由题意，直线：xx-oy=4是双曲线x2-y2=4的切线，切点为M(xoyo), 而双曲线x-y2=4的渐近线方程为y=±x,则OP⊥OQ, xox-Yoy=4 联立 4=5-5=+%, y=x 解得xs 0-y0x0-% 所以P点的坐标为(x+o,x+%), xox-yoy=4 联立y=-x ，解得x=4一=一哈=。。 xo+yo xo+yo 所以Q点的坐标为(x,-y,-x,+%), 所以线段PQ的中点为M(x,y), 则Rr.R-(M+Mm(M+)-（M-PO]RM+P四 =w-}P0orj0-op-P0-o0(当n仅当MR1o0时取特号)， 由题意可得直线P⑨的斜率大于零或不存在， 故O@≤2V2,当且仅当M为双曲线右顶点时取等号， 所以-002-×8=-2， 所以RP.RQ的最小值为-2 48/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：-2 VA 【变式73】《2026河北邯郸三模)已知稀圆C:等+片a>6>0的左、右焦点分别为F（07 .0):点V 2在。 C (1)求C的方程： (2)设直线：y=2x+m与c交于MN两点. 《1)老所丽-}求m的， (i)若P为平面上一点，且M.NP=0,求OP的最大值. ,y2 【答案】（①）4+3 =1 (②)(1)±1(i)V万 【分析】(1)根据椭圆的焦点坐标得到，再将点 ,3 2 代入椭圆方程，结合。-公+c即可得到c的 方程； (2)(1)先联立椭圆C和直线！方程得到关于x的一元二次方程，再根据韦达定理及已知条件得到M点 坐标，进而得到m的值；（ⅱ）先根据中点的坐标及中点也在直线1上求出OG,再根据弦长公式求出 MN,再根据M.NP=0,得到点P在以MN为直径的圆上，从而得到当O、G、P三点共线时，OP有 数大值，进得到01=OG+公，再利阴三角换元法或号意法果批值即时。 【详解】(1)由椭圆C的左、右焦点分别为F(~1,0),F(L,0),则c=1, 49/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 又椭圆过点， C 2 a2=4 a2=b2+1' 故6=3所以的方程为+上 431. (2)(1)因为直线：y=2x+m与椭圆交于M、N两点，设MN两点坐标分别为(：，H),(:乃)， 43 联立 1。·消去，整理得 y= 2+m x2+mx+m2-3=0 则△=m2-4×(m2-3)>0,解得-2<m<2, 则x+x2=-m,xx2=m2-3, 又ME=(1-x,-y),ME=(1-x,-y), 则际派1++=程即+- 4 n至+上=l, 又因为点M在椭圆上，即4+子 x=1 x=1 x=-1 x=-1 联立方程组，解得 由于点M在直线方程'=2x+m上， 解得m=1,m=-2,m=-1,m=2, 又因为-2<m<2,所以m=1 (i)设线段MN的中点坐标为G(o,火，)则。==- 2 2 所+m=所以oG-年 所以N--小FG+-4--4--4m, 又MPNP=0,则点P在以MN为直径的圆上， 而OP≤OG+GP,当且仅当O、G、P三点共线时等号成立， 50/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 4 法1：（三角换元法） 设m=2cosa,a∈(0，元)，则V4-m2=2sina, d n in(a).tne .V195 4 13 当a+0=2时，1m=V7,所以0P的最大值为7· 法2：（导数法求最值） =m的G 4-u,0≤w<4 4 u平平（腰） 因为了心在(0,4上单调适减：由了)=0得u=9 当吗)时20：此时o单调造增：当e停4时，o)0,比时/年词流减 所以了o=f(号}=万，所以O4的最大值为万 >题型8坐标的最值、范围问题 【典例8-1】(25-26高三上·云南昆明阶段检测)已知抛物线E:y=4x的焦点为F,过点A(0,%)的直线1 与E相交于B(x,),C(x,)两点，且，>0， (I)若F为线段AC的中点， ()求直线l的斜率； 51/109 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (ii)求AC; (②)若点P(x,2o)在抛物线E上，满足BP⊥BC,求2取值范围. 【答案】(1)(i)-2N2:(i)6 8 -, 【分析】(1)()由题意可求得=2，可求得C(2,-2√2)，进而求得直线1的斜率：()利用 |AC=2|FC求解即可； 4 (②)求得直线BC的斜率为c,十线BP的斜率为←即二，+2，’利用已知可得 2%=-16--4 yi+y2 进而可得二3.3，可求得取值范 【详解】（山）山由题意知，焦点F00:因为p为线段4C的中点，所以1-9.甲%，=2： 所以3=-22，即C2-22,所以直线，的斜率为k=0+2,5.-2V5 1-2 (i)由题意及(1)，|AC卡21FC2W1+(22)2=6. kc=h二五=凸-y=4 (2)由题意知，直线BC的斜率为 x2-x1_上y2+y, 44 4 同理直线BP的斜率为m+2%, 因为aP1BC所以k=-所以2%=16-广地 +y2 又因为直线C角方程为y-元=千-.所以点40在直线®C上， 片+⅓2 所%所2%头 y+y2 6 16= 当且仅当y了，即y=4满足，所以，取值范国为0，一3 52/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2 y2 【典例8-2】己知双曲线c:京方=1(a>0,6>0)的左、右焦点分别为F,F,C上一点M-3,4)关于 一条渐近线的对称点恰为右焦点E.若N(,)是C上的一个动点，满足NE·NE<0,则，的取值范围 是() A.（-5,5) B.（-4,4) c.（-5,4) D.（-4,5) 【答案】B 【分析】依题意可得∠FM=),则M匠·ME=0,从而得到点N在以0为圆心，OF=OM为半径的 圆的内部，即可求出的取值范围 【详解】设M,与渐近线y=。x的交点为p,则p为ME的中点，且OP⊥M, 又O为F5的中点，所以OPMR,即∠FMG=子，所以派证=0， 要使匠·E<0,则点N在以O为圆心，OF引=OM为半径的圆的内部， 根据对称性可知-4<%<4，即%的取值范围是(-4,4)， 故选：B 【变式81】已知抛物线C:x2=2py(p>0)过点M(25,3),焦点为F. (1)求抛物线C的标准方程： 53/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)过点D(O,)且斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点，若F在以AB为直径的圆内，求实数t的取值范 围。 【答案】(1)x2=4y (2(3-25,3+23） 【分析】(1)将M(2√5,3)代入抛物线方程可得答案 (2)由题可得FAFB<0,将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理及题意可得关于t的不等式，据 此可得答案 【详解】(1)因为点M(25,3)在抛物线上，所以(25=2×3，解得p=2,所以抛物线c的方程为 x2=4y (2)易知抛物线C的焦点为F(0,1),且“点F(0,1)在以4B为直径的圆内”等价于“FAFB<0”. 设A(xy),B(3,乃)，则FAFB=(:,片-1)(：，-1)=+y-(%+)+1,记为① 由题意，过点(0，)且斜率为1的直线方程为y=x+t.于是有y=x+t和乃=x2+t,将其代入①式，得 FAFB=2xx2+(t-1)(:+x)+2-21+1,记为② [x2=4y x+x2=4 由=x+,联立消去)整理附-4-=0于是有 4=16+160>0’即， t>-1 xx2=-4/,记为③ 且 再将③代入②，整理得 FA.FB=-8t+4(t-1)+t2-2t+1=t2-6t-3 要FA.FB<0成立，只要t-61-3=(-3-12<0在t∈(-l,+∞）上恒成立即可. 解不等式t-3)}-12<0得1∈(3-2W5,3+25),符合题意. 综上可知，实数1的取值范围为(3-2V5,3+2V3)】 54/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式82】(2026山东青岛一模)已知椭圆C :+=1上有两个动点4，B满足AB=3”P,)为 43 线段AB的中点，则x的最大值为() A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】D 【分折】设A6,)Bk,小P为椭圆的右盘点，则F2一，再根指B日1Br1代入数 据即可求得答案， 【详解】设A(x,乃)，B(X,乃)，F为椭圆的右焦点， 由题意，椭圆的长半轴长a=2,短半轴长b=V5,半焦距c=1, 同理可得，1BF卡2- 2, 即3≤4-，解得≤1，则x的最大值为1 【变式83】(2026：天津南开极拟已知椭圆F:号+片，。之b>0:0为原点，稀圆的左方 生点分别为F(20E20n经过点3引 (1)求椭圆E的方程； (2)若椭圆E的左右顶点分别为A,B,直线！与椭圆E有且仅有一个公共点P,点P不与A,B重合，设 直线1，PO的斜率分别为k1,k2. (i)求证：kk2为定值： (i)设∠FPE的平分线与x轴交于点Q(,0),求t的取值范围. 【答案】()0+6 2W102W10 (2)(1)证明见解析：(i) 5,5 【分析】(1)根据焦点坐标，结合代入法进行求解即可： 55/109 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)(1)设出直线的方程与椭圆的方程联立，利用一元二次方程根的判别式、直线斜率的公式进行求 解即可； (ⅱ)根据角平分线的性质，结合点到直线距离公式进行求解即可 【详解】(1)因为椭圆E的左右焦点分别为（-2,0)，F(2,0), 所以c=2→Va2-b2=2(*), 又因为该精圆经过六（多引 3 =1(**) 0可得。=10度0-4有去 b2=10-4=6, 所以椭圆E的方程为10+6=1： (2)(i)设直线的方程为y=kx+m,与椭圆方程联立，得 i0+6=1→3+5k)x+10km+5m2-30=0, y=kx+m 所以△=(10km)-43+5k)(5m2-30)=0,化简，得m2=10k+6, 10k m 5km 可得，= 2(3+5k2)3+5k, 5k m +m 3m 5km 3m yp=k 3+5k2 3+52,即P 3+523+5k2 3m kk2=k 3+5k2 3 = 5k m 5,所以 为定值： 3+5K2 kk2 (国)设P化，w00即音+装=1，且而<气< ,y-0=X-→w%-y(6+2)+2y=0, 直线P5的方程为，x+2 同理得直线PF2的方程为y,-y(x,-2)-2y%=0 56/109 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为∠FPF的平分线与x轴交于点，0)， tYo +2Yo tYo -2Yol t+2 t-2 所以 → 坊+(x+2)月 V+(-2) V+(x+2)2 V+(x-22, 代入上式，得 t+2 t-2 t+2 t-2 --2y6+可 -列 +2_-2 x+5-5’ 因为0在F(-2,0),E(2,0)之间， 所以-2<t<2,又-V10<x<V10, +21-2s212 所以由名+5-55+x5-而 因为-10<x,<10, 所以i而<<i0s-201<2 5 5,而-2<1<2 所以210<1<20，即的取值范围为 2V10210 <t< 5’5 【变式8-4)(25-26高三下·安徽阜阳阶段检测)已知4，B两点的坐标分别是4(-2,0)，B(2,0),直线 3 AP,BP相交于点p,且它们的斜率之积是-4：记点p的轨迹为曲线C,M(-3,0),F,0),N在曲线c上. (1)求曲线C的方程； (2)过M的直线与曲线C相切，求切线方程； (3)若△MNF是钝角三角形，求N点横坐标的取值范围. 57/109 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【管10后+号 =10x+2 ②xt 3y+3=0 3)-2,0)U1,2) 【分折1（山设PK≠2，白=子，求解即可 (2)设过点M的直线方程为x=my-3,与椭圆方程联立，根据△=0，解出m的值即可： (3)设N(2cos8,V3sin0),0∈(O,mU(π，2m),分∠FNM为钝角和∠NFM为钝角两种情况，结合向量的数 量积，求出Cos8的范围，即可得答案 【详解】(1)设P(x,y),x≠±2」 根据题意可得人：kg=一子 4 所以.y 3 x+2x-2=-4 + 整理可得4+3 =1(x≠±2)， x2.y2 所以曲线C的方程为4+3 =1(x≠±2) (2)设过点M的直线方程为x=my-3, x=my-3 联立 + =1’得 43 3m2+4)y2-18my+15=0 若直线与曲线C相切， 则△=(-18m)2-4(3m2+4)×15=0, 解得m=t 3, 所以直线方程为x士下) 3y+3=0. (3)因为点N在曲线C上， 所以设N(2cos0,V3sin0),0∈(0，π)U(元，2π)， 58/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若△MNF为钝角三角形，则∠FNM为钝角或∠NFM为钝角， 当∠FNM钝角时， NF.NM=(1-2cos0,-3sin0)-(-3-2cos0,-3sin0)=cos20+4cos0<0. 所以Cos8<0,又因为-1<cos0<1, 所以-1<cos8<0,所以-2<2cos0<0: 此时V点横坐标的取值范围(-2，O): 当∠NFM为钝角时， FW.FM=(2cos0-1,V3sin0)-(-4,0)=-4(2cos0-1)<0, 1 解得2cos0-1>0cos6> 2, 又因为-1<cos0<1?所以2 <cos0<1. 所以又因为1<2cos0<2, 此时N点横坐标的取值范围(L,2)； 综上，V点横坐标的取值范围为(-2,0)U1,2). >题型9代数式的最值、范围问题 【典例91)（2026天津红桥一模)已知椭圆C:+2Q>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点围成 的三角形面积是1，离心率e= 2. (1)求椭圆C的标准方程： ⊙若直线：y=+m与椭国c交于不同两点4分：与圆+)2 3相切于点M ①证明：OA⊥OB(O为坐标原点)： ②设s BM,求实数，的取值范围 59/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(I) 2+2=1 @0直线：y=红+m与产+少 3相切， ..d=-Iml 2 即m-+) y=kx+m 2+2=1消去得 联立x2 y(1+2k2）x2+4kmr+2m2-2=0 设A(G,y)B)则+= 4km 1+22x2=m222. 所以OA0B=x53+y2=x+(+m)(a,+m)=(1+k2)x2+km(:+)+m2 =0)2+a 4km 1+2k2 +m3m-23-2.20+2-2-0. 1+2k2 1+2k .OA⊥OB VA 【分析】(1)根据已知列方程组求得a,b即可求出椭圆的方程： D直线1：=十加与厕相切得到m+)再利用直线与椭圆相交利用击达定 xx2+y》2=0即可求证： ②利用1=AML VOA2-12 V好+-P 3 BM JOB2-r2 好+片-2 541结合0 可得答案 V23 xx2+y2=0 60/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .2bc=1 2 【详解】(1)依题意 ,解得 a2=b2+c2 a=V2,b=c=1 六椭圆c的方程为2+少=1， (2)①略 直线：y二：+与椭圆交手不同的两点4B,&+=1 2 x21 .A-AMI o x+-2 V23 BMOB2-12 V+-2 V23 由①知 即=42 2+3x2 V23 x,1 2+3父. 4 ,的取值范围为 V23 0≤x2≤2元 x2,y2 【变式9-1】（多选）(25-26高二，上江西抚州期中)已知椭圆C: 京+=1(a>b>0)的左右焦点分别 为F、F,长轴长为4，点P(N2,)在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是() A.离心率的取值范围为 0 B.当离心率为号时，1QF的最大值为3+号 C.不存在点Q,使得F·E=0 4 1 D. 时十2网的最小恒为} 【答案】CD 【分析】由题设，可得a=2,2<b2<4, Va2-b2 对于A,由离心率公式e= 可判断： a 61/109 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对于B,由OFlm=a+c即可判断： 对于C,由c2-b2=4-2b<0,即c<b,即可判断： 对于D,由椭圆的定义有QHQF=2a=4,然后利用基本不等式求解即可判断 x+少 11 【详解】由题设，a=2则4+不=1，又♪(N2在椭圆内部，则2+京<1，即2<公<4 a 2 2 故选项A错误： 对B:当e= 4时，有c=V2 .则orL=a+c=2+ 2,故选项B错误 对C:由c2-b2=4-2b2<0,即c<b,所以以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点， 所以椭圆上不存在点Q使得Q5·Q5,=0,故选项C正确： 对D:由椭圆的定义有QF+QF=2a=4, or-or- 4 4OF OF 9 4,当 且仅当lQF=2QF=3时等号成立， 当号c<时，a+c2 8 由于lQ5sa+c,则O=3能取到，满足条件： 当0<c<号时，2<a+c<号由于Qrsa+e,则0r-不能取到，此时2十Q之￥， 2 8 19 综上选项D正确， 故选：CD. 【变式9-2】25-26高二上广西贺州阶段检测)已知椭圆C。+方1(>b>0)的离心率为)，且过点 (0N⑤)，其左、右顶点分别为A,B,P,Q为椭圆C上异于A,B的两点. (1)求椭圆C的方程. ②设直线4R0的率分别为k,,且直线0过定点M(行0】 ①设△PA和△PQB的面积分别为S,S,求S-S的最大值： ②证明飞，为定值，并求出该定值. 62/109 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 t y2 【答案】①4+ =1 3 (2)① 4:②证明见解析， 【分析】(1)根据椭圆的几何性质，利用待定系数法即可求出椭圆的方程： (2)①设直线PO的方程为：x=my+2'并与椭圆C联立方程组，解得 -3m -45 y+y2= 3m2+4%%= 分别表示面制5”可闲- ，再用换元法，令 1=4m2+5之5，构造新函数并利用函数的单调性以及基本不等式即可求解， ②0知=”，k=少。，左 x+2' 互-2’可得飞表达式，根据韦达定理，代入化简即可求证 【详解】(1)依题意知： b=√3，解得 a2=b2+c2 a=2,b=V3,c=1 所以椭圆C的方程为：4+3 =1 (2)①依题意由(1)知4(-2,0)，B(2,0),直线PQ的斜率不为0. 设其方程为：x=网+号P(6,Q化，。并与箱圆℃联立方程组： 1 x=my+- 344-i-0得m+4yP+-袋=0 2 4 -3m -45 则X+%=3nm+44%43m㎡+4， 8-小小-.月：号- 所以s-S=-为=20+g-4为=23+4 16V4m2+53V4m2+5 3m2+4 令1=4m2+525则m2= 4 所以- 3F1212 3-5+43+1 4 63/109 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为t25,则Vf≥V5, 所以y=3f+,结合函数单调性定义知，y在1∈5，+0)时单调递增 3v5 所以S-S,的最大值是 4 ②证明：由0知=上。 3 所以Kx+2力 .5 myy+2为 y+人了 915 2出 4+ 4 33 5 一= 1 15,125= 45 35 40y+)+2为4+ 31 4+4 M 【变式93】(25-26高三上天津阶段检测)已知椭圆5：二+片 日+京=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 6 F(-1,0)'F(1,0) 2 是椭圆上的一点， (1)求椭圆E的方程： (2)过右焦点F的直线I与椭圆E交于A,B两点，线段AB的垂直平分线交直线I于点P,交直线x=-2于 PO 点g' 求4B的最小值： 【0+号 64/109 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(1)由条件得c=l,将点坐标代入方程，结合c2=a2-b2,即可求得a,b的值，即可得答案 (2)由题意直线I的斜率不为0，设其方程为x=y+1,与椭圆联立，根据韦达定理，可得+2,2表 达式，根据弦长公式，可得AB的表达式，求出P点坐标，即可得P四的表达式，代入所求，利用换元法， 结合基本不等式，即可得答案 【详解】(1)因为左焦点为F(-山，0)，所以c=1, 由点 在椭圆E:女+ Fa+F=1(a>b>0)上， 代入可得2示+存1， 又c2=a2-b2=1,与上式联立可得a2=3,b2=2, 所以椭圆B的方程为：3+2 (2)当直线1的斜率为0时，线段AB的垂直平分线为x=0,与x=-2不相交，不符合题意， 故直线I的斜率不为0，设其方程为x=my+1,A(x,y),Bx2,), x=my+l 联立 +上=1可得 3+2 2m2+3)y2+4my-4=0 △=(4m}2-4×(2m2+3)×(-4)=48m2+48>0. 4m 4 月+y2= 2m2+34=2m2+3 则4B=V1+m2以-为=1+m2.V(y+2)}-4y V1+m2 16m2 16 (2m2+3y+2m2+ =41+m.y3+3_45(m2+) 2m2+3 2m2+3 又y,=+= 2m 3 2 2m2+3,xn=my。+1= 2m2+3' 由P11可得，直线P的斜率为-m, 所以Pg=V1+mx2-x=v1+m -2-、3 2m2+3 =V1+m2.4m2+9 2m2+3? PO V1+m2.4m2+9 2m2+3-V5 4m2+9 所以AB 4V3(m2+1) 12V1+m2, 2m2+3 65/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 令V1+m2=t,则t≥1，所以m2=t2-1 PgV342+5V3 代入上式可得， AB 12 t 12 t3 当且仅当=5，即1=5 时取等号，此时m=±2 PO 所以8的最小值为 3 B ,x2y2 【变式9.4】(2026湖南岳阳三模)己知双曲线C:。厅=1a>0,b>0)的离心率为5，其右顶点到渐 V5 近线的距离为5 (1)求双曲线C的标准方程： (2)过双曲线C右焦点F作垂直于x轴的直线l,与双曲线交于M,N两点，点B为双曲线C位于y轴正半 轴的虚轴端点，求△BMN的面积；， (3)设P,Q为双曲线C上不同的两点，且OP⊥O0,证明：点O到直线PQ的距离为定值，并求 0P2+O0的最小值 【答案】（山x2-上 1 (2)4V5 16 (3)证明见解析，最小值为3· 【分析】(I)根据离心率和点到直线的距离公式求出a和b,从而求出双曲线C的标准方程； (2)先求出直线的方程，再联立双曲线方程，从而求出M,N两点坐标，得到N的长度，再计算点B 到直线I的距离，得到△BMN的面积： (3)对直线PQ斜率分存在与不存在两种情况，都得到原点O到PQ的距离为定值，再利用均值不等式求 0P+|O0的最小值 66/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】（山由离心率e=5得后5，即=5，又=d+6,所以= b 所以渐近线方程为y=±名x=士2x,即2x士y=0 a 2a-02a25 右顶点坐标为 a,0' 它到渐近线2x-y=0的距离为2+可店了，解得。=1所以。G=1于 是6-4·所以双曲线c的标准方程为-兰=1。 4 ②)由4)知双曲线为2-片=1，因为。=d+=5所以。=5，得焦点5小50虚轴上瑞点 B(0,2)」 当直线，垂直于，轴1-5，代入双鱼线方程：5-兰1口y产=16→y=4, 得M(N5,4,N(V5,-4),此时MN的长度为8 点B到直线x=V5的距离为5，故S=)×8xV5=45 2 所以△BMN的面积为4V5 (3)当直线P0斜率不存在，设P,V4-4),则，-4-4： 由0P100得aP100→0r00=0,即2-(4-4=0，即r2-(4r-4)=0,解得- 此时点o到直线P0的距离d作2 3 当直线PQ斜率存在，设PQ:y=c+m,与双曲线方程联立： x_匹+m-1,即4-k)-2x-(m2+4=0, 4 4-k2≠0 k2≠4 则1△=4km2+44-k)(m2+4)>0,所以 m2-k2+4>01 设P,0小则5+与==g兰 2km 4-k2· 由OP⊥OQ得xx3+y=0, 而y2=(,+m)c2+m)=k2xx2+km(+x2)+m2 代入得1+k2)xx2+km(:+x)+m2=0 67/109 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即+k2 m2+4 g+m-0,即- +km.- 1+k2)）m2+4)2k2m2 4-k2 4-k2 4-k2+m2=0, 两边乘以4-k2得-1+k2）(m2+4)+2k2m2+m2(4-k2）=0, 展开得-(m2+4-2(m2+4+2k2m2+4m2-k2m2=0, 整理得-(m2+4-2m2-4k2+2k2m2+4mr2-k2m2=0, 即-m+到44m=0,所以3城-4软-40即m=4 3 4(k2+1) 年反，则g= 原点。到直线P的距离d:m, 3 1+k2=1+k2 4,故d=25,为定值 3 在直角三角形OP0中，IOPP+O0PPP, .-loplog-dlPg.所以orlog=dPg. 由均值不等式，OP+O0P≥2 oplool=2dPg,即Pg≥2dPg, 有Pge2a-45.枚0 orP0rS 31 3ds35 当0PH001时取等，此时k=0,m2=4 3,符合. 6 因此10PP+0QP的最小值为3 >题型10参数的最值、范围问题 x2.y2 【典例101】(2026云南昭通模拟预测)如图，已知椭圆c的方程为4+=10<6<2)，直线 y=>0)与椭圆c交于4B两点（点在第一象限）.当k= 2时，A,B在x轴上的射影恰好是椭圆 的两个焦点。 68/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B (1)求C的标准方程： (②)若AM⊥x轴于点M,连接BM并延长交C于点P,记直线AP的斜率为K. （i)证明：kk为定值： (i)设AB=t|API,求t的取值范围. 【答案】0 +y2 -1 42 2)(1)如图，设A()x>0,>0),B(-,-%),P(,y), yA B 则M(6,0),由题意有k= Xo' =k 直线BP的斜率，即BM的斜率为-2x,2: 所以直线Bp的方程+x+).所以++x)》 42 (-)+)1 又 在椭圆上， … (x-x)+)21 A,P 42 ∴k。=当一业=-5+ X1- 2(y+%) 2×6+5)=1 2 (i)t22W2. 【分析】少由隔圆标准力程确定。=2”结合女= 2时A,B在x轴上的射影为椭圆焦点的条件，将点 69/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (c,kc)代入椭圆方程，结合a2=b+c2的关系求解b2,即可得到椭圆C的标准方程。 (2)(i)联立直线y=a与椭圆方程，求解得到A,B两点坐标，由AM⊥x轴得到点M坐标，进而求出 直线BM的方程，将直线BM与椭圆方程联立求得点P坐标，计算直线AP的斜率，验证k从为定值即可 (i)利用两点间距离公式分别计算AB与AP的长度，将t表示为关于k的函数，结合k>0的取值范围，分 析函数的取值特征，即可求得的取值范围. 【详解】(1)由题意有2a=4,所以a=2 2 设椭圆焦距为。， 2c 易知椭圆过点c,2 所以c2.c2 4261. 又a2=b2+c2,所以c2=4-b2, 4-b2.4-b2 所以4+26=1，即(6+46-2)=0，解得公=2 x2,y2 所以a=2,b=c=2:故c的标准方程为4+2=1， (2)(1)略 (ii)解：'∠ABP=∠AOM-∠BMO=∠AOM-∠PM, 而tan∠AOM=k,tan∠PMr 2, 由(1)知k。=-l,AP⊥AB 又k>01 tAB =an∠ABP=an∠AOM-am∠PM_k-专 2 1+tan∠4OMtan∠PMx 1+ 2+k2, 4-2=k+222k是=25. 2 k k 2 当且仅当k=,即k=V时等号成立，所以1≥2√反 【变式10-1】(2026湖南长沙二模)已知双曲线r:￥- 京=1，b>0),左右顶点分别为4,4，过点 M(-2,0)的直线1交双曲线Γ于P,Q两点. (I)若离心率e=2时，求b的值： (2)若b=2v6 ，△M4,P为等腰三角形时，且点p在第一象限，求点p的坐标： (③)设直线O0与双曲线Γ另一个交点为R,若4R·4,P=1,求b的取值范围. 70/109 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)V3 (②P(2,22) ae同juag 【分析】(I)根据双曲线离心率公式求出b,C: (2)分类讨论等腰三角形的情况，确定P点的坐标： (3)设直线方程并联立双曲线，应用韦达定理，计算向量数量积，代入韦达定理结果得到参数关系，求b 的取值范围。 【详解1()由题意得e=台-片=2，则c-2 b=V22-1=V5 (2)当b=2v6 时双曲线r:2-3少-l, 8 其中M(-2,0),4(1,0), 因为△M4,P为等腰三角形，则 1 ①当以M4,为底时，显然点p在直线x= 2上， 这与点P在第一象限矛盾，故舍去： ②当以A,P为底时，MP=MA,=3, 23 11 s、23 11 设 ,联立解得 8v7或 817或∫x=1, P(x,y) y=- 0 y= 11 y=0 因为点P在第一象限，显然以上均不合题意，舍去： (或者由双曲线性质知MP>MA,,矛盾，舍去)： ③当以MP为底时，4，PMA,=3, 设P(x%),其中x>0,%>0, x0=2 解得=22：即P2,22) 综上所述：P2,2V2)】 71/109 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)由题知4(-1,0)，4(1,0)， 当直线1的斜率为0时，此时AR·4,P=0,不合题意，则k≠0， 则设直线：x=y-2, 设点P(,出)，(：，)，而直线O0与双曲线Γ另外一个交点R, 根据双曲线对称性知R(-x2,一2)， 联立 r若-1→6a-产-6m*w=0 x=my-2 D M O VA R 显然二次项系数b2m2-1≠0 其中△=（-4mb2)-4(62m2-1)3b2=4b*m2+12b2>0, 4b'm 3b2 +为=6m-0,4=6m-②， 则4R=(x2+1,-),A,P=(:-1,), 则4R·4,P=(x+1)(x-1)y=1, 因为P(,出)，(x2)在直线1上， 则x=m%-2,七3=my2-2, 即-(my,-3(my-3)-y2=1,即(m2+1)-(04+)3m+10=0, 将0@代入+小 ,4b2m+10=0, b2m2-1 即3b2(m2+1)-3m.462m+10(62m2-1）=0 化简得b2m2+3b2-10=0, 所以m-吕-3，代入到m-140 72/109 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 得10-3b2≠1，所以b2≠3， 且m2=10 320,解得62s0 ” 又因为b>0 ”贝则0<b2≤，、 签知，e@小(]， 所ee小a 【变式102】(25-26高三下山东阶段检测)已知o是坐标原点，双曲线E:二是 :aF=l(a>0,b>0)左顶 点A(1,O),直线1过点Q(2,0)交E的右支于M,N两点，记△AMN,△AOM,△AON的面积分别为S,S,S2. 3 且当直线，与x轴垂直时，S-2: (1)求双曲线E的标准方程： (2)已知直线1交y轴于点P, (i)若PM=M@,PN=uN0,求证：元+u为定值： (i)在)条件下，若gS=S+mS,当2<元≤3时，求m的取值范围。 【答案】四x= (②)()显然直线l不为0，故设直线I为x=2+少， 又直线！交y轴于点P,故直线I与x轴不垂直，故t≠0， 与-苦与1联立可得（(0-y+12四+9=0 △=1442-36(312-1)=-3612+36>0， 12t 9 设M(G,y),N(,2)则4+为=32-4=3- 过点Q(2,0)交E的右支于M,N两点，故<0，不妨设%>0>2， p网-0}0- 2 g如.2，解得1t(1+九)'“，1 73/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 2 P元=N0同理可得=+：业= -1, ty, 12t 则2+=-2-1-2-1=名 2y+y2 2.31-2=2 -2=- 3t2-1 851 (i)9'3J 【分析】(1)根据双曲线特征和三角形面积得到双曲线方程； (2)()设出直线，联立双曲线方程，根据向量关系进行求解： (ii)在()基础上，用九表达出m,求出取值范围. 【详解】(1)由题意得a=1,0A=1 当直线，与x轴重直时.=2，则S-号oW@-,即Mg=3, 故M(2,3),将其代入2- 存=1中，得6=3 所以双曲线方程为- 31: (2)(i)略 (i)由于0g=20A,由几何关系可得S=3S,+3S, 其子=心+s,微子+3)=+a心，甲可网居-小后小5=0， 又o4%=s=o(),A+u-号 所u后-0， 2 2 由（①知，片=0+刀为=0+四 2 故、 -m 3 t1+2)t(1+) 0又0u 2 --m .3 故1+元。-元 =0，整理得 -2 2 = 3 1+32<1≤3 74/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 令1+元=w,则3<w≤4，元=w-1, (w-1) 所以m三 w-3 2 8-3 =w+ 3 3w 由对勾函数可知m=w+ 0-3在weB4上单调递增。 8 分层进阶双阶训练验成效 小巩固过关 1,（25-26高三上江苏常州期末)已知椭圆C:+片 4+方=1(6>0)的焦点在x轴上，B是C的上顶点，若C 上存在点P使得|PB>2b,则b的取值范围为() A.(0,2) B.(0,v2] c.(2,2 D.[2,2 【答案】A 【分析】结合题意可得PB 4 62 2y+b2+4,利用二次函数的最值可求得，的范围 【详解】设P(xy),B(0,b), PB=V(x-0)2+(y-b)2 2 2by+b2+4 又因为b≤y≤b,因为下顶点到上顶点的距离为2b, 令0)=Pg-y-2+82+4, 75/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 要存在点P使得PB>2b,则f)的最大值必须大于f(-b)=4b2, 由于(y)是开口向下的二次函数，其最大值若要大于等于f(-b), b 其对称轴y=6二4必须在b的右侧， b 所以一4>-b,解得0<b<2 故选：A 2,(25-26高二上四川成都期末)已知椭圆16+)=1的焦点分别为F,F,若点p在椭圆上，则 PEPF的最小值为() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【分析】画出图形，由PFP瓦=(P0+O厅P0+OF),然后根据思意分析最小值的位置即可得出结论 【详解】如图所示： 由PFPE=(Po+OF)Po+oE) (Po+o丽)Po-o)=Po-o, 由题意知O=c=Va2-b2=6-9=√万， 所以PFpE=Po-o=Po-7, 由图可知当P为椭圆短轴的顶点时， OP取最小值9，所以P所PE的最小值为9-7=2 故选：B x- 3.(25-26高二上天津期末)已知A0,1)B(2,2点c在曲线4-y=1(≥2，y≥0)上，则。4BC的 面积() 76/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.有最大值，但没有最小值 B.没有最大值，但有最小值 C.既有最大值，也有最小值 D.既没有最大值，也没有最小值 【答案】A 【分析】根据题意可得AB和直线AB的方程，结合双曲线的渐近线分析点C到直线AB的距离的取值范围， 进而可得△ABC的面积的取值范围 【详解】因为A(0,),B(2,2), 则=0-少0-可5，线的6 所以直线B的方程为少+1，即x-2y+2=0 1 双曲线4少=1的渐近线方程为y=±2无， 则直线1B与海近线x-2=0平行，两平行线间距离d=2-25 55’ 曲线若产=(：≥2≥0)过点20： 44V5 过点(2,0)与直线4B平行的直线方程为x-2y-2=0:两平行线间距离4，=5=)， AB x-2y+2=0 X-2y=0 0-2 x-2y-2=0 2W545 结合图形可知点一到直线，的距离d∈ AB 55 则。8c的面积ac的=5。 de0,2], 所以△ABC的面积有最大值，但没有最小值 故选：A 4.(2026吉林延边三模)已知P是抛物线C:y=2x(p>0)上的动点，若点P到直线y=x+3距离的 最小值为√2，则p=() 77/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1 B.2 C.4 D.10 【答案】B 【分析】设直线y=x+3的平行线为y=x+b(b<3)且与抛物线y2=2x相切，联立直线与抛物线方程，结 合△=0可得卫=2b,结合平行线之间的距离公式列方程求解即可。 【详解】由题意，设直线y=x+3的平行线为y=x+b(b<3)且与抛物线y2=2px相切， y=x+b 联立1=2px，整理得y-2py+2pb=0: 则△=4p2-8pb=0,即p=2b 因为点P到直线y=x+3距离的最小值为V2, 斗=，解得6-5（含去）或6=1则p=2办=2 所以下+ 2026重庆沙坪坝模拟预测）)已知5为椭圆C:4+3=1的左焦点，抛物线y2=2px(p>0)与椭 交于A,B两点，当P变化时，△ABF周长的最大值为() A.8 B.6 C.4+2V5 D.6+25 【答案】A 【分析】根据三角形三边的关系可得AB≤A+BF引，当且仅当A,B,E共线时等号成立，然后根据椭圆 的定义及椭圆的标准方程即可求解 【详解】 如图所示，己知椭圆方程4+3 父+=1，则d=4今a=2 由于点A,B在椭圆上，根据椭圆的定义有4F+AF=2a=4,BF+BF=2a=4, 又因为在△ABF中，有AB≤A+BF,当且仅当A,B,F共线时等号成立， 所以△ABF的周长I=AF+BF+AB≤AF+AE+BF+BF=2a+2a=4+4=8,当且仅当A,B,E共线 时等号成立， 即△ABF的周长的最大值为8，故A正确， 78/109 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(多选)(2026福建宁德二模)设抛物线「：y=4x的焦点为F,准线为1过F的直线交T于A,B两 点，过A,B作I的垂线，垂足分别为4，B,则() A.AF=44 B.AB的最小值为2 C.若M为4B的中点，则MF=)4Bl D.点(3,0)到r上点的距离的最小值为3 【答案】AC 【详解】对于A,因为抛物线「：y=4x的焦点为F,准线为1， 所以F(1,0),1:x=-1,由抛物线的定义可知：4F=A4,故A正确： 对于B,设直线AB的方程为x=y+1, x=my+1 联立1少2=4x →y2-4my-4=0,设Ax,y),B(G,2) 所以y+y2=4my2=-4， 由抛物线的定义可知：AB=x+x+2=(m以+1)+(my+1)+2=m(y+乃2)+4 =4m2+4」 当m=0时，AB的最小值为4，故B错误： 对于C,若M为44的中点，418为)M-12》 2 因为y+为2=4m,所以M(-1,2m),所以MF=V1-(（-)]+(1-2m)}=2+m2, 又因为48--为-20+⅓广-4-16m+16=2m+1 所以MF=)4B,故C正确： 对于D,设r上任意一点为(，2)，则该点到(3,0)的距离为： d=V-3+(2=-2r+9=Ve-1+8, 当2=1时，dm=V8=2V2,故D错误 79/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12=4X ⑦（多选）(2026四川绵阳模拟预测)已知双曲线C:x-?=1的左、右焦点分别为E,F,斜率为k的 直线I过点与双曲线的右支交于P,Q两点，与y轴交于点A,M为C上的一个动点，则下列说法正确的 是() A.若Pg=8,则△FP0的周长为20 B.k的取值范围是(-o,-V5[V5,+∞) C.若PE=2F0,则k=±35 D.当k=2时，4M的最小值为V5 【答案】ACD 【分析】由双曲线的定义可判断A:取k=V5,可判断B:设直线I的方程为x=my+2,与双曲线方程联 立，结合韦达定理及已知条件，求出m的值，即可得k的值，从而判断C:设M(m,m),将AMP表示成 关于n的二次函数，根据二次函数的性质，即可判断D. 【详解】设双曲线C:-号-1的焦距为2c 3 因为实半轴长为a=1,虚半轴长为b=V3, 则c2=a2+b2=1+3=4, 所以c=2, 所以F(-2,0),E(2,0) 对于A,若Pg=8, 则aFPe的周长为Pg+PF+2=|P2+PF+2a+QF+2a=2PO+4a=20,所以A正确： 对干B,双自线C:-苦-1的新近线方程为y=5: 当直线1的斜率为V3时，直线1与渐近线y=V3x平行， 80/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 此时直线！与双曲线有且只有一个交点，不合题意，所以B不正确 对于C,设直线I的方程为x=my+2,联立双曲线的方程， 得(3m2-1)y2+12my+9=0 △=144m2-4×(3m2-1)×9=36(m2+1)>0 12m 9 y+y2= 3m2-①：43m2-②， 又PE=2F0,所以y=-2y2③ 1 联立①②③解得m=± 35 所以k==±V35,所以C正确： 对于D,易知0：设Mm小：则m- 31 所以M=m++4=号+1a+4-数++17-a+3+5, 当n=-3时，AM|最小，最小值为V5,所以D正确 &(多选)(2026湖南模拟预测)如图，在平面直角坐标系xO中，椭圆C:号+片@>b>0)的上 顶点为A,左焦点为F,且OF=V6,AF=2W5,点D为椭圆上一点，圆D的半径为2，过原点0作圆 D的两条切线OM,ON,分别交椭圆于M,N,若直线OM,ON的斜率都存在，分别记为k,k2,则 () 81/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 A.椭圆c的离心率为2 B.DF的最小值为√6-√5 1 C.kk,的值为2 D.OMON的最大值为g 【答案】ACD 【分析】利用椭圆中a,b,C之间的关系，可求出a,判断A:设出点D的坐标，由两点间的距离公式可得到 DF的表达式，根据二次函数的最值问题可判断B;由直线与圆的位置关系，过原点的直线方程特征以及 根与系数的关系可判断C:设出M,N的坐标，根据点在椭圆上可求出OM+ON的值，根据基本不等式 可判断D. 【详解】对于A,由题意知OF=c=6,OA=b,OF+|O4=AF,即c2+b2=AF, 在椭圆中，由a2-b2=c2→b2+c2=a2,所以a=4F=2V5, 所以椭圆c的离心率为e=C=6-互 a2√3=2，故A正确： 对于B,由A得：a=25c=V6→b=6,所以椭圆的方程为：12+石1， 设Dame25,2w5],由点在圆上得g-1,所以=61-过) 12 6 又F(6,0）, 令f(m）=7m+26m+12,me[-25,25], 2V6 则 图象的对称轴为m、 =-26 1 f(m) 2× ^2 开a向上.所以fm在[-25,25 上单调递增， 所以/m)）m=f(25)=2x(25+26×(25)+12=18-125. 82/109 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以DF=Vi8-12W2=25-2x25x6+(6=25-6=25-v6=25-6 故B错误： 对于C,畅西C后若1，由D()相画D的方程为-m+(-对=4 因为直线OM,ON的斜率都存在，且为k,k2, 所以直线OM:y=kx,直线OW:y=k,x, km-川-2，kem-4=2 又直线OM'ON与圆)均相切，所以有+积 D V1+k号 km-n 由+好 =2整理得：(m-4-2mn成+r2-4=0,0 2m-列 同理由 V1+好 =2整理得：(m2-4)发-2mnk,+m2-4=0,@ 由①②可知，k,k2为方程(m2-4)k2-2mk+n2-4=0的两个不同实根， 又=61宽) 所-4了 2 m2-4 m2-4m2-4m2-4= 2 对于D,设M,,N5)由c知k=00业=- -0x2-0xx32 则x树-5，又对=1-)听=6- 所以=刘1--)}-，整理前：+砖-12 所以方+片-6)1}-12-信-2-66， 所以OM+ON=(x+)+(x+)=18, 由基本不等式：得owf+oNr≥2OMON则o,ON-18-g. 2 当且仅当OM=ON时等号成立，所以OMON的最大值为9，故D正确 x2 y x 9.(2026四川宜宾模拟预测)已知椭圆云+专-1a>)与双由线话少=1Ka,>→0)有相同焦点，记 83/109 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为F,B,设椭圆与双曲线的离心率分别为9，，则3℃+e的最小值为 【答案】3 【分析】根据椭圆和双曲线的性质，利用焦点相同构造相等关系，利用换元法，结合离心率的定义列出代 数式，构造函数并求导，分析函数单调性及最小值点，进而求出最小值 详解1已知精圆后+号=Ka>,别e2=G-3 x2,y2 双曲线。y=1Ka,>0,则e2=4+1 a2=m+3 故a-3=aG+1,设c2=m(m>1）则a=m-1 c2 m m+3 a m-1 3论+6=3m+m=3m+33),m-+1-4-9+1 m+3m-1m+3 m-1 m+3m-1 9 令f)4m>小，求导相a*可a-少 1 令产m（m3子m-0解得m=0《舍去)或，〉 当1<m<3时，∫'(m)<0,f(m)单调递减： 当m>3时，f'(m)>0,f(m)单调递增： 故m3足秘小植点，即为录小做点，)=4写+=3。 故3e+e的最小值为3。 10.(2026高三上全国专题练习)若点P(x,y)是双曲线x2-y2=5的第一象限的任意一点，求u=3x-y 的最小值 【答案】2W10 【分析】转化问题为直线y=3x-4与双曲线x2-y=5在第一象限内有公共点，且在y轴上的截距最大， 进而求出相切时4的值即可求解。 【详解】由“=3x-y,得y=3x-“,要使u取得最小值， 84/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则直线y=3x-u与双曲线x2-y2=5在第一象限内有公共点，且在y轴上的截距最大， 设直线y=3x+m(m<0),此直线与双曲线x2-y2=5在第一象限内相切，如图， [x2-y2=5 联立3x-y+m=0得 8x2+6mx+m2+5=0 所以△=36m2-4×8×(m2+5)=0,解得m=-210, 此时直线y=3x-20与双曲线x2-y2=5在第一象限内相切， 由图可知，当4=2√0时，直线y=3x-u与双曲线x2-y2=5在第一象限内有公共点，且在y轴上的截距 最大， 则u的最小值为2V10 故答案为：2V10 1（2026商三下资北竞赛)设6是稀两r 4+少=1上不同于顶点的两个动点，0为坐标原点， 直线OA,OB的斜率分别记为k,k2.如果椭圆T上存在点C满足OC=cos004+sin0OB,其中 (1)证明：kk2为定值； (2②)求0A-0B的最大值 【答案】(I)i设A(2cosa,sina）,B(2cosf,sinB),C(2cosy,siny）, 其中cosa,cosB,sina,sinf均不为0， 因为OC=cos00A+sin8OB, 所以(2cosy,siny）=(2cos0cosa+2sin6cosB,cos6sina+sin6sinB), cosy=cosOcosa+sincosB.siny=cos sina+sin sinB 85/109 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 cos'y+sin'y=(cosOcosa+sinecosB)+(cosOsina+sinesinB), 整理得l=cos'0+sin2'0+2sin0cos0(cosacosB+sinasinB), 所以sin6cos0(cosacosB+sinasinB)=0. 又因为0∈0， 所以sinOcos0≠0，故cosacosB+-sinasinB=0: sina sin B 1 所以kk= 2cosa 2cos B 4. 5 【分析】(1)设A(2cosa,sina）,B(2cosB,sinP),C(2cos,siny）,利用条件以及同角三角函数的关系化 简即可； (2)结合(1)求出(o4小-oa-4+iama4am'a+l) (1+tan'a) ，结合基本不等式求最值 【详解】(1)略 (2)O4=4cos'a+sin'a=4cos'a+sin'a4+tan'a cos2a+sin2a 1+tan'a' 同理可得l08P-4+tan2p 1+tan2B' 由cosacosB+sinasinB=0可得tanctanB=-l, 所以(OAOB'= (4+tan'a)(4+tan2B) 1+tan2a)j1+tan2β) 1 4+ 4+tan'a tan'a- (4+tan'a)(4tan'@+1)(4+tan'a+4tan'a+1)25 1+tan'a1+1 (1+tan'a)月 tan a 41+tan2a月 4 当且仅当4+tan2a=4tan2a+1即tana=l时取等号. 所以o4oas:即O4108的最大值为 卫.(256商三上安数开学考试)已知双建线c号系-o>0b0的窝心率为2点（反，]4C 上 (1)求C的渐近线方程： 86/109 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)若直线I:y=kx+m交双曲线C的右支于M,N两点，线段MN的垂直平分线过点K(0,4). (i)求k与m之间的数量关系式： (i)求∠MKN的取值范围， 【答案】(1)y=±V3x 【分析】(1)由题意列出关于a,b的方程组求出双曲线方程即可得渐近线方程： (2)(i)联立直线与双曲线方程，利用韦达定理求出M,N中点D的坐标，再利用kMwk知=-1即可k与 m之间的数量关系式： (先由张次求出MD小KD:接若由n∠MKD- KD即可求出∠MD'再由∠MN=2∠MKD 即可得解 【翻1（山因为（反一同）在双战c上，所以后产-， 又离心率为2，则 Va2+b2 =2, a 23 261 联立 Va2+b2，解得 -=2 a=1,b=V3 故双曲线方程为2- -3=l,渐近线方程为y=±5x (2)(i)设M(x,y),N(,), y=kx+m 联立 (3-k2）x2-2ax-m2-3=0 所以△=4k2m2+43-2)(m2+3)>0,即m2+3>2, 2km m2+3 且+为 3-k2本3= 3-k2, 6m 则+y2=k+m+2+m=k(x+x2)+2m= 3-k2, 则N的中点为D35,当+ (2’2 2, km 3m 即D3-k3-R月 87/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3m 4- 因为线段 的垂直平分线过点 ，则一 3-k2 k=1,整理得 MN K(0,4) 0-km 3-k2 k2+m=3 ()由①知m=3-则+x=2张=-m43,Dk,3)。 则k>0,m<0,则m2+3>k2=3-m,解得m<-1. 又MW=Ve+1+x广-43-=+14k+4.m+3 m =i46-m)+45=25+ 3 则MD=MM=P+I3+ m MD 又KDl=√+i,则tan∠MKD= m 又∠MKN=2∠MKD'则∠MKN的取值范围为 0, 小创新提升 1. (2326有=上江西大江阶段检测》已知直线mr-y+1=0与瑞国C:号+少=1安于么B丙点，则 |AB|的最大值为() 8√2 A.2 B D.4 5 3 【答案】C 【分析】设A(:,乃)，B(:,乃)，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，即可表示出4B,再由二次函数 的性质求最值 88/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x-y+1=0 【详解】设 y)'B,)广联立任 +y=1，消去整理得 4 y 1+4m2）x2+8mx=0 1-4m2 -8m1-4m2 不纺令=0或无+4则男=1为+：则40少8+4+m -8m 2 所以AB= -8m 1-4m2 =8 m2+m4 16 1+4m 1+4m 1+4m2 (1+4m2） 8 1 16 81+4m2）1 所当有到a=±浮，0大4州-4 1 故选：C 2.(2026山西吕梁三模)已知点P为抛物线y2=4x上一点，过点P作圆C:x2+y-6x+8=0的两条切 线，则切线长的最小值为() A.万 B.3 C.7 D.9 【答案】A 【详解】由x2+y2-6x+8=0,得(x-3)+y2=1, 所以圆C的圆心为C(3,0),半径r=1 设P(o,%),则=4x 因为切线长等于VPC-r2=VPC-1, 所以当切线长最小时，PC最小 PC=V(x-3}+=V-2x+9=(x。-1+8, 当x,=1,即点P的坐标为(L,+2)时，PC取得最小值，最小值为V⑧=22 所以切线长的最小值为V8-1=√万 89/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3. 2026山东潍坊三模)已知椭圆c:4+3可，F,万为c的左、右焦点，p为C上的一个动月 (异于左、右顶点)，设△FPF的外接圆半径为R,内切圆半径为r,则R+r的最小值为() A B.1 C.5 D.2 2 【答案】C 1 【分析】当p为短轴端点时，∠EPE,=日最大，进而求出g的范围，由正弦定理得外接圆的半径R= sine, 再利用余弦定理和三角形面积公式化简得到AFP5,的面积S=3am2,由三角形内切圆的半径公式可得 3日 △FPF 的内切圆半径，=tan,化简可 R+r=-1 日十2a2,利用基本不等式求出最值即可。 2 K2tan2 .y2 【详解】由于4+3=l,所以a=2b=5,故F到=2，设∠FPR=0, 当p为短轴端点时，9最大，此时△FP5为等边三角形，所以0<0≤， 0 2 1 设aFPF外接圆半径为R,则sin02R,即R=sin0 由余弦定理得：EE=PE+PF-2 PFPFCoS0=(PE+PF)-2PEPE(1+cosO), 整理可得PPF=, 6 1+cose 90/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 00 6sin-cos- 的面积S=i0 3sin0 2 所以 1+cose 1+2cos20 =3tam2' 2 △EP 2S 故aFPE的内切圆半径'=PF+P,+F同 tan- 2, 2tan 因为sin0= 2 s 2 2+cos2 0, 1+tan2 2 所以R+P= 1 no 1+tan20 sin +tan 0 n92+tan9艺 2 2 1_3n0_3 当且仅当2tan 2am2之，即am?-5,0=时取等， tan 23 3 所以R+r的最小值为V3 C多选)(2026山西忻州模拟预测)点PKy)在椭圆+yI的第一象限部分运动.以Op为 线作矩形，矩形的边分别平行于坐标轴，其中O为坐标原点.设该矩形的面积为$，周长为L.则下列说 法正确的是() A.S的最大值为1 B.L的最大值为2V5 C.当s取得最大值时，lOPl=V5 D.满足S=2的点p有且仅有两个 【答案】ABD 【分析】利用三角换元，令x=2cos日'y=sin0, 0<0<受，将稀圆上的点用三角形式表示，转化为三角 函数的最值问题，再逐一判断各选项 【详解】点P(x,y)在椭圆4+少=1的第一象限部分运动，所以可令x=2cos9”y=sn0, 0<0<π 矩形面积为S=y=2sin0cos0=sin20,因此Smx=1,所以A正确： 矩形周长为L=2(x+y)=2(2cos0+sin0)=2W5cos(0-p),(其中tan0=2且p为锐角)， 当8=P时，L取最大值2W5,所以B正确： 当5取得最大值时，5n20=1,所以0-子 91/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 此时x=2:=,于是0P=+y2=2+ 15 2 5 故OP=2, 所以C错误： 若S=2,则sin20=2,在0<20<元内有两个解，因此满足条件的点p有且仅有两个.所以D正确 1 5。（多选)(2026河南模拟预测)已知双曲线C: 8y广=1的左、右焦点分别为F,乃，点P在双曲线C 的右支上，且∠FPE=8,则() A.当9-写时，△PF店的面积为 B.当8-时，APF5的周长为6+2I0 PR,PE C.当g为纯角时， >18 PFPF D.△PFF内切圆的半径的取值范围是(0，) 【答案】BC b2 【分析】由焦点三角形的面积公式 S.PRF= 8,求出 tan- 的面积，判断A: ,根据 PFF PF =m,PF =n 双曲线的定义及勾股定理求得m+n,从而求得△PFF的周长，判断B;由O为钝角，根据余弦定理可得 PFPF2 的范围，用mm表示PFPF, 即可求得其范围，判断C:根据双曲线焦点三角形内切圆半径的范围， mn mn 可判断D. b21 【详解】当0=工时， S.PRF:=0= =3 tan ,故A错误 3 23 设P明=m,PE=n,当0= 2时， m-n=45,与2mm=4今(m+m2=36+4=40→m+n=210 有m2+m2=36 所以△PFF,的周长为6+2V0,故B正确： 设PF=m,PF=n,当0为钝角时，由余弦定理知m2+n2<36, 因为m-n=4v2→m2+2=32+2mm<36→0<mn<2, P四P四_m+_m+2mn+2-2+2>2+是=18，放C正确 所以PE.PF n m mn mn mn 2 92/109 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由如下引理知△PFF内切圆的半径的取值范围是(O,b),即(0,1)，故D错误. 引理 双曲线C:少 。户-1(a>0,6>0)的焦点三角形的内切圆半径的取值范围是(0.)： 证明如下： 如图，点P位于第一象限，E,F是双曲线的左、右焦点，设焦点△PFE内切圆的圆心为G,则圆心G在 直线x=a上（证明省略）· 设内切圆的半径为r,点P(x,%), 由焦半径公式得PF=ex+a,PF=ex,-a,其中e= a 2S.PRF 所以'=PF+PF+2c 因为55小%2%=6 1 2g=9%=%=a% 即2ex,+2cex+cc +c+a. a 因为点Pk)在双由线C上，所以琴荟-1，有6=管- 于是2 a'v (+a, 起=公-1代入得 xo-a 2a r=b =b xo+a-2a =b ,x∈(a,+o) xo+a xo+a x,+a 易知r=b1 2a x∈(a,+o)时单调递增，且Iimb,1 2a=b, x0→+01 xo+a 由函数的单调性及极限的知识可知0<”<b, 因此双曲线的焦点三角形的内切圆半径的取值范围是(O,) 93/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6。(多选）(2026安微合肥模拟预测)类比于双曲线京厅=1(a>0,b>0),我们可将直线1： y-名x和直线：y=名x称为椭圆。+云=1(a>b>0)的“虚渐近线”.已知：4为椭圆c b x2 y2 a a 3+y=1的两条“虚渐近线”，且：4，与c的上半部分交于A'B两点，动点p在c上且在A'B之间 (不与A,B重合)，过P作椭圆的切线交，2于M,N,则下列说法正确的是() 56 A1:1所成夹角的大小为 B.四边形 面积的范围为 OAPB 2’2 1 C. 1OM1oN为定值 D.S2o+Spa=Sos 【答案】BCD 【分析】对于A,结合虚渐近线的定义求解即可；对于B,求出A,B两点坐标，结合SoPB=SoB+SPAB 1 及面积公式求解即可：对于C,联立切线方程及直线方程求出M'N坐标，代入OMON心化简求解 即可：对于D,求出S4oB,S△Po4,SPOB,代入化简求解即可 【详解】对千A,由愿意可知，马方程为y=士5。 3x,夹角为3，故A错误： x2 +y2=1 3 对于B,联立 (22 设P(,%),则x后+3=3，AB=6, 2%,%21 94/109 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以5wm= 2∈ 5√6 22 故B正确： 对于C,椭圆在p处的切线为号+=1， xox 3 +Yoy=1 联立切线与方程 3 ,可得3 y= M xo+3yoo+3yo 1 1 6+3月 则oMP 9+3 12 (6+3, 3 同理可得W 5）.1G-5 。-5%’-3%》1OW12 1， 所以 1（+5,飞-5_+3g+2x+5+3g-25x OMP JONP 12 12 12 2(6+36)_2x3_1 12 12-2’ 所以OMON为定值，故C正确： 2 2 所以8m+S66,-,+66+=66+2G-45%+6+2+4W5x) 626+4)+3)=S8. 所以Sno4+SpoB=SB,故D正确， PA 1 7.(2026四川雅安二模)已知点A(-1,3)B(4,3),动点p满足P82,记动点p的轨迹为曲线r’ 点Q在抛物线C:x2=8y上运动，过点Q作曲线T的切线，切点分别为M,N,则MN的最小值为 95/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4v5 【答案】 3 【分折】根据盟意，求得曲线的方程，得出MN-2OMM7:4 4 ot 结合两点间距离公式和函 数的性质，即可求得MN的最小值，得到答案 PA Vx+1)2+(y-3)2 1 【详解】设 (k)已知413)'B4,3)' 则PB Vx+4)+(y-3)2 2,整理得 2+0y-3}=4 所以点P的轨迹是以点(0,3)为圆心，2为半径的圆，所以「：2+(y-3)=4, 如图所示：设T(O,3),连接MT,NT,根据题意可知QM⊥MT,QN⊥NT, M 且MT=NT=2,QM=QN,连接Qr,可得四边形MQNT的面积为直角△QMT面积的2倍，且 QT⊥MN. 所以号Qr1-2x2uwm可得l1-20M7.4O- 4 =41 2 当，=0'即g与坐标原点重合时，QT取得最小值3，故MN的最小值为 v5 3 8.(2026山东烟台模拟预测)已知焦点在x轴的等轴双曲线C的焦距为4. (1)求C的标准方程； (2)设在C的左支上任意一点P处的切线为l,右焦点F关于I的对称点为，证明：直线PO过定点，并求 出该定点坐标： (3)设(2)中求得的定点为M,求△QMF面积的最大值. 96/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2 y2 【答案】四221 (2②定点(-2,0)，证明过程如下： 设点P(c,)儿，≤-√2)，则双曲线C在点P处的切线方程为xx-y=2, 已知双曲线石焦点F2,0)设点Q(,X)则线段F0的钟点M2,号】 2,2在切线，上，且F011 所以有如1即产克户男=-2》 y(x-2) 又因为中点在切线，上，所以x。+2- M %号-2=气2-%52·化简称 2 2 x(x+2)+y(x-2)=4x①， 因为P(,)在双曲线C上，所以后-=2→哈=后-2，代入①式化简得2x(6-1)=4(-), （2-2 yo 因为.：所以x=2则以 2%,所以点g2.2日 七≠1 七+1 =-（6+12 七+1 x。+1’x。+1 剑率知5乃（伍-为 则直线 2 为+1名 2-x7-x+2’ PO 根据点点斜式方程可得直线PQ的方程为 P%62x-户-6+2)=(x-)→y(+2)=%(+2 则直线过定点(-2,0) ③)42 【分析】(1)根据双曲线性质代入计算即可： (2)由垂直+中点在切线求Q坐标，整理P0方程，令不含参部分为0，得到M(-2,0): (3)MF定长为4，面积转化为。，代入Q坐标换元，二次函数顶点取最大值 【详解】(（)设等轴双曲线C的标准方程为。。=1(a>0),因为双曲线焦距为4，所以2c=4则 c=2, 在双曲线中有c2=a2+b2,又因为等轴双曲线中a=b,所以代入得a2=2, 97/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以双曲线C标准方程为22=1. (2)略 (3由题，Mm=2-2=4,设点oog),则saw=Mra=2a 由(2)可知，。= 4y0 x+1: 因为x≤-√2→k+=-(+1) 令1=x+1≤1-2)，因为=-2，所以听=(-1)-2=-21-1，代入得 w4-42 则当，-1令1=-1时，面积最大值为(Swr）)x=4W2 9.(2025云南玉溪模拟预测)己知0为坐标原点，动点P到x轴的距离为d,且OPP=元+ud,其中 入，均为常数，动点P的轨迹称为2，口)曲线， (1)若（亿，）曲线为椭圆，试问2,4应满足什么条件？ (②设唐线C为)曲线，与转不重合的直线1过点N化.06，+0，自线C上存在两点4，B关于直线 I对称，且AB的中点M的横坐标为x. ()若x=x,求实数2的值： (i)若A,B为曲线C在y轴右侧上两个不同的点，且直线I过点C(0,4),求∠4CB的取值范围. 【答案】(I)2>0,μ<1且4≠0 () 【分析】(1)根据已知条件求得方程x+(1-川)少=元，由椭圆的方程形式可列出不等式： (2)先求出曲线C的方程，()利用点差法列方程，化简求得正确答案：(i)设出直线AB的方程并与 98/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AM 双曲线方程联立，化简写出根与系数关系，由kckB=-结合弦长公式以及m<1CM一 CM来求得 正确答案。 【详解】(1)设P(化，y),则P到x轴的距离力，OP=x2+y2,d2=y2, 10PP=+ud2,x2+y2=+2,即x2+(1-四)y2=元 1>0 若 曲线为椭圆，则1-“>0，解得，且 (2,4 1≠1-4 2>04<14≠0 2心因为线c为)线，所以r+-》>-1,即C-芳-1， 4 (x).B(x22).M(x.yx). x-=1 3 因为两点在双曲线上，所以] A,B 3 两武相减释-云-号-昏得6-无+)--+以，可经= 所以kow·k4B=3 因为l是AB的垂直平分线，有k~kB=-1,所以koM=-3k, yM=-3x-YM 1 即XM xxw-式，化简得w=4, 因为B的中点M的楼坐标为x,所以x=子式 1 故元=4 (i) C B 由于x≠x,故可知直线AB斜率存在， 99/109 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=kx+m 设直线 的方程为：y=+m由3x2-y2=3 AB 消去y并整理得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0, 则3-k2≠0，△=(2hm)2+43-k2)(m2+3)=12(3+m2-k2）>0,即m2+3-k2>0, 2km 所以+三32x=一32、 所以y+2=k(x+x2)+2m=k 3-2+2m 2km 6m 3-k2, 于是、点的坐标为( m3m1,飞McsM-c=3-k2-4_3m-12+4k2 XM km km M 3-k23-k2 3-k2 易知ke6w=-1:所以加-2+4状。-】 km =解得：m=3-2 代入m2+3-k2>0得(3-2+(3-2)=(3-k2)4-2)>0,得0<k2<3或>4， 在双曲线p的石支上得：+心>0，得-<0即} 且x+x2= 2km=2k>0→k>0, 3-k2 综上得，k>2, 2 又CM= km 3m 3-2-0 (3-2-4 =V+k2 所以tan∠ACM AM +-4v+F 12W3m2-3k2+9 3m2-3k2+9 3 3+ CM V1+k2 3-k2 m2 3-k2 因为e4 所以m=3-<-故-3<3<0所以3+3∈(0，)， 3 3 所以∠4cu0所以∠cB=2∠4cu=0） 10.(2026山西析州模拟预测)已知椭圆C等+y2-1.过点70的直线，与椭圆c交于L6两点，设 M为线段AB的中点. (1)求点M的轨迹方程： (2)求△OAB面积的最大值，其中O为坐标原点， 100/109 重难点培优05 圆锥曲线中的最值、范围问题内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 题型深研·通法变式提能力 1 题型01 距离、长度的最值范围问题 2 题型02 面积的最值、范围问题 3 题型03 离心率的最值、范围问题 4 题型04 斜率有关的最值、范围问题 5 题型05 角度有关的最值、范围问题 6 题型06 周长有关的最值、范围问题 7 题型07 向量的最值、范围问题 8 题型08 坐标的最值、范围问题 9 题型09 代数式的最值、范围问题 10 题型10 参数的最值、范围问题 11 分层进阶·双阶训练验成效 12 巩固过关 12 创新提升 14 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1 圆锥曲线中的最值问题 1、常见题型分类 （1）距离与长度最值：包括曲线上动点到定点/定直线的距离、焦点弦长、三角形周长等。 （2）面积最值：如动直线与曲线相交构成的三角形或多边形面积的最值。 （3）向量与代数式最值：涉及向量数量积（如 ）、斜率之和/积、截距等代数表达式的极值。 2、核心求解方法 （1）几何法（数形结合）：若题目条件具有明显的几何特征，优先利用曲线定义、平面几何定理（如三角形三边关系、点到直线距离）或切线性质求解。此法往往能避开繁琐的代数运算，实现“秒杀”。 （2）代数法（函数与方程思想）：当几何特征不明显时，需引入参数（如斜率 、截距 或参数角 ），将目标几何量转化为关于该参数的函数。 构建目标函数：通过联立直线与曲线方程，利用韦达定理进行整体代换，建立目标函数。 求解最值：根据自变量的有效定义域（特别注意 的限制），利用二次函数配方法、三角换元法、导数法或基本不等式求出函数的最值。 总结：解决此类问题的核心在于“几何问题代数化，代数问题函数化”。解题时需先画图预判，优先尝试几何法；若行不通，则严谨地进行代数设参、联立、求导或放缩，并注意定义域的边界条件 知识点2圆锥曲线中的范围问题 1、常见题型分类 （1）几何量的范围：求弦长、三角形面积、点到直线距离等几何量的取值区间。 （2）坐标与截距的范围：求交点坐标、直线在坐标轴上的截距、线段中点坐标的取值范围。 （3）斜率与倾斜角的范围：求动直线斜率、倾斜角或两直线斜率之积/和的取值范围。 （4）曲线参数的范围：求离心率、半焦距等圆锥曲线自身参数的取值范围。 2、核心求解方法 （1）几何法（构造不等式）：充分利用圆锥曲线的几何性质（如椭圆上点的坐标范围 |x|≤a ）、隐含条件（如点在曲线内部）或平面几何定理（如三角形两边之和大于第三边），直接构造不等式求解。 （2）代数法（函数与判别式）： 判别式法：联立直线与曲线方程，利用相交条件 Δ>0 构造关于参数的不等式，这是确定参数范围最基础且关键的一步。 函数法：引入参数（如斜率 k ），将目标几何量转化为关于该参数的函数。结合参数自身的定义域，利用函数的单调性、配方法或基本不等式求出函数的值域，进而确定范围。 参数传递法：利用已知参数的范围，通过建立等量关系，求出新参数的范围。 总结：解决范围问题的核心在于“翻译与转化”。解题时需敏锐捕捉几何特征与代数限制（特别是 Δ>0 和变量自身范围），将几何问题转化为函数值域或不等式求解问题，做到严密推导，不漏边界。 题型深研·通法变式提能力 题型1 距离、长度的最值范围问题 【典例1-1】（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知动直线与圆O：相切，与椭圆相交于不同的两点A，B，则原点到的中垂线的最大距离为________． 【典例1-2】（2026·贵州黔西南·二模）已知双曲线的离心率为2，且过点. (1)求的方程； (2)设的左、右顶点分别为，，点是右支上异于的任意一点，直线，分别与直线交于点，. （i）证明：； （ii）求的取值范围. 【变式1-1】（2026·湖南株洲·三模）已知抛物线，P为C上的动点，Q为圆上的动点，设点P到y轴的距离为d，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】已知椭圆的一个焦点为，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆的圆心为为此圆上一点. (1)求椭圆的离心率； (2)记线段与椭圆的交点为，求的取值范围. 【变式1-3】（2026·上海·模拟预测）已知双曲线，焦距为. (1)求双曲线的标准方程与渐近线方程； (2)过点作斜率为的直线，与双曲线交于两点，若，求的值； (3)点为双曲线右支上动点，求的最小值（为双曲线左右焦点）. 题型2 面积的最值、范围问题 【典例2-1】（2026·河南·模拟预测）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，且的周长为，则的面积的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【典例2-2】（25-26高三下·河南·阶段检测）已知双曲线的右焦点为，左顶点为，，圆，到圆上点的距离的最大值为3. (1)求的方程； (2)已知过点的直线与的右支交于，两点，直线，分别交圆的另一点于，. （i）证明：； （ii）记四边形的面积为，的面积为，求的最小值. 【变式2-1】（多选）（2026·湖南长沙·三模）已知动点到点距离为，点到直线的距离为，且.动点的轨迹为曲线，为曲线上两个动点，则下列说法正确的是（    ） A．动点的轨迹方程为 B．最小值为18 C．若为等边三角形，则周长为 D．若，则的面积最小值为64 【变式2-2】（2026高三下·北京·竞赛）设直线与椭圆交于两点，过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点．则当四边形的面积最大时，直线的斜率为_____． 【变式2-3】（25-26高二下·湖北荆州·阶段检测）已知椭圆方程的左焦点为F，直线（）与椭圆E相交于A，B，点A在第一象限，直线与椭圆E的另一点交点为C，且点C关于原点O的对称点为D. (1)设直线，的斜率分别为，，求的值 (2)求面积的最大值. 【变式2-4】（2026·福建泉州·模拟预测）已知动点满足方程． (1)求动点的轨迹的方程； (2)设，，过点的直线与轨迹交于，两点（，两点均在轴右侧），直线与直线相交于点． （ⅰ）证明：直线恒过定点； （ⅱ）若直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，求面积的最小值． 【变式2-5】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆过点，离心率，过椭圆E的右焦点F作相互垂直的直线AB，CD与椭圆E分别交于A，B，C，D四点． (1)求椭圆E的标准方程； (2)求四边形ACBD面积的最小值． 题型3 离心率的最值、范围问题 【典例3-1】（25-26高三上·山西临汾·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，则椭圆离心率的范围为（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2026·福建南平·二模）已知为双曲线上一动点，若存在点到轴、轴的距离之比为，则双曲线的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026高三·全国·专题练习）设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若到两焦点的距离之比为，则离心率范围为________． 【变式3-2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知点为椭圆的长轴端点，为椭圆上一点，若直线的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是_______． 【变式3-3】（2026·云南昆明·模拟预测）曲线族是指具有某种共同性质的集合，若曲线族中存在无数个点在过原点的直线上，称该曲线族为“M族”，若曲线族是M族，且所有满足M族定义的直线均与双曲线有交点，则的离心率的范围为__________． 题型4 斜率有关的最值、范围问题 【典例4-1】（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）设抛物线的焦点为F，P为C上任意一点，O为坐标原点，M为线段的中点，则直线斜率的最大值为（ ） A． B．1 C． D． 【典例4-2】已知椭圆的中心为坐标原点，记的左、右焦点分别为，，上下顶点为，，且是边长为2的等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于，两点，且，求直线斜率范围. 【变式4-1】（25-26高二下·四川成都·期末）已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于，两点，点在上，． (1)若椭圆的离心率为． ①求椭圆的方程； ②若时，求的面积； (2)当时，求的取值范围． 【变式4-2】（25-26高二上·重庆·期末）已知抛物线的焦点是，点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知点为抛物线上一点，为坐标原点，平面上一动点满足，求直线斜率的取值范围． 【变式4-3】（2026·天津东丽·二模）设椭圆的上顶点为，点，为坐标原点，已知的面积为． (1)求椭圆的离心率； (2)已知直线与椭圆相切，过点B的直线与椭圆交于C，D两点，过点C，D作l的垂线，垂足分别为M，N两点（M，N两点不重合）．记直线CN，DM的斜率分别为，，求的取值范围． 【变式4-4】（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知双曲线的左顶点为A，过点的直线l交双曲线C于M、N两点，点M在第一象限． (1)若双曲线C的焦距为，求该双曲线C的离心率e； (2)若双曲线C的一条渐近线方程为，点M、N均在双曲线C的右支，且存在实数，使得成立，求直线l的斜率的取值范围． 题型5 角度有关的最值、范围问题 【典例5-1】（2026·天津滨海新区·三模）已知椭圆的长轴为4，离心率． (1)求椭圆的标准方程； (2)过原点的直线与交于不同的两点（在第一象限），过作平行于轴的直线交轴于点，取中点，作直线交于点，求的最大值． 【变式5-1】（25-26高三上·山东滨州·期末）已知为抛物线上的任意一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·福建泉州·三模）已知动圆与已知圆外切，与圆内切，记的轨迹为． (1)求的方程； (2)已知，直线斜率存在，且与轨迹相交于，两点，与轴相交于点，． （i）证明：直线过定点； （ii）若与轴相交于，两点，求向量，的夹角的最大值． 【变式5-3】（2026·广东揭阳·二模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交于右支两点. (1)求双曲线的方程； (2)证明存在轴上的一点，使得为定值； (3)求的最大值. 题型6 周长有关的最值、范围问题 【典例6-1】（25-26高三上·安徽阜阳·开学考试）已知椭圆：的左焦点为，不经过且斜率为的直线交于，两点.当的周长最大时，（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2026·河北保定·模拟预测）已知点，点在线段上(不含端点)运动，且动点满足，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点作两条平行线，分别与曲线在轴上方交于两点，求四边形周长的最大值. 【变式6-1】（多选）（2026·吉林·三模）已知椭圆，，分别是椭圆C的左右焦点，O是坐标原点，P是椭圆C上任意一点，点，则下列结论正确的有（    ） A．的周长为6 B．的面积为时， C．周长的最小值是 D．面积的最大值为 【变式6-2】（2026·上海普陀·二模）设，，、，双曲线的一条渐近线方程是，点为右支上的一点，直线的方程是，是坐标原点. (1)若点的坐标为，求双曲线的方程； (2)若直线经过点，且与交于、两点，直线、的斜率分别为、，求的值； (3)设点是的左焦点，点、是的左、右两个顶点，直线与直线交于点，直线经过点与的右支交于另外一点（不与重合），若，且直线恒过点，求周长的取值范围. 题型7 向量的最值、范围问题 【典例7-1】（2026·河北沧州·模拟预测）已知是圆上的动点，且， 当点满足，点在椭圆上运动时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】2026·陕西渭南·三模）已知点P为椭圆上任意一点，直线l过的圆心且与交于A，B两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知过双曲线上一点的切线方程，若为双曲线上的动点，，，直线与双曲线的两条渐近线交于，两点（点在第一象限），与在同一条渐近线上，则的最小值为________. 【变式7-3】（2026·河北邯郸·三模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上． (1)求的方程； (2)设直线：与交于、两点． （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）若为平面上一点，且，求的最大值． 题型8 坐标的最值、范围问题 【典例8-1】（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过点的直线与相交于两点，且， (1)若为线段AC的中点， （i）求直线的斜率； （ii）求|AC|； (2)若点在抛物线上，满足，求取值范围． 【典例8-2】已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】已知抛物线过点，焦点为． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点且斜率为1的直线交抛物线于A、两点，若在以为直径的圆内，求实数的取值范围． 【变式8-2】（2026·山东青岛·一模）已知椭圆上有两个动点满足，为线段的中点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2026·天津南开·模拟预测）已知椭圆：，，为原点，椭圆的左右焦点分别为，，并且经过点， (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆的左右顶点分别为，，直线与椭圆有且仅有一个公共点，点不与，重合，设直线，的斜率分别为，． （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）设的平分线与轴交于点，求的取值范围． 【变式8-4】（25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是．记点的轨迹为曲线．，在曲线上． (1)求曲线的方程； (2)过的直线与曲线相切，求切线方程； (3)若是钝角三角形，求点横坐标的取值范围． 题型9代数式的最值、范围问题 【典例9-1】（2026·天津红桥·一模）已知椭圆的一个焦点与短轴的两个端点围成的三角形面积是1，离心率． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于不同两点，与圆相切于点． ①证明：（为坐标原点）； ②设，求实数的取值范围． 【变式9-1】（多选）（25-26高二上·江西抚州·期中）已知椭圆C：的左右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（   ） A．离心率的取值范围为 B．当离心率为时，的最大值为 C．不存在点Q，使得 D．的最小值为 【变式9-2】（25-26高二上·广西贺州·阶段检测）已知椭圆的离心率为，且过点，其左、右顶点分别为，为椭圆上异于的两点． (1)求椭圆的方程． (2)设直线的斜率分别为，且直线过定点． ①设和的面积分别为，求的最大值； ②证明为定值，并求出该定值． 【变式9-3】（25-26高三上·天津·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的一点. (1)求椭圆的方程； (2)过右焦点的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值. 【变式9-4】（2026·湖南岳阳·三模）已知双曲线的离心率为，其右顶点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线右焦点作垂直于轴的直线，与双曲线交于M，N两点，点为双曲线位于y轴正半轴的虚轴端点，求的面积； (3)设P，Q为双曲线上不同的两点，且，证明：点到直线PQ的距离为定值，并求的最小值． 题型10参数的最值、范围问题 【典例10-1】（2026·云南昭通·模拟预测）如图，已知椭圆的方程为，直线与椭圆交于两点（点在第一象限）．当时，在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点．    (1)求的标准方程； (2)若轴于点，连接BM并延长交于点，记直线的斜率为． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）设，求的取值范围． 【变式10-1】（2026·湖南长沙·二模）已知双曲线，，左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于，两点． (1)若离心率时，求的值； (2)若，为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标； (3)设直线与双曲线另一个交点为，若，求的取值范围． 【变式10-2】（25-26高三下·山东·阶段检测）已知是坐标原点，双曲线左顶点，直线过点交的右支于两点，记的面积分别为，．且当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线交轴于点， （i）若，求证：为定值； （ii）在（i）条件下，若，当时，求的取值范围． 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．（25-26高三上·江苏常州·期末）已知椭圆的焦点在轴上，是的上顶点，若上存在点使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·四川成都·期末）已知椭圆的焦点分别为，若点在椭圆上，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高二上·天津·期末）已知，，点在曲线上，则的面积（   ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 4．（2026·吉林延边·三模）已知P是抛物线C：上的动点，若点P到直线距离的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．10 5．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知为椭圆的左焦点，抛物线与椭圆交于两点，当变化时， 周长的最大值为（    ） A．8 B．6 C． D． 6．（多选）（2026·福建宁德·二模）设抛物线的焦点为，准线为.过的直线交于两点，过，作的垂线，垂足分别为，则（    ） A． B．的最小值为2 C．若为的中点，则 D．点到上点的距离的最小值为3 7．（多选）（2026·四川绵阳·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，斜率为k的直线过点与双曲线的右支交于两点，与y轴交于点A，M为C上的一个动点，则下列说法正确的是（     ） A．若，则的周长为20 B．k的取值范围是 C．若，则 D．当时，的最小值为 8．（多选）（2026·湖南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的上顶点为，左焦点为，且，，点为椭圆上一点，圆的半径为2，过原点作圆的两条切线，，分别交椭圆于，若直线，的斜率都存在，分别记为，，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的最小值为 C．的值为 D．的最大值为 9．（2026·四川宜宾·模拟预测）已知椭圆与双曲线有相同焦点，记为，，设椭圆与双曲线的离心率分别为，则的最小值为_________． 10．（2026高三上·全国·专题练习）若点是双曲线的第一象限的任意一点，求的最小值________ 11．（2026高三下·湖北·竞赛）设，是椭圆上不同于顶点的两个动点，为坐标原点，直线，的斜率分别记为，．如果椭圆上存在点满足，其中， (1)证明：为定值； (2)求的最大值． 12．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知双曲线的离心率为2，点在上． (1)求的渐近线方程； (2)若直线交双曲线的右支于两点，线段的垂直平分线过点． （i）求与之间的数量关系式； （ii）求的取值范围． 创新提升 1．（25-26高二上·江西九江·阶段检测）已知直线与椭圆交于两点，则的最大值为（     ） A．2 B． C． D．4 2．（2026·山西吕梁·三模）已知点P为抛物线上一点，过点P作圆C：的两条切线，则切线长的最小值为（   ） A． B．3 C．7 D．9 3．（2026·山东潍坊·三模）已知椭圆：，，为的左、右焦点，为上的一个动点（异于左、右顶点），设的外接圆半径为，内切圆半径为，则的最小值为（     ） A． B．1 C． D．2 4．（多选）（2026·山西忻州·模拟预测）点在椭圆的第一象限部分运动．以为对角线作矩形，矩形的边分别平行于坐标轴，其中为坐标原点．设该矩形的面积为，周长为．则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为1 B．的最大值为 C．当取得最大值时， D．满足的点有且仅有两个 5．（多选）（2026·河南·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在双曲线C的右支上，且，则（   ） A．当时，的面积为 B．当时，的周长为 C．当为钝角时， D．内切圆的半径的取值范围是 6．（多选）（2026·安徽合肥·模拟预测）类比于双曲线，我们可将直线：和直线：称为椭圆的“虚渐近线”.已知，为椭圆：的两条“虚渐近线”，且，与的上半部分交于，两点，动点在上且在，之间（不与，重合），过作椭圆的切线交，于，，则下列说法正确的是（     ） A．，所成夹角的大小为 B．四边形面积的范围为 C．为定值 D． 7．（2026·四川雅安·二模）已知点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，点在抛物线：上运动，过点作曲线的切线，切点分别为，，则的最小值为______． 8．（2026·山东烟台·模拟预测）已知焦点在轴的等轴双曲线的焦距为4． (1)求的标准方程； (2)设在的左支上任意一点处的切线为，右焦点关于的对称点为，证明：直线过定点，并求出该定点坐标： (3)设（2）中求得的定点为，求面积的最大值． 9．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中λ，μ均为常数，动点P的轨迹称为曲线． (1)若曲线为椭圆，试问λ，μ应满足什么条件？ (2)设曲线C为曲线，与x轴不重合的直线l过点，曲线C上存在两点A，B关于直线l对称，且AB的中点M的横坐标为x． （i）若，求实数的值； （ii）若A，B为曲线C在y轴右侧上两个不同的点，且直线l过点，求的取值范围． 10．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆．过点的直线与椭圆交于两点，设为线段的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)求面积的最大值，其中为坐标原点． 11．（2026·广西崇左·二模）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，的最小值为4. (1)求的方程. (2)记过点且与相切的直线为，过点作直线的垂线交于另一点，求的最小值. (3)是否存在定圆，使得以为直径的圆始终与相切？若存在，求圆的方程；若不存在，说明理由. 12．（2026·浙江宁波·二模）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)已知点，斜率为的直线与椭圆交于两点.当的面积最大时，求直线的方程. 13．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知椭圆：的短轴长为2，且过点，设点为椭圆在第一象限内一点. (1)求椭圆方程； (2)点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点.记直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）当最大时，求直线方程. 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $