第09讲 反比例函数的概念（暑假预习）2026-2027学年人教版九年级数学上册

第09讲 反比例函数的概念 （3大考点5大题型） 学习目标 1. 理解并掌握反函数的概念、定义； 2. 会识别常见反函数的形式； 3.会利用待定系数法求反函数的解析式. 考点整理 一、反比例函数的概念 一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数.其中x是自变量，y是函数。自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 在中，无论变量x，y怎样变化，k的值始终等于x和y的乘积。若k=0，则=0恒成立，失去了x，y成反比的意义，所以是定义的一部分。 反比例函数的解析式也可以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、的形式. 特别提醒：形如，，的函数不是反比例函数。 二、反比例关系与反比例函数的区别与联系 联系 成反比例关系的两个量中，一个变量不一定是另一个变量的反比例函数，但在反比例函数（(k为常数，k≠0)中的两个变量必成反比例关系. 区别 反比例函数中有自变量和函数的区分，而成反比例关系的两个量没有这种区分. 三、反比例函数解析式的确定方法：待定系数法 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k值代入所设解析式中. 题型归纳 【题型1 用反比例函数描述数量关系】 1．某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积（单位：公顷/人）与总人口（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多 B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比 C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人 D．当该村总人口为500人时，人均耕地面积为公顷 2．下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是（   ） A．当压力F一定时，压强P与受力面积S之间的函数关系 B．当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间的函数关系 C．当行驶的路程s一定时，时间t与速度v的函数关系 D．当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间的函数关系 3．三角形的面积为，这时底边上的高与底边之间的函数关系的图象大致是（   ） A． B．C．D． 4．一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【题型2 根据定义判断是否是反函数】 5．下列函数中，反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 6．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 7．呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻，其阻值与呼气酒精浓度之间的关系如图所示．下列说法中不正确的是（    ） A．当时， B．随的增大而减小 C．是的函数 D．图中曲线是反比例函数的图象 8．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【题型3 根据反比例函数求参数】 9．若函数是反比例函数，则m的值是（） A．2 B． C． D．0 10．反比例函数图象经过，两点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 11．下表是反比例函数的与的几组对应值，其中的值为（   ） 1 1 2 4 A． B． C． D． 12．若x和y成反比例关系，则的值是（   ） x 2 a y 6 b A．7 B．8 C．9 D．10 【题型4 求反比例函数值】 13．已知点，在反比例函数的图象上，则，满足（    ） A． B． C． D． 14．如图，的顶点在反比例函数的图象上，交轴于点，平分，点的纵坐标为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 15．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大 16．在反比例函数中，当自变量时，对应的函数值不可能是（    ） A． B． C．1 D．3 【题型5 由反比例函数值求自变量】 17．已知曲线：过点． (1)求的值； (2)在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有个大小、材质完全相同的小球，其中甲袋中的小球上分别标有数字，，；乙袋中的小球上分别标有数字，，．现从甲袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为，再从乙袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为，以此确定点的坐标为．求点在曲线上的概率． 18．同学们通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率（单位：）的变化而变化．已知波长与频率是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率 … … 波长 … …    (1)求波长关于频率的函数解析式，并在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象； (2)当时，求电磁波的频率． 19．“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度（） 视野角度（度） (1)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 (2)请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（度）与行车速度（）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 (3)在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 反比例函数的概念 （3大考点5大题型） 学习目标 1. 理解并掌握反函数的概念、定义； 2. 会识别常见反函数的形式； 3.会利用待定系数法求反函数的解析式. 考点整理 一、反比例函数的概念 一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数.其中x是自变量，y是函数。自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 在中，无论变量x，y怎样变化，k的值始终等于x和y的乘积。若k=0，则=0恒成立，失去了x，y成反比的意义，所以是定义的一部分。 反比例函数的解析式也可以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、的形式. 特别提醒：形如，，的函数不是反比例函数。 二、反比例关系与反比例函数的区别与联系 联系 成反比例关系的两个量中，一个变量不一定是另一个变量的反比例函数，但在反比例函数（(k为常数，k≠0)中的两个变量必成反比例关系. 区别 反比例函数中有自变量和函数的区分，而成反比例关系的两个量没有这种区分. 三、反比例函数解析式的确定方法：待定系数法 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k值代入所设解析式中. 题型归纳 【题型1 用反比例函数描述数量关系】 1．某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积（单位：公顷/人）与总人口（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多 B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比 C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人 D．当该村总人口为500人时，人均耕地面积为公顷 【答案】D 【分析】根据题意，判断出人均耕地面积y与总人口x成反比例关系，根据成反比例关系可判断A、B，再根据所列代数式求x值或y值，可判定C，D． 【详解】解：根据题意，，则， 故该村人均耕地面积y与总人口x成反比例，人均耕地面积随总人口的增多而减少， 故选项B、A错误，不符合题意； 当时，由得，即若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有25人，故选项C错误，不符合题意； 当时，，即当该村总人口为500人时，人均耕地面积为公顷，故选项D正确，符合题意． 2．下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是（   ） A．当压力F一定时，压强P与受力面积S之间的函数关系 B．当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间的函数关系 C．当行驶的路程s一定时，时间t与速度v的函数关系 D．当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间的函数关系 【答案】D 【分析】根据反比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．由，则当压力F一定时，压强P与受力面积S之间成反函数关系，即A选项不符合题意； B．由，则当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间成反函数关系，即B选项不符合题意； C．由，则当行驶的路程s一定时，时间t与速度v成反函数关系，即C选项不符合题意； D．由，则当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间成正比例函数，即选项D符合题意． 3．三角形的面积为，这时底边上的高与底边之间的函数关系的图象大致是（   ） A． B．C．D． 【答案】C 【分析】先根据面积公式推导出函数关系式，再结合边长和高都是正数确定函数图像所在的象限． 【详解】解：根据题意可知，，即， 可知函数图像为位于第一象限的反比例函数． 4．一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握路程、速度、时间的数量关系是解题的关键． 根据去程的速度和时间求出路程，返回时根据路程不变，速度与时间成反比例关系列函数关系式即可． 【详解】解：∵ 去程速度 ，时间 ， ∴ 路程 ， 返回时，路程不变，且匀速返回， ∴ ， ∴ ， 即函数关系式为 ． 故选：A． 【题型2 根据定义判断是否是反函数】 5．下列函数中，反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一般地，形如（其中k为常数，且）的函数叫做反比例函数，据此可得答案． 【详解】解：由反比例函数的定义可知，四个选项中，只有C选项中的函数是反比例函数． 6．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义，判断各选项的函数类型即可得到答案，反比例函数的定义为：形如（为常数且）的函数是关于的反比例函数． 【详解】解：∵选项A中是正比例函数，不符合反比例函数定义； 选项C中是一次函数，不符合反比例函数定义； 选项D中是二次函数，不符合反比例函数定义； 选项B中符合反比例函数的定义． 7．呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻，其阻值与呼气酒精浓度之间的关系如图所示．下列说法中不正确的是（    ） A．当时， B．随的增大而减小 C．是的函数 D．图中曲线是反比例函数的图象 【答案】D 【详解】解：由图象得，当时，，故A正确； 由图象得，随的增大而减小，故B正确； 由图象得，的值都有唯一确定的的值与之对应， ∴是的函数，故C正确； 由图象得，当时，，即； 当时，，即； ∵ ∴图中曲线不是反比例函数的图象，故D错误． 8．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵反比例函数的标准形式为（k为常数，） A、是正比例函数，不符合反比例函数定义，排除； B、符合的形式，其中，因此y是x的反比例函数，符合要求； C、是二次函数，不符合反比例函数定义，排除； D、是y关于的反比例函数，不是y关于x的反比例函数，不符合定义，排除． 【题型3 根据反比例函数求参数】 9．若函数是反比例函数，则m的值是（） A．2 B． C． D．0 【答案】A 【分析】根据反比例函数的定义求解，反比例函数要求x的次数为，且比例系数不为0，据此列条件求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的一般形式为，函数是反比例函数， ∴， 解得，即且， ∴． 10．反比例函数图象经过，两点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反比例函数中比例系数的性质，建立与的等量关系，再结合已知的范围，根据不等式性质推导的取值范围． 【详解】解：设反比例函数解析式为，由反比例函数性质可得， ∵ 点，在反比例函数图象上， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴， 解得． 11．下表是反比例函数的与的几组对应值，其中的值为（   ） 1 1 2 4 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用反比例函数的定义，先根据已知对应值求出参数，得到反比例函数解析式，再代入对应值求解即可。 【详解】解：∵ 反比例函数为，取已知对应值代入解析式 得 解得 ∴ 反比例函数解析式为 将代入解析式得 ， 解得 12．若x和y成反比例关系，则的值是（   ） x 2 a y 6 b A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据反比例关系得到求解即可； 【详解】 x和y成反比例关系，，， ， ，， ，， ． 【题型4 求反比例函数值】 13．已知点，在反比例函数的图象上，则，满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，分别用表示出和，再整理得到二者的关系式即可． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴将点坐标代入解析式得：，， 由变形得， 又∵， ∴， 移项得． 14．如图，的顶点在反比例函数的图象上，交轴于点，平分，点的纵坐标为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作轴于点，由平行四边形的性质和角平分线的定义可得，则，结合轴可得，从而得到点的坐标． 【详解】解：如图，作轴于点， ∵点的纵坐标为， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为． 15．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，结合点的坐标验证、图象象限分布、函数增减性逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 当时，， ∴A错误； ∵ ， ∴ 反比例函数图象位于第一、三象限， ∴B错误； ∵ ，当 时，函数图象在第三象限， ∴ 随的增大而减小， ∴正确； ∵ ，当时，函数图象在第一象限， ∴ 随的增大而减小，不是增大， ∴错误． 16．在反比例函数中，当自变量时，对应的函数值不可能是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】根据自变量的条件，分和两种情况，结合反比例函数的增减性得到函数的取值范围，再判断选项即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限，且每个象限内随的增大而减小． 当时，，、都满足，均为可能的函数值； 当时，当时，，结合函数增减性可得时，∴3是可能的函数值； 因此是不可能的函数值． 【题型5 由反比例函数值求自变量】 17．已知曲线：过点． (1)求的值； (2)在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有个大小、材质完全相同的小球，其中甲袋中的小球上分别标有数字，，；乙袋中的小球上分别标有数字，，．现从甲袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为，再从乙袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为，以此确定点的坐标为．求点在曲线上的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意列树状图，得出共有9种等可能的结果，进而得出在的结果数，结合概率公式，即可求解． 【详解】（1）解：过点， ． ∴． （2）根据题意列树状图如下： ： 共有种等可能的结果， 其中满足点在曲线：上的情况有种， 分别为和． 点在曲线上的概率为． 18．同学们通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率（单位：）的变化而变化．已知波长与频率是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率 … … 波长 … …    (1)求波长关于频率的函数解析式，并在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象； (2)当时，求电磁波的频率． 【答案】(1)， 图象如下：    (2)当时，电磁波的频率为 【分析】（1）设波长关于频率的函数解析式为，利用待定系数法即可求得函数解析式，进而画出图象即可． （2）将代入反比例函数解析式中即可求解． 【详解】（1）解：设波长关于频率的函数解析式为． 把点代入上式中，得， 解得， ． （2）解：当时，， ． 答：当时，电磁波的频率为． 19．“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度（） 视野角度（度） (1)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 (2)请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（度）与行车速度（）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 (3)在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 【答案】(1) (2) (3)车辆的行驶速度应控制在不超过，即 【分析】（1）根据表格数据在坐标系中描出对应点，按自变量从小到大的顺序用平滑曲线顺次连接各点即可； （2）观察数据得行车速度与视野角度的乘积近似为定值，判断为反比例函数，写出近似函数表达式并标注自变量取值范围即可； （3）根据视野角度的要求列不等式，代入反比例函数解析式，结合实际意义求解，即可得到行驶速度的控制范围． 【详解】（1）略 （2）解：观察表格数据，每组行车速度v与视野角度的乘积近似等于，符合反比例函数的特征，因此近似函数表达式为：； （3）解：由题意，要求视野角度不小于度，即，代入函数表达式得： ， 因为行车速度，不等式两边同时乘，不等号方向不变： ， 解得， 结合实际意义，车辆的行驶速度应控制在不超过，即． 20．一个反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的解析式． (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入利用待定系数法求解即可； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）解：将代入得 ， ∴该反比例函数的解析式为； （2）解：当时，代入得， ． 学科网（北京）股份有限公司 $