第20讲 隐圆和四点共圆模型的应用（暑假预习）2026-2027学年人教版九年级数学上册

第20讲 隐圆和四点共圆的应用 （2大考点4大题型） ( 学习目标 ) 1.积累并学会识别不同的隐圆、四点共圆模型。 2.结合题目已知条件确定相应的模型，把圆画出，利用圆的性质求解。(重点、难点） ( 考点整理 ) 1、 常见隐圆模型 模型一、动点定长模型 若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径 【拓展】折叠问题构造出隐圆 从圆的定义构造圆，构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧． 模型二、定边对直角 固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径 模型三、定边对定角 在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆． 2、 常见四点共圆模型 若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D在以AD中点E为圆心、EA长为半径的圆上（可证）． 若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D在以AC中点E为圆心、EA为半径的圆上（可证）． 若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆． 证明条件：线段同侧张角相等． 若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆． 证明条件：1．四边形对角互补； 2．四边形外角等于内对角． 两条线段被一点分成（内分或外分）两段长的乘积相等，则这两条线段的四个端点共圆． 四边形ABCD的对角线AC、BD交于H， 若，则四点共圆. 提示：通过证明∽，从而得出,转化为定长对定角模型。 四边形ABCD的对边BA、CD的延长线交于P， 若，则四点共圆. 提示：通过证明∽,从而得出，进而得出，对角互补的四边形，四个顶点共圆。 ( 题型归纳 ) 【题型1 动点定长模型】 1.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A`MN，连接A`C，则A`C长度的最小值是__________． 【答案】． 【解析】考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，可得MA’=MA=1，所以A’轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧．连接CM，与圆的交点即为所求的A’，此时A’C的值最小． 构造直角△MHC，勾股定理求CM，再减去A’M即可，答案为． 【题型2 直角圆周角模型】 2.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=8，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值是_________． 【答案】 【解析】∵∠PBC+∠PBA=90°，∠PBC=∠PAB，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴∠APB=90°， ∴P点轨迹是以AB为直径的圆弧． 当O、P、C共线时，CP取到最小值，勾股定理先求OC，再减去OP即可． 【题型3 四点共圆模型】 3.如图，∽，，，，是的中点，若点是直线上的动点，连接，则的最小值是（ ）　 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵△ABC∽△ADE，ADE＝∠ABE，∴点A，D，B，E四点共圆， ∵∠DAE＝90°，∴∠DBE＝90°，∵F是DE的中点，∴BF＝DE， ∴当DE最小时，BF的值最小， ∵若点E是直线BC上的动点，∴当AE⊥BC时，AE最小，此时，DE最小， ∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，∴BC＝5，∴AE＝， ∵△ABC∽△ADE，∴，∴， ∴DE＝4，∴BF＝2，故选B． 4.如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC与点D，过点D分别作AB，AC的垂线，垂足分别为E，F．求证：B，E，F，C四点共圆． ( A B C D E F ) ( A B C D E F ) 证明 因为DE⊥AB，DF⊥AC， 所以∠AED＋∠AFD＝180°，即A，E，D，F四点共圆． 连结EF，则∠AEF＝∠ADF． 因为AD⊥BC，DF⊥AC， 所以∠FCD＝∠ADF＝∠AEF， 所以B，E，F，C四点共圆． 5.在锐角△ABC中，AB＝AC，AD为边上的高，E为AC的中点．若M为线段BD上的动点（点M与点D不重合），过点C作CN⊥AM与点N，射线EN与AB相交于点P，证明：∠APE＝2∠MAD． ( A B C D E P N M ) ( A B C D E P N M ) 证明 如图，连结DE． 因为AD⊥BC，CN⊥AM，E为AC的中点，所以DE＝AE＝CE＝NE， 从而A，N，D，C在以点E为圆心、AC为直径的圆上，所以∠DEN＝2∠DAN． 由题意可得D为BC的中点，所以ED∥AB， 所以∠APE＝∠DEP ＝2∠MAD． 【题型4 定弦对定角模型】 6．如图，等边三角形内接于，点是弧上的一个动点（不与点A、B重合）连接，过点A作，垂足为，连接，若的半径为，则长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的外接圆与外心、圆周角定理、等边三角形的性质、解直角三角形等知识，确定点E的运动轨迹是解题的关键． 由可得推出，推出点E在以为直径的圆上运动，可得的最小值为． 【详解】解：∵， ∴， ∴点E在以为直径的圆上运动， 设的中点为， ∴当C、E、共线时的最小，最小值为， ∵是等边三角形， ∴经过点O，，， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选B． 7.如图，半圆的直径，点在半圆上，，点在上，于点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理，解直角三角形，定弦定角求点圆最值，通过直角找到点Q的运动轨迹是解题关键． 根据，可知点Q在以为直径的圆上，再利用点圆最值求出的最小值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴点Q在以为直径的圆上，记该圆圆心为D， 如图，当点Q在上时最小，连接， ∵为直径， ∴， ∴，， ∴，即半径为3， ∴， ∴， 故答案为：． 8.．如图，中，，，点在射线上，且，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了“相似三角形的判定与性质”，根据比例关系构造出相似三角形，找到点的运动轨迹是解题关键．在上方，以为边，构造与相似的三角形，利用相似三角形的性质可以得出，所构造相似三角形中的点A的对应点为定点，从而确定点P的运动轨迹为圆弧，根据点圆最值的确定方法，即可求出的最小值． 【详解】解：如图，在上方，以为边，构造． ∴，，． ∴，． ∴点在以为直径的上运动，点为中点． ∴． 连接，与的交点即为取得最小值时，点的位置． ∴． ∴此时，即的最小值为3． 故答案为： 3． 9.如图，点、，直线与轴、轴分别交于点，点是平面内一动点，且，则面积的最大值是 ． 【答案】 【分析】首先判断点的运动轨迹，因为度数不变，对边长度不变，所以点在的外接圆圆周上运动，从而确定点到的最大距离，过点M作交于点F，交于点H，过点B作于点G，求出的长，最后根据三角形面积公式求得即可． 【详解】解：直线与轴、轴分别交于点、， ， ， ，， 要使面积的最大值，只需点到距离最大， 如图，作的外接圆圆P， 因为度数不变，对边长度不变， 所以点在圆周上运动， 过点M作交于点F，交于点H，过点B作于点G， 根据点圆最值，点到距离最大值为的长度， 点、， ，， ， ， ， ， ∴， ， ∴， ∴，， ， 是等边三角形， ，， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴, 面积的最大值是. 故答案为:． 【点睛】本题考查了“定弦定角”隐形圆模型，等边三角形的性质，圆周角定理，线圆最值，垂径定理，找到点的运动轨迹及到的距离最大时的线段是解题的关键． 10.如图，已知正方形，边长为4，正方形内有一动点，．连接，则线段的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】先得出动点在的外接圆中的劣弧上，过圆心作，交延长线于点，连接，设的优弧上有一点，连接，再解直角三角形求出的长，然后利用勾股定理可得的长，最后根据即可得． 【详解】解：∵正方形，边长为4， ∴， ∵正方形内有一动点，， ∴如图，动点在的外接圆中的劣弧上， 过圆心作，交延长线于点，连接， 设的优弧上有一点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由三角形的三边关系可知，（当且仅当点共线时，等号成立）， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、解直角三角形、勾股定理、三角形的三边关系、正方形的性质等知识，正确得出动点的运动轨迹是解题关键． 11.如图，在中，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为 ．    【答案】2 【分析】连接．首先证明，由此推出点在以为圆心，为半径的上运动，连接交于，此时的值最小． 【详解】解：如图，连接． ， ， ， ， 点在以为圆心，为半径的上运动， 连接交于，此时的值最小．此时与交点为． 所对圆周角为， ， 过点作，垂足为，      是等腰三角形， ∴，， ∴， ， ，， ， ， 故答案为：2．   【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系，解直角三角形等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题． 12.如图，点在半圆上，半径，，点在弧上移动，连接，作，垂足为，连接，点在移动的过程中，的最小值是 ． 【答案】 【分析】先确定点H的运动轨迹，再根据点与圆的位置关系可得取最小值时，点H的位置，然后利用圆周角定理、线段的和差即可得． 【详解】如图，设AD的中点为点E，则 由题意得，点H的运动轨迹在以点E为圆心，EA为半径的圆上 由点与圆的位置关系得：连接BE，与圆E交于点H，则此时取得最小值， 连接BD AB为半圆O的直径 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、点与圆的位置关系、勾股定理等知识点，依据题意，确定点H的运动轨迹，从而得出BH取最小值时，点H的位置是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20讲 隐圆和四点共圆的应用 （2大考点4大题型） ( 学习目标 ) 1.积累并学会识别不同的隐圆、四点共圆模型。 2.结合题目已知条件确定相应的模型，把圆画出，利用圆的性质求解。(重点、难点） ( 考点整理 ) 1、 常见隐圆模型 模型一、动点定长模型 若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径 【拓展】折叠问题构造出隐圆 从圆的定义构造圆，构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧． 模型二、定边对直角 固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径 模型三、定边对定角 在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆． 2、 常见四点共圆模型 若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D在以AD中点E为圆心、EA长为半径的圆上（可证）． 若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D在以AC中点E为圆心、EA为半径的圆上（可证）． 若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆． 证明条件：线段同侧张角相等． 若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆． 证明条件：1．四边形对角互补； 2．四边形外角等于内对角． 两条线段被一点分成（内分或外分）两段长的乘积相等，则这两条线段的四个端点共圆． 四边形ABCD的对角线AC、BD交于H， 若，则四点共圆. 提示：通过证明∽，从而得出,转化为定长对定角模型。 四边形ABCD的对边BA、CD的延长线交于P， 若，则四点共圆. 提示：通过证明∽,从而得出，进而得出，对角互补的四边形，四个顶点共圆。 ( 题型归纳 ) 【题型1 动点定长模型】 1.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A`MN，连接A`C，则A`C长度的最小值是__________． 【题型2 直角圆周角模型】 2.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=8，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值是_________． 【题型3 四点共圆模型】 3.如图，∽，，，，是的中点，若点是直线上的动点，连接，则的最小值是（ ）　 A． B． C． D． 4.如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC与点D，过点D分别作AB，AC的垂线，垂足分别为E，F．求证：B，E，F，C四点共圆． ( A B C D E F ) 5.在锐角△ABC中，AB＝AC，AD为边上的高，E为AC的中点．若M为线段BD上的动点（点M与点D不重合），过点C作CN⊥AM与点N，射线EN与AB相交于点P，证明：∠APE＝2∠MAD． ( A B C D E P N M ) 【题型4 定弦对定角模型】 6．如图，等边三角形内接于，点是弧上的一个动点（不与点A、B重合）连接，过点A作，垂足为，连接，若的半径为，则长的最小值为（   ） A． B． C． D． 7.如图，半圆的直径，点在半圆上，，点在上，于点，则的最小值为 ． 8.．如图，中，，，点在射线上，且，则的最小值为 ． 9.如图，点、，直线与轴、轴分别交于点，点是平面内一动点，且，则面积的最大值是 ． 10.如图，已知正方形，边长为4，正方形内有一动点，．连接，则线段的最小值为 ． 11.如图，在中，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为 ．    12.如图，点在半圆上，半径，，点在弧上移动，连接，作，垂足为，连接，点在移动的过程中，的最小值是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $