精品解析：福建泉州市石狮市第一中学2025-2026学年高二下学期第一次阶段适应性练习数学试题

石狮市第一中学2025-2026学年高二年段下学期 第一次阶段适应性练习 命卷教师：牛鸣 审卷教师：李桂娟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 曲线在处的切线的斜率为（ ） A. B. 1 C. D. 2. 已知函数在处可导， 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若曲线在处的切线，也是的切线，则（ ） A. B. C. D. 5. 中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形.如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为x，与承载重力的方向平行的高度为y，记矩形截面抵抗矩.根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽x与高y的最佳之比应为（ ） A. B. C. 1 D. 6. 已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　） A. 函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1） B. 函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f（1） C. 函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（－2） D. 函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f（2） 8. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论中正确的有（ ） A. B. C. D. 当时， 10. 已知函数对任意的，满足，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的可能取值为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知函数，则__________. 13. 已知函数，若对任意的，且，都有，则实数m的取值范围为________. 14. 若函数没有极值点，则ab的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，求函数在区间上的最大值和最小值. 16. 已知函数 （1）求出的极值点，零点，并画出的大致图象； （2）证明：. 17. 设函数在处取得极值. （1）求a的值，并求的单调区间； （2）若，有，求b的取值范围. 18. 已知函数． 讨论的单调性； 若，是的两个极值点，证明：． 19. 已知函数是自然对数的底数 ）. （1）当是，求证： ； （2）若函数有两个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石狮市第一中学2025-2026学年高二年段下学期 第一次阶段适应性练习 命卷教师：牛鸣 审卷教师：李桂娟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 曲线在处的切线的斜率为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数求导的法则，求得，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】由函数，得， 所以，即曲线在处的切线的斜率为. 2. 已知函数在处可导， 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的极限定义求解即可． 【详解】由，有，有. 故选：B. 3. 已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】，根据题意可知恒成立，结合二次函数图象可得，解不等式即可求出答案. 【详解】由题意知，， 因为在上是单调函数，且的图象开口向下， 所以在上恒成立， 故，解得， 所以实数的取值范围是. 4. 若曲线在处的切线，也是的切线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数求得曲线在处的切线方程，并设该切线与曲线切于点，利用导数的几何意义求出切点的坐标，代入切线方程可求得实数的值. 【详解】对于函数，，则，又， 所以，曲线在处的切线方程为，即， 设直线与曲线相切于点， 对于函数，其导数为，由导数的几何意义可得，得， 所以，切点坐标为，代入切线方程得. 故选：C. 【点睛】本题考查利用两曲线的公切线求参数，解题时要注意以下两点：（1）切线的斜率等于函数在切点处的导数值；（2）切点为函数图象与切线的公共点. 5. 中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形.如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为x，与承载重力的方向平行的高度为y，记矩形截面抵抗矩.根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽x与高y的最佳之比应为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆的直径为，则，将矩形截面抵抗矩表示成关于的函数，利用导数求此函数的单调性、最值，从而得出结果. 【详解】设圆的直径为，则，， ， 令， 由时，解得；由时，解得； 所以在单调递增，在 单调递减， 所以 时取最大值. 此时，所以. 故选：B. 6. 已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，通过求导研究单调性，利用单调性解不等式. 【详解】设，因为，所以，在上单调递减， ，的解为， 即的解为，即的解为， 解为. 故选：D 7. 设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　） A. 函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1） B. 函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f（1） C. 函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（－2） D. 函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f（2） 【答案】D 【解析】 【分析】结合函数图像及极值点定义可以判断极大值及极小值. 【详解】由题图可知，当时，； 当时，； 当时，； 当时， 由此可以得到函数在处取得极大值， 在处取得极小值． 故选:D 8. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过构造函数，利用导数判断其单调性，根据单调性比较其大小. 【详解】设，则，令，得. 当时，，所以在上单调递减， 由，且， 所以，即. 令，所以， 设，，令，得， 当时，，所以在上单调递减， 因为，所以. 又为增函数，所以， 即，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论中正确的有（ ） A. B. C. D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性与最值，从而逐一判断不等式是否恒成立. 【详解】对于A：构造函数，则，令，得， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故的最小值为，即恒成立，故A正确； 对于B：构造函数，则， 令，得， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故的最大值为，即，故B正确； 对于C：构造函数，则， 令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故的最大值为，即，故C错误； 对于D：构造函数，则恒成立， 故在上单调递增，所以，即，故D正确. 10. 已知函数对任意的，满足，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】构造函数，根据题意，求得在单调递增，结合选项，利用函数的单调性和特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】构造函数，可得， 因为，可得， 又因为，所以，在单调递增， 对于A，由，可得，即， 可得，所以，所以A不正确； 对于B，由，可得，即， 可得，所以，所以B不正确； 对于C，由，可得，所以， 可得，所以C正确； 对于D，由，可得，所以， 可得，所以D不正确. 11. 过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先设曲线上一点，根据导数的几何意义，求曲线在该点处的切线方程，再由切线过点，得到关于的方程，由该方程无解求的取值范围，即可进行判断. 【详解】设曲线上一点， 因为，所以. 所以曲线在处切线的斜率为. 所以曲线在处切线方程为. 由切线过点，得， 整理得：. 由该方程无解，得， 即，解得. 故选：BC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知函数，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】解：由题，则，解得. 13. 已知函数，若对任意的，且，都有，则实数m的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】对所给不等式进行整理，构造新函数，根据新函数的单调性，根据导函数的正负与原函数的单调性关系建立不等式，通过分离参数求解参数的取值范围即可． 【详解】对进行变形，设，则， 整理可得， 令，则； 因为，，故在上单调递增； 因为，故， 因为在上单调递增，则在上恒成立； 则，则， 令，则需求的最小值； ，令，解得； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故在处取最小值，，故， 综上，实数m的取值范围为． 14. 若函数没有极值点，则ab的最大值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据函数无极值点可知导函数恒为非负数或者非正数，根据导函数的解析式分析可得导函数恒为非负数，构造新函数，利用新函数的最小值与0的关系，讨论参数的范围，即可计算结果． 【详解】因为， 则或恒成立， 因为当时，，故只能是恒成立； 令，则，则， 当时，，单调递增，此时无最小值； 当时，由解得； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故在处取最小值，故， 则，因为，故， 令，则求的最大值即可； ， 令，解得； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，故的最大值为，故，ab的最大值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】最大值为 ，最小值为 . 【解析】 【分析】首先利用导数判断函数的单调性，再求最值. 【详解】，， 由，得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， ，，，， 所以的最大值为3，最小值为. 16. 已知函数 （1）求出的极值点，零点，并画出的大致图象； （2）证明：. 【答案】（1）极小值点，无极大值，零点为1，图象见详解； （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）求导，判断导数的正负得到单调性和极值，结合单调性判断零点，画图； （2）令，利用导数判断单调性极值，得证. 【小问1详解】 由，则，， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，极小值点为，无极大值； 又，，，，， 所以函数的零点为1. 【小问2详解】 令，则， 当时，，即单调递减， 当时 ，，即单调递增， 所以，即， 所以，得证. 17. 设函数在处取得极值. （1）求a的值，并求的单调区间； （2）若，有，求b的取值范围. 【答案】（1），的单调递减区间为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）先求导，再由题意，可求a的值，根据定义域，令，可得增区间，令，可得减区间； （2）参变分离转化成新函数求导求最小值问题. 【小问1详解】 因为在处取得极值，且， 则，所以，则， 又的定义域为， 所以时，，时，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为 【小问2详解】 因为，有，则， 即恒成立，令，则 求导，， 当时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 所以，即b的取值范围为. 18. 已知函数． 讨论的单调性； 若，是的两个极值点，证明：． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】，令则，的对称轴为，对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出． 假设，由，是函数的极值点，由，是的两个实数根，可得，，可得即令，即令，利用导数已经其单调性即可得出． 【详解】，． 令则，的对称轴为，． 时，，函数在上是增函数； 当时，，可得，，函数在上是增函数； 当时，，由，解得，． 在，上，，，函数是增函数； 在，，，函数是减函数． 综上可得：时，函数在上是增函数； 时，在，上，函数是增函数；在，函数是减函数 证明：假设，由，是函数的极值点，则，是的两个实数根，，，． ． 即． 令，即． 令，． ， 函数在内单调递减，． 即． ． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、换元方法、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 19. 已知函数是自然对数的底数 ）. （1）当是，求证： ； （2）若函数有两个零点，求的取值范围. 【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ） 【解析】 【分析】(1) 当时，令.根据函数的单调性,求得函数的最大值,利用基本不等式的性质,即可求证； (2) 由题意可知:要使函数有两个零点，则需在上有唯一极大值点,且, 则, 构造辅助函数,求导,根据函数单调性即可求得，可得取值范围. 【详解】（1）当时，∴令.得：, 且在上单增，在上单减，且, ∴； (2) 对,求导,得， 要使函数有两个零点，则需在上有唯一极大值点,且,  则,即 ,则，  ，且,  令，∴在上单调递增， ,∴,则,  又在上单增,由, 得 综上, ,  所以的取值范围是:. 【点睛】本题考查运用导函数证明不等式和研究函数的零点问题，属于难度题. 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法: (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解. (3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $