重难点培优05 不等式恒（能）成立问题（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦不等式恒（能）成立问题核心考点，以分类讨论、分离参数、双变量拆解等方法为主线，构建从单变量到双变量的知识体系。通过知识精讲梳理重难技巧，题型深研结合真题变式提能力，分层训练验成效，形成系统复习链条。 资料创新采用“方法-题型-应用”三阶教学模式，如双变量问题拆解法培养学生数学思维与逻辑推理能力，精选全国卷真题及模拟题分层设练。通过典例精讲与即时反馈，帮助学生高效突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

重难点培优05 不等式恒(能)成立问题内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 题型深研·通法变式提能力 题型1 分离参数法解决恒（能）成立问题 题型2 分类讨论法解决恒（能）成立问题 题型3 拆解法求解双变量的恒（能）成立问题 题型4 双变量恒(能)成立问题 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 创新提升 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1分类讨论法解决恒（能）成立问题 根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可. 知识点2分离参数法解决恒（能）成立问题 分离参数法是将含参不等式中的参数通过恒等变形，使参数与其变量分离的一种方法.一般地，若a＞f（x）对x∈D恒成立，则只需a＞f（x）max；若a＜f（x）对x∈D恒成立，则只需a＜f（x）min.若存在x0∈D，使a＞f（x0）成立，则只需a＞f（x）min；若存在x0∈D，使a＜f（x0）成立，则只需a＜f（x）max.由此构造不等式，求参数的范围. 知识点3拆解法求解双变量的恒（能）成立问题 “双变量”的恒（能）成立问题可以拆解求参数，进行等价变换，常见的拆解转换有： （1）∀x1，x2∈D，f（x1）＞g（x2）⇔f（x）min＞g（x）max； （2）∀x1∈D1，∃x2∈D2，f（x1）＞g（x2）⇔f（x）min＞g（x）min； （3）∃x1∈D1，∀x2∈D2，f（x1）＞g（x2）⇔f（x）max＞g（x）max. 题型深研·通法变式提能力 题型1 分离参数法解决恒（能）成立问题 【例1】 (2020·全国Ⅰ卷T21节选)已知函数f(x)=ex+ax2-x.当x≥0时,f(x)≥x3+1恒成立,求a的取值范围. 【变式1】（2026·安徽蚌埠模拟节选）已知函数（）．若恒成立，求a的取值范围． 【变式2】（浙江省宁波市“十校”2026届高三下学期3月联考节选）已知函数为自然对数的底数，若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【变式3】（2026·湖南株洲二模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)分析的单调性； (3)当时，恒成立，求的取值范围. 题型2 分类讨论法解决恒（能）成立问题 【例2】（2024全国甲（理）卷T21节选）已知函数．当时，恒成立，求的取值范围． 【变式1】（辽宁省名校联盟2026年高考模拟节选）已知函数，若关于的不等式有解，求的取值范围. 【变式2】（2026·辽宁沈阳·二模）已知函数． (1)若存在，使成立，求k的取值范围； (2)已知，若在上恒成立，求k的最小值． 【变式3】（2026·北京怀柔一模）已知函数，． (1)若存在x使得成立，求a的取值范围； (2)当时，在定义域内恒成立，求b的取值范围． 题型3 拆解法求解双变量的恒（能）成立问题 【例3】设函数f(x)＝(x－1)·(ex－e)，g(x)＝ex－ax－1，其中a∈R.若∀x2∈[0，＋∞)，都∃x1∈R，使得不等式f(x1)≤g(x2)成立，求a的取值范围. 【变式1】已知函数f（x）＝aex－4，g（x）＝ln x－x－1，其中e为自然对数的底数，a∈R.若对任意的x2∈（0，1]，总存在x1∈（0，1]，使得f（x1）≥g（x2），求a的取值范围. 【变式2】（2025·河北保定·一模）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若关于的不等式有实数解，求的取值范围. 题型4 双变量恒(能)成立问题 【例4】2026·江苏南京二模）已知函数． (1)若函数在区间上单调递增，求实数a的最小值； (2)若函数，对，，使成立，求实数a的取值范围． 【变式1】（2026·湖北黄冈一模）已知函数． (1)若函数，求函数的单调区间； (2)若函数有两个不同的零点，记两个零点分别为，且． ①求a的取值范围； ②已知，若不等式恒成立，求的取值范围． 【变式2】（2026·天津滨海新区·三模）已知函数（是自然对数的底数）． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，使得对恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数，且满足，证明：． 【变式3】（2026·河南安阳·模拟预测）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求； (2)当时，讨论的极值点个数； (3)若有两个零点，当取最大值时，求的值. 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）设函数，． (1)求函数在处的切线方程； (2)是否存在实数，使得关于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 2．（2026·江苏无锡一模）已知函数． (1)当时，求在区间上的最大值； (2)当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 3．（2026·江苏连云港二模）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若对恒成立，求的取值范围． 4．（2026·上海闵行·期末）已知 ， ． (1)当 时，求函数的单调区间和极值； (2)若 恒成立，求的取值范围． 5．（2026·湖北·三模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，，求实数的取值范围． 6．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若对任意的，恒成立，求m的取值范围． 7．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知函数. (1)若关于的方程有且只有一个根，求的值； (2)若对于任意的，恒成立，求的取值范围. 8．（2026·山东青岛一模）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数m的取值范围. 9．（2026·吉林辽源二模）已知函数． (1)求函数的导函数； (2)求的极值； (3)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 10．（2026·河南郑州一模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意的，都有，求m的取值范围． 11．（2026·甘肃·模拟预测）已知函数，其导函数为. (1)当时，求函数的值域； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 创新提升 12．（2026·浙江杭州二模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：曲线是轴对称图形； (3)若，恒成立，求的最大值和的最小值． 13．（2026·河北衡水二模）已知函数（）． (1)若在处取得极值，求的值； (2)求函数的最值； (3)设，若，，恒成立，求实数的取值范围． 14．（2026·河南·阶段检测）已知函数，其中， 为自然对数的底数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：； (3)若对任意 ，不等式恒成立，求实数的取值范围． 15．（2026·海南三亚·一模）已知函数（），． (1)讨论函数的单调性； (2)若的图像在处的切线与的图像相切，求实数的值； (3)当时，证明：对任意的，恒成立． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优05 不等式恒(能)成立问题内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 题型深研·通法变式提能力 题型1 分离参数法解决恒（能）成立问题 题型2 分类讨论法解决恒（能）成立问题 题型3 拆解法求解双变量的恒（能）成立问题 题型4 双变量恒(能)成立问题 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 创新提升 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1分类讨论法解决恒（能）成立问题 根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可. 知识点2分离参数法解决恒（能）成立问题 分离参数法是将含参不等式中的参数通过恒等变形，使参数与其变量分离的一种方法.一般地，若a＞f（x）对x∈D恒成立，则只需a＞f（x）max；若a＜f（x）对x∈D恒成立，则只需a＜f（x）min.若存在x0∈D，使a＞f（x0）成立，则只需a＞f（x）min；若存在x0∈D，使a＜f（x0）成立，则只需a＜f（x）max.由此构造不等式，求参数的范围. 知识点3拆解法求解双变量的恒（能）成立问题 “双变量”的恒（能）成立问题可以拆解求参数，进行等价变换，常见的拆解转换有： （1）∀x1，x2∈D，f（x1）＞g（x2）⇔f（x）min＞g（x）max； （2）∀x1∈D1，∃x2∈D2，f（x1）＞g（x2）⇔f（x）min＞g（x）min； （3）∃x1∈D1，∀x2∈D2，f（x1）＞g（x2）⇔f（x）max＞g（x）max. 题型深研·通法变式提能力 题型1 分离参数法解决恒（能）成立问题 【例1】 (2020·全国Ⅰ卷T21节选)已知函数f(x)=ex+ax2-x.当x≥0时,f(x)≥x3+1恒成立,求a的取值范围. 【解】由f(x)≥x3+1得 ex+ax2-x≥x3+1,其中x≥0, ①当x=0时,不等式为1≥1,显然成立,此时a∈R. ②［第1步“分离参数”］ 当x>0时,得a≥-, ［第2步“构造函数"] 记g(x)=-，g'(x)=-. 令h(x)=ex-x2-x-1(x>0)，则h'(x)=ex-x-1, 令H(x)=ex-x-1,则H'(x)=ex-1>0, 故h'(x)在(0,+∞)上单调递增, 因此h'(x)>h'(0)=0, 故函数h(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴h(x)>h(0)=0, 即ex-x2-x-1>0恒成立, 故当x∈(0,2)时,g'(x)>0,g(x)单调递增; 当x∈(2,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减. ［第3步“求函数最值，得参数范围”］ 因此,g(x)max=g(2)=, 综上,实数a的取值范围是. 【变式1】（2026·安徽蚌埠模拟节选）已知函数（）．若恒成立，求a的取值范围． 【解】，其中， 所以问题转化为（）恒成立， 记，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 的最大值为，所以． 【变式2】（浙江省宁波市“十校”2026届高三下学期3月联考节选）已知函数为自然对数的底数，若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【解】当时，恒成立，此时； 当时，问题转化为对任意的恒成立， 令，则， 令， 则， 因为，所以，则在上单调递增， 又因为，故当时，---3分 则在上单调递减； 当时，则在上单调递增， 所以，所以 当时，问题转化为对任意的恒成立， 仿上设函数，则有， 因为，所以，则函数在上单调递减， 所以， 故当时，， 所以函数在上单调递减， 所以，所以 综上所述，的取值范围为． 【变式3】（2026·湖南株洲二模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)分析的单调性； (3)当时，恒成立，求的取值范围. 【解】（1）当时，得到，则， ，则， 所以切线方程为，即. （2）由题意得， 可得， 当时，当时，，单调递减， 当时，，单调递增; 当时，的解为， ①当，即时，，则在上单调递增； ②当，即时， 在区间上，，在区间上，， 所以的单调增区间为；单调减区间为； ③当，即时， 在区间上，，在区间上，， 故的单调增区间为；单调减区间为. （3）由题意得当时，恒成立， 等价于“当时，恒成立”. 即在上恒成立. 此时，所以恒成立. 设，则， 因为，所以，所以在区间上单调递增. 所以，所以. 综上所述，的取值范围是. 题型2 分类讨论法解决恒（能）成立问题 【例2】（2024全国甲（理）卷T21节选）已知函数．当时，恒成立，求的取值范围． 【解】， ［第1步“构造函数”］ 设， 则， ［第2步“分类讨论”］ 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； ［第3步“总结得参数范围”］ 综上，. 【变式1】（辽宁省名校联盟2026年高考模拟节选）已知函数，若关于的不等式有解，求的取值范围. 【解】由题意得有解，即有解. 令， 则 若，则， 则，符合题意； 若，即，则，不符合题意； 若，当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以 解得. 综上，的取值范围为. 【变式2】（2026·辽宁沈阳·二模）已知函数． (1)若存在，使成立，求k的取值范围； (2)已知，若在上恒成立，求k的最小值． 【解】（1）由得， 可得存在，使成立， 令，，令得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 若存在，使成立，则； （2）， 若在上恒成立， 则在上恒成立， 令，则， 令，则（舍）或， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 则，则k的最小值为． 【变式3】（2026·北京怀柔一模）已知函数，． (1)若存在x使得成立，求a的取值范围； (2)当时，在定义域内恒成立，求b的取值范围． 【解】（1）函数的定义域为，求导得， 时：若，则，故恒成立，在上单调递增； 当时，，必然存在x使得成立，符合要求； 时：令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 在处取得极大值，即为最大值，， 要存在使得，需满足，解得； 当时，的最大值为，恒成立，不符合题意； 综上，a的取值范围为． （2）由（1）可知时，的最大值， 在上恒成立， 在定义域内恒成立，等价于在内恒成立， 令，则，求导得， 当时，，则，故，在上单调递增， ，满足在内恒成立，符合要求； 当时，令，解得， 时，，单调递减； 时，，单调递增； 在处取得最小值：， 令，求导得， 故在上单调递减，，即， 存在使得，不符合要求； 综上，b的取值范围为． 题型3 拆解法求解双变量的恒（能）成立问题 【例3】设函数f(x)＝(x－1)·(ex－e)，g(x)＝ex－ax－1，其中a∈R.若∀x2∈[0，＋∞)，都∃x1∈R，使得不等式f(x1)≤g(x2)成立，求a的取值范围. 【解】第1步：构造函数f(x)，研究函数f(x)的单调性、最值 由题意，f(x)＝(x－1)(ex－e)，x∈R， 当x<1时，x－1<0，ex－e<0，∴f(x)>0， 当x≥1时，x－1≥0，ex－e≥0， ∴f(x)≥0，∴f(x)≥0恒成立， 且f(x)min＝f(1)＝0. ∵∀x2∈[0，＋∞)，都∃x1∈R，使得不等式f(x1)≤g(x2)成立， ∴∀x2∈[0，＋∞)，f(x1)min≤g(x2)恒成立， 第2步：构造函数g(x)，研究函数g(x)的单调性、最值 因∀x2∈[0，＋∞)，g(x2)≥0恒成立， 即∀x∈[0，＋∞)，g(x)＝ex－ax－1≥0恒成立. g′(x)＝ex－a，易知g′(x)在[0，＋∞)上单调递增， ∴当x≥0时，g′(x)≥g′(0)＝1－a， ①当1－a≥0，即a≤1时，g′(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴g(x)在[0，＋∞)上单调递增， ∴此时g(x)在[0，＋∞)上的最小值为g(0)＝0， ∴a≤1满足题意； ②当1－a<0，即a>1时， 令g′(x)＝ex－a＝0，得x＝ln a， ∴当x∈(0，ln a)时，g′(x)<0； 当x∈(ln a，＋∞)时，g′(x)>0， ∴g(x)在(0，ln a)上单调递减， 在(ln a，＋∞)上单调递增，而g(0)＝0， ∴此时g(x)在[0，＋∞)上的最小值为g(ln a)<0， ∴a>1不满足题意. 综合①②可得，a的取值范围为(－∞，1]. 【变式1】已知函数f（x）＝aex－4，g（x）＝ln x－x－1，其中e为自然对数的底数，a∈R.若对任意的x2∈（0，1]，总存在x1∈（0，1]，使得f（x1）≥g（x2），求a的取值范围. 【解】任意的x2∈（0，1]，总存在x1∈（0，1]，使得f（x1）≥g（x2）， 则f（x）max≥g（x）max， 因为g（x）＝ln x－x－1， 则g'（x）＝－1＝≥0对任意的x∈（0，1]恒成立， 所以函数g（x）在区间（0，1]上单调递增，则g（x）max＝g（1）＝－2. 因为f（x）＝aex－4， 所以当a＝0时，f（x）＝－4，不满足f（x）max≥g（x）max，故a≠0； 当a＞0时，f（x）＝aex－4在（0，1]上单调递增， 所以f（x）max＝f（1）＝ae－4，即ae－4≥－2，解得a≥； 当a＜0时，f（x）＝aex－4在（0，1]上单调递减，f（x）＜f（0）＝a－4＜－2，不满足题意. 综上，a的取值范围为［，＋∞）. 【变式2】（2025·河北保定·一模）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若关于的不等式有实数解，求的取值范围. 【解】（1）当时，， 则， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，无极小值. （2）由题得2a）， 当时，，不符合题意； 当时，令，得； 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以 由 得，解得； 当时，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 由， 得，解得. 综上，的取值范围为. 题型4 双变量恒(能)成立问题 【例4】2026·江苏南京二模）已知函数． (1)若函数在区间上单调递增，求实数a的最小值； (2)若函数，对，，使成立，求实数a的取值范围． 【解】（1）因为，所以， 又因为函数在区间上单调递增，所以， 所以恒成立， 单调递增，所以，所以； （2）函数，对，，使成立， 所以， 函数， 当单调递减，所以， 因为，所以， 因为单调递增，所以， 当时，所以，所以单调递减，所以，所以，，所以； 当时，， ，所以单调递减，，所以单调递增， ，所以最大值是中较大的，所以且， 所以， 当时，所以，所以单调递增，所以，所以，，所以无解； 综上得：. 【变式1】（2026·湖北黄冈一模）已知函数． (1)若函数，求函数的单调区间； (2)若函数有两个不同的零点，记两个零点分别为，且． ①求a的取值范围； ②已知，若不等式恒成立，求的取值范围． 【解】（1）由题意得的定义域为，， 当时，，则在区间内单调递增； 当时，由，得，（舍去）， 当时，，单调递增，当时，，单调递减． 所以当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）①依题意，函数的定义域为， 所以函数有两个不同的零点， 可得方程在有两个不同根， 得到函数与函数的图象在上有两个不同交点， 又，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以． 又有且只有一个零点是1，且在时，，在时，， 如图，的图象如下： 可见，要想函数与函数在图象上有两个不同交点，只需． ②由①可知分别为方程的两个根，即，， 所以原式等价于． 因为，，所以原式等价于． 又由，作差得，，即， 所以原式等价于． 因为，原式恒成立，即恒成立， 令，，则不等式在上恒成立． 令，则． 当时，可见时，，所以在上单调递增， 又，在恒成立，符合题意； 当时，可见当时，；当时，， 所以在时单调递增，在时单调递减． 又，所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去． 综上所述，若不等式恒成立，只须，又，所以． 【变式2】（2026·天津滨海新区·三模）已知函数（是自然对数的底数）． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，使得对恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数，且满足，证明：． 【解】（1）∵，切点为， ∵， 则曲线在处的切线方程为. （2）， 等价于， 则使得成立，只需， ，当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以在上有最小值， ， 即对恒成立， 令，即， ，， ①当时，，所以单调递增， 在，不符合题意， ②当时，由，得，则函数在上单调递增， 由，得，则函数在上单调递减， 故的最大值为，解得． （3）因为，令， 由（2）知在上单调递减，在上单调递增，，则， ①当时，所以，又， 故， 函数在上单调递减， 又，则， 要证明，只需证明，只需证明， 即， 令函数，求导得， 又，不妨设，则， 由在上单调递减，得， 当时，， 即， 因此， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 当时，，函数在上单调递减， 由，得，即，因此； ②当时，可知有两个极值点，且， 函数在上单调递减，在上单调递增， 由为极值点，得，即， 则， 又， 则． 对任意，由，得，则， 因此，即． 综上可知． 【变式3】（2026·河南安阳·模拟预测）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求； (2)当时，讨论的极值点个数； (3)若有两个零点，当取最大值时，求的值. 【解】（1）， 则有，解得； （2）当时，，则， 令，则， 当时，，，故在上单调递减， 此时无极值点； 当时，恒成立，故在上单调递减， 又，当时，， 故存在，使得， 当时，，时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 此时有唯一极值点； 当时，若，，若，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又， 令，则在上单调递减，又， 故当时，，故在上单调递减， 此时无极值点； 当时，，又， 当时，， 故存在、，使得， 当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 故此时存在两个极值点、； 综上所述：当时，的极值点个数为； 当时，的极值点个数为； 当时，的极值点个数为； （3）若，则，令， 即，令，则， 令，则， 若，则，即单调递增，不可能有两个零点，不符； 若，则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 由题意可得有两个零点，则， 即有，又时，，时，， 故此时有两个零点，设为、，且，则，， 有，， 作差得， 令，则，则， 即，则， 由，可得， 则，即， 又，故， 令，则，故单调递减， 则，故，则恒成立， 令，则， 令，则，故单调递增， 则， 即对任意，恒成立， 且越大，越小，即越大， 由，则也会越大， 因此的最大值与的最大值可同时取到， 即当取最大值时，也取得最大值， 令，， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故时，取得最大值， 即取最大值时，的值为. 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）设函数，． (1)求函数在处的切线方程； (2)是否存在实数，使得关于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解】（1）由，则， 又，所以该切线方程为，即． （2）由题意可知的定义域为且， 若关于的不等式在上恒成立，且， 则，解得， 若，当时，， 可知在上为减函数，则在上恒成立， 综上，的取值范围是． 2．（2026·江苏无锡一模）已知函数． (1)当时，求在区间上的最大值； (2)当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解】（1）当时，， 求导得，令，得和， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，故为极小值点，为极大值点， 计算极大值，端点值，， 故在区间上的最大值为. （2）当时，恒成立； 当时，不等式变形，由于， 可得， 令，由得，，设， 求导得， 令，得定义域内临界点（舍去）： 时，，单调递减；时，，单调递增， 因此在处取最小值，要使恒成立，得， 综上，实数的取值范围为. 3．（2026·江苏连云港二模）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若对恒成立，求的取值范围． 【解】（1）当时，，函数定义域为， 所以， ，切线斜率， 则曲线在点处的切线方程为. （2）因为函数，函数定义域为， 所以， 因为，故，导数符号由决定，分情况讨论： 若时，恒成立，，在上单调递减； 若时，令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由不等式化简得：，因，变形得：. 所以对，不等式恒成立. 令，求导得， 当时，，，故，在上单调递减， 因此的最大值为， 故， 即的取值范围为. 4．（2026·上海闵行·期末）已知 ， ． (1)当 时，求函数的单调区间和极值； (2)若 恒成立，求的取值范围． 【解】（1）当 时， ，得 . 令 ，解得. 当 时， ，单调递减；当 时， ，单调递增. 故函数在处取极小值， ，无极大值. 因此，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；极小值为，无极大值； （2）对，函数定义域为 ，得，分情况讨论： ① 若 ，因为 ，所以 恒成立，函数在R上单调递增， 且当 时 ，不满足 ，舍去； ② 若 ， 恒成立，符合要求； ③ 若 ，令 得 ，且 在 R上单调递增. 当 时， ，函数单调递减， 时， ，函数单调递增， 所以函数在 处取得极小值也是最小值，最小值为. 令 ，结合 ，解得 ，即 综上所述，的取值范围是. 5．（2026·湖北·三模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，，求实数的取值范围． 【解】（1）．   当时，恒成立，故函数在单调递增；   当时，令得． 故当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，函数在单调递增； 当时，函数在上单调递减， 在上单调递增； （2）令，，， ，，． 令，， 而在恒成立，即在单调递增， 故当，即时，，在单调递增， 在恒成立； 当，即时，当时，， 所以，存在，使得时，，时，， 所以在单调递减，在上单调递增， 故由可知，时，与在恒成立矛盾；   综上，实数的取值范围是． 6．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若对任意的，恒成立，求m的取值范围． 【解】（1）当时，，则． 由，得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增． （2）由，得．因，则得， 依题意，只需即可. 设函数，则，由，得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即， 所以，即的取值范围为． 7．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知函数. (1)若关于的方程有且只有一个根，求的值； (2)若对于任意的，恒成立，求的取值范围. 【解】（1）关于x的方程有且只有一个根，即有且只有一个根， 所以有且只有一个根． 令，则，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，，当时，， 所以． （2）恒成立，即恒成立， 令（）， 则，令，则． ①若，则，在上单调递减， 所以，即，则在上单调递减， 所以，故满足条件． ②若，令，得． （ⅰ）当，即时，在上单调递减， 所以，即，则在上单调递减， 所以，故满足条件． （ⅱ）当，即时，在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以，故不满足条件． 综上所述，a的取值范围为． 8．（2026·山东青岛一模）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数m的取值范围. 【解】（1）由题意得， 当时，，在上单调递增， 当时，令.， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减；在上单调递增. （2）当时，由（1）知在上单调递增，，，不合题意， 当时，由（1）知在上单调递减；在上单调递增， ， 即，解得， 综上，实数m的取值范围为 9．（2026·吉林辽源二模）已知函数． (1)求函数的导函数； (2)求的极值； (3)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解】（1）由得. （2）令，则，故在单调递增， 当时，单调递减， 所以当时，取极小值，无极大值， （3）由得，故， 构造函数，则，令，则， 故当时，单调递增，时，单调递减， 故当取极小值也是最小值，， 所以，即 10．（2026·河南郑州一模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意的，都有，求m的取值范围． 【解】（1）函数求导得， 又，， 曲线在处的切线方程为：，即， 所求的切线方程为． （2）由，求导得， ①当时，由，得，，所以，则恒成立， 此时在上单调递增，故， 当时，对任意的，都有； ②当时，令，解得， 则有在上，，单调递减， 在上，，单调递增， 则，不满足题意； 综上，的取值范围为． 11．（2026·甘肃·模拟预测）已知函数，其导函数为. (1)当时，求函数的值域； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【解】（1）当时，，则. 令，则. 令，则， 所以在上单调递增，且. 所以时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减. 所以，所以的值域为. （2）当时，，则恒成立，所以. 当时，由，得. 令，则. 令，则. 令，则. 令，则. 当时，，当且仅当时，等号成立，故在上单调递减， 又，所以，故在上单调递减. 因为， 所以存在，使得. 所以在上单调递增，在上单调递减， 由于，于是当时，，此时， 所以在上单调递增，在上的最大值为， 所以，综上，实数的取值范围是. 创新提升 12．（2026·浙江杭州二模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：曲线是轴对称图形； (3)若，恒成立，求的最大值和的最小值． 【解】（1）由题知，又，， 所以切线方程为，即． （2）令， 则， 所以曲线关于直线对称； （3）由题知，令； 由于关于直线对称，故只需考虑即可． 则，令， 则， 由，得，． 在上单调递增，在上单调递减，， 所以当，，，单调递增， 所以．即的最小值为． 由题意，，恒成立，令，， 因为，所以，即，即， 下面证明时，恒成立， 易知关于对称，故考虑即可， ；记，则； 在必有一解， 且在单调递减，在单调递增． 又，所以，从而． 即，． 所以的最大值为． 13．（2026·河北衡水二模）已知函数（）． (1)若在处取得极值，求的值； (2)求函数的最值； (3)设，若，，恒成立，求实数的取值范围． 【解】（1）因为，所以，其中． 因为函数在处取得极值，所以，解得． 经检验，符合题意，所以． （2）由（1）知． 当时，，所以函数在上单调递增，无最值． 当时，，所以函数在上单调递增，无最值． 当时，令，得；令，得． 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值，也是最大值为，无最小值． 综上，当时，函数无最值； 当时，函数的最大值为，无最小值． （3）因为， 恒成立， 所以． 由（2）知，只有当时，． 因为，其中， 所以． 令，其中，则， 所以函数在区间上单调递增． 因为， 所以由零点存在定理可知，存在唯一的， 使得，即，即． 令，其中，则， 所以函数在上单调递增． 因为，所以． 由，可得，则，所以． 又当时，，即； 当时，，即． 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以． 因为， 所以实数的取值范围是． 14．（2026·河南·阶段检测）已知函数，其中， 为自然对数的底数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：； (3)若对任意 ，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解】（1）当时，， 则， 则，， 故曲线在处的切线方程为， 即． （2）由于，故， 令，由于在上单调递增，则， 则可化为函数， 则，由于，令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故的极小值也即最小值为， 故，即. （3）由（2）知，对任意 ，不等式恒成立， 等价于对任意恒成立，分情况讨论： 当时，恒成立，在R上单调递增， 当时，存在t使，不满足条件； 当时，对恒成立，满足条件； 当时，由（2）知的最小值为，令，得， 即， 综上，a的取值范围为. 15．（2026·海南三亚·一模）已知函数（），． (1)讨论函数的单调性； (2)若的图像在处的切线与的图像相切，求实数的值； (3)当时，证明：对任意的，恒成立． 【解】（1）因为， 所以， 当时，，在上单调递增； 当时，令，得， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增；在上单调递减； （2）因为， 所以，， 所以， 所以切线的方程为， 设直线：与函数相切于点， 因为， 所以且， 解得， 所以； （3）证明：当时，， 要证明对任意的，恒成立， 即证明，即， 令，则， 令，得， 所以当时，单调递减；当时，单调递增； 所以， 所以，即， 令， 则有， 又因为， 所以， 所以对任意的，恒成立． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $