第11讲 实际问题与反比例函数：反比例函数的应用（暑假预习）2026-2027学年人教版九年级数学上册

第11讲 实际问题与反比例函数：反比例函数的应用 （2大考点5大题型） 学习目标 1. 理解并掌握反函数应用的一般步骤； 2. 积累反比例函数与实际问题结合的常见考法，提高函数建模能力； 3. 注意实际问题中自变量和函数值的取值范围. 考点整理 一、用反比例函数解决实际问题的步骤 1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； 3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数； 4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 二、反比例函数实际应用常考题型解题方法 1.与实际情境结合的分段函数问题 (1)通过问题提供的信息,明确变量之间的函数关系或直接设出函数解析式,再根据已知条件确定函数解析式中的字母系数。 (2)写出函数解析式,然后运用其图象与性质解决实际问题。 2.跨学科应用 考查反比例函数的实际应用时，常会结合其他学科的知识(专业名词、公式等),做题时要读懂题意,理解所给的函数图象,利用反比例函数的相关知识解决问题. 3.利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 题型归纳 【题型1 行程问题】 1.某小型客车油箱的容积为60L，老王把油箱加满油后驾驶汽车从杭州家中到200km外的上海浦东机场接客人，接到客人后立即按原路返回．请回答下列问题： （1）油箱加满油后，求汽车行驶的总路程S（单位：km）与平均耗油量b（单位：L/km）的函数关系式； （2）老王以平均每千米耗油0.1L的速度驾驶汽车到达浦东机场，返程时由于下雨，老王降低了车速，已知降低车速会造成平均耗油量的增加，且油量低于6L时该汽车将无法行驶．如果老王始终以此速度行驶，要保证不需加油回到杭州家中，求平均耗油量的范围． 【答案】（1）S＝；（2）0.1＜a≤0.17． 【分析】（1）利用路程＝总容积平均油耗，即可得出函数关系式； （2）分别得出往返需要的油量进而得出答案． 【详解】解：（1）汽车能够行驶的总路程S（单位：km）与平均耗油量b（单位：L/km）之间的函数关系为：S＝； （2）去省城的耗油量＝200×0.1＝20（L）， 设返回时的平均油耗量为a L/km， ∵20+200a≤60﹣6，且a＞0.1， ∴0.1＜a≤0.17． 答：平均耗油量的范围是0.1＜a≤0.17． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． 2.五一黄金周，小张一家自驾去某景点旅行．已知汽车油箱的容积为50L，小张爸爸把油箱加满油后到了离加油站200km的某景点，第二天沿原路返回． （1）油箱加满油后，求汽车行驶的总路程s（单位：km）与平均耗油量b（单位L/km）的函数关系式； （2）小张爸爸以平均每千米耗油0.1L的速度驾驶到达目的地，返程时由于下雨，降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了一倍．如果小张爸爸始终以此速度行驶，不需要加油能否返回原加油站？如果不能，至少还需加多少油？ 【答案】（1）y＝（x＞0）；（2）不加油不能返回原加油站．至少还需加10L油． 【分析】（1）由题意直接根据耗油量×行驶里程=50升列出函数关系式即可； （2）根据题意分别求得每千米耗油0.1升的速度的耗油量和0.2升的耗油量，与50比较即可得到答案． 【详解】解：（1）∵耗油量×行驶里程＝50升； ∴xy＝50， ∴y＝（x＞0）； （2）去时耗油：200×0.1＝20L， 返回时耗油：200×0.2＝40L， 20L+40L＝60L＞50L， 答：不加油不能返回原加油站．至少还需加10L油． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是从纷杂的实际问题中整理出反比例函数模型． 【题型2 工程问题】 3.某市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为立方米，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)设该公司平均每天运送土石方总量为立方米，完成运送任务所需时间为天． ①求关于的函数表达式． ②若时，求的取值范围． (2)若1辆卡车每天可运送土石方立方米，工期要求在80天内完成，公司至少要安排多少辆相同型号卡车运输？ 【答案】(1)①；② (2)125辆 【分析】（1）①由每天运送量和总量列出函数关系即可；②根据反比例函数的性质计算求值即可； （2）结合（1）由每天要运送的量计算求值即可； 【详解】（1）解：①由题意得：， ②∵函数在上递减， ∴当x=80时，函数值最小，此时， ∴y≥12500； （2）解：由（1）可知：若工期要在80天内完成，则每天至少要运送12500立方米， ∴至少需要卡车：12500÷100=125辆； 【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象特征是解题关键． 4.“保护生态环境，建设绿色社会”已经从理念变为人们的行动，某化工厂2018年1月的利润为200万元．设2018年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于排污超标，该厂决定从2018年1月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）．    （1）分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后，y与x之间对应的函数关系式． （2）治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2018年1月的水平？ 【答案】（1）当1≤x≤5时，y＝；当x≥5时，y＝20x−60；（2）8个月 【分析】（1）待定系数法可得反比例函数解析式，求得x＝5时的函数值y＝40，再根据“改造后月利润＝第5个月的利润＋20×超出的月份”可得答案； （2）求出y＝20x−60中，y＝200时x的值即可得． 【详解】（1）当1≤x≤5时，设y＝， 将（1，200）代入，得：k＝200， ∴y＝； 当x＝5时，y＝＝40， ∴当x≥5时，y＝40＋20（x−5）＝20x−60； （2）在y＝20x−60中，y＝200时，可得：20x−60＝200， 解得：x＝13， ∴治污改造工程完工后经过8个月，该厂月利润才能达到2018年1月的水平． 【点睛】本题考查的是反比例函数的应用、一次函数的应用，正确求出一次函数、反比例函数的解析式是解题的关键． 【题型3 物理问题】 5.阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务，今天是2023年6月8日    （星期四），在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学参加了一次“探索电压一定时，输出功率P与电阻R函数关系的数学活动”．    第一步，我们设计了如图所示的电路，电压为定值6V不变． 第二步，通过换用不同定值电阻，使电路中的总电阻成整数倍的变化． 第三步，我们根据物理知识P＝UI，通过测量电路中的电流计算电功率． 第四步，计算收集数据如下： R/Ω … 2 4 6 8 10 … P/W … 18 9 6 4.5 3 … 第五步，数据分析，以R的数值为横坐标，P的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点． 数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改，实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记． 任务： (1)上面日记中，数据分析过程，主要运用的数学思想是 ；（单选） A．数形结合B．类比思想C．分类讨论D．方程思想 (2)你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出P关于R的函数表达式； (3)在下面平面直角坐标系中，画出此函数的图象；    (4)请直接写出：若P大于10W，R的取值范围为． 【答案】(1)B (2) (3)图见详解 (4) 【分析】（1）通过类比思想发现各数据之间的对应关系； （2）根据与的积是定值发现有问题的一组数据； （3）将描出的点用光滑的曲线连接即可； （4）根据计算出的取值范围． 【详解】（1）通过类比思想发现数据之间的关系正确与否．故选：． （2）通过前四组数据发现：与的积都是36定值，发现最后一组有问题； 与关系式是：， （3）图象如图： （4）当时，即，解得． 【点睛】本题考查了反比例函数的具体应用，理解题意是这类题目的突破口． 6.阅读与思考 下面是小宇同学的一篇日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 在物理活动课上，我们“博学”小组的同学，参加了一次“探究电功率P与电阻R之间的函数关系”的活动．    第一步，实验测量．根据物理知识，改变电阻R的大小，通过测量电路中的电流，计算电功率P． 第二步，整理数据． … 3 6 9 12 15 … … 3 1.5 1 0.75 0.7 … 第三步，描点连线．以R的数值为横坐标，对应P的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数值为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点． 在数据分析时，我发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了我的猜想正确，并修改了表中这个数据．实验结束后，大家都有很多收获，每人都撰写了日记． 任务：    (1)表格中错误的数据是______，P与R的函数表达式为______； (2)在平面直角坐标系中，画出P与R的函数图象； (3)结合图象，直接写出P大于6W时R的取值范围． 【答案】(1)0.7， (2)见解析 (3)当P大于6W，R的取值范围为 【分析】（1）根据P与R是反比例函数求解即可； （2）利用描点法画出图象即可； （3）观察图象，直接写出答案即可． 【详解】（1）解：观察表中的数据发现P与R的乘积固定不变，等于9,故P与R是反比例函数， 其中，数据错误； 设P与R的函数解析式为， 把代入得，， 解得，， P与R的函数解析式为， 故答案为：，． （2）解：P关于R的函数图象如图：    （3）解：当，结合图象，P大于6W时R的取值范围是． 【点睛】本题考查了反比例函数图象与性质，解题关键是根据表格数据确定两个变量成反比例，求出函数解析式． 7.如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数解析式； (2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）把代入反比例函数解析式，求出y的值即可． 【详解】（1）由题意设， 把，代入，得． ∴关于的函数解析式为． （2）把代入，得． ∴小孔到蜡烛的距离为． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式以及求函数值，能正确掌握待定系数法是解答本题的关键． 8.某综合实践活动小组设计了一个简易电子体重秤，已知装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻与踏板上人的质量之间满足一次函数关系，共图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为3伏，定值电阻的阻值为40欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为，然后把代入相应的关系式，该读数就可以换算为人的质量， 知识小链接：①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． (1)求可变电阻与人的质量之间的函数关系； (2)用含的代数式表示； (3)当电压表显示的读数为0.75伏时，求人的质量． 【答案】(1) (2) (3)70 【分析】（1）设可变电阻与人的质量之间的函数关系为，直接用待定系数法求解即可； （2）由题意可得，，再结合（1）的解析式，求解即可； （3）将代入，计算即可． 【详解】（1）解：设可变电阻与人的质量之间的函数关系为， 把（0，260），（130，0）代入得， ， 解得， 可变电阻与人的质量之间的函数关系为； （2）由题意得，可变电阻两端的电压之和=电源电压-电表电压， 即可变电阻两端的电压之和， ，串联电路中电流处处相等， ， 定值电阻的阻值为40欧，， ， 整理得 ； （3）当时， . 【点睛】本题以物理中的电路问题为背景，考查了待定系数法求一次函数解析式、反比例函数解析式即代入求值，准确理解题意并熟练掌握知识点是解题的关键． 9.如图1，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示(与长方体A相同重量的长方体均满足此关系)． 桌面所受压强 受力面积 (1)根据数据，求桌面所受压强与受力面积之间的函数表达式及的值； (2)现想将另一长、宽、高分别为，，，且与长方体相同重量的长方体按如图所示的方式放置于该水平玻璃桌面上．若该玻璃桌面能承受的最大压强为，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由. 【答案】(1)，0.25 (2)这种摆放方式不安全，理由见解析 【分析】（1）观察图表得：压强与受力面积的乘积不变，故压强是受力面积的反比例函数，然后用待定系数法可得函数关系式，令，可得的值； （2）算出，即可求出，比较可得答案． 【详解】（1）解：观察图表得：压强与受力面积的乘积不变，故压强是受力面积的反比例函数， 设压强)关于受力面积()的函数表达式为， 把代入得：， 解得：， 压强)关于受力面积()的函数表达式为， 当时，， ； （2）解：这种摆放方式不安全，理由如下： 由图可知()， 将长方体放置于该水平玻璃桌面上的压强为， ， 这种摆放方式不安全． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式． 【题型4 分段问题】 10.通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分． （1）求点对应的指标值； （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【答案】（1）20；（2）能，见解析 【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将x=45代入，即可得出A对应的指标值 （2）先用待定系数法写出一次函数的解析式，再根据注意力指标都不低于36得出，得出自变量的取值范围，即可得出结论 【详解】解：（1）令反比例函数为，由图可知点在的图象上， ∴， ∴．将x=45代入 将x=45代入得： 点对应的指标值为． （2）设直线的解析式为，将、代入中， 得，解得． ∴直线的解析式为． 由题得，解得． ∵， ∴张老师经过适当的安排，能使学生在听综合题的讲解时，注意力指标都不低于36. 【点睛】本题考查一次函数的解析式、反比例函数的解析式、不等式组的解集、利用函数图象解决实际问题是中考的常考题型。 11.某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)求这天的温度y与时间x的函数关系式； (2)解释线段BC的实际意义； (3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？ 【答案】(1)y＝； (2)线段BC表示恒温系统设定恒温为20℃； (3)恒温系统最多可以关闭10小时，才能使蔬菜避免受到伤害． 【分析】（1）应用待定系数法分段求出函数解析式即可； （2）根据函数图象结合题意回答即可； （3）把y＝10代入y＝中，即可求得结论． 【详解】（1）解：设线段AB解析式为y＝k1x＋b（k1≠0）， ∵线段AB过点（0，10），（3，15）， 代入得，解得：， ∴线段AB的解析式为：y＝x＋10（0≤x＜6）， ∵B在线段AB上，当x＝6时，y＝20， ∴点B坐标为（6，20）， ∴线段BC的解析式为：y＝20（6≤x＜10）， 设双曲线CD解析式为：y＝（k2≠0）， ∵C（10，20）， ∴k2＝200， ∴双曲线CD的解析式为：y＝（10≤x≤24）； ∴y关于x的函数解析式为：y＝； （2）线段BC表示恒温系统设定恒温为20℃； （3）把y＝10代入y＝中，解得：x＝20， ∴20−10＝10， 答：恒温系统最多可以关闭10小时，才能使蔬菜避免受到伤害． 【点睛】本题是以实际应用为背景的函数综合题，主要考查求一次函数、反比例函数和常数函数的关系式．解答时应注意临界点的应用． 12.电灭蚊器的电阻y（）随温度x（）变化的大致图象如图所示，通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加． (1)当时，求y与x之间的关系式； (2)电灭蚊器在使用过程中，温度x在什么范围内时，电阻不超过？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设y与x之间的关系式为，把点代入，即可求解； （2）当时，设y与x的关系式为，根据题意可得函数图象过点，点，再代入，然后分别求出时，两函数的函数值，即可求解． 【详解】（1）解：当时，设y与x之间的关系式为， 根据题意得：该函数图象过点， ∴． ∴当时，y与x的关系式为：； （2）解：∵， ∴当时，． 根据题意得：该函数图象过点， ∵温度每上升，电阻增加． ∴该函数图象过点， ∴，解得：， ∴当时，y与x的关系式为：； 对于当时，； 对于当时，； 答：温度x取值范围是时，电阻不超过． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的实际应用，求出两函数解析式是解题的关键． 13.“姹紫嫣红苗木种植基地”尝试用单价随天数而变化的销售模式销售某种果苗，利用30天时间销售一种成本为10元/株的果苗，售后经过统计得到此果苗，单价在第x天（x为整数）销售的相关信息，如图表所示： 销售量n（株） n＝-x＋50 销售单价 m（元/株） 当时，m＝______ 当时， (1)求出表中当时，m与x间的函数关系式； (2)“吃水不忘挖井人”，为回馈本地居民，基地负责人决定将这30天中，其中获利最多的那天的利润全部捐出，进行“精准扶贫”．试问：基地负责人这次为“精准扶贫”捐赠多少钱？ 【答案】(1) (2)基地负责人这次为“精准扶贫”捐赠元 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设该基地第x天的利润为W，根据利润=（售价-成本）×数量列出W关于x的关系式，然后根据二次函数与反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知当时，m与x间的函数关系式满足一次函数关系式，故可设当时，m与x间的函数关系式为， ∵， ∴， ∴当时，m与x间的函数关系式为； （2）解：设该基地第x天的利润为W， 由题意得：， 当时，， ∵， ∴当时，W最大为； 当时， ∵， ∴随x增大而减小，即W随x增大而减小， ∴当时，W最大为580， ∵， ∴基地负责人这次为“精准扶贫”捐赠元． 【点睛】本题主要考查了一次函数，二次函数，反比例函数的应用，正确理解题意列出函数关系式是解题的关键． 【题型5 几何问题】 14.如图，在矩形中，，，F是上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E． (1)当F为的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标． (2)当k为何值时，的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1)， (2)当时， 【分析】此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定反比例解析式，以及二次函数的性质． （1）当为的中点时，点的坐标为，由此代入求得函数解析式，把代入解析式即可求得坐标； （2）根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于的二次函数，利用二次函数求出最值即可． 熟练掌握待定系数法求函数解析式及反比例函数、二次函数的性质是解本题的关键． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∵点F在反比例函数的图象上， ∴， ∴该函数的解析式为， 把代入， 得， ∴； （2）由题意知E，F两点坐标分别为，， ∴， ， 在边上，不与A，B重合，即， 解得， ∴当时，有最大值，． 15.如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，坐标原点是的中点，，，双曲线经过点．    (1)求k； (2)直线与双曲线在第四象限交于点．求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点A作轴于点E，由题意易得，进而可得，然后可得点，最后问题可求解； （2）由（1）可先求出直线的解析式为，然后联立直线的解析式与反比例函数，进而可得点D的坐标，最后利用铅锤法求解三角形的面积即可． 【详解】（1）解：过点A作轴于点E，如图所示：    ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，， ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得：，， ∴设直线的解析式为， 则把点A、C的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立与反比例函数可得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴点， ∴． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合及含直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握反比例函数与几何的综合及含直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键． 16.如图（1），正方形ABCD顶点A、B在函数y＝（k＞0）的图象上，点C、D分别在x轴、y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变． (1)若点A的坐标为(4,7)，求正方形ABCD的面积； (2)如图（2），当k＝8时，求BD的长； (3)当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，求k的取值范围． 【答案】(1)32 (2)4 (3) 【分析】（1）过点作轴于点，则．利用正方形的性质得，，再根据等角的余角相等得到，则利用“”可判断，从而得到，于是确定点的纵坐标为4，即可求出答案； （2）作轴于，轴于点，设，，同理可得，利用全等的性质得，，则，，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，，解方程组求出、，从而得到、两点的坐标，即可求出答案； （3）先利用待定系数法求出直线解析式为，直线解析式为，设点的坐标为，则点坐标为，若当点在直线上时，则，解得，可确定此时点的坐标，从而得到此时的值；当点在直线上时，则，同样可确定此时点的坐标和的值，所以可确定当变化的正方形与（2）中的正方形有重叠部分时的取值范围． 【详解】（1）解：如图（1），过点作轴于点，则，    点的坐标为， ，， 四边形为正方形， ，， ． ， ， 在和中， ， ， ，， ， 根据勾股定理得，， 正方形的面积为32； （2）解：如图（2），过点作轴于，过点作轴于点，    设，，则， 同（1）的方法得， ， ，， ，， 点、在反比例函数的图象上， ， 或（舍去）， 的坐标为，， ， 即的长为4； （3）解：设直线的解析式为， 把，代入得 ， 解得， 直线解析式为， 同样可求得直线解析式为， 由（2）可知是等腰直角三角形， 设点的坐标为，点坐标为， 当点在直线上时，则，解得， 此时点的坐标为， ； 当点在直线上时，有，此时点的坐标为， ； 综上可知：当变化的正方形与（2）中的正方形有重叠部分时，的取值范围为． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的图象与性质，正方形的性质，全等三角形的性质，利用待定系数法求一次函数解析式等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 17.在矩形中，．分别以，所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E．    (1)当点F运动到边的中点时，求点E的坐标； (2)连接、，求证：； (3)如图2，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，求此时反比例函数的解析式． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）先求出点的坐标，进而得到反比例函数的解析式，再求出点坐标即可； （2）分别求出直线的解析式，即可得证； （3）过点作轴，交于点，证明，列出比例式，求出的长，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形中，， ∴，， 当点F运动到边的中点时：， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象与边交于点E， ∴， ∴； ∴； （2）如图：    ∵，设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴直线：； 设：直线， ∵， ∴，解得：， ∴直线：， ∴； （3）如图，过点作轴，交于点，则四边形为矩形， ∴，    ∵翻折， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理．利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 实际问题与反比例函数：反比例函数的应用 （2大考点5大题型） 学习目标 1. 理解并掌握反函数应用的一般步骤； 2. 积累反比例函数与实际问题结合的常见考法，提高函数建模能力； 3. 注意实际问题中自变量和函数值的取值范围. 考点整理 一、用反比例函数解决实际问题的步骤 1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； 3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数； 4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 二、反比例函数实际应用常考题型解题方法 1.与实际情境结合的分段函数问题 (1)通过问题提供的信息,明确变量之间的函数关系或直接设出函数解析式,再根据已知条件确定函数解析式中的字母系数。 (2)写出函数解析式,然后运用其图象与性质解决实际问题。 2.跨学科应用 考查反比例函数的实际应用时，常会结合其他学科的知识(专业名词、公式等),做题时要读懂题意,理解所给的函数图象,利用反比例函数的相关知识解决问题. 3.利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 题型归纳 【题型1 行程问题】 1.某小型客车油箱的容积为60L，老王把油箱加满油后驾驶汽车从杭州家中到200km外的上海浦东机场接客人，接到客人后立即按原路返回．请回答下列问题： （1）油箱加满油后，求汽车行驶的总路程S（单位：km）与平均耗油量b（单位：L/km）的函数关系式； （2）老王以平均每千米耗油0.1L的速度驾驶汽车到达浦东机场，返程时由于下雨，老王降低了车速，已知降低车速会造成平均耗油量的增加，且油量低于6L时该汽车将无法行驶．如果老王始终以此速度行驶，要保证不需加油回到杭州家中，求平均耗油量的范围． 2.五一黄金周，小张一家自驾去某景点旅行．已知汽车油箱的容积为50L，小张爸爸把油箱加满油后到了离加油站200km的某景点，第二天沿原路返回． （1）油箱加满油后，求汽车行驶的总路程s（单位：km）与平均耗油量b（单位L/km）的函数关系式； （2）小张爸爸以平均每千米耗油0.1L的速度驾驶到达目的地，返程时由于下雨，降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了一倍．如果小张爸爸始终以此速度行驶，不需要加油能否返回原加油站？如果不能，至少还需加多少油？ 【题型2 工程问题】 3.某市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为立方米，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)设该公司平均每天运送土石方总量为立方米，完成运送任务所需时间为天． ①求关于的函数表达式． ②若时，求的取值范围． (2) 若1辆卡车每天可运送土石方立方米，工期要求在80天内完成，公司至少要安排多少辆相同型号卡车运输？ 4.“保护生态环境，建设绿色社会”已经从理念变为人们的行动，某化工厂2018年1月的利润为200万元．设2018年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于排污超标，该厂决定从2018年1月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）．    （1）分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后，y与x之间对应的函数关系式． （2）治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2018年1月的水平？ 【题型3 物理问题】 5.阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务，今天是2023年6月8日    （星期四），在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学参加了一次“探索电压一定时，输出功率P与电阻R函数关系的数学活动”．    第一步，我们设计了如图所示的电路，电压为定值6V不变． 第二步，通过换用不同定值电阻，使电路中的总电阻成整数倍的变化． 第三步，我们根据物理知识P＝UI，通过测量电路中的电流计算电功率． 第四步，计算收集数据如下： R/Ω … 2 4 6 8 10 … P/W … 18 9 6 4.5 3 … 第五步，数据分析，以R的数值为横坐标，P的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点． 数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改，实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记． 任务： (1)上面日记中，数据分析过程，主要运用的数学思想是 ；（单选） A．数形结合B．类比思想C．分类讨论D．方程思想 (2)你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出P关于R的函数表达式； (3)在下面平面直角坐标系中，画出此函数的图象；    (4) 请直接写出：若P大于10W，R的取值范围为． 6.阅读与思考 下面是小宇同学的一篇日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 在物理活动课上，我们“博学”小组的同学，参加了一次“探究电功率P与电阻R之间的函数关系”的活动．    第一步，实验测量．根据物理知识，改变电阻R的大小，通过测量电路中的电流，计算电功率P． 第二步，整理数据． … 3 6 9 12 15 … … 3 1.5 1 0.75 0.7 … 第三步，描点连线．以R的数值为横坐标，对应P的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数值为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点． 在数据分析时，我发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了我的猜想正确，并修改了表中这个数据．实验结束后，大家都有很多收获，每人都撰写了日记． 任务：    (1)表格中错误的数据是______，P与R的函数表达式为______； (2)在平面直角坐标系中，画出P与R的函数图象； (3)结合图象，直接写出P大于6W时R的取值范围． 7.如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数解析式； (2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 8.某综合实践活动小组设计了一个简易电子体重秤，已知装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻与踏板上人的质量之间满足一次函数关系，共图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为3伏，定值电阻的阻值为40欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为，然后把代入相应的关系式，该读数就可以换算为人的质量， 知识小链接：①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． (1)求可变电阻与人的质量之间的函数关系； (2)用含的代数式表示； (3)当电压表显示的读数为0.75伏时，求人的质量． 9.如图1，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示(与长方体A相同重量的长方体均满足此关系)． 桌面所受压强 受力面积 (1)根据数据，求桌面所受压强与受力面积之间的函数表达式及的值； (2) 现想将另一长、宽、高分别为，，，且与长方体相同重量的长方体按如图所示的方式放置于该水平玻璃桌面上．若该玻璃桌面能承受的最大压强为，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由 【题型4 分段问题】 10.通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分． （1）求点对应的指标值； （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 11.某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)求这天的温度y与时间x的函数关系式； (2)解释线段BC的实际意义； (3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？ 12.电灭蚊器的电阻y（）随温度x（）变化的大致图象如图所示，通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加． (1)当时，求y与x之间的关系式； (2)电灭蚊器在使用过程中，温度x在什么范围内时，电阻不超过？ 13.“姹紫嫣红苗木种植基地”尝试用单价随天数而变化的销售模式销售某种果苗，利用30天时间销售一种成本为10元/株的果苗，售后经过统计得到此果苗，单价在第x天（x为整数）销售的相关信息，如图表所示： 销售量n（株） n＝-x＋50 销售单价 m（元/株） 当时，m＝______ 当时， (1)求出表中当时，m与x间的函数关系式； (2) “吃水不忘挖井人”，为回馈本地居民，基地负责人决定将这30天中，其中获利最多的那天的利润全部捐出，进行“精准扶贫”．试问：基地负责人这次为“精准扶贫”捐赠多少钱？ 【题型5 几何问题】 14.如图，在矩形中，，，F是上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E． (1)当F为的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标． (2)当k为何值时，的面积最大，最大面积是多少？ 15.如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，坐标原点是的中点，，，双曲线经过点．    (1)求k； (2)直线与双曲线在第四象限交于点．求的面积． 16.如图（1），正方形ABCD顶点A、B在函数y＝（k＞0）的图象上，点C、D分别在x轴、y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变． (1)若点A的坐标为(4,7)，求正方形ABCD的面积； (2)如图（2），当k＝8时，求BD的长； (3)当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，求k的取值范围． 17.在矩形中，．分别以，所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E．    (1)当点F运动到边的中点时，求点E的坐标； (2)连接、，求证：； (3)如图2，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，求此时反比例函数的解析式． 学科网（北京）股份有限公司 $