精品解析：福建省南安市华侨中学2025-2026学年高二下学期第一次阶段考试数学试题

南安华侨中学2026年春高二年阶段考数学科 姓名：___________班级：___________考场号：___________座位号___________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为等比数列，若，则的公比（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列通项公式列方程即可解得公比. 【详解】根据等比数列定义由可得， 显然，所以， 解得. 故选：D 2. 已知椭圆和双曲线焦点相同，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为椭圆和双曲线焦点相同， 所以，解得. 3. 的展开式中的常数项为（ ） A. 60 B. 120 C. 160 D. 240 【答案】D 【解析】 【详解】共有个因式，从个因式中选择，在剩下的个因式中选择， 则的展开式中的常数项为. 4. 函数在处取最大值，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】由，得， 因为函数在处取最大值，所以， 解得，所以. 5. 若四点共面，其中，则（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间共面向量基本定理即可求解. 【详解】因为四点共面， 所以存在实数使得，且. 设，则由，得， 故， 又，解得． 故选：A 6. 《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》被称为中国古代四大名著.书架的某一层上有4本不同的文学书，现将四大名著各一本插入这4本书的5个空隙中，要求原有书的顺序不变且四大名著中至少有3本相邻，则不同的插法共有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 480种 D. 600种 【答案】D 【解析】 【分析】利用计数原理以及相邻问题捆绑法可得答案. 【详解】四大名著恰有3本相邻共有种插法； 4本相邻时共有种插法， 所以不同的插法共有600种， 故选：D. 7. 已知是椭圆上一点，是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，由题意得出是等腰直角三角形，列方程组得到含的齐次方程求解离心率即可. 【详解】如图，设，，延长交于， 由题意知，为的中点，故为中点， 又，即，则， 又点在的平分线上,则，故是等腰直角三角形， 因此， 则， 可得，， 又，则， 因此可得， 又在中，，则， 将， 代入得， 即，由所以， 所以，. 故选：A. 8. 若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题可通过将函数在区间上有三个零点转化为与在上有三个交点，再分区间讨论并结合导数研究函数单调性来求解a的取值范围. 【详解】函数在区间上有三个零点等价于函数与在上有三个交点， 当时，在上单调递减，是过原点的直线，要使两函数图象有交点，需； 当时，，令，得， 令，， 令，解得， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取得最大值， 又，. 要使函数与在上有三个交点，则与在上需有一个交点、在上需有两个交点， 则需满足，所以. 综上，实数a的取值范围为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列导数计算正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据求导公式逐项求导即可求解. 【详解】对于A选项，由，故A选项正确； 对于B选项，，故B选项错误； 对于C选项，，故C选项正确； 对于D选项，由，故D选项正确. 故选：ACD. 10. 已知数列为等差数列，为其前n项和，，，则（ ） A. B. 为单调递增数列 C. 使的n的最小值为18 D. 当且仅当时，最小 【答案】BC 【解析】 【分析】根据数列为等差数列，由，求得首项和公差，然后再逐项判断. 【详解】对于A：在等差数列中，，， 所以，解得 ， 则 ，故A错误； 对于B：，则 ， 所以为单调递增数列，故B正确； 对于C：，由 ，即 ， 解得，所以 的n的最小值为18，故C正确； 对于D：的对称轴为，开口方向向上， 因为为正整数，所以当或9时，取得最小值，故D错误. 故选：BC 11. 已知函数，使得有三个零点，且，则下列说法正确的是（ ） A. a的取值范围为 B. C. 若，则 D. 函数在三个零点处的切线斜率的倒数之和为0 【答案】ACD 【解析】 【分析】由有三个零点，得函数至少有两个极值点.因为，所以有两个不相等的实数根.根据，可得a的取值范围，判断A；通过判断的零点与方程的根的关系，判断B；化简，可得关系，判断C；分别求出函数在三个零点处的切线斜率，从而求得其倒数之和，判断D. 【详解】对于A，因为有三个零点，得函数至少有两个极值点. 因为，所以有两个不相等的实数根. 所以，解得，所以A正确. 对于B，的两个不相等的实数根为. 由，且关于对称. ∴，与的大小关系不能判断，无法比较大小，所以B错误. 对于C， ，所以，所以，所以C正确. 对于D，由题得，其简图如下： ， 所以， 同理， 故 ．所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数满足在处导数为__________. 【答案】# 【解析】 【分析】根据题意先求出的导数，然后将代入导函数，求出的值. 【详解】, ， ， . 故答案为：. 13. 已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】应用赋值法结合二项式展开式及组合数计算求解. 【详解】令， 令． 所以． 故答案为： 14. 如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为，，. 例如，图中上档的数字和. 若，，成等差数列，则不同的分珠计数法有____种. 【答案】32 【解析】 【分析】先确定每档可取的整数，再根据公差分类讨论，最后根据分类计数原理得结果. 【详解】每档可取7到14中的每个整数， 若公差为0，共有8种； 若公差为±1，则共有12种； 若公差为±2，则共有8种； 若公差为±3，则共有4种； 所以，不同分珠方法有：8＋12＋8＋4＝32种， 故答案为32 【点睛】本题考查分类计数原理，考查基本分析求解能力，属难题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，，且． （1）求的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用来变形，可得数列是常数列，进而即可求得其通项； （2）结合（1），再利用错位相减即可求出． 【小问1详解】 因为，所以， 两式相减可得， 所以，所以数列是常数列， 又，所以， 所以，所以． 【小问2详解】 结合（1）得， 则， 两边乘以4可得：， 两式相减得：， ， 即． 16. 人工智能社团有6位同学，计划对ChatGPT、Sora、GPT-4、Claude这4种人工智能语言模型展开学习调研，要求每类模型至少有一人负责，每人只能选择一种模型． （1）若从社团中选出5人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？ （2）若6位同学都同时参与调研，且甲、乙两位同学调研同一种模型，共有多少种不同的安排方案？ 【答案】（1）1440 （2）240 【解析】 【分析】（1）从6位同学中选5人，分为：2人，1人，1人，1人四组，再进行全排列即可； （2）将甲、乙两位同学视为一个整体（一个元素），将5个元素分成“2，1，1，1”四组，再进行全排列即可. 【小问1详解】 首先，从6位同学中选5人，有种选法， 接下来将5人分配到4种模型，且每类模型至少1人负责， 则5人分为：2人，1人，1人，1人四组，有种方法， 再将这四组对应4种模型进行全排列， 不同的调研安排方案有种. 【小问2详解】 首先将甲、乙两位同学视为一个整体（一个元素）， 此时相当于5个元素分配到4种模型,每类模型至少有一人， 即分成元素个数分别为“2，1，1，1”四组，则有种方法， 再将这四组对应4种模型进行全排列，有种方法， 所以，若6位同学都同时参与调研，且甲、乙两位同学调研同一种模型， 共有种不同的安排方案. 17. 已知函数，其中． （1）若，求函数的极值点和极值； （2）求函数在区间上的最小值． 【答案】（1）函数的极大值点为0，极小值点为2，极大值为，极小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数判断函数的单调性，结合单调性分析函数的极值点和极值； （2）分和两种情况讨论，利用导数判断函数的单调性，即可得最小值. 【小问1详解】 若，则的定义域为，且， 令，解得或；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的极大值点为0，极小值点为2，极大值为，极小值为. 【小问2详解】 因为函数的定义域为，且，， 令，解得或， 若，则， 可知函数在内单调递增，所以函数在内的最小值为； 若，则， 当时，；当时，； 可知函数在内单调递减，在内单调递增， 所以函数在内的最小值为； 且当时，，符合上式，所以函数在区间上的最小值为. 18. 如图，已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，侧面MAD是等边三角形，，N为侧棱MC上一点． （1）证明：平面平面ABCD； （2）求MC与平面BMD所成角的正弦值； （3）过A，N两点的平面分别交线段MD，MB于E，F两点，且平面AENF，是否存在点N，使得平面AENF与平面ABCD夹角为？若存在，求的值：若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）通过计算边长利用勾股定理逆定理证明，进而由面面垂直的判定即可求证； （2）建立空间直角坐标系，通过向量法求平面的法向量，进而计算MC与平面BMD所成角的正弦值； （3）引入参数​，利用向量法表示相关点坐标，结合 平面得到法向量满足的条件，再由平面夹角为列出方程解得. 【小问1详解】 连接BD，因，所以， 侧面MAD是等边三角形，所以，又，故， 由题意得平面MAD，平面MAD，可得平面MAD， 又因平面ABCD，所以平面平面ABCD. 【小问2详解】 取AD的中点O，的中点，连接PO，OM，因为侧面MAD是等边三角形，所以， 由（1）知平面平面ABCD，平面平面，则平面ABCD， 在平面ABCD内，由，易得， 以AD中点O为坐标原点，分别以OA，OP，OM所在直线为x轴，y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面BMD的一个法向量为， 则，令，则， 所以为平面BMD的一个法向量， 又，设MC与平面BMD所成角为， 则， 所以MC与平面BMD所成角的正弦值为. 【小问3详解】 因为平面AENF，平面平面，平面MBD， 所以，假设存在点N，使得平面AENF与平面ABCD夹角为， 设，则， 设平面AENF的一个法向量为，由， 则， 令，则，所以为平面AENF的一个法向量， 因为z轴⊥平面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量， 设平面AENF与平面ABCD夹角为 可得， 化简得：，又因解得， 所以存在点N，使得平面AENF与平面ABCD夹角为，此时． 19. 函数，. （1）若在上单调递减，求a的取值范围； （2）若曲线与在处有相同的切线， （i）求a的值； （ⅱ）若，证明：. 【答案】（1）； （2）（i）；（ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出的导数，由给定区间及单调性建立不等式求解. （2）（i）利用与在处的导数值相等求出；（ⅱ）按分段讨论，结合极值点的偏移方法推理得证. 【小问1详解】 函数在上单调递减，则，， 即，，而，当且仅当时取等号，因此， 所以a的取值范围是. 【小问2详解】 （i）由，求导得， 由曲线与在处有相同的切线，得，即， 解得，此时曲线与在处的切线都为，符合题意， 所以. （ⅱ）由（1）及（i）知，函数在上单调递减，且， ，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，且， 当时，，而，不符合题意； 当时，，则，，因此，符合题意； 当，的取值集合为，而在的取值集合为， 在的取值集合为，因此能成立， 当时，； 当时，，， 令，求导得， 函数在上单调递增，，即， 因此，而，则，又函数在上单调递增， 于是，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南安华侨中学2026年春高二年阶段考数学科 姓名：___________班级：___________考场号：___________座位号___________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为等比数列，若，则的公比（ ） A. B. 2 C. D. 2. 已知椭圆和双曲线焦点相同，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 3. 的展开式中的常数项为（ ） A. 60 B. 120 C. 160 D. 240 4. 函数在处取最大值，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 5. 若四点共面，其中，则（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 6. 《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》被称为中国古代四大名著.书架的某一层上有4本不同的文学书，现将四大名著各一本插入这4本书的5个空隙中，要求原有书的顺序不变且四大名著中至少有3本相邻，则不同的插法共有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 480种 D. 600种 7. 已知是椭圆上一点，是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列导数计算正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列为等差数列，为其前n项和，，，则（ ） A. B. 为单调递增数列 C. 使的n的最小值为18 D. 当且仅当时，最小 11. 已知函数，使得有三个零点，且，则下列说法正确的是（ ） A. a的取值范围为 B. C. 若，则 D. 函数在三个零点处的切线斜率的倒数之和为0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数满足在处导数为__________. 13. 已知，则_____． 14. 如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为，，. 例如，图中上档的数字和. 若，，成等差数列，则不同的分珠计数法有____种. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，，且． （1）求的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，求． 16. 人工智能社团有6位同学，计划对ChatGPT、Sora、GPT-4、Claude这4种人工智能语言模型展开学习调研，要求每类模型至少有一人负责，每人只能选择一种模型． （1）若从社团中选出5人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？ （2）若6位同学都同时参与调研，且甲、乙两位同学调研同一种模型，共有多少种不同的安排方案？ 17. 已知函数，其中． （1）若，求函数的极值点和极值； （2）求函数在区间上的最小值． 18. 如图，已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，侧面MAD是等边三角形，，N为侧棱MC上一点． （1）证明：平面平面ABCD； （2）求MC与平面BMD所成角的正弦值； （3）过A，N两点的平面分别交线段MD，MB于E，F两点，且平面AENF，是否存在点N，使得平面AENF与平面ABCD夹角为？若存在，求的值：若不存在，说明理由． 19. 函数，. （1）若在上单调递减，求a的取值范围； （2）若曲线与在处有相同的切线， （i）求a的值； （ⅱ）若，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $